Momento angular en mecánica clásica

Conocemos como actúa un cuerpo al aplicarle una fuerza externa y la relación existente entre fuerza externa y variación de la cantidad de movimiento. También sabemos que ocurre con dicha cantidad de movimiento en ausencia de fuerzas y la utilidad de esa situación. Podemos platearnos si existen algunas magnitudes equivalentes a F y a P en los movimientos curvilíneos ya que llegamos a la conclusión que en este tipo de movimientos, pierden, en parte, su utilidad. Estos conceptos son el momento angular y el momento de la fuerza.

1. Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto vectorial de su momento lineal por el vector .

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo

. Siendo el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será

El vector es perpendicular al plano que contiene y , ya que cumple las propiedades del producto vectorial y su módulo es:

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Las unidades del momento angular son kg · m2/s.

Hay que insistir que L no es una magnitud que depende solo de la partícula, sino que también depende del origen de referencia que escojamos.

2. Momento angular y momento de la fuerza (momento dinámico) Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero (el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero) . En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

Donde “a” es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es el momento de la fuerza aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento de la fuerza (momento dinámico) que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, y deberán estar referidos al mismo punto O.

3. Conservación del momento angular clásico Cuando la suma de los momentos de fuerza externos es cero , hemos visto que:

Eso quiere decir que . Y como es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Pero cuando tenemos la situación M = 0?

• Cuando no actúa ninguna fuerza externa o se anulan • Cuando actúa sobre el propio eje de rotación, r = 0 • Cuando los vectores r y F son paralelos. Este sería el caso de la fuerza

gravitatoria (que es una fuerza central)

4. Momento angular escrito en función de magnitudes angulares

1.- Para el caso de movimiento circular: � � ��� ��

��

(Demo : relación entre velocidad angular y lineal i definición de velocidad angular)

2.- Para el caso de movimiento curvilíneo: � � ��� ��

��

Será la misma pero teniendo en cuenta que en este caso r varía.

(Demo : descomponer v en componente tangencial i normal al vector posición)

5. Momento angular de un conjunto de partículas puntuales El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

La variación temporal es:

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de sentido opuesto. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:

6. Momento angular de un sólido rígido Un sólido rígido es un conjunto de partículas que ocupan posiciones relativas fijas entre sí. Por tanto, el movimiento de rotación de un sólido rígido implica que cada partícula que lo forma describe un movimiento circular respecto al eje de rotación.

Escribiendo L para cada partícula en función de magnitudes angulares, � � ���, y sabiendo que la velocidad angular es la misma para todas las partículas del cuerpo, tenemos que, respecto a un eje de rotación elegido, L para el cuerpo es:

����� � �∑ �����

���� � → L = I�

Donde � � �∑ �����

���� � se llama Momento de Inercia y “hace las veces” de masa en

las rotaciones. Su unidad es el kg·m2

Hay que tener claro que el momento de inercia de un sólido depende de su masa i de la elección del eje de rotación sobre el que gira. No tiene, pues, un solo I.

Para estos sólidos evidentemente también se cumple la relación entre M y L, que la podremos escribir como,

� ���

� � �

�!

� � � � "

Donde:

• es la velocidad angular del sólido. • es el momento de Inercia del cuerpo. • " es la aceleración angular

7. Conservación del momento angular clásico para un sólido rígido

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

• En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. También es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencillez con que es posible mantener el equilibrio.

• Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.

• Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.

• Debido a las mareas, la luna ejerce un momento sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

8. Ejemplo de conservación del momento angular

La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular.

En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un momento sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de momentos externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente con . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia , cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite de escribir:

o sea:

Y, si multiplicamos por la masa , obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario hacer la experiencia dando un tirón. Se puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

9. Conservación de la energía mecánica Desde un punto de vista teórico cuando una esfera rueda, la fuerza de rozamiento a la rodadura no disipa energía, puede estimarse por tanto con un buen grado de aproximación, que debería cumplirse el principio de conservación de la energía mecánica.

Para una esfera que rueda, la energía cinética total consta de dos términos, uno asociado al movimiento de traslación del centro de masas y otro relacionado con el giro de la esfera alrededor de un eje que pasa por su centro de masas.

Siendo m, la masa de a esfera, v la velocidad de traslación del centro de masas, I el momento de inercia de la esfera respecto al eje que pasa por su centro de masas y w la velocidad angular de giro.