Momento angular de una partcula

Dinmica rotacional

Momento angular de una partculaSe define momento angular de una partcula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector momento

Su formula

L=r mvMomento angular de un slido rgidoLas partculas de un solido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen

su formulavi=w riTeorema de SteinerEl teorema de Steiner es una formula que nos permite calcular el momento de inercia de un solido rigido respecto de un eje de rotacion que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simtricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotacin que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma

El momento de inercia del solido respecto de un eje que pasa por O

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C

Energa cintica de rotacinLas particulas del solido describen circunferencias centradas en el eje de rotacion con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w Ri . La energia cinetica total es la suma de las energias cineticas de cada una de las particulas. Esta suma se puede expresar de forma simple en terminos del momento de inercia y la velocidad angular de rotacion

Momento angular en mecnica clsicaEn mecnica newtoniana, el momento angular de una partcula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el smbolo . Siendo el vector que une el punto O con la posicin de la masa puntual, ser

EjerciciosUn satelite que esta esta 300 km por encima de la superficie terrestre gira alrededor de la tierra con una aceleracin centripeta de 0,009km/min^2. calculaA la velocidad angularEl periodoLa frecuenciaLa velocidad lineal

desarrolloA- Rs= Rt + hsRs= 6370 km + 300 km = 6.670 kmAc= w.R => w= Ac = 0.009k/min = 1,3x10-6 1 R 6.670 km minW= 1,3 10-6 1 = 1,14.10-3 1 o rad min min min W = 1,14 x 10-3

B- W= 2 => T = 2 = 2 x 3,14 = 6,28 x 103 min = T W 1,14 x 10-3 1/min 1,14

T = 5,5 x 103 min

C - f = 1 = 1 = 0,18 x 10-3 1/min 5,5 x 10-3min

f = 0,18 x 10-3min-1

D VL = W.R R = Rs

VL = W.Rs = 1,14 x 10-3 1/min = 6.670 km VL = 7.603,8 x 10-3 k/min = 7.6038 km/m VL = 7,60 km/min Girscopo

Est formado esencialmente por un cuerpo con simetra de rotacin que gira alrededor del eje de dicha simetra. Cuando el girscopo se somete a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientacin de su eje de rotacin, tiene un comportamiento aparentemente paradjico, ya que cambia de orientacin (o experimenta un momento angular en todo caso, si est restringido) girando respecto de un tercer eje, perpendicular tanto a aquel respecto del cual se lo ha empujado a girar, como a su eje de rotacin inicial. Si est montado sobre un soporte de Cardano que minimiza cualquier momento angular externo, o si simplemente gira libre en el espacio, el girscopo conserva la orientacin de su eje de rotacin ante fuerzas externas que tiendan a desviarlo mejor que un objeto no giratorio; se desva mucho menos, y en una direccin diferente.

Descripcin del efecto giroscpico

Supongamos un girscopo formado por un disco montado sobre un eje horizontal, alrededor del cual el disco gira libremente a gran velocidad, Un observador mantiene el eje del fondo con la mano izquierda y el eje de delante con la mano derecha. Si el observador trata de hacer girar el eje hacia la derecha (bajando la mano derecha y subiendo la mano izquierda) sentir un comportamiento muy curioso, ya que el girscopo empuja su mano derecha y tira de su mano izquierda. El observador acaba de sentir el efecto giroscpico. Es una sensacin muy sorprendente porque da la impresin de que el girscopo no se comporta como un objeto normal.

Cuando se da un golpecito en la extremidad de la barra horizontal se comunica a las masas una velocidad horizontal perpendicular a sus velocidades tangenciales.Vista desde arriba del dibujo de izquierda. Las velocidades de la masa de arriba estn dibujadas en trazos continuos y las de la masa de abajo en punteado.

Movimientos del girscopo y planteamiento matemtico

De acuerdo con la mecnica del slido rgido, adems de la rotacin alrededor de su eje de simetra, un girscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesin y la nutacin. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones de Euler.

Para entender cuantitativamente el movimiento de un girscopo, podemos utilizar la segunda ley de Newton para la rotacin.

Precesin

Cuando se aplica un momento a un cuerpo en rotacin cuyo momento angular es , y siempre que no sea colineal con el momento angular original , la direccin del eje de rotacin del cuerpo se anima de un movimiento de rotacin de velocidad angular . Esta velocidad angular, llamada velocidad de precesin, est relacionada con el momento y el momento angular por la frmula:

NutacinCuando el momento que causa la precesin cambia de valor, la velocidad de precesin tambin cambia de valor. Pero ese cambio no sucede instantneamente. Hay un periodo de transicin durante el cual el girscopo cede un poquito al momento en la misma direccin que un objeto que no gira. Despus el girscopo recobra lo que haba cedido, oscilando en la direccin del momento alrededor de la trayectoria de precesin final. Este movimiento de oscilacin transitorio se llama nutacin.Si el cambio de valor de los momentos se prolonga, la nutacin puede durar mucho. Es el caso de la tierra. La atraccin de la luna y del sol sobre el hinchamiento de la tierra en el ecuador es diferente entre el lado prximo y el lado lejano respecto al astro. Esa diferencia de atraccin crea un momento, el cual causa la precesin de los equinoccios. Pero, como ni el sol ni la luna estn en el plano del ecuador terrestre, el momento producido por estos astros cambia peridicamente y el movimiento de nutacin de la tierra no se amortigua.