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ALTIMETRÍA

Gonzalo Jiménez C. Topógrafo

Universidad del Quindío Especialista en Computación para la Docencia

Universidad del Quindío – Universidad Antonio Nariño Master en Ingeniería de Sistemas

Universidad del Valle

Profesor Programa de Topografía

Universidad del Quindío

3

Introducción

Convencido de la utilidad y pertinencia de un libro guía para los cursos de Altimetría que se

orienta en la Universidad del Quindío y considerando la escasa bibliografía especifica

disponible, me propuse escribir un libro dirigido a los estudiantes y profesores que

requieran conocimientos de altimetría. Para este curso es indispensable tener conocimientos

básicos de planimetría

Los procedimientos topográficos que se desarrollan en este libro pueden efectuarse con una

calculadora. Sin embargo, esos mismos procedimientos pueden agilizarse, con el uso de un

computador, esta herramienta es casi indispensable cuando se desea realizar gráficos

elemento fundamental en este tema.

El libro consta de doce capítulos en los cuales se tratan los temas fundamentales de la

altimetría: que se inicia en el capítulo uno con generalidades, el capítulo dos instrumentos,

los capítulos tres al seis un paso por los principales métodos de nivelación, el capítulo siete

sobre los cálculo y ajuste de nivelación, el capítulo ocho sobre representación del relieve,

en el capítulo nueve se trata la nivelación de superficies, en el capítulo diez se trata un tema

fundamental de la altimetría como es el cálculo de movimientos de tierra, en el capítulo

once se detallan la principales aplicaciones de los planos topográficos, dejando para el

capítulo doce lo nuevo en equipos y procesamiento de información en altimetría.

Debo expresar mis agradecimientos a la Universidad del Quindío y a los estudiantes y

profesores del programa de topografía, en especial a mi esposa por las revisiones que le

realizó a este libro.

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Dedicado a mí esposa Luz Enid

y a mi hijo Juan Felipe

7

Contenido

1. GENERALIDADES ................................................................................................... 17

1.1. Glosario .................................................................................................................... 17 1.2. Medición directa e indirecta de distancias verticales ........................................... 21

2. INSTRUMENTOS DE NIVELACIÓN .................................................................... 23 2.1. Glosario .................................................................................................................... 23 2.2. Niveles ....................................................................................................................... 23

2.3. Aumentos .................................................................................................................. 27

2.4. Niveles de precisión óptico mecánico ..................................................................... 27

2.5. Nivel digital .............................................................................................................. 31 2.6. Nivel láser ................................................................................................................. 31 2.7. Niveles de mano ....................................................................................................... 33 2.8. Instrumentos de verticalidad .................................................................................. 34

y accesorios ...................................................................................................................... 34 3. NIVELACIÓN SIMPLE ............................................................................................ 39

3.1. Glosario .................................................................................................................... 39 3.2. Nivelación simple ..................................................................................................... 39 3.3. La regla de nivelación ............................................................................................. 39

3.4. Nivelación con el prisma angular ........................................................................... 40 3.5. Con nivel de precisión ............................................................................................. 40

4. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA ............................................................................... 45 4.1. Glosario .................................................................................................................... 45

4.2. Nivelación geométrica ............................................................................................. 45 4.3. Nivelación diferencial .............................................................................................. 45

4.4. Nivelación geométrica radial .................................................................................. 47 4.5. Nivelación para obtener un perfil .......................................................................... 48 4.6. Nivelación recíproca ................................................................................................ 49

4.7. Nivelación con tres hilos .......................................................................................... 51 4.8. Métodos de comprobación ...................................................................................... 53 4.9. Errores en la nivelación ......................................................................................... 55 4.10. Equivocaciones ...................................................................................................... 56

4.11. Reducción de errores y equivocaciones ............................................................... 56 4.12. Especificaciones ..................................................................................................... 56

5. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Y TAQUIMÉTRICA ............................... 57 5.1. Glosario .................................................................................................................... 57 5.2. Nivelación trigonométrica ....................................................................................... 57 5.3. Nivelación estadimétrica (Taquimétrica) .............................................................. 60

6. NIVELACIÓN BAROMÉTRICA ............................................................................ 63

6.1 Glosario ..................................................................................................................... 63 6.2. Nivelación barométrica ........................................................................................... 63 6.3. Métodos de empleo del altímetro ........................................................................... 65

7. CÁLCULO Y AJUSTE DE NIVELACIONES ....................................................... 69

8

7.1. Glosario .................................................................................................................... 69 7.2. Generalidades .......................................................................................................... 69

7.3. Cálculo y ajuste de una línea .................................................................................. 70 7.4. Cálculo y ajuste de circuitos ................................................................................... 74 7.5. Cálculo y ajuste de redes ......................................................................................... 76

8. REPRESENTACIÓN DEL RELIEVE ..................................................................... 79 8.1. Glosario .................................................................................................................... 79

8.2. Generalidades .......................................................................................................... 79 8.3. Mapas en relieve ...................................................................................................... 81 8.4. Trazos ....................................................................................................................... 81 8.5. Sombras o iluminación ............................................................................................ 82 8.6. Curvas de nivel ........................................................................................................ 83

8.7. Modelos digitales .................................................................................................... 87

9. NIVELACIÓN DE SUPERFICIES .......................................................................... 89 9.1. Glosario .................................................................................................................... 89

9.2. Nivelación de superficies ......................................................................................... 89

9.3. Cuadrícula ................................................................................................................ 89 9.4. Por distancias fijas a lo largo de un eje ................................................................. 91

9.5. Nivelación por nube de puntos o puntos de quiebre ............................................ 93 9.6. Errores en la nivelación de superficies .................................................................. 95 9.7. Equivocaciones en la nivelación de superficies .................................................... 95

9.8. Especificaciones de la nivelación de superficies .................................................... 95 9.9. Interpolación de cotas ............................................................................................. 95

9.10. Evaluación de planos topográficos ..................................................................... 100 10. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE MOVIMIENTOS DE TIERRAS ...... 105

10.1. Glosario ................................................................................................................ 105 10.2. Generalidades ...................................................................................................... 105

10.3. Características generales de los movimientos de tierra ................................... 106 10.4. Volúmenes por áreas en planta .......................................................................... 107 10.5. Volúmenes por áreas extremas ........................................................................... 115

10.6. Exactitud del cálculo de volúmenes ................................................................... 116 10.7. Errores en los volúmenes .................................................................................... 117

11. APLICACIONES DE LOS PLANOS TOPOGRÁFICOS ................................ 119 11.1. Glosario ................................................................................................................ 119 11.2. Interpretación del relieve .................................................................................... 119 11.3. Perfiles longitudinales y transversales ............................................................... 119 11.4. Visibilidad ............................................................................................................ 125

11.5. Elevaciones del terreno ....................................................................................... 127 11.6. Línea de pendiente ............................................................................................... 127

11.7. Terraceo ................................................................................................................ 130 11.8. Determinación gráfica de puntos de chaflán ..................................................... 130 11.9. Volúmenes gráficos .............................................................................................. 133 11.10. Cálculo de volúmenes por el método de curvas de nivel ................................ 134 11.11. Diagrama de bloque .......................................................................................... 134

11.12. Diagrama de dos direcciones ............................................................................ 135 12. TOPOGRAFÍA 3D ................................................................................................ 137

12.1. Glosario ................................................................................................................ 137

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12.2. Modelaje numérico de terreno (MNT) .............................................................. 137 12.3. Modelación de superficies ................................................................................... 138

12.4. LIDAR .................................................................................................................. 139 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 145

11

Figuras

Figura 1. Generalidades ....................................................................................................... 17

Figura 2. Error por curvatura y refracción ........................................................................... 19 Figura 3. Nivel esférico ....................................................................................................... 24 Figura 4. Nivel tubular ........................................................................................................ 24 Figura 5. Nivel de plano medio ........................................................................................... 24 Figura 6. Corrección en la lectura de la mira ...................................................................... 25

Figura 7. Radio de curvatura ............................................................................................... 26 Figura 8. Nivel dumpy ......................................................................................................... 27 Figura 9. Nivel basculante ................................................................................................... 28

Figura 10. Esquema de la placa plano paralela ................................................................... 28 Figura 11. Ejemplo de lectura ............................................................................................. 29 Figura 12. Nivel de precisión y placa plano paralela .......................................................... 29

Figura 13. Nivel automático ................................................................................................ 30 Figura 14. Compensador ..................................................................................................... 30

Figura 15. Nivel digital ........................................................................................................ 31 Figura 16. Nivel laser de plano ............................................................................................ 31 Figura 17. Nivel laser de línea ............................................................................................. 32

Figura 18. Nivel laser de línea ............................................................................................. 32 Figura 19. Nivel locke ......................................................................................................... 33

Figura 20. Nivel abney ........................................................................................................ 33 Figura 21. Clisímetro ........................................................................................................... 33

Figura 22. Plomada cenit-nadir laser .................................................................................. 34 Figura 23. Telescópica ......................................................................................................... 34

Figura 24. Mira invar de doble escala ................................................................................. 35 Figura 25. Mira de código de barras .................................................................................... 35 Figura 26. Nivel de mira ...................................................................................................... 37

Figura 27. Puntos de liga ..................................................................................................... 37 Figura 28. Regla de nivelación ............................................................................................ 39

Figura 29. Nivelación con el prisma angular ....................................................................... 40 Figura 30. Método del punto extremo ................................................................................. 41

Figura 31. Método del punto extremo, otro punto ............................................................... 41 Figura 32. Método del punto medio .................................................................................... 42 Figura 33. Detrás de los puntos ........................................................................................... 43 Figura 34. Nivelación diferencial ........................................................................................ 46

Figura 35. Nivelación para obtener un perfil ....................................................................... 48 Figura 36. Nivelación reciproca .......................................................................................... 50 Figura 37. Nivelación con tres hilos .................................................................................... 51

Figura 38. Nivelación y contranivelación, vista en planta .................................................. 53 Figura 39. Doble punto de cambio, vista en planta ............................................................. 53 Figura 40. Doble altura instrumental, vista en planta .......................................................... 54 Figura 41. Nivelación trigonométrica .................................................................................. 58 Figura 42. Efectos de la refracción y curvatura ................................................................... 58 Figura 43. Nivelación taquimétrica ..................................................................................... 60

12

Figura 44. Barómetro ........................................................................................................... 63 Figura 45. Altímetro ............................................................................................................ 64

Figura 46. Altímetro digital ................................................................................................. 64 Figura 47. Nivelación .......................................................................................................... 69 Figura 48. Línea ligada en sus dos extremos ....................................................................... 70 Figura 49. Circuito de nivelación ........................................................................................ 74 Figura 50. Red de nivelación ............................................................................................... 76

Figura 51. Mapas de relieve o maqueta ............................................................................... 81 Figura 52. Trazos ................................................................................................................. 82 Figura 53. Sombras .............................................................................................................. 82 Figura 54. Curvas de nivel ................................................................................................... 83 Figura 55. Perfiles y Curvas de nivel ................................................................................. 84

Figura 56. Curvas índice ...................................................................................................... 85

Figura 57. Modelo digital .................................................................................................... 88 Figura 58. Modelo digital .................................................................................................... 88

Figura 59. Cuadrícula .......................................................................................................... 90

Figura 60. Cota redonda ...................................................................................................... 91 Figura 61. Cambios de pendiente ........................................................................................ 92

Figura 62. Nube de puntos con líneas de rotura .................................................................. 93 Figura 63. Triangulación y superficie resultante ................................................................. 94 Figura 64. Escalímetro y regla ............................................................................................. 96

Figura 65. Isógrafo .............................................................................................................. 97 Figura 66. Haz de rectas ...................................................................................................... 97

Figura 67. Perfil ................................................................................................................. 101 Figura 68. Volúmenes TIN ................................................................................................ 107

Figura 69. Método de Wilson ............................................................................................ 108 Figura 70. Método de Wilson cálculos .............................................................................. 109

Figura 71. Método de Wilson cálculos parciales ............................................................... 110 Figura 72. Método de Wilson resultados ........................................................................... 110 Figura 73. Método de promedio de alturas ....................................................................... 111

Figura 74. Punto de altura.................................................................................................. 112 Figura 75. Terreno nivelado .............................................................................................. 113

Figura 76. Cuadrícula ........................................................................................................ 113 Figura 77. Método de Sanyaolu ......................................................................................... 115 Figura 78. Áreas extremas ................................................................................................. 116 Figura 79. Sección ............................................................................................................. 116 Figura 80. Volumen ........................................................................................................... 117

Figura 81. Perfil longitudinal ............................................................................................ 120 Figura 82. Perfil transversal o sección............................................................................... 121

Figura 83. Como construir un perfil .................................................................................. 121 Figura 84. Introducción de datos ....................................................................................... 122 Figura 85. Excel datos ....................................................................................................... 123 Figura 86. Excel alturas ..................................................................................................... 123 Figura 87. Excel perfil ....................................................................................................... 124

Figura 88. Excel rasante inicial ......................................................................................... 125 Figura 89. Excel rasante final ............................................................................................ 125 Figura 90. Plano topográfico ............................................................................................. 126

13

Figura 91. Visibilidad ........................................................................................................ 127 Figura 92. Línea de pendiente ........................................................................................... 128

Figura 93. Estudio de línea de pendiente ........................................................................... 128 Figura 94. Punto de ceros .................................................................................................. 129 Figura 95. Proyecto de terraza ........................................................................................... 131 Figura 96. Talud ................................................................................................................ 131 Figura 97. Líneas de talud ................................................................................................. 132

Figura 98. Terraza y línea de ceros.................................................................................... 132 Figura 99. Curvas de nivel ................................................................................................. 133 Figura 100. Diagrama de dos direcciones ......................................................................... 135 Figura 101. LIDAR ........................................................................................................... 139 Figura 102. Imágenes LIDAR ........................................................................................... 140

Figura 103. LIDAR aéreo .................................................................................................. 141

Figura 104. Puente ............................................................................................................. 143 Figura 105. Levantamiento industrial ................................................................................ 143

Figura 106. Poblado ........................................................................................................... 144

Figura 107. Edificios históricos ......................................................................................... 144

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Tablas

Tabla 1. Nivelación diferencial ............................................................................................ 47 Tabla 2. Nivelación para obtener un perfil ........................................................................... 49 Tabla 3. Nivelación con tres hilos ........................................................................................ 52

Tabla 4. Doble punto de cambio ........................................................................................... 54 Tabla 5. Doble altura instrumental ....................................................................................... 55 Tabla 6. Norma de nivelación............................................................................................... 56

Tabla 7. Datos de una red ..................................................................................................... 74 Tabla 8. Equidistancia curvas de nivel ................................................................................. 87 Tabla 9. Cuadrícula............................................................................................................... 90

Tabla 10. Cota redonda ......................................................................................................... 92 Tabla 11. Cambios de pendiente........................................................................................... 93

Tabla 12. Nube de puntos estadimetría ................................................................................ 94 Tabla 13. Error medio del modelamiento del terreno ......................................................... 103 Tabla 14. Error medio de las cotas de las curvas de nivel .................................................. 104

Tabla 15. Taludes ............................................................................................................... 133

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Gonzalo Jiménez Cleves

[email protected]

mailto:[email protected]

17

1. GENERALIDADES

1.1. Glosario

Altimetría: Es la parte de la topografía que tiene por objeto el estudio de los métodos y

procedimientos para representar el relieve del terreno.

Figura 1. Generalidades

Línea Horizontal: es una línea que en topografía se considera recta y tangente a una

superficie de nivel.

Línea Vertical: Línea que sigue la dirección de la gravedad, indicada por el hilo de una

plomada.

Línea de nivel: Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por tanto curva

Angulo Vertical: es un ángulo que existe entre dos líneas que se intersectan en un plano

vertical, generalmente se entiende que una de estas es una línea horizontal

Diferencia de elevación o desnivel: es la distancia vertical que hay entre dos superficies de

nivel en las que están ubicados los puntos.

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Datum: Sistema geométrico de referencia empleado para expresar numéricamente la

posición de un punto sobre el terreno. Cada datum se define en función de un elipsoide y

por un punto en el que el elipsoide y la tierra son tangentes.

Elevación o Cota: Distancia medida sobre un plano vertical, desde un plano tomando como

referencia (Usualmente el nivel de mar), hasta el punto considerado.

Superficie de Nivel: Superficie curva que en cada punto es perpendicular a la línea de una

plomada (La dirección en que actúa la gravedad), una masa de agua es el mejor ejemplo de

ello

Plano horizontal: Plano perpendicular a la dirección de la gravedad.

Nivel medio del mar: Altura promedio de la superficie del mar según todas las etapas de la

marea en un periodo de 19 años.

Banco de Nivel: Punto de referencia cuya elevación con respecto a un plano es conocida.

Se usa como punto de arranque o punto de cierre de una nivelación.

B.M.: Denominase así a un punto de carácter más o menos permanente, del cual se conocen

su localización y su elevación. Su cota, que ha sido determinada previamente por una

nivelación de precisión o adoptada arbitrariamente, sirve de base para efectuar la

nivelación.

Control Vertical: Serie de bancos de nivel u otros puntos de cota conocida que se colocan

para un trabajo de topografía.

Curvatura y refracción: En los trabajos de nivelación, es necesario considerar los efectos:

La Curvatura Terrestre

La Refracción Atmosférica

La línea horizontal que es tangente en G a una línea de nivel cercana a la superficie

terrestre. La distancia vertical existe entre la línea horizontal y la línea de nivel, esta es una

medida de la curvatura terrestre, y varía en forma aproximada con el cuadrado de la

distancia medida a partir del punto de tangencia. Considérese OA = R, que es el radio

promedio de la tierra. También considérese que c = ED, que es la corrección por curvatura

terrestre. Entonces,

𝑅2 + 𝐺𝐸2 = (𝑅 + 𝑐)2 = 𝑅2 + 2𝑅𝑐 + 𝑐2

𝐺𝐸 = 𝑐 ( 2𝑅 + 𝑐 )

𝑐 =𝐺𝐸2

2𝑅+𝑐 (1)

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Figura 2. Error por curvatura y refracción

Ya que c es muy pequeño comparado con R, una aproximación razonable de la curvatura

terrestre es:

𝑐 =𝐺𝐸2

2𝑅 (2)

Considerando un radio de 6371 Km., la corrección por curvatura es:

𝐶𝑚 = 0.0785 𝐾2 (3)

En donde K es la distancia desde el punto de tangencia en kilómetros. De esta forma la

corrección por curvatura para una distancia de 500 m. es de 2.0 cm.

Debido al fenómeno de la refracción atmosférica, los rayos de luz se refractan, se doblan

ligeramente hacia abajo. Este doblamiento de los rayos hacia el centro de la tierra tiende a

disminuir el efecto de la curvatura terrestre en un 14%, aproximadamente. GB representa la

línea de visual refractada, y la distancia BD representa el efecto combinado de la curvatura

y la refracción. Considerándose (c & r) = BD calculado a partir de la siguiente ecuación:

(𝑐&𝑟) = 0.0675 𝐾2𝑚 (4)

Pendiente (P) : Inclinación del terreno (De una línea) con respecto a la horizontal; se

indica en porcentaje (%) o como una magnitud angular:

20

100*Distancia

Desnivel(%) P (5)

Distancia

DesnivelTan (%) ArcP

Ejemplo:

Determinar la pendiente de un terreno si en una distancia de 135.80 m el desnivel medido

es de 7.25 m.

%34.5100*m 135.80

m 7.25P

´03º003135.80

7.25Tan ArcP

Desnivel: Distancia vertical o diferencia de nivel (Dn, ∆) entre dos puntos, se expresa

como:

Dn = Pendiente * distancia (Horizontal) (6)

Ejemplo:

Dada la pendiente de una vía de 8%, determinar el desnivel entre sus extremos en una

distancia de 40 m.

Dn = 0.08 * 40m = 3.20 m

Nivelación: Operación para determinar desniveles entre dos o más puntos. Que permite

determinar las elevaciones o alturas de diversos puntos, midiendo las distancias verticales

con referencia a una superficie de nivel cuya altura se conoce, y de esta manera se

determinar la elevación o cota de dichos puntos.

21

1.2. Medición directa e indirecta de distancias verticales

Las diferencias de elevaciones o desniveles pueden medirse utilizando los métodos

siguientes:

Nivelación directa: En la que se mide en forma directa las distancias verticales. El

método más preciso para la determinación de elevaciones es la nivelación directa y

es el que se utiliza con mayor frecuencia.

Nivelación indirecta o trigonométrica: Es el método para determinar la diferencia de

altura de la superficie terrestre con base en la medida de un ángulo de inclinación de

una visual, desde un punto a otro, conociendo la distancia entre ellos ya sea medida o

calculada si dicha nivelación está sobre puntos de una red planimétrica. Es importante

tener en cuenta la precisión de la función trigonométrica empleada.

Nivelación con mira: Es en la que se miden distancias verticales con estadimetría

vertical, utilizando el tránsito y la mira.

Nivelación baroaltimétrica: Es la determinación de las diferencias de alturas de los

puntos por medio de las mediciones de las presiones atmosféricas en estos puntos con

la ayuda de barómetros o altímetros. La presión depende también de las condiciones

atmosféricas, por lo que estas constituyen una fuente de error en la medida de la altura.

Es conveniente recalibrar el altímetro cada vez que se encuentre un punto de altura

conocido.

Otros tipos de nivelación

Nivelación astronómica: Tiene como objetivo determinar con base en la desviación de las

líneas de la plomada, las alturas del geoide.

Astrónomo-gravimétrica: Tiene por objetivo determinar las alturas de los puntos de la

superficie terrestre del cuasi geoide sobre el elipsoide de referencia con base en la desviación

de las líneas de la plomada y las anomalías de la fuerza de gravedad en el aire libre y en un

espacio limitado, por lo general a los largo de los itinerarios de nivelación.

Nivelación hidrostática: Es el método para determinar las diferencias de alturas de los puntos,

basados en el empleo de las características de los líquidos colocados en recipientes que se

comunican unos a otros.

Nivelación mecánica: Llamada también automática, es el método para determinar la diferencia

de altura de los puntos del lugar promedio de perfilógrafos, colocados en un automóvil; estos

equipos pueden dibujar automáticamente el perfil o solamente las alturas de los puntos. La

forma de trabajo de los perfilógrafos se basa en los centros mecánicos o en el empleo de

superficies horizontales de líquido. Esta nivelación se emplea en el terreno a gran velocidad de

nivelación, permitiendo obtener una precisión de algunos centímetros por kilómetro.

23

2. INSTRUMENTOS DE NIVELACIÓN

2.1. Glosario

Plano Vertical: Es todo aquel plano que contenga una línea vertical

Micrómetro: Es una herramienta para tomar mediciones más precisas, que las que pueden

hacerse con calibrador

Cenit: Punto del firmamento que corresponde verticalmente al lugar de la Tierra donde está

situado el observador.

Nadir: Es el punto diametralmente opuesto al Cenit. Punto que se encuentra bajo una recta

hipotética (debajo de los pies del observador).

2.2. Niveles

Instrumento que se componen básicamente de un anteojo giratorio colocado sobre un eje

vertical y se emplea para establecer un eje de puntería horizontal, de tal forma que se pueda

determinar diferencias de alturas y efectuar replanteos

La precisión de un nivel depende en principio, de la sensibilidad del nivel tubular y el

aumento del anteojo.

Diferentes clases de nivel (Burbuja)

Burbuja: Instrumento topógrafo-geodésico que sirve para reconocer que un plano es

horizontal o no; consiste éste en una ampolla de vidrio o plástico en forma de tubo curvado

(En arco de círculo), en el cual se encuentra un líquido muy móvil (Éter sulfúrico o con

alcohol), y contenido en una armadura metálica protectora a la que se sujeta con yeso. La

parte no ocupada por el líquido es una burbuja de aire, que siempre tiende a ocupar la parte

más alta del tubo, está generalmente graduada en una y otra dirección a partir de su punto

medio. De este modo, observando la posición de los extremos de la burbuja se puede calar

ésta, es decir, es posible conseguir que su centro coincida con el punto medio del tubo. La

armadura del nivel va fijada al instrumento por medio de tornillos, que permiten su corrección.

24

Nivel esférico: Es de base circular, siendo su superficie superior en forma esférica, también

denominado nivel ojo de pollo, universal y ojo de buey. Y se emplea para nivelar la base de

los equipos

Figura 3. Nivel esférico

Nivel tubular: Es de forma cilíndrica, el cual se encarga de colocar el sistema óptico en

posición horizontal.

Figura 4. Nivel tubular

Cuando mayor sea el radio de curvatura del tubo, mayor será la sensibilidad de la burbuja,

puesto que el desplazamiento de la burbuja por una inclinación del eje vertical será más

grande. Sin embargo, con una curvatura pequeña, el tiempo que se emplea para equilibrar la

burbuja es excesivo. El tamaño del nivel no es preponderante en función de su precisión.

Teoría del empleo de los niveles

Considerando plano el segmento del círculo medio de un nivel MGN (Figura 5a) , el centro de

la burbuja esta en G, el radio GO es vertical y tangente en G. TGT es horizontal.

Inclinando el nivel en su plano medio (Figura 5b) de un ángulo a la burbuja en B, punto

situado en la vertical de O. Está se desplazada en una longitud GB = L = α R.

Figura 5. Nivel de plano medio

25

Se puede determinar que:

1. Para un nivel de rayo de curvatura donde, el desplazamiento lineal L es proporcional al

desplazamiento angular a, en particular para una rotación 2α la burbuja se desplaza 2L.

Usaremos en adelante esta propiedad para el ajuste de los niveles.

2. Para un mismo desplazamiento angular α, el desplazamiento lineal es proporcional al radio

de curvatura; pues a más grande el rayo de curvatura, permite colocar más fácilmente en

evidencia un pequeño desplazamiento angular. El radio de curvatura caracteriza así la

precisión del nivel, más generalmente estos son dados por la variación angular fácilmente

descubiertos. Es decir estos corresponden a un desplazamiento lineal de una división.

Se llama sensibilidad del nivel al ángulo para el cual el desplazamiento de la burbuja en 2 mm

sea:

Radianes

𝜏𝑟 =2

𝑅 𝑚𝑚 (7)

Segundos sexagesimales

𝜏¨ =2 .206265

𝑅𝑚𝑚 (8)

Segundos centesimales

𝜏𝑐𝑐 =2 .600000

𝑅 𝑚𝑚 (9)

Ejemplo:

Se posee un nivel de precisión del cual no se poseen sus especificaciones y necesitamos

determinar la sensibilidad del nivel para evaluar su precisión, para futuros trabajos Para un

radio de 30 metros calcular la sensibilidad del nivel:

𝜏¨ =2¨. 206265

30000 𝑚𝑚

𝜏¨ = 13.75 ≅ 14¨

Figura 6. Corrección en la lectura de la mira

26

Con la distancia del instrumento a la mira (d) y la sensibilidad del nivel " podemos obtener la

diferencia (S) entre la lectura correcta y la obtenida con un error del desplazamiento de la

burbuja. Y corregir las lecturas sobre la mira.

𝑠 =𝑑 𝑚𝑚 .2 . 𝜏¨

206265 (10)

Ejemplo:

Durante una nivelación se observó que la burbuja había estado desplazada dos divisiones del

centro del tubo, en una visual de 100 m. Si el valor angular de una división es de 20",

encontrar el error de la lectura sobre la mira y el radio de curvatura del tubo siendo las

divisiones de 2mm.

𝑠 =10000 𝑚𝑚 . 4 . 20¨

206265= 38.78 ≅ 39 𝑚𝑚

𝑅 =2 . 206265

20¨= 20626,5 ≅ 20.63 𝑚

Determinación del radio de curvatura

La precisión del nivel está en función del radio curvatura, y es necesario ocuparse de la

determinación del radio para conocer la precisión de las medidas efectuadas y eventualmente

el límite de empleo del instrumento, este se puede determinar en:

1. Laboratorio (Fábrica).

2. Sobre el terreno, se puede determinar experimentalmente el radio de curvatura (O y O‘

orígenes):

Figura 7. Radio de curvatura

27

Se ubica el aparato en A, la burbuja entre las señales, se visa M sobre una mira situada a una

distancia OM = D. El desfase de la burbuja del nivel de una longitud AB corresponde a una

inclinación α, la óptica que corresponde del nivel a este plano de inclinación es α. La lectura

sobre la mira esta entonces en M'. En MM' = D tan α y AB = α R.

𝛼 =𝑀𝑀´

𝑂𝑀=

𝐴𝐵

𝑅 (11)

Ejemplo:

En una mira situada a 60 m, el desplazamiento de la burbuja es de 4 divisiones = 8mm y la

variación sobre la mira es de 20mm. Calcular el radio:

𝑅 =8 .60000 𝑚𝑚

20= 24000 = 24 𝑚

2.3. Aumentos

El aumento de un anteojo es la relación que existe entre la imagen de un objetivo a simple

vista y la imagen del mismo, visto a través del anteojo. Esta relación puede expresarse a través

de las distancias focales del objetivo y del ocular así:

)12( f

f A

oc

ob

La relación de estas cantidades dará el poder de amplificador, el cual se expresa en diámetros

(Dioptrías) o multiplicación X.

2.4. Niveles de precisión óptico mecánico

2.4.1. Nivel dumpy

En este, el telescopio y su eje vertical están modelados en una sola pieza. La cabeza de

nivelación consta de dos placas; el telescopio está montado en la placa superior y la inferior

atornillada de manera directa sobre el trípode.

Figura 8. Nivel dumpy

28

2.4.2. Nivel Basculante

En este nivel el telescopio no está unido de manera rígida al eje vertical, sino que puede

inclinarse ligeramente en el plano vertical alrededor de un eje localizado debajo del

telescopio. Este basculamiento está controlado por un tornillo de movimiento, fino ubicado

en el extremo ocular, y la burbuja se lleva al centro de su recorrido en cada lectura sobre la

mira.

Figura 9. Nivel basculante

2.4.3. Nivel de placa plano paralela

El micrómetro de placa plano paralela es un aditamento practico y de fácil manejo para el

aumento considerable de precisión, donde d es la distancia que se mide con la placa.

Figura 10. Esquema de la placa plano paralela

Sencillamente se enchufa sobre el anteojo del instrumento

Se desplaza la cruz del retículo sobre un centímetro entero y se leen los centímetros en

la mira los milímetros

Y las decimas de milímetros en el micrómetro de la placa plano paralela.

29

Como lo muestra el siguiente ejemplo:

Figura 11. Ejemplo de lectura

Lectura de la mira 133.000 cm

Lectura del micrómetro + 000.652 cm

Lectura total 133.652 cm

Figura 12. Nivel de precisión y placa plano paralela1

1 Laboratorio de instrumentos topográficos, Universidad del Quindío

30

2.4.4. Nivel Automático

Este tipo de instrumento permite el establecimiento de una línea horizontal por medio de un

sistema de prismas y espejos, que es un dispositivo compensador, en general basado en

sistema pendular dentro del telescopio, corrige el desnivel residual.

Figura 13. Nivel automático2

2.4.4.1. Compensador

Está compuesto por: un dispositivo que si el anteojo está perfectamente horizontal, la línea

de puntería horizontal de una mira hacia el centro del objetivo atraviesa la óptica del

anteojo al centro de la retícula. Asumimos que el telescopio está ligeramente inclinado y

todas las partes ópticas están fijadas a éste rígidamente. En este caso una línea de puntería

horizontal proveniente de la mira no llegará al centro de la retícula, sino a un punto superior

o inferior, respectivamente, del trazo horizontal de éste. La finalidad del compensador es

corregir esta desviación, esto se puede realizar por medio de un péndulo con prisma el cual

a su vez varia a una inclinación controlada en la dirección opuesta al anteojo, así que el

rayo horizontal siempre pasará a través del centro de la retícula.

Figura 14. Compensador

2Tomado de Leica Geosystems AG Heerbrugg, Switzerland

31

2.5. Nivel digital

Alrededor del año 1990 aparecen estos niveles digitales, capaces de rastrear en forma

electrónica una mira codificada, eliminado así el riesgo de error humano en la lectura, y

permitiendo que los datos se recolecten de manera automática en una computadora o

registro electrónico de datos.

Se recomienda emplear un este instrumento en aquellos trabajos en los que se requiera

efectuar un número considerable de nivelaciones, ahorrando así hasta un 50% del tiempo.

Figura 15. Nivel digital3

2.6. Nivel láser

El nivel laser es un instrumento electrónico para topografía que sirve para determinar

nivelaciones en un plano horizontal (O una línea) mediante iluminación de la zona con una

línea laser generalmente montado sobre un trípode.

2.6.1. Nivel de plano o giratorio (Rotativos)

En este tipo de instrumento, el rayo láser giratorio hace un barrido sobre un plano

horizontal, el cual se toma como referencia para calcular o controlar alturas tales como las

de las marcas establecidas.

En la mira se coloca un detector sobre el cual incide el rayo del láser con el que se toma la

lectura de altura, directamente de la mira; por lo tanto no es necesario que el topógrafo se

coloque en el punto de estación. (Tecnología one man)

Figura 16. Nivel laser de plano4

3Tomado de Leica Geosystems AGHeerbrugg, Switzerland

32

2.6.2. Nivel láser de línea

Son iguales a los anteriores, pero sin elemento giratorio de haz, se utilizan para alineaciones

de tuberías y túneles, Suelen permitir la inclinación con pendiente controlada.

Figura 17. Nivel laser de línea5

2.6.3. Adaptador ocular láser

Es un dispositivo emisor láser que se puede conectar a otros instrumentos como niveles y

tránsitos. Sus aplicaciones principales son: Túneles, canales y en la industria.

Figura 18. Nivel laser de línea6

4 Laboratorio de instrumentos topográfico Universidad del Quindío 5Tomado de CST-Berger

33

2.7. Niveles de mano

Locke: Es un tubo que fija una línea de mira o visual, sin ningún dispositivo de aumento

(Algunos poseen aumento), por medio de un frasco de burbuja adherido a él. El observador

puede distinguir simultáneamente la mira y la burbuja, si acerca el instrumento a sus ojos.

No es un instrumento preciso pero es muy útil para tareas sencillas.

Figura 19. Nivel locke

Abney o Clisímetro: Es una variante del Locke, el cual está provisto de un pequeño frasco

de burbuja fijo a un semicírculo graduado, que gira alrededor de un eje normal al mismo.

Este dispositivo se usa para verificar pendientes.

Figura 20. Nivel abney

Figura 21. Clisímetro

Para estos instrumentos se recomienda visuales máximas de 10 metros con precisiones en

sus desniveles de 10 a 30 centímetros de acuerdo a la topografía del terreno.

6Tomado de AGL Headquarters

34

2.8. Instrumentos de verticalidad

Existen equipos para definir verticalidad cenit-nadir, de aplicación en la determinación de

verticalidad de edificios o torres y topografía de minas.

Figura 22. Plomada cenit-nadir laser 7

y accesorios

Las miras que se usan en trabajos ordinarios de nivelación son piezas seccionales y se

ensamblan ya sea de manera telescópica o mediante uniones abatibles que se unen en forma

vertical. La mayoría de los diseños se hacen en aleaciones de aluminio, aunque todavía

existen miras en madera.

Se emplea en la nivelación y en taquimetría, la mira es una de las herramientas de trabajo por

eso a ella al igual que al nivel le corresponden altas exigencias técnicas.

Puede ser:

Regularmente de 4 m de longitud, pintadas en franjas alternas negra y roja de 1m; divididas en

decímetros y éstos en centímetros, con numeración que permite leer el centímetro y por

apreciación, el milímetro (También puede venir graduada en pies).

Figura 23. Telescópica8

7 SOUTH SURVEYING & MAPPING INSTRUMENT CO,LTD. 8Tomado de Leica GeosystemsAGHeerbrugg, Switzerland

35

Figura 24. Mira invar de doble escala8

Las miras de precisión normalmente vienen en longitudes de 3.0, 1.75 y 1.0 m. El marco de la

mira se compone de aluminio, la cinta invar posee un coeficiente de dilatación de 1 . 10 -6 K-1

y está incorporada de manera protegida en el marco de la mira, donde queda sujeta con el

dispositivo tensor de resorte, con el fin de compensar la transmisión de variaciones de la

longitud del marco de la mira a la cinta invar. Bajo todas las influencias climáticas esta mira es

insensible a efectos de la humedad.

La precisión de la división de la escala de nivelación de estas es para algunas de 0.02 mm a

±0.5 mm

Figura 25. Mira de código de barras9

Comprobación

A. Determinar la curvatura de la mira, la flecha (Pandeo) no debe exceder los tres milímetros

para las miras de invar y para las mira normales de tres a diez milímetros.

9Tomado de Leica Geosystems AG Heerbrugg, Switzerland

36

B. Determinación de la longitud de un metro en la mira, solamente se realiza con ayuda de un

comparador realizado por el fabricante. Con un error Emc = 10 mkm a 15 mkm.

C. Comprobación de la correcta posición de las divisiones decimétricas, también se realiza con

la ayuda de un comparador especial, los errores no deben exceder los siguientes valores 0.1,

0.2, 0.5, 1.0 mm; correspondientes a las cuatro clasificaciones de nivelación.

D. Comprobación de colocación de la burbuja en la mira, se realiza de igual manera que en los

niveles.

E. Determinación de la diferencia de alturas de las E.

Límite de utilización de la mira En función de los aumentos (A) y de la lectura de la mira al milímetro, se pude determinar las

siguientes fórmulas que calculan las distancias (D) en metros, a las que se realizan las lecturas

respectivas.

Formula General:

D <6 . A (13)

Si deseo que el error máximo no supere 1 mm el límite de la distancia es:

𝐷 <6 .𝐴

2.5 𝑚 (14)

Sea acerca a:

𝐷 < 2.5 . 𝐴 𝑚 (15)

En nivelación se utiliza:

𝐷 < 6000 . 𝐴 . 0.0005 𝑚 (16)

Para estadimetría con mira vertical (Taquimetría) y lectura al cm en la mira

𝐷 < 𝐴 . 12 𝑚 (17)

ó

𝐷 < 𝐴 . 13 𝑚 (18)

37

Esto depende de las características ópticas del instrumento.

Nivel de la mira: Es un aditamento que sirve para indicar la verticalidad del estadal para

nivelación, también llamado enderezador de miras.

Figura 26. Nivel de mira10

Puntos de liga: Es una placa metálica o un clavo, que son partes útiles del equipo de

nivelación en el caso de trabajos en líneas con nivelación diferencial, ya que sirven como

objetos temporales estables en los cuales puede apoyarse la mira en los puntos de liga.

Vulgarmente es llamado sapo.

Figura 27. Puntos de liga10

Normas ISO: Para le evaluación de la precisión de los niveles se recomienda verificar los

procedimientos de las normas ISO 17123 parte 2, para los niveles láser rotativos las norma

ISO 17123 parte 6 y las plomadas ópticas la norma ISO 17123 parte 7.

Además la ISO 12858 normaliza entre otras miras, trípodes y plataformas nivelantes.

10Nedo GmbH & Co. KG

39

3. NIVELACIÓN SIMPLE

3.1. Glosario

Prisma: Es un objeto circular formado por una serie de cristales que tienen la función de

regresar la señal emitida por un equipo topográfico, para nuestro caso.

Altura instrumental:(AI) Elevación del plano de vista con respecto a un plano de

referencia asumida. Nótese que la altura instrumental no significa la altura del telescopio

sobre el terreno donde está armando el nivel.

Vista atrás: (V+) también llamado vista a espaldas o vista más; es una visual tomada sobre

una mira situada sobre un punto de elevación conocida para determinar qué tan alto está el

plano de vista sobre ese punto y establecer la altura del instrumento con respecto al plano

de referencia asumida.

Vista adelante: (V-) también llamado vista de frente o vista menos, es una visual tomada

sobre una mira colocada en un punto de elevación desconocida para determinar qué tanto

por debajo del plano de vista se encuentra ese punto, esto determina la elevación del punto

con respecto al plano de referencia.

3.2. Nivelación simple

Es aquella en que desde una sola posición del instrumento se puede conocer las cotas de

todos los puntos del terreno que se desea nivelar.

3.3. La regla de nivelación

Constituye el dispositivo más sencillo que permite medir las diferencias de altura. Una

regla de madera, cuya longitud es generalmente de alrededor de 3 m, se coloca horizontal

con ayuda de un nivel tubular; la distancia vertical entre esta regla y el punto del terreno se

puede medir entonces con ayuda de una mira.

Figura 28. Regla de nivelación

40

Estos dispositivos son sin embargo, imprecisos y su empleo se limita a distancias que

permiten leer, a simple vista, sobre la mira.

3.4. Nivelación con el prisma angular

Si coloca un prisma angular en posición horizontal, permite medir alturas con cierta

exactitud. La plomada de cordón aparece en el prisma como imagen horizontal AI de forma

que se puede apuntar a una mira de nivelación, lo mismo que con un nivel se realizan

lecturas de frente y de espalda.

Figura 29. Nivelación con el prisma angular

3.5. Con nivel de precisión

La diferencia de nivel entre dos puntos puede ser determinada de tres maneras diferentes:

3.5.1. Método del punto extremo

Se coloca el nivel por encima de uno de los puntos, por ejemplo, sobre el conocido punto

A y medimos la altura Ai del instrumento, o sea, la distancia entre el punto A del terreno y

el eje óptico del anteojo.

Se pone la mira de nivelación sobre el punto B y se realiza la lectura v+ (de frente).

Diferencia de nivel entre A y B, ΔH= + AI – V(+), ver Figura 30.

41

Figura 30. Método del punto extremo

Si colocamos el instrumento por encima del nuevo punto B y la mira sobre el punto, cuya

elevación hB es conocida, efectuamos la lectura V+ (de espalda) en la mira, con lo que

obtenemos la diferencia de altura entre A y B, ΔH = V(+)– AI, ver Figura 31.

Figura 31. Método del punto extremo, otro punto

Ejemplo

Desde el eje de una vía punto B (ver figura anterior) se necesita determinar la cota de una

obra de alcantarillado punto A, cota de A: 540.500 m, AI: 1.40 m y lectura sobre la mira

vista + es: 2.456. Calcular la cota de A.

ΔH = V(+) - AI = 2.456 - 1.40 = 1.056 m

CotaA = CotaB – ΔH = 540.500 – 1.056 = 503. 444 m

42

3.5.2. Método del punto medio

El instrumento se coloca entre los dos puntos, de manera que las dos distancias a ellos sean

más o menos iguales, pero sin preocuparse de que el instrumento se estacione en la línea

recta que une los dos puntos. La lectura V(+) (visual de espalda) es efectuada sobre la mira

colocada en el punto A; esta mira se transporta en seguida al punto B donde a su vez se

hace la lectura V(-) (Visual de frente), la posición del instrumento no ha sufrido ninguna

modificación durante este tiempo.

La diferencia de nivel es por consiguiente: ΔH = V(+) – V(-), ver la siguiente Figura 32.

Figura 32. Método del punto medio

Ejemplo:

En una proyecto urbanístico se necesita determinar el desnivel entre dos ejes de vías, punto

A y B, figura anterior, para ello se tomó desde un punto equidistante ha Ay B, las

siguientes vistas + y vistas -, V(+) : 1.908, V(-) : 1.504. Calcular el desnivel.

ΔH = V(+) – V(-) = 1.908 -1.504 = 0.404 m

3.5.3. Detrás de los puntos

El terreno impide estacionar el nivel sobre ninguno de los dos puntos ni entre ellos, pero

existe la posibilidad de estacionarlo detrás de los puntos A o B.

43

Efectuamos la lectura (de espalda) en la mira situada sobre A y seguidamente la lectura V(-)

(de frente) en B. Se calcula la diferencia de nivel entre A y B, ΔH = V(+) – V(-)

Figura 33. Detrás de los puntos

Ejemplo:

Para el trazado de un acueducto rural se necesita conocer el desnivel entre los puntos A y B

(ver figura 33), pare ello se toma los siguientes datos de campo V(+) : 3.008, V(-) : 1.201.

Calcular el desnivel.

ΔH = V(+) – V(-) = 3.008 -1.807 = m

45

4. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

4.1. Glosario

Vista intermedia: Visual tomada sobre la mira colocada en un punto para determinar su

elevación o establecerlo una cota dada. La característica distintiva de un punto intermedio

es que sobre él se dirige únicamente una visual, una vista menos.

Punto de Cambio: Un punto sobre el cual se toma una vista más con el objeto de

determinar la altura instrumental. La característica distintiva de un punto de cambio es que

sobre él se dirigen dos visuales; una vista menos desde una posición del nivel y una vista

más, de la siguiente posición.

Refracción: Es el cambio de dirección que experimentan los rayos luminosos al pasar de un

medio a otro en el que se propagan con distinta velocidad

Paralaje: Es la desviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo del

punto de vista elegido.

Perfil: Es una representación del relieve del terreno que se obtiene cortando transversal o

longitudinal las líneas de un mapa de curvas de nivel, o mapa topográfico.

4.2. Nivelación geométrica

También llamada nivelación por alturas, consiste en determinar la diferencia de altitud

entre los puntos observados, realizando visuales horizontales dirigidas a miras verticales.

4.3. Nivelación diferencial

Es la que tiene por objeto determinar la diferencia de nivel entre dos puntos, generalmente

bancos de nivel.

Si la distancia que separa dos puntos A y B es considerable, la diferencia de altura entre los

mismos se determina nivelando varios tramos.

Se toma las distancias aproximadamente iguales entre el instrumento y las dos miras, con

esto se eliminaría cualquier error en las lecturas debido a la curvatura terrestre y a la

refracción atmosférica.

46

El procedimiento es el siguiente:

1. Coloque el instrumento en el punto S1.

2. Coloque la mira completamente vertical en el punto A, tome la lectura y regístrela

(lectura atrás V+).

3. Gire el instrumento y coloque la mira en el punto 1 sobre una placa, estaca o marca

en el terreno. Tome la lectura y regístrela (lectura V-).

4. Coloque el instrumento en el punto E2 (la mira deberá permanecer sobre el punto

1).

5. Gire con cuidado la mira sobre el punto 1, de manera que mire hacia el instrumento.

6. Tome la lectura de la mira y continúe el mismo procedimiento hasta el punto B.

7. La diferencia de altura entre los puntos A y B es igual a la suma de la lectura atrás

(V+) y la suma de la lectura adelante (V-).

Figura 34. Nivelación diferencial

A continuación se presenta el modelo de cartera para esta nivelación:

47

Modelo de cartera

Tabla 1. Nivelación diferencial

Nota: los números que aparecen en negrilla son los datos de campo

Cálculos

Altura instrumental.

AI = Cota del punto + Vista (+) (19)

Cota del nuevo punto

Cota del nuevo punto = AI – Vista (-) (20)

Este proceso se repite cuantas veces sea necesario.

La comprobación de los cálculos se realiza haciendo la suma de las vistas (+), la suma de

las vistas (-) y la diferencia entre ellas, esta se compara con la cota final menos la cota

inicial de la nivelación.

4.4. Nivelación geométrica radial

La nivelación radial consiste en una serie de nivelaciones simples por el punto extremo de

modo que se mantiene constante la posición del instrumento.

Pto V+ A.I. V- Cota

Bm1 1,572 1534,200 1532,628 Bloque Medicina U. Q. C#1 1,322 1534,122 1,400 1532,800 C#2 1,543 1534,314 1,351 1532,771 C#3 1,579 1534,411 1,482 1532,832 C#4 1,471 1534,151 1,731 1532,680 C#5 3,990 1536,846 1,295 1532,856

C#6 3,475 1539,798 0,523 1536,323

C#7 3,091 1541,848 1,041 1538,757

C#8 1,208 1541,495 1,561 1540,287

Bm2 1,430 1540,065 Bloque Ingeniería

∑ 19,251 11,814 1540,065

-11,814 -1532,628

---------- -----------

7,437 Comprobación 7,437

48

Este método es conveniente cuando se trata de efectuar la altimetría de una extensión

limitada de terreno muy plana, de modo que la mira se sitúa sucesivamente en cada punto

que se trata de definir; la estación debe estar situada en el interior de la zona.

La limitación de este método radica en que:

En los puntos más bajos que el punto de estación, sólo podrá haber una diferencia de nivel

máxima igual a la altura de mira menos la del instrumento.

En los puntos más altos será igual a la altura del instrumento.

A veces se lleva a cabo al mismo tiempo la planimetría y la altimetría con un nivel provisto

de círculo horizontal.

4.5. Nivelación para obtener un perfil

La nivelación de perfiles longitudinales es la determinación de elevaciones, de puntos del

terreno a intervalos regulares a lo largo de una línea dada.

Suponiendo que ya se ha efectuado el trazado sobre el terreno con estacas cada 10 metros,

el topógrafo determina primero, la altura del instrumento, el cual deberá instalarse

convenientemente cerca del trazado. En seguida, se hacen lecturas hacia adelante con la

mira sobre el terreno, en cada estaca y en los puntos intermedios donde ocurra un cambio

notable en la pendiente de dicho terreno.

Puesto que estas lecturas de la mira sobre el terreno se efectúan únicamente para fines de

dibujo y no para determinar elevaciones de los bancos de nivel, se toma solo lectura hasta

el centímetro, así pues, todas las elevaciones de las estaciones del terreno se calculan

también hasta el centímetro.

Figura 35. Nivelación para obtener un perfil

49

Modelo de cartera

Pto V+ A.I. V- VI Cota

Bm1 1,761 501,761 500,000 Mojón 1, B. Ingeniería

KO+190 1,54 500,22 UQ

C#1, K0+195,20 3,987 504,733 1,015 500,75

KO+200 0,73 504,00

C#2, Ko+209,45 2,907 506,966 0,674 504,059

KO+210 1,49 505,48

KO+220 1,04 505,93

KO+230 0,14 506,83

c#3, KO+240 3,921 510,787 0,100 506,866

Bm2 2,630 508,157 Mojón 2 B. Medicina

U.Q.

12,576 4,419 508,157

-4,419 500,000

8,157 ← Comprobación → 8,157

Tabla 2. Nivelación para obtener un perfil


Cálculos

Altura instrumental.

AI = Cota del punto + Vista (+) (21)

Cota de la vista intermedia

Cota VI = AI – VI (22)

Cota del nuevo punto

Cota del nuevo punto = AI – Vista (-) (23)

4.6. Nivelación recíproca

Consiste en una nivelación doble, estacionando sucesivamente en A y B, y tomando

lecturas a la mira en estos puntos.

50

Para eliminar los efectos del error residual (e) y los efectos de la esfericidad y la refracción,

se aplica el método de estaciones recíprocas, duplicando el número de estaciones, con ello

se mejora la precisión.

Figura 36. Nivelación reciproca

Sean A y B los puntos cuyo desnivel se quiere determinar, se efectúa en primer lugar la

observación desde A a B, situación (a), por el método del punto extremo. Tenemos una

visual que corta a la mira en B’, con un error residual del nivel (e), que causa un error t en

la lectura mira B (mB)

En este caso el desnivel ΔHBA , vendrá dado por:

ΔHBA = iA – (mB – t) (24)

Se realiza otra observación invirtiendo las posiciones relativas del aparato y mira (situación

b) y el desnivel en esta ocasión, A

ΔHBA = iB – (mA – t) (25)

Los desniveles corresponden a las direcciones directa y recíproca, por lo que tendrán signos

contrarios. Para promediarlos se deben restar, por lo tanto el desnivel final, promedio de

ambos valores, será:

∆𝐻𝐴

𝐵−∆𝐻𝐵𝐴

2= ∆𝐻𝐴

𝐵 (26)

Comprobamos que en este desnivel queda eliminado el termino t, es decir el error en las

lecturas como consecuencia del error residual que exista en el equipo

51

4.7. Nivelación con tres hilos

El método de nivelación con tres hilos, consiste en leer los tres hilos y comparan la

diferencia entre el hilo superior (HS) y medio (HM), con el hilo inferior (HI) y el hilo

medio para evitar equivocaciones. Otra forma es el promedio del hilo superior y el inferior

el cual debe ser igual teóricamente al medio. Con la lectura del hilo inferior y el superior y

la constate del nivel, podemos obtener la distancia de cada uno de los tramos observados,

para determinar la longitud total de la nivelación. Antiguamente se usó para nivelaciones

de precisión, pero no correspondía a las precisiones requeridas, por lo cual actualmente se

usa en nivelación de precisión ordinaria, y su gran ventaja es la posibilidad de no cometer

equivocaciones ya que permite la verificación de las lecturas, porque es el promedio de dos

observaciones por lo cual permite calcular las distancias de las visuales adelante, y atrás

para mantener un balanceo necesario y para el ajuste de redes o itinerarios de nivelación, da

la posibilidad de usar sus distancias en la obtención de pesos, para realizar los ajustes en

función de estas.

Figura 37. Nivelación con tres hilos

Cálculos:

Vista (+):

Vista (+) = (V(+) HS + V(+) HM +V(+) HI = / 3 (27)

Comprobación de la lectura:

Mira HS - HM = (V(+) HS - V(+) Hm) (28)

Mira HM - HI = (V(+) HM -V(+) HI) (29)

52

La diferencia entre ellas debe ser mínima.

Vista (-):

Vista (-) = (V(-) HS + V(-) HM +V(-) HI = / 3 (30)

Comprobación de la lectura:

Mira HS - HM = (V(-) HS - V(-) Hm) (31)

Mira HM - HI = (V(-) HM -V(-) HI) (32)

Modelo de cartera

Estación V+ Mira V- Mira Cota(m)

BMA 125.0400

0,762 2,289 0,727 0,035 2,191 0,098 0,7223 0,678 0,049 2,112 0,079 125,7623

2,167 6,592 -2,1973 0,7223 2,1973 C1 123,5650

1,146 2,152 1,085 0,061 2,118 0,034 1,0850 1,024 0,061 2,083 0,035 1,0850

3,255 6,353 -2,1177 1,0850 2,118 C2 124,6500

1,653 2,192 1,599 0,054 2,148 0,054 1,5987 1,544 0,055 2,082 0,056 124,1310

4,796 6,412 -2,1373 1,5987 2,1373 126,2683

Tabla 3. Nivelación con tres hilos


53

4.8. Métodos de comprobación

4.8.1. Nivelación y contranivelación: Es la realización de dos nivelaciones una de ida y

otra de regreso, puede ser por los mismos puntos o por otros caminos o puntos diferentes,

por lo cual es la nivelación más recomendable.

Es el único procedimiento considerado como método de evaluación de los resultados.

Figura 38. Nivelación y contranivelación, vista en planta

4.8.2. Doble punto de cambio: también llamado método de Cholesky, en este método se

hace le mismo procedimiento que la nivelación anterior, pero las dos nivelaciones se llevan

simultáneamente, y tiene en común la primera y la última lectura, se puede llevar en una

sola página o en páginas separadas para evitar equivocaciones.

Figura 39. Doble punto de cambio, vista en planta

54

Modelo de cartera

Estación V+ AI V- Cota (m) Estación V+ AI V- Cota (m)

Bm1 0,875 504,875 504,000 Bm1 0,875 504,875 504,000

C1 1,483 504,988 1,370 503,505 C1' 1,973 504,988 1,860 503,015

C2 0,732 504,570 1,150 503,838 C2' 1,938 504,576 2,350 502,638

Bm2 1,980 502,590 Bm2 1,980 502,596

∑ 3,090 4,500 4,786 6,190

∆: -1,410 ∆: -1,404

Bm2 -Bm1 -1,410 Ok Bm2 -Bm1 -1,404 Ok

Tabla 4. Doble punto de cambio

Los cálculos se realizan igual a la nivelación diferencial.

4.8.3. Doble altura instrumental: En este procedimiento las nivelaciones que se llevan,

quedan totalmente independientes, pues se van comprobando las diferencias de lecturas

entre los cambios consecutivos, por tanto no tiene en común ninguna lectura, como en el

caso anterior, se pueden realizar dos o más nivelaciones.

Figura 40. Doble altura instrumental, vista en planta

55

Modelo de cartera

Estación V+ AI V- Cota (m) Estación V+ AI V- Cota(m)

Bm1 0,875 504,875 504,000 Bm1 0,875 504,875 504,000

C1 1,483 504,988 1,370 503,505 C1' 1,973 504,988 1,860 503,015

C2 0,732 504,570 1,150 503,838 C2' 1,938 504,576 2,350 502,638

Bm2 1,980 502,590 Bm2 1,980 502,596

∑ 3,090 4,500 4,786 6,190

∆: -1,410 ∆: -1,404

Bm2 -Bm1 -1,410 Ok Bm2 -Bm1 -1,404 Ok

Tabla 5. Doble altura instrumental


Los cálculos se realizan igual a la nivelación diferencial.

4.9. Errores en la nivelación

4.9.1. Instrumentales

La línea visual no es paralela al tubo del nivel

La retícula de hilos no está exactamente en posición horizontal

Longitud incorrecta de la mira

Sensibilidad de la burbuja o del compensador

Las patas del trípode están flojas

4.9.2. Naturales

Refracción

Temperatura (Variación)

Viento

Curvatura terrestre

Asentamiento del nivel

Asentamiento de la mira

Asentamiento de los puntos de cambio.

4.9.3. Personales

La burbuja no centrada

Paralaje

Lectura a la mira defectuosa

Manejo de la mira.

56

4.10. Equivocaciones

Uso inadecuado de la mira

Colocar la mira en diferentes lugares para las lecturas positivas y negativas, en un

punto de cambio.

Leer una unidad más

Balancear la mira

Incorrecto registro de las observaciones

Mover el trípode durante el proceso de lectura.

4.11. Reducción de errores y equivocaciones

Para reducir los errores en nivelación se debe de tener en cuenta lo siguiente:

Verificar la burbuja del nivel antes y después de cada lectura, si el nivel es

automático verificar el compensador antes de iniciar el día de trabajo.

Usar nivel de mira.

Verificar las lecturas en la cartera, y los pequeños cálculos

Manejar iguales distancias hacia adelante y atrás.

4.12. Especificaciones

La nivelación se clasifica en tres órdenes de exactitud.

La clasificación y normas fueron elaboradas en Estados Unidos por el Federal Geodetic

Control Committee y fueron publicadas en 1974.

Orden Clase Error de cierre

máximo permisible

Primero I

II

4 mm √K

5 mm √K

Segundo I

II

6 mm √K

8 mm√K

Tercero 12 mm √K

Tabla 6. Norma de nivelación

Nivelación ordinaria (USACE11) 24mm √K

11US Army Corps of Engineers.

57

5. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Y

TAQUIMÉTRICA

5.1. Glosario

EDM: Es un instrumento electrónico de medición que calcula la distancia desde el

dispositivo hasta el siguiente punto al que se apunte con el mismo. También conocido por

sus siglas en inglés EDM, Electronic Distance Measurement.

Taquimetría: Es un método de medición rápida de no mucha precisión. Por medio de esta

se pueden medir indirectamente distancias horizontales y diferencias de nivel.

Etimológicamente significa medida rápida (origen griego)

Taquímetro: Instrumento que se utiliza para medir sobre un terreno los ángulos verticales ,

horizontales y las distancias entre sus vértices

5.2. Nivelación trigonométrica

Método altimétrico para determinar el desnivel de un punto respecto de otro, midiendo la

distancia cenital o el ángulo de pendiente de la visual, junto con la distancia entre ambos

puntos.

En la Figura 41 se observa la situación más común: la visual es corta, se conoce la distancia

horizontal D. y el ángulo vertical α se midió con un tránsito o teodolito.

La altura del telescopio sobre el punto A se representa por i, y se lee el ángulo vertical a un

punto situado a una altura o sobre la estación B.

El desnivel está dado por la siguiente expresión:

oiDAB Tan (33)

58

Cuando las visuales de son de más de 450 metros, se aconseja tomar en cuenta los efectos

de curvatura y refracción al calcular la altura

Figura 41. Nivelación trigonométrica

Si la distancia es mayor a 450 m, como en la Figura 41, aunque no se muestra la altura del

instrumento, i, ni del objeto o. Los efectos aislados de la refracción y de la curvatura se

designan con hry hc respectivamente.

Figura 42. Efectos de la refracción y curvatura

59

En todos los casos debe evaluarse la C y R e incluirse en la ecuación, así:

km)en K ( K 0.0675 Tan 2 oiDAB (34)

Nótese que hará un ángulo de elevación (Visual sobre la horizontal), el signo del término C

y R es positivo, en tanto que será negativo para un ángulo de depresión (Visual bajo la

horizontal).

Si la distancia inclinada, s, de A hacia B se hubiere determinado con un instrumento de

medición electrónica de distancia (EDM), el término principal de la altura en las ecuaciones

(33) y (34) sería:

S .sen α

Ejemplo:

La distancia horizontal entre dos puntos es de 1250.40 m, el ángulo cenital es de 86º 38`,

con la altura del telescopio igual a la altura de la mira. Calcule el desnivel entre A y B.

Angulo vertical = 90º - 86º 38´=3º 22`

D tan α = 1250.40 * 0.058827 = 73.56 m

C y R = 0.0675 K2 = 0.0675 (1.2504)2 = +0.11 m

Desnivel = 73.67 m

60

5.3. Nivelación estadimétrica (Taquimétrica)

Este tipo de nivelación se realiza con un taquímetro (Transito con hilos estadimétricos), se

determina las posiciones horizontal y vertical de cada punto visado.

El procedimiento a emplear consiste en leer en cada posición de la mira:

Los tres hilos (Hs : Hilo superior, Hm: Hilo medio, Hi : Hilo Inferior)

El círculo Vertical ( Z: Angulo cenital, α: Angulo Vertical)

El círculo horizontal, se utiliza para determinar la posición planimétrica.

La altura instrumental (i)

La altura observada (o)

Figura 43. Nivelación taquimétrica

Se calcula la diferencia de elevación con la siguiente expresión:

2Sen sK 2

1 DE + (i – o) (35)

61

Ejemplo

Con un tránsito en un punto A, se lee la mira a un punto B, se necesita determinar la cota

de B y la distancia AB para el trazado de una red eléctrica así:

Hs: 2.620 m Hm: 2.32 m Hi: 2.02m

Angulo vertical: -18º 34´

Angulo Horizontal: 47º 18´

K =100

s = Hs- Hi = 2.620 - 2.020 = 0.60 m

DH = K S cos2α = 100 * 0.60 * Cos2(-18º34´) = 53.92 m

DE = K S Sen 2α= 100 * 0.60 * Sen ( 2 * (18º 34´)) = -18.11 m

63

6. NIVELACIÓN BAROMÉTRICA

6.1 Glosario

Presión atmosférica: Es la fuerza por unidad de superficie que ejerce el aire sobre la

superficie terrestre. La presión atmosférica en un lugar determinado experimenta

variaciones asociadas con los cambios meteorológicos y varía según la latitud.

Altitud: Es la distancia vertical a un origen determinado, considerado como nivel cero, para

el que se suele tomar el nivel medio del mar.

6.2. Nivelación barométrica

Es la determinación de elevaciones mediante observaciones de la presión atmosférica, está

basada en el principio de que la presión ejercida sobre el observador por el peso de una

columna de aire decrece a medida que aumenta su altitud, sin embargo, la relación en la

presión y altitud no es constante porque el aire es compresible.

Además adicionalmente existen otros factores que, aunque no son tan importantes, también

influyen sobre la densidad del aire, como la son temperatura y la humedad.

Figura 44. Barómetro12

El altímetro topográfico de precisión es una versión mejorada del antiguo barómetro

aneroide. Es sumamente sensible a los cambios en la presión atmosférica, y de operación

sencilla, su graduación en metros o pies hace posible la lectura directa de la altitud.

El principio de medición sigue siendo el mismo: una membrana elástica al vacío (Caja

aneroide) se comprime o se dilata como consecuencia de las variaciones de la presión

12 Barómetro DELLA BORSA,

64

atmosférica o del lugar, estos cambios son transmitidos a la aguja por un mecanismo

apropiado y son indicados en la esfera.

La caja aneroide, el corazón de cada altímetro, se compone de dos membranas de una

aleación de cobre/berilio de alta calidad, las dos mitades están soldadas al vacío por medio

de un haz de electrones. Los movimientos provocados en las cajas aneroides por las

variaciones de presión, son multiplicados 860 veces aproximadamente por un mecanismo

de alta precisión y transmitidos a la esfera para su presentación.

Figura 45. Altímetro13

En la nivelación barométrica pueden emplearse varias técnicas para determinar diferencias

de elevación, en una de estas se deja un altímetro de control en un banco de nivel (Base) y

se lleva el instrumento móvil a los puntos cuyas elevaciones se desea determinar.

Los altímetros o barómetros, combinan varias funciones básicas y sirven principalmente

para determinar las altitudes absolutas sobre el nivel del mar, las diferencias de altitud y la

presión atmosférica, así como la nivelación de terrenos abruptos, en áreas extensas y

estudios exploratorios.

Figura 46. Altímetro digital14

13Altímetro Thommen 14 Altímetro Digital ManixHandheld

65

Los altímetros de alta precisión trabajan con GPS.

6.3. Métodos de empleo del altímetro

Esta nivelación se usa actualmente en topografía para el proceso de reconocimiento y

trabajos de muy poca precisión.

6.3.1. Cuando se dispone de un solo altímetro

1. Se parte de un punto de cota conocida en un Bm, se toma la altura en el altímetro de este

Bm y se anota la hora y la temperatura en la que se hizo la observación.

2. Se lleva el mismo instrumento a otros puntos cuya cota se desea conocer y en cada una

de ellos se anota la altura, la hora y la temperatura.

3. Se regresa al punto inicial y de nuevo se toma la altura, el tiempo y la temperatura.

4. Debido a cambios en las condiciones atmosféricas, la lectura leída inicialmente no

concuerda por lo general, con la lectura del altímetro luego de tomar los otros puntos. Si

suponemos que las condiciones atmosféricas variaron gradualmente durante un lapso de

tiempo comprendido entre la lectura inicial y la final, podemos conocer la corrección que le

corresponde a cada lectura intermedia, pues se tiene la hora en que se hizo cada

observación.

6.3.2. Cuando se dispone de dos o tres altímetro

Conforme aumenta la altura, desciende la presión barométrica (Presión de aire) de la

atmosfera. Un altímetro mide la presión atmosférica y la elevación correspondiente se lee

directamente en el instrumento.

Las trasformaciones climatológicas normales determinan que a cualquier altura la presión

de aire cambie ligeramente durante el día, por esta razón, aun si el altímetro marca un

punto, la lectura de una elevación puede aumentar o descender en varios metros a lo largo

del día (Depende de la precisión del equipo)

Tales variaciones de presión deben medirse y tomarse en cuenta cuando se hace un

levantamiento con altímetro y se deben de seguir los siguientes pasos:

1. Para hacer una medición de este tipo, se necesitan tres personas, cada una con su

propio altímetro (Todos exactamente iguales).

66

2. Se reúnen los tres altímetros y se colocan a la misma lectura de altura a la vez.

Generalmente con la cota de un punto conocido, es muy importante tener en cuenta

la precisión de la lectura.

3. Uno de los auxiliares traslada su altímetro al punto más alto fijado para la medición

y el otro auxiliar al punto más bajo y se toman los datos.

4. Ambos auxiliares permanecen en las posiciones durante todo el tiempo que dure el

estudio, y a intervalos regulares (Cada 10 o 15 minutos), registran las lecturas de

elevación de los altímetros y la hora.

5. El topógrafo transporta el tercer altímetro a lo largo de la ruta de medición, las

distancias sobre el terreno se miden con una cinta o se toma de un mapa y en cada

punto el topógrafo registra altura y hora. (en algunos casos la temperatura)

6. Más adelante, con los cambios de presión registrados por los altímetros fijos, las

lecturas del topógrafo pueden irse ajustando hacia las elevaciones correctas.

7. Aunque necesariamente no tendrá la misma exactitud, este tipo de medición puede

hacerse con dos altímetros: Uno fijo a elevación intermedia (También puede ser un

Bm inicial) de la ruta o un Bm, mientras el topógrafo porta el otro.

8. Este tipo de levantamiento es el más sencillo de efectuar, y la exactitud solo estará

limitada por la exactitud de los altímetros.

Este procedimiento para determinar las alturas es impreciso, sin embargo, cumple con los

requisitos para determinar la altura en relación con otros puntos y ajustarla. Algunos GPS

tiene altímetros por eso se considera que el futuro de estos instrumentos será muy cortos.

Ejemplo:

En la urbanización Bulevar en las Villas se toma la información con un altímetro, por un

topógrafo y dos auxiliarles obtenido los siguientes datos

Calibración de los tres altímetros en el punto de control

Punto de Control (m)

Topógrafo 1 1279

Auxiliar 1 2 1279

Auxiliar 2 3 1279

67

Toma de datos de los auxiliares en los puntos más altos y más bajos durante 40 minutos, se

calculó la media de las observaciones.

Tiempo en minutos

Puntos 10 20 30 40 Media (m)

Punto más alto A 1284 1285 1286 1284 1284,75

Punto mas bajo G 1263 1264 1264 1262 1263,25

El topógrafo toma diferentes puntos sobre una línea que son necesarios para realizar el

descole de alcantarillado.

Topógrafo A 1285

B 1280

C 1275

F 1271

G 1265

Se compara las medias de los puntos con los observados por el topógrafo y se obtiene la

corrección para los puntos más alto y más bajo.

Punto A 1284,75 1285 -0,25

G 1263,25 1265 -1,75

Corrección Media: -1

Se aplica esta corrección a cada uno de los puntos observados por el topógrafo sobre una

línea.

Altitud medida

(m)

Corrección (m)

Altitud Corregida

(m)

Topógrafo A 1285 -1 1284

B 1280 -1 1279

C 1275 -1 1274

F 1271 -1 1270

G 1265 -1 1264

69

7. CÁLCULO Y AJUSTE DE NIVELACIONES

7.1. Glosario

Itinerario: Método que une dos puntos conocidos mediante una nivelación o poligonal.

Red: Se utiliza para definir a una estructura que cuenta con un patrón característico. En

altimetría está formada principalmente por desniveles y distancias horizontales.

7.2. Generalidades

Como se sabe siempre que se mide una cantidad física se cometen errores inevitables, el

caso de la medición de desniveles no es de ninguna manera una excepción, por lo que al

momento de expresar sus resultados se deben tomar en cuenta la ocurrencia de dichos

errores.

Aparentemente el cálculo de una nivelación es un conjunto sencillo de operaciones

aritméticas básicas, que finalmente nos pueden dar desniveles entre puntos determinados;

así de la figura 47 tenemos que ΔH no es más que el desnivel “observado” entre los puntos

A y B, pero, como todo trabajo topográfico este valor deberá ser suficientemente

verificado y compensado de acuerdo a las condiciones a cumplir o parámetros a satisfacer.

Figura 47. Nivelación

En todo caso el cálculo del desnivel entre dos puntos Bms15 será simplemente la diferencia

entre la suma de visuales hechas hacia atrás, con las visuales hechas adelante, según ya se

ha establecido en el capítulo cuatro, así pues, la diferencia entre dos Bms extremos, será la

suma algebraica de los desniveles entre los Bms consecutivos, donde los desniveles entre

los Bms (δs), hasta este punto se les considera como “observados”, aun cuando estos sean

resultado ya de un proceso previo.

15 Banco de nivel de precisión ó BM (Bench Mark)

70

Estos desniveles tendrán que ser ajustados, de acuerdo a los siguientes criterios que son

número de cambios y la distancia horizontal de los itinerarios.

A continuación se presentan tres casos posibles de conformación geométrica de trabajos de

nivelación y los ajustes que proceden.

7.3. Cálculo y ajuste de una línea

Se le llama línea de nivelación, a aquella que tiene un desarrollo abierto, ya sea ligado o no

en sus extremos con Bms preestablecidos, de hecho, pueden presentarse tres casos:

7.3.1. Línea sin liga alguna

Se utiliza cuando solo interesa conocer el desnivel entre dos puntos y no su altitud, en este

caso el único ajuste que procede, si se realizan observaciones redundantes, es el valor más

probable de cada una de ellas y con estas se calcula el desnivel.

7.3.2. Línea ligada en uno de los extremos

En cuanto a su tratamiento es similar al anterior, solo que en este caso es conocido el valor

de alguno de sus Bms extremos y entonces será posible conocer la altitud de todos los Bms

adicionales.

7.3.3. Línea ligada en sus dos extremos. (Itinerario)

En este caso, además de conocer los desniveles observados entre Bms, se conocen las

altitudes de los extremos, que permite establecer mayor cantidad de parámetros para que

sea posible, un ajuste.

Figura 48. Línea ligada en sus dos extremos

71

eH : Error de cierre (De acuerdo a la figura anterior)

Cota final Bm2 descorregida

j

jif HHH` (36)

Error de la línea o itinerario

ffH HHe `

(37)

j

j

jiH HHHe ` (38)

Compensación clásica

Distribución simple de los errores para los desniveles, n: número de desniveles.

n

eHH H

jj `

(39)

hjj en

jHH `

(40)

Compensación en función de las distancias horizontales

Errores de los desniveles

H

k

k

j

j eD

De

2

2

(41)

Desnivel Compensado

Hn

k

k

j

jj e

D

DHH

1

2

2

`

(42)

72

Cotas Compensadas

Hn

k

k

j

k

kj

k

Kij e

D

D

HHH

1

2

1

2

1

`

(43)

Ejemplo:

Ajustar la siguiente nivelación, de un proyecto urbanístico, a partir de los siguientes datos

de campo. Cota Bm1: 207.825, Cota Bm2: 201.371

Lado Desnivel (ΔH) Distancia (m)

Bm1 – E1 -2,173 102.5

E1- E2 -2,429 188.9

E2 – E3 0,785 93.2

E3 – E4 -1,647 41.6

E4 – Bm2 -0,975 215.0

Solución:

Se realizará el cálculo por los dos métodos expuestos anteriormente.

Se calcula la cota final descorregida del Bm2:

386.201`

439.6825.207`

`

f

f

j

jif

H

H

HHH

Error de la línea o itinerario:

015.0

371.201386.201

`

H

H

ffH

e

e

HHe

73

Compensación clásica, desniveles corregidos

Comprobación

Se calcula la cota final descorregida del Bm2, la que debe ser igual a la cota original de

Bm2

371.201`

454.6825.207`

`

f

f

j

jif

H

H

HHH

Compensación en función de las distancias horizontales

Se calculan los desniveles compensados

hn

k

k

j

jj e

D

DHH

1

2

2

`

mH

mH

mH

mH

mH

n

eHH H

jj

978.05

0.015--0.975

650.15

0.015--1.647

782.0 5

0.015-0.785

432.25

0.015--2.429

176.25

0.015--2.173

`

5

4

3

2

1

74

Tabla 7. Datos de una red

Comprobación

Cota del Bm2 : Cota del Bm2 Compensada

201,371 m : 201,371m

7.4. Cálculo y ajuste de circuitos

Se entiende por “circuito” figura 49, a la conformación de líneas de nivelación que inicia y

terminan en un mismo Bm.

Así teóricamente la suma algebraica de los desniveles deberá ser igual a cero, pero debido a

los errores, normalmente accidentales en esta etapa del cálculo, esto nunca ocurre, se

deduce entonces que es necesario ajustar o compensar los valores observados para cumplir

la condición establecida, lo que evidentemente repercutirá en el valor a priori calculado

para los Bms que conforman el circuito.

Figura 49. Circuito de nivelación

Lado Distancia Distancia2 Desnivel

Desnivel

corregido

Cota

compensada

(m)

Bm1 - E1 102,5 10506,25 -2,173 -2,175 205,650

E1- E2 188,9 35683,21 -2,429 -2,434 203,216

E2 - E3 93,2 8686,24 0,785 0,784 204,000

E3 - E4 41,6 1730,56 -1,647 -1,647 202,353

E4 - Bm2 215 46225 -0,975 -0,982 201,371

n

k

kD1

2

102831,26 -6,454

75

Error de cierre

n

j

jc He1

` (44)

Correcciones

cn

j

j

j

j e

D

DC

1

(45)

Desnivel Corregido

jjj CHH ` (46)

Ejemplo:

Calcular las cotas compensadas del siguiente circuito de nivelación.

Cota de N1: 278.28

Solución:

Itinerario Desnivel

Distancia

(m) Corrección

Desnivel

corrección

n1-n2 -1,371 3,7 0,002 -1,369

n2-n3 2,431 4,2 0,003 2,434

n3-n4 -1,628 3,5 0,001 -1,627

n4-n5 0,030 3,3 0,001 0,031

n5-n1 0,529 3,6 0,002 0,531

ec = -0,009 14,6 0,009 0,000

Comprobación

El mismo valor pero con signo contrario

Cotas compensadas

Itinerario

Desnivel

corrección

Cota

Compensada

n1-n2 -1,369 276,911

n2-n3 2,434 279,345

n3-n4 -1,627 277,718

n4-n5 0,031 277,749

n5-n1 0,531 278,280

La cota final igual a la cota inicial dada del punto n1

76

7.5. Cálculo y ajuste de redes

Se entiende por “red de nivelación” a sistema de líneas de nivelación vinculadas entre sí,

que conforman un conjunto de polígonos o mallas extendidas sobre la superficie del

estudio, constituyendo una estructura homogénea de puntos fijos altimétricos. Es el caso

más avanzado de un proyecto de nivelación y el más complejo de calcular, dado que se

tiene diferentes rutas alternativas para calcular el valor del Bms determinados.

7.5.1. Método de aproximaciones sucesivas

Este método consiste en ajustar cada polígono de la red con los valores corregidos para

cada itinerario cerrado, empleados en la corrección de los itinerarios colindantes; se repite

la operación para tantos itinerarios como sean necesarios para compensar los valores de las

cotas de toda la red. Dentro de cada polígono, el error de cierre se distribuye entre los lados

del mismo, proporcionalmente a su longitud.

Es aconsejable empezar por el polígono que tenga el mayor error de cierre y partir de este

en sentido horario o contra horario.

Para hacer más rápido el cálculo utilizando la fórmula 47, se remplaza por el porcentaje de

la línea nivelada en función del circuito, de la siguiente forma:

ce . %DC j (47)

Ejemplo:

Ajustar la siguiente red de nivelación

Figura 50. Red de nivelación

77

Solución:

Se determina el error de cada uno de los circuitos:

LADO Δ LADO Δ LADO Δ LADO Δ

AB 1,000 BD 2,182 CD -4,327 CE 3,712

BC 2,141 DC -4,327 DE 0,610 EA -0,567

CA -3,143 CB 2,141 DC 3,712 AC -3,143

-0,002 -0,004 -0,005 0,002

Como se puede apreciar, circuito que tiene más error es el CDE, por lo cual se inicia el

ajuste por este.

Itinerario Lado Distancia Ciclo I Ciclo II Ciclo III

Cerrado Km % Desnivel Corrección Des. Corr Desnivel Corrección Des. Corr Desnivel Corrección Des. Corr

CD 2,9 33 -4,327 0,001 -4,326 -4,325 0 -4,325 -4,325

CDEC DE 3,3 37 0,610 0,002 0,612 0,612 0,001 0,613 0,613

EC 2,7 30 3,712 0,002 3,714 3,712 0 3,712 3,712

Total 8,9 100 -0,005 0,005 0 -0,001 0,001 0 0

CE 2,7 35 3,714 -0,002 3,712 3,712 0 3,712 3,712

CEAC EA 2,8 36 -0,567 -0,001 -0,568 -0,568 -0,001 -0,569 -0,569

AC 2,2 29 -3,143 -0,001 -3,144 -3,143 0 -3,143 -3,143

Total 7,7 100 0,004 -0,004 0 0,001 -0,001 0 0

AB 2,8 37 1,000 0,001 1,001 1,001 0 1,001 1,001

ABCA BC 2,6 34 2,141 0,001 2,142 2,142 0 2,142 2,142

CA 2,2 29 -3,144 0,001 -3,143 -3,143 0 -3,143 -3,143

Total 7,6 100 -0,003 0,003 0 0 0 0 0

BD 3,1 36 2,182 0,001 2,183 2,183 0 2,183 2,183

BDCB DC 2,9 34 -4,326 0,001 -4,325 -4,325 0 -4,325 -4,325

CB 2,6 30 2,142 0,000 2,142 2,142 0 2,142 2,142

Total 8,6 100 -0,002 0,002 0 0 0 0 0

Con los datos obtenidos en el cuadro anterior y siguiendo los sentidos de la nivelación, se

calculan las cotas a partir de la cota del Bm A: 540.50

A: 540,400

AB -1,001

B: 539,399

BD: 2,183

D: 541,582

DE: -0,613

E: 540,969

EA: -0,569

A: 540,400

AC: -3,143

C: 537,257

79

8. REPRESENTACIÓN DEL RELIEVE

8.1. Glosario

Rotular: Poner un leyenda o inscripción.

Declive: Pendiente, inclinación del terreno o de una superficie.

Intervalo: Espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos.

8.2. Generalidades

Un plano o mapa topográfico es la representación en dos dimensiones (En un plano) y a

escala de una zona de la superficie terrestre o la representación mediante símbolos

adecuados, la configuración del terreno, llamado relieve, con inclusión de todos los detalles

correspondientes, como son obras civiles, montañas, corrientes de aguas etc.

La característica esencial de un plano topográfico es la representación del relieve, los

planos topográficos tienen multitud de aplicaciones como son: la preparación de proyectos

de ingeniería; en trabajos de campo para geógrafos, geólogos, agrónomos, topógrafos y

para todas las personas interesadas en obtener datos sobre el relieve y las pendientes de una

determinada zona.

Debido a que la esfera terrestre tiene una superficie geométrica no desplegable en una

forma plana, es imposible trasladarla a una superficie plana sin cometer errores. Históricamente el plano topográfico tiene sus primeros orígenes en lo que actualmente es el

territorio Iraquí, al sur de Bagdad, en plena Mesopotamia, se levantan las ruinas de la

ciudad sumeria de Nippur, centro genesíaco de la civilización universal.

En 1899, arqueólogos de la Universidad de Pensilvania que trabajaban en el lugar, hallaron

dentro de un jarrón de terracota, una variada colección de tablillas de arcilla, que integran

actualmente la importante colección Hermann Hilprecht de tablillas sumerias.

Sorprendentemente una de ellas, de 21 por 18 cm., tenía prolijamente dibujado el plano de

la ciudad.

Samuel Kramer, profesor de Asiriología de la mencionada universidad, dice al respecto que

este documento fue trazado unos 1500 años antes de J.C. con “la precisión y meticulosidad

que hoy en día se exige a un cartógrafo moderno”.

80

Se trata de un plano parlante, donde se señala con cifras muy precisas una veintena de

medidas topográficas. En él aparecen representadas las calles, palacios, templos, ríos y

canales, poniéndose énfasis en detallar el sistema de murallas que rodeaba la ciudad y sus

puertas de acceso, hecho que refleja la finalidad militar del documento.

Es notable la conservación de la escala, nos dice Kramer en su descripción del documento,

coincidiendo la gran mayoría de las medidas (Expresadas en sistema cuneiforme), con los

resultados obtenidos en el levantamiento de la ciudad realizado con base a los restos

hallados en el terreno, para ilustrar esto, diremos a modo de ejemplo que, el actual canal

Shatten-Nil, figura con un ancho de 4 gars sumerios, es decir 24 metros, medida que se

conserva en la actualidad.

Las distancias entre las puertas de acceso a la ciudad amurallada aparecen claramente

representadas en la carta, y en coincidencia con las obtenidas en la actualidad tras el trabajo

de los arqueólogos.

Resulta interesante señalar que la numeración sumeria se basaba en el sistema sexagesimal

donde el entero (O la unidad) se representaba por el valor 60 y la mitad (0.5) por 30, así la

medida 7.50 se expresaba en notación sumeria como 7.30.

Este sistema evolucionó, pero perduró en el tiempo, convirtiéndose en el que adoptamos

corrientemente hoy en día para dividir el círculo y la hora.

El hecho expuesto no hace más que demostrar que el origen de elementos esenciales a la

agrimensura como la mensura y la representación cartográfica se pierde en los tiempos y se

confunde con el origen de la civilización misma.

Pero, si se requiere extender la indagación del origen de la correlación entre la técnica

topográfica y el derecho civil, es necesario remitirnos al antiguo Egipto, donde resulta

consecuencia directa del concepto de propiedad privada imperante en esa civilización.

El procedimiento elegido para representar el terreno, debe reunir las siguientes condiciones:

1. Permitir encontrar la cota, aunque sea aproximada, de un punto cualquiera del terreno

representado en el plano.

2. Indicar las pendientes

3. Hacer resaltar las formas del terreno de la manera más expresiva posible.

El relieve del terreno puede representarse de varias formas:

81

8.3. Mapas en relieve

Es una representación del terreno en tres dimensiones con escala horizontal y vertical, que

en realidad constituyen una miniatura del terreno representado.

Los materiales empleados para su elaboración son plásticos, cartón, papel y es indudable

que el mapa en relieves es el más inteligible de todos los métodos representativos del

terreno; pero su uso está muy limitado por sus elevados costos y por el gran volumen que

ocupan.

Figura 51. Mapas de relieve o maqueta

8.4. Trazos

En lugar de definir el terreno por secciones horizontales, se puede definir por medio de sus

líneas de máxima pendiente, que como se sabe, son perpendiculares a las curvas de nivel,

tanto en el espacio como en sus proyecciones.

Se traza entre cada dos curvas de nivel o sus proyecciones cierto número de líneas de

máxima pendiente, limitándolas en las curvas y teniendo cuidado de no trazar las de

distinto nivel en prolongación unas de otras; borrando las curvas de nivel, se tendrá un

nuevo modo de representación, llamado trazos (ver Fig. 52).

Al mismo tiempo, variando el espesor de los trazos y su separación, se podrá establecer una

gama de tonos, de tal modo que cada tono indique una pendiente.

Para establecer prácticamente esta gama de tonos se ha imaginado el procedimiento

denominado ley de cuarto, según la cual, los trazos deben tener un grueso constante y la

separación de uno a otro debe ser igual a la cuarta parte de su longitud; pero tiene un

inconveniente de que en terreno muy llano, como la longitud de los trazos es muy grande,

los tonos serán muy pálidos y muy oscuros en regiones montañosas.

82

El procedimiento de trazos necesita el previo dibujo de curvas de nivel y, además recarga

mucho el dibujo, al cual hace perder claridad en la representación de la planimetría; esto

hace que no sea muy frecuentemente empleado en la elaboración de planos topográficos,

únicamente en mapas y croquis, en los cuales se precisa trazar matemáticamente las curvas

de nivel, y su objeto es sólo dar sensación de relieve.

Figura 52. Trazos

8.5. Sombras o iluminación

Este procedimiento puede fundarse en el principio llamado de la luz cenital, que consiste en

suponer que los planos están iluminados por la luz que cae verticalmente, o sea,

perpendicular al plano de comparación.

Por física se sabe que las partes horizontales serán las menos iluminadas, y la intensidad de

la luz irá disminuyendo a medida que la pendiente sea mayor.

Esta mayor o menor intensidad de iluminación puede indicarse por trazos que se junten más

en las partes más pendientes y dar tono más oscuro; o por tintas más o menos claras, según

sea mayor o menor la pendiente, basándose en las curvas de nivel que limitarán las zonas

de cada color.

Figura 53. Sombras

83

También puede emplearse este procedimiento suponiendo que el terreno es iluminado por

la luz oblicua dando un tono claro a las zonas que dan frente a la dirección de la luz y un

tono cada vez más oscuro al terreno que se opone a ella.

De forma general un mapa de sombras se usa para determinar la iluminación hipotética de

una superficie, los modelos de relieve sombreado indican desplazamientos del terreno

usando un efecto de sombra como resultado de la evaluación del aspecto y la pendiente en

relación con el ángulo del azimut del sol y su altitud alcanzada; esto se representa con

diferentes tonos en escala de grises que resultan en el oscurecimiento de un lado del

terreno, tales como colinas y cerros.

8.6. Curvas de nivel

El holandés Cruquius fue quien en 1729, empleó por primera vez las curvas de nivel, para

representar la forma del terreno y después en 1737, el francés Buache utilizó también estas

curvas con el mismo objetivo. La solución de problemas dependiendo de éstas, se debe

principalmente al francés Ducarla (1765).

Se llama curvas de nivel a una línea imaginaria cuyos puntos están todos a la misma altura

sobre un plano de referencia, pudiendo considerarse como la intersección de una superficie

de nivel con el terreno.

El concepto de línea de nivel puede entenderse fácilmente si nos imaginamos una represa;

si el agua está calmada, estará al mismo nivel en todos los puntos de la orilla determinando

así esta orilla una curva de nivel; si se hace descender el nivel de aguas en un metro, la

nueva orilla, determinará una segunda curva de nivel; y los descensos sucesivos del agua

resultarán en la formación de nuevas orillas y nuevas curvas de nivel.

Figura 54. Curvas de nivel

84

La representación del terreno, con todas sus formas, accidentes, tanto en su posición en un

plano horizontal como en sus alturas, se logra simultáneamente mediante las curvas de

nivel. Estas curvas se utilizan para representar en planta y elevaciones al mismo tiempo, la

forma o configuración del terreno, que también se llama relieve.

8.6.1. Características de las curvas de nivel

a. Todos los puntos sobre una curva de nivel tienen la misma elevación.

b. Cada curva de nivel se cierra en sí misma, puede ser dentro o fuera de los límites del

plano.

Figura 55. Perfiles y Curvas de nivel

c. Una curva de nivel que se cierra dentro de los límites de un mapa, indica, ya sea una

elevación o una depresión, cuando indica una depresión, esto se aclara con el símbolo

d. Las curvas de nivel nunca pueden cortarse entre sí, excepto donde existe un saliente en

voladizo, y debe haber dos intersecciones (Es un caso raro )

e. Sobre una pendiente uniforme, las curvas de nivel están igualmente espaciadas.

f. Sobre una superficie plana, son rectas y paralelas entre sí.

g. Donde las curvas de nivel están muy juntas, significa que el terreno es muy pendiente, si

están muy separadas, indican que el terreno es plano o poco pendiente.

h. La curva de nivel que pasa por cualquier punto, es perpendicular a la línea de máxima

pendiente en ese punto.

85

i. Dos curvas de nivel de la misma elevación no pueden unirse y continuar como una sola

línea.

j. No se puede dibujar una curva de nivel a través de una corriente de agua.

k. Las curvas de nivel forma una U o V al cruzar una corriente, el vértice de la letra señala

la dirección aguas arriba.

8.6.2. Clases

Las cuatro clases principales de curvas de nivel son:

Índice: Es una curva de nivel acentuada en espesor que indica un múltiplo del intervalo

de la curva de nivel.

Figura 56. Curvas índice

Intermedias: Son líneas que se muestran entre las curvas índices a intervalos indicados.

Suplementarias: Se trazan y se muestran a la mitad o a la cuarta parte del intervalo

indicado para las curvas de nivel básicas. Se usan para aumentar el relieve, al que no se

le agregaron los accidentes topográficos más importantes, tal como se había indicado.

Depresiones: Son líneas marcadas que delimitan las regiones de menor elevación que la

del terreno circundante, en estas curvas siempre se colocan las marcas en dirección a la

parte inferior del accidente.

8.6.3. Intervalo

La selección adecuada para un plano topográfico se base en:

1. La precisión deseada en las elevaciones que se leen en el plano.

86

2. Los rasgos característicos del terreno.

3. La legibilidad del plano.

4. El costo

8.6.4. Precisión

La precisión con que las curvas de nivel representan al terreno depende de:

1. La exactitud y precisión de las observaciones

2. El número de observaciones

3. La distribución de los puntos localizados

8.6.5 Valores de las curvas de nivel

1. Los valores de las curvas de nivel ofrecen un medio conveniente para leer las

elevaciones representadas por las líneas de las curvas. Su cantidad y ubicación depende

de la naturaleza y configuración del terreno, densidad de las curvas de nivel y cantidad

de puntos de control y elevaciones acotadas.

Las áreas montañosas de topografía compleja requieren un número mayor de valores de

curvas de nivel que las de terrenos bajos.

2. En la mayoría de los casos es necesario rotular solamente las curvas índices, sin

embargo, en zonas planas se rotulan las intermedias muy separadas para facilitar la

interpretación del terreno.

3. Los valores de las curvas de nivel se centran en los ejes de las líneas y no se ubican muy

cercanos a los puntos de control horizontal y vertical o elevaciones acotadas, además se

deben eludir casas etc.

4. Cuando se rotulen las curvas de nivel, se ubicarán series de números en forma tal que

progresen en curvas suaves hacia la mayor elevación, evitando una apariencia mecánica

o demasiado regular.

5. Los valores de curvas de nivel resultan más eficaces cuando se ubican en los en los

declives, casi al final de los contrafuertes o estribaciones, a los costados de las salidas y

cerca de cambios pronunciados de topografía. En ningún caso se ubicarán los valores en

series a ambos lados de cualquier colina, tratando de evitar siempre el aspecto del reflejo

de un espejo.

87

6. Se debe distribuir a través de la hoja del plano, las series de valores de curvas de nivel

para que la persona utilizando el plano pueda determinar la elevación sin tener que

buscar demasiado los puntos de referencia. Cuando se rotulen las curvas que representan

formas principales del terreno, se repetirán las series de valores a distancias de 10 cm. a

12,5 cm. entre si teniendo en cuenta la escala.

7. Si el espacio lo permitiera, los valores de las curvas de nivel se añadirán a curvas

suplementarias y de depresión siempre que se puede mostrar.

8. Todas las líneas de curvas de nivel se omitirán a 0,5 mm de los valores de las mismas.

8.6.6 Relación entre la escala y la equidistancia

La diferencia de cotas o altitud entre curvas de nivel se denomina equidistancia vertical, en

función del plano, tipo de terreno y precisión altimétrica. Se presenta la siguiente tabla:

Escala Equidistancia (m)

1:500 0,25 a 0, 50

1:1000 1

1:2000 2

1:5000 5

1:10000 10

1:50000 20

1:100000 50

Tabla 8. Equidistancia curvas de nivel

8.7. Modelos digitales

La historia de los modelos digitales data de mediados de los 50, cuando en el Instituto

Tecnológico de Massachussets (MIT) aparecieron las primeras ideas sobre la

representación digital del terreno, inicialmente para trabajos de ingeniería en construcción

de carreteras y posteriormente en fotogrametría y topografía; llegando a ser la base

fundamental de los sistemas de información geográfico y topográfico

Es la representación numérica (El computador la presenta como gráfica) de la superficie del

terreno, la representación más corriente es la que se genera por medio de un conjunto

seleccionado de puntos (x, y, z) pertenecientes a la superficie considerada y por los

algoritmos de interpolación que permiten la recreación de su forma en una determinada

zona.

88

Figura 57. Modelo digital

Con el proceso de renderización aplicado en un modelo digital permite generar una textura

que acerca a este a al modelo real.

Figura 58. Modelo digital

Los modelos digitales se usan principalmente en:

Manejo y planeación de recursos naturales

Geodesia y fotogrametría

Topografía

Ingeniería civil

Aplicaciones cartográficas

Manejo y planeación de recursos naturales

Ciencias de la tierra

Sistemas de información geográfica

89

9. NIVELACIÓN DE SUPERFICIES

9.1. Glosario

Geomorfología: Es rama la geografía física que tiene como objeto el estudio de las formas

de la superficie terrestre enfocado a describir, entender su génesis y entender su actual

comportamiento.

Extrapolación: Es el proceso de estimar más allá del intervalo de observación original, el

valor de la variable en base a su relación con otra variable.

Autocorrelación: Se puede definir como la correlación entre miembros de series de

observaciones ordenadas.

9.2. Nivelación de superficies

Se utiliza para determinar la conformación de un terreno; se establecen las tres coordenadas

(Posición horizontal y elevación) de puntos que pueden estar ubicadas regularmente o

irregularmente.

9.3. Cuadrícula

Conjunto de puntos ordenados regularmente a distancias iguales, este es un método ideal en

terrenos más o menos planos, en especial si su área es pequeña y se marcan cuadros de 10

a 20 m por lado (De acuerdo con la precisión necesaria) en forma de retícula y se miden las

elevaciones en las esquinas, cada una de esta se marca con una estaca. Se registran las

lecturas de acuerdo a los ejes, si un accidente no coincide con uno de los vértices este se

localiza, posteriormente mediante un método de interpolación se dibujan las curvas de nivel

requeridas.

Los levantamientos así realizados permiten trazar perfiles precisos con ayuda de los cuales

es posible estudiar todos los proyectos.

90

Figura 59. Cuadrícula

En un trabajo de investigación en programa de Topografía de la Universidad del Quindío,

se hizo una análisis para terrenos planos y se obtuvo que la cuadricula ideal para este tipo

de terrenos es 8 m16

Modelo de Cartera

Pto V+ A.I. V- VI Cota

Bm1 1,761 201,761 200,000 Bloque Ing. U. Q. A1 0,890 200,871

A2 0,170 201,591 A3 0,540 201,221 B1 1,100 200,661 B2 1,550 200,211

B3 2,410 199,351

C1 0,140 201,621

C2 0,100 201,661

Tabla 9. Cuadrícula

16Lopez, Deybi A. y Vargas Edisson E. Determinación del error medio cuadrático por el método de la

cuadricula con cincos equipos. Universidad del Quindío. Armenia 2004. 161 págs.

91

9.4. Por distancias fijas a lo largo de un eje

Se determina la elevación de puntos a intervalos regulares, puede ser cada 5 o 10

m, a lo largo de un eje, luego en cada punto de los mencionados, se trazan

perpendiculares al eje y se va determinando la elevación de puntos sucesivos sobre

esta normal (Perpendicular al eje), a ambos lados, en sitios en donde su altura varíe

50 cm. a 1 m según la conformación del terreno y la longitud requerida.

Se determina la elevación de puntos según distancias verticales fijas (Localización

directa o cota redonda) se va ubicando puntos de cota redonda a lo largo del eje, en

cada punto se trazan normales y se procede como se mencionó anteriormente.

9.4.1 Cota redonda

Lo observado después de terminar su altura instrumental, se para en el punto de cota

conocida del eje, y se calcula lo que debe llevar en la mira para que éste quede colocado

sobre el punto de cota cerrada (De acuerdo con el intervalo escogido), entonces se ordena

que se vaya alejando la mira según la dirección de la sección, hasta que haga la lectura

calculada; se mide la distancia que se alejó de la mira, se anota, y se traslada al lugar donde

quedo la mira, de cota ya conocida, cerrada, y se procede de igual forma a buscar el

siguiente punto; pero de aquí en adelante ya serán sus lecturas constantes para localizar las

siguientes cotas cerradas. El procedimiento se sigue hasta llegar a la distancia que requiere

cubrir a ambos lados del eje. La ventaja de este método es que no requiere cálculos ya que

las cotas son obtenidas directamente en el campo.

Figura 60. Cota redonda

92

Modelo de Cartera

Tabla 10. Cota redonda

9.4.2 Cota por cambios de pendiente

Lo observado después de terminar su altura instrumental, se para en el punto de cota

conocida del eje, se proyecta esta altura y con el Abney se determina la pendiente, de

acuerdo a la configuración del terreno, se mide la distancia que se alejó de la mira, se anota,

y se traslada al lugar donde quedo la mira, y se procede de igual forma a buscar el siguiente

punto. El procedimiento se sigue hasta llegar a la distancia que requiere cubrir a ambos

lados del eje.

Figura 61. Cambios de pendiente

23,45 17,10 14,80 10,45 5,15 K0+020 15,63 18,78 26,15

89,75 99,00 99,25 99,50 99,75 99,90 100,00 99,75 99,50

13,90 13,75 11,20 8,40 K0+016,30 10.1 20,28 25,52 30,00 31,80 34,25

98,75 99,00 99,25 99,50 99,75 100,00 99,75 99,50 99,25 99,00 98,75

10,30 10,00 K0+010 10,00 32,10 42,10 40,50

99,25 99,50 99,57 99,75 100,00 99,75 99,50

K0+008.30

99,50

Talud 8,00 7,15 K0+000 15,40 23,80 30,00 46,70 49,80

99,00 99.25 99.44 99,50 99,75 100,00 99,75 99,50

93

Modelo de Cartera

24,56 17,10 14,80 K0+030 5,15 2,30 15,36 8,25 15,23

+18% +10% +8% 503,24 -5% - 7% -2% 0% +2%

14,75 12,25 11,36 9,20 K0+020 10.1 20,14 22,30 18,23 16,35 19,35

+22% +17% +10% +13% 502,8 -6% -8% -·3% +1% +4% +12%

10,85 10,25 K0+010 9,25 13,25 17,25 19,25

+20% +15% 500,78 -7% -8% -1% +2%

9,25 7,35 K0+000 14,25 15,23 17,00 15,23 19,25

+9% +12% 500,25 -6% -4% -8% -9% -!!%

Tabla 11. Cambios de pendiente

Los cálculos de cotas en función a la pendiente se realiza con las formula 5 del capitulo 1.

9.5. Nivelación por nube de puntos o puntos de quiebre

Se realiza con una estación total o tránsito como la nivelación estadimétrica, colocando el

prisma o la mira en los puntos en donde cambia la pendiente, también se puede realizar con

un nivel de precisión (Provisto de circulo horizontal) siguiendo el mismo criterio. Es muy

importante que el topógrafo tenga nociones de geomorfología para la determinación de los

puntos.

Figura 62. Nube de puntos con líneas de rotura17

17Aplitop S. L. Aplicaciones de Topografía e Ingeniería Civil. Málaga España.

94

La localización de algunos puntos fundamentales corresponde a divisorias, colectoras,

líneas de cambio de pendiente, línea de rotura, cimas y otra.

Se trazan así los ejes o líneas fundamentales que coinciden con la superficie del terreno, de

esta forma se obtiene una estructura que ayuda a realizar el croquis, insumo para elaborar

un plano de curvas de nivel (El modelo digital) otro elementos fundamental que debe ser

muy bien detallado son las líneas de rotura (Breaklines), las que constituyen cambios

bruscos en el modelado del terreno.

Figura 63. Triangulación y superficie resultante18

Modelo de Cartera

Estación Pto. visado Azimut Hilos LCV DH DE

1

1 142º58´20"

2,000 2,157

2315 90º59´42"

ÁI = 1.47 2 157º50´03"

2,000 2,139

2,278 91º02´40"

3 173º18´37"

1,700 1,839

1,978 90º43´55"

4 185º16´52"

2,000 2,095

2,190 91º36´25"

5 254º14´55"

2,000 2,063

2,125 88º12´38"

6 193º55´50"

2,000 2,147

2,295 91º31´56"

7 223º30´55"

2,000 2,176

2,352 92º14´30"

8 247º59´52"

2,000 2,114

2,228 91º24´35"

9 286º09´25"

1,700 1,743

1,785 91º16´40"

10 142º44´10"

2,300 2,474

2,648 91º27´09"

Tabla 12. Nube de puntos estadimetría

18Aplitop S. L. Aplicaciones de Topografía e Ingeniería Civil. Málaga España

95

9.6. Errores en la nivelación de superficies

Errores instrumentales, especialmente un error de índice que afecta los ángulos

verticales y cenitales.

Visuales tomadas a puntos de detalles muy distantes.

Errores en la lectura de los instrumentos.

Puntos de control demasiado distantes y mal seleccionados para cubrir

adecuadamente un área.

Control no fijado, verificado y ajustado antes de determinar la configuración.

Selección inapropiada de los puntos, para la ubicación o delineamiento de las curvas

de nivel.

9.7. Equivocaciones en la nivelación de superficies

Omisión de detalles topográficos.

Equipo o método insatisfactorio para el levantamiento en particular y para las

condiciones del terreno.

Lecturas del instrumento y registro de datos.

Tomas de muy pocos o demasiados datos

Dejar de comprobar periódicamente la orientación, cuando se toman muchos datos

desde una sola estación.

9.8. Especificaciones de la nivelación de superficies

Nivelación por cuadrícula. ± 0.02 m

Nivelación por nube de puntos. ± 0,05 m

Nivelación por secciones. ± 0,05 m

Nivelación con tránsito: Estadimetría Vertical ± 0,10 m a ± 0,20 m

9.9. Interpolación de cotas

9.9.1. Interpolación

Es la estimación del valor de una variable en un punto a partir de otros datos próximos, se

entiende que el punto problema está dentro del rango de variación de los datos disponibles;

en caso contrario se habla de extrapolación.

La interpolación puede hacerse en un espacio de uno, dos o más dimensiones.

96

9.9.2. Interpolación grafica

Estima

El topógrafo coloca las curvas de nivel en el intervalo de acuerdo a su criterio,

generalmente apoyado en el conocimiento del terreno; este método es muy poco usado.

Proporciones

Midiendo a escala la distancia entre los puntos de elevación conocida, y localizando por

proporción los puntos de las curvas de nivel intermedias.

La Banda elástica

Usando una banda elástica, la cual se gradúa a una escala y estirándola para hacer que las

marcas convenientes caigan en los puntos de elevación conocida.

Escalímetro y regla

Utilizando una escuadra y un escalímetro, en la cual se hace coincidir la escala de

escalímetro con ayuda de una regla o escuadra.

Por ejemplo: suponiendo que se necesita trazar las curvas de metro en metro, obtendremos

los puntos que pasan por la recta 354,3 – 359.7, utilizando una escala aproximada y una

escuadra, haciendo coincidir la división 4,3 con el extremo de la recta de igual cota en sus

unidades y décimas (Aproximadas), situando la escuadra de modo que señale, en la regla, la

graduación del otro extremo; se hace girar la escala alrededor del extremo 4.3 sin perder la

coincidencia con el punto, hasta que el borde de la escuadra pase por el otro extremo de la

recta, haciendo ahora resbalar la escuadra por la regla hasta su coincidencia con las

graduaciones 9, 8, 7, los puntos en que la escuadra corte a la recta señalarán los pasos de

las curvas, iniciándose su trazado en la forma que corresponda, como se ve en la siguiente

figura.

Figura 64. Escalímetro y regla

97

Isógrafo

Consiste en varias rectas paralelas equidistantes que se gradúa como escala de alturas. Su

uso es simple; situado ahora el isógrafo sobre la recta que se trata de graduar, se mueve

hasta que las cotas de los extremo coincidan con la escala de alturas; los puntos de

intersección de la recta dada con las paralelas de isógrafo, son las cotas buscadas.

Figura 65. Isógrafo

Haz de rectas

Usando un dispositivo o plantilla de líneas convergentes, conocido como haz de rectas, que

puede ajustarse a que corresponda a la diferencia de elevación entre dos puntos

cualesquiera.

Figura 66. Haz de rectas

98

9.9.3. Matemática

Aritmética

Es la más precisa aunque muy lenta, pues para cada punto se establecen proporciones entre

la distancia y el desnivel como se ve a continuación

Se tiene dos puntos a y b a una distancia de 30 metros cuyas cotas son 104.25 y 106.39

respectivamente, se desea interpolar a una equidistancia de 1 metro, por consiguiente las

cotas a encontrar serán 105 y 106.

Calculo 105

Desnivel total = 106.39 - 104.25 = 2.14

Desnivel a 105 = 105.00 - 104.25 = 0.75

mxx

51.1014.2

75.0*30;

75.014.2

30

Calculo 106

Desnivel total = 106.39 - 104.25 = 2.14

Desnivel a 106 = 106.00 - 104.25 = 1.75

mxx

53.2414.2

75.1*30;

75.114.2

30

9.9.4 Estructura de datos

En forma muy breve se relacionan los métodos más usados para interpolar el tratamiento y

creación de planos de curvas de nivel y modelos digitales, tema que debe ser abordado en

otro documento19.

19 Garzón, Julián; Jiménez, Gonzalo.; Vila, José Joaquín “Introducción a los Modelos Digitales de Elevación

en Topografía”. Saarbrucken, Editorial académica española. 113p. 2012.

99

TIN

Es una estructura formada por triángulos irregulares, construidos mediante un ajuste

sucesivo de planos limitados por tres puntos cercanos no colineales entre sí, y se denomina

“Triangulated Irregular Network”

IDW

La interpolación del punto a determinar se realiza asignan pesos a los datos del entorno, en

función inversa de la distancia que los separa. “Inverse Distance Weighting”.

Splines

El método ajusta funciones polinómicas en una vecindad local, en general los resultados

son muy buenos, con la ventaja de poder modificar una serie de parámetros en función del

tipo de topografía.

Kriging

Diseñado para optimizar la interpolación mediante la división del espacio de variación en

tres componentes: una variación determinística, una autocorrelación espacial y análisis del

ruido en las estimaciones.

Mínima curvatura

Consiste en generar una superficie que pasa entre los valores de la variable con la mínima

curvatura posible y estableciendo un valor residual mínimo entre los datos y la superficie.

Generalmente se suelen utilizar estos métodos para suavizados de las mallas.

Los métodos de los vecinos más próximos (Nearest Neighbour)

Están basados en la obtención de los polígonos de Thiessen. Su construcción parte del

método de triangulación, una vez obtenidos los triángulos se trazan la mediatrices de unión

de los segmentos entre puntos, la unión entre estos puntos crea los polígonos, la

interpolación dentro de los polígonos se realiza de forma proporcional.

100

9.10. Evaluación de planos topográficos

El método más común de representación del relieve de un terreno es el mapa topográfico.

El cual se utiliza universalmente como material de partida para el cálculo de volúmenes de

tierra, con base en las curvas de nivel se interpolan las elevaciones de los vértices de figuras

elegidas como unidades de división de la superficie para calcular volúmenes, se determina

la forma de los perfiles para los cálculos de volúmenes por secciones y se calculan las áreas

de la superficies delimitadas por curvas de nivel durante los cálculos de volúmenes por

secciones horizontales.

Es importante llamar la atención con respecto a los errores contenidos en el dibujo de las

curvas de nivel del mapa. La posición de una curva de nivel en un mapa es el resultado de

toda una serie de procedimientos tales como el establecimiento y la medición de la red, la

medición tridimensional de los puntos del terreno, el cálculo de las coordenadas de los

puntos, la localización de los puntos sobre el mapa, la interpolación y trazado de las curvas

de nivel.

La precisión de la posición de una curva de nivel depende de la precisión de todos los

procedimientos indispensables para poderla representar en el mapa. En términos generales

el error de la posición de una curva de nivel es la suma de los errores accidentales y

sistemáticos de los procedimientos anteriormente mencionados, lo cual queda representado

gráficamente en el plano.

La forma más sencilla de realizar una medición de control es elaborar perfiles del terreno

localizados de tal manera que permitan obtener una información lo más completa posible

sobre la forma del terreno y sobre la precisión del plano topográfico.

Los perfiles deben realizarse perpendiculares a las curvas de nivel; sin embargo en terrenos

con altas pendientes, las condiciones de medición para un perfil a lo largo de la línea de

mayor pendiente no son apropiadas, en este caso hay que decidirse por desviar los perfiles

de la perpendicular a las curvas de nivel un ángulo tal que permita obtener condiciones

cómodas para la medición de control.

Los intervalos entre puntos del perfil deben elegirse de tal manera que se aseguren detectar

el error más pequeño en la representación del terreno.

La distribución de los perfiles de control debe permitir una representación óptima de todo el

terreno y una precisión suficientemente alta de las mediciones de control, la precisión debe

ser de un orden tal que los errores determinados con base en la medición de control puedan

ser asumidos como errores verdaderos, lo cual simplifica significativamente el análisis de

los resultados.

Por lo general se asume que la medición de control, debe ser un grado más alta que la

medición evaluada.

101

Después de realizada la medición y dibujadas las líneas de los perfiles en el plano se dibuja

el perfil longitudinal en papel milimetrado con las distancias del abscisado a escala del

plano, las alturas a escalas 1:50 o 1:20 (Figura 67).

Sobre este mismo dibujo se traslada un perfil a partir de datos tomados de las líneas de los

perfiles del plano, se determina gráficamente la diferencia entre las cotas de las abscisas de

control y la línea de los perfiles obtenida a partir de las curvas de nivel y entre las cotas de

las curvas de nivel y la línea del perfil de control anotando en centímetros los valores de las

diferencias.

Es importante distinguir las diferencias entre las cotas de las curvas de nivel y las líneas del

perfil de control de las demás diferencias, ya que esto facilita el cálculo del error medio de

las cotas de las curvas.

Figura 67. Perfil

Sucede también que para calcular el volumen de tierra se utilizan datos de mediciones

directas como en la forma de un conjunto de coordenadas de puntos determinados por nube

de puntos o cuadrícula. El control de un conjunto de datos de este tipo puede realizarse

también por medio de un perfil longitudinal, como en estos casos se dispone generalmente

de un computador, los resultados de la medición de control pueden calcularse

automáticamente interpolando las elevaciones de conjunto de puntos evaluados en los

puntos del perfil longitudinal y las cotas del perfil, en los puntos de intersección con las

rectas que unen los puntos evaluados. Estas últimas cotas pueden separarse para calcular los

errores de las cotas de los puntos evaluados, en cambio todas las diferencias servirán para

calcular los errores de representación del terreno.

Para una adecuada interpolación de las cotas es básica la unión de los puntos en el modelo

evaluado, con rectas de manera apropiada de acuerdo con el croquis de la medición.

102

Error medio del modelamiento del terreno

Para la determinación del error medio de modelamiento se toma εi - distancia entre la

superficie del terreno y el plano de la superficie topográfica, medida en el punto i con una

precisión que permite asumir esta distancia como un error verdadero; n - número de

distancias medidas.

mn

z

i

2

(48)

La distancias εi entre la superficie del terreno y un plano dado varían en un intervalo entre

0 y εmax donde εmax es la distancia máxima entre la superficie del terreno y el plano dado.

Error medio de las cotas de las curvas de nivel

El error medio de la altitud de la curva de nivel se determina de manera práctica con base

en una medida suficientemente precisa y se calcula a partir de la fórmula:

mr

lhw

2

(49)

Donde r - error verdadero de la curva de nivel, l - número de errores.

Error medio de la representación del terreno

Los datos numéricos obtenidos de los perfiles de control se someten a un análisis inicial y

se eliminan las equivocaciones; posteriormente se calculan:

(50)

Ejercicio

Calcular el error medio de representación del terreno. Se dibujan los perfiles del terreno y

de control, se miden o calculan las diferencias (Se recomienda usar una hoja electrónica

como Excel.)

Ln

rm

i

z

22

103

Error medio del modelamiento del terreno

Abscisa Cota Negra Cota verd V v2

0,00 1533,814 1533,824 0,010 0,0001

2,47 1534,222 1534,308 0,086 0,0074

5,00 1534,574 1534,600 0,026 0,0007

7,13 1534,871 1534,858 -0,013 0,0002

8,37 1535,150 1535,172 0,022 0,0005

11,96 1536,694 1536,547 -0,147 0,0216

15,85 1538,061 1538,197 0,136 0,0185

17,54 1538,419 1538,544 0,125 0,0156

20,38 1538,897 1538,942 0,045 0,0020

24,22 1539,130 1539,215 0,085 0,0072

28,04 1539,310 1539,391 0,081 0,0066

40,60 1539,970 1539,763 -0,207 0,0428

41,54 1540,313 1540,447 0,134 0,0180

42,18 1540,688 1540,840 0,152 0,0231

44,66 1541,800 1541,778 -0,022 0,0005

εi 0,16

mz 0,09

Tabla 13. Error medio del modelamiento del terreno

1532,000

1534,000

1536,000

1538,000

1540,000

1542,000

1544,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

CO

TA

PUNTOS

PERFIL

104

Error medio de las cotas de las curvas de nivel

Abscisa Cota Negra Cota verd V v2

1,34 1534 1534,087 -0,087 0,0076

8,80 1535 1535,380 -0,380 0,1444

10,35 1536 1536,129 -0,129 0,0166

12,83 1537 1536,907 0,093 0,0086

15,68 1538 1538,125 -0,125 0,0156

22,07 1539 1539,062 -0,062 0,0038

40,68 1540 1539,769 0,231 0,0534

42,83 1541 1541,086 -0,086 0,0074

εi 0,26

Mhw 0,18

Tabla 14. Error medio de las cotas de las curvas de nivel

Error medio de la representación del terreno

m

Ln

rm

i

z 11.0

22

105

10. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE

MOVIMIENTOS DE TIERRAS

10.1. Glosario

Geotecnia: Aplicación de principios de ingeniería a la ejecución de obras públicas en

función de las características de los materiales de la corteza terrestre

Planímetro: Es un aparato de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares. Este

modelo se obtiene con base en la teoría de integrales de línea o de recorrido.

Zanjas: Es una técnica que se hace cuando el terreno junto a un corte debe soportar cargas

a una cota superior a la del fondo de la excavación

Reservorio: Es un depósito a modo de recto generalmente. Para acumulación de agua

producida por una obstrucción en el lecho de un río o arroyo que cierra parcial o totalmente

su cauce.

10.2. Generalidades

Cuando se decide modificar la topografía de un terreno con el fin de adecuarlo para un

propósito determinado, es porque se conoce en detalle la geometría de esa porción de

superficie terrestre, las dos variables fundamentales de ésta son el área y el volumen.

Área: En topografía el área de un terreno se considera como la proyección ortogonal de la

superficie sobre un plano horizontal.

Para determinar áreas, se emplean diferentes métodos, entre estos el método de

coordenadas.

Volumen: Magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones:

largo, ancho y alto.

La medición directa de volúmenes, por lo regular no se efectúa en topografía, ya que es

difícil aplicar realmente una unidad de medida al material por cubicar, en su lugar se

emplean mediciones indirectas determinando líneas y áreas que tengan relación con el

volumen deseado.

106

10.3. Características generales de los movimientos de tierra

Se denomina movimientos de tierra a todos los trabajos en construcción, relacionados con

la elaboración de obras en tierra las cuales se dividen en permanentes y transitorias.

Algunos ejemplos de obras en tierra permanente son:

Vías

Canales

Presas

Adecuación de tierras para obras civiles y agricultura

Adecuación de tierras para lagos artificiales (Reservorios)

Entre los movimientos de tierra transitorios:

Excavaciones para diferentes tipos de obras por ejemplo: edificios, puentes, presas,

torres de alta tensión.

Zanjas para instalaciones de redes de alcantarillado, acueducto, gas y otros.

La tecnología para los movimientos de tierra consisten básicamente en la extracción del

suelo por excavación, el transporte del material obteniendo al lugar de lleno y la

configuración de os rellenos de acuerdo con su destino.

La elección de la tecnología adecuada para los trabajos de movimientos de tierra depende

en gran medida de la propiedades y el tipo de suelo y de la magnitud prevista de los

volúmenes de la obras.

Las propiedades de los suelos influyen en el balance de los volúmenes de corte y lleno, ya

que no todos los suelos de una excavación sirven como material de lleno y parte de otros

suelos debe ser trasladada al sitio de la obra.

Un proyecto de movimientos de tierra puede dividirse en tres partes principales:

Cálculo de volumen.

Replanteo o localización.

Costos.

El cálculo de volúmenes se realiza varias veces en todas las fases del proyecto. En los

estudios de localización de la obra proyectada la magnitud de los movimientos de tierra es

tomada en cuenta como uno de los criterios para la elección del lugar.

Muchos topógrafos consideran los cálculos de volúmenes como procesos aproximados, el

grado aproximación a la realidad depende de tres factores que son: una modelación

topográfica de la zona del proyecto, análisis geotécnico y un cálculo de volúmenes. Si los

tres factores se cumplen con muy buena calidad los volúmenes no serían aproximados.

107

xAreahhh

Vol

3

321

10.4. Volúmenes por áreas en planta

10.4.1. TIN o método de Wilson

El diseño de Superficies está determinado por los límites del terreno y su volumen, este

espacio se subdivide en triángulos que a su vez forman prismas, el volumen de estos

primas es calculado con la siguiente fórmula:

(51)

Figura 68. Volúmenes TIN

Donde h1, h2, h3 representan la longitud desde la superficie real a la superficie a crear

(Plano de referencia), además del área (A) que es calculada con las coordenadas X, Y de

cada triangulo.

Método de Wilson usando Excel

1. Desplace el cursor sobre la letra A y con el botón derecho del ratón presionado

llévelo hasta la letra M presione el botón izquierdo del ratón y seleccione Ancho de

108

Columna Escriba el número 7 y marque Aceptar , con esto dejamos todas las columna

de la A a la M con un ancho de 7.

2. Marco una zona con el ratón desde A6 hasta M22, teniendo presionado el botón

izquierdo del ratón seleccione Formato, escoja Celda, escoja Numero y en Posiciones

decimales marque 2, presione Aceptar. Escriba lo siguiente:

Figura 69. Método de Wilson

3. Ubico el cursor en B12 y escribo la formula = (((A11+C11+A13)/3-$H$4)*$E$4^2/2

)+ (((A13+C11+C13)/3-$H$4)*$E$4^2/2)

4. Marco la Posición desde B12 hasta C12, Seleccione Copiar y marque una zona desde

D12 hasta M12 y presione el botón izquierdo del ratón y escoja pegar. Realizo el mismo

procedimiento de pegado en las columnas 14, 16, 18, 20. Obteniendo lo siguiente:

109

Figura 70. Método de Wilson cálculos

5. Me ubico en A7 y escribo Volumen, escojo el icono sumatoria y selecciono desde

B12 hasta B20 y presiono

6. Me ubico en B7 y marco hasta C7, selecciono Copiar y marco una zona desde D7 hasta

M7 y selecciono Pegar

7. Me ubico en K4 y escribo Volumen Total:

8. Me desplazo a M4 selecciono y marco desde B7 hasta L7 y presiono.

Nota: En caso de ser necesario amplio la columna M para ver el resultado

110

Figura 71. Método de Wilson cálculos parciales

9. Podemos calcular volúmenes con otra cota roja, por ejemplo 60 el calculará

inmediatamente el volumen

Figura 72. Método de Wilson resultados

111

10.4.2. Método de la cuadrícula

Una vez localizado los cuatro puntos y tomados los niveles en cada una de esas esquinas, la

magnitud de los cuadrados dependerá de la naturaleza del terreno y las esquinas deben estar

lo bastantes cercanas entre ellas para que las superficies del terreno entre líneas se puedan

considerar planas.

Al restar los niveles observados (Cotas negras), los correspondientes niveles del proyecto

(cotas rojas) se obtiene una serie de alturas a partir de estas el volumen dentro de cada

cuadrado puede considerarse como el área plana multiplicada por el promedio de la

profundidad de excavación (Lleno) en las cuatro esquinas.

La fórmula de la cuadrícula es:

VA

h h h h 4

1 2 3 4( ) (52)

Método de la cuadricula usando Excel

Para este método solo remplace el paso tres del método de Wilson por el siguiente:

3. Ubico el cursor en B12 y escribo la formula =$E$4^2*((A11+C11+A13+C13)/4-$H$4)

Figura 73. Método de promedio de alturas

112

Nota: Este método es el conocido popularmente cono el método de cálculo de volúmenes

por cuadricula. Ideal para terrenos planos.

10.4.3 Método del punto de altura (Sanyaolu)

Reducción a la fórmula de la cuadrícula

Aun cuando la cuadrícula se debe evitar, la nueva fórmula del punto altura la podemos

aplicar, no obstante se reduce a la fórmula de la cuadrícula, que ésta es más eficaz que la

fórmula tradicional.

Figura 74. Punto de altura

Aplicar la fórmula general del punto de altura al cuadrado o rectángulo 1 2 3 4 en la Figura

66, toma el punto uno como origen, entonces tenemos.

VA

h hh h

3 2

1 32 4( ) (53)

Se debe notar que la división por dos no debe ocurrir a lo largo de la diagonal de

concavidad o convexidad (Diagonal de depresión o elevación) en el terreno. Si un

cuadrilátero se le aplica fórmula de punto altura, al rectángulo de la superficie entera,

tenemos:

VA

h hh h

n

3

21 3

2 4( ) (54)

n : número de cuadros

Si la fórmula anterior del punto de alturas, en los triángulos el ángulo recto se mantiene,

podría servir como una fórmula del chequeo rápido.

113

Si la superficie del terreno es plana, h1+ h3= h2+ h4.

Modelo del terreno natural

Figura 75. Terreno nivelado

Las características naturales del terreno determinan la formación de cadenas de triángulos o

serie de cadenas de triángulos con un vértice común, como se muestran en la Figura. 67, en

las elevación y depresión están tres cadenas y cada cadena tiene un vértice uno, dos o

tres.

Se aplica sistemáticamente a las cadenas la fórmula general de las alturas del punto, si se

varían los vértices, se obtienen cadenas nuevas y un chequeo independiente es posible.

Como se ve el sistema de la cuadrícula se desvía del modelo natural y así introduce errores,

considerando que el sistema propuesto sigue la naturaleza, por consiguiente da los

resultados más exactos.

Ejemplo:

Calcular el volumen de la siguiente cuadrícula (Cota roja = 0,00) de 10 x 10 m

Figura 76. Cuadrícula

114

Volúmenes por el método tradicional

Cuadrícula Promedio Volúmenes (m3)

ABED 12,52 1252

BCFE 12,97 1297

DEHG 12,91 1291

EFJH 13,38 1393

Total 5223

Método de Wilson

Estación Cota Repetición Producto (m)

A 12,16 1 12,16

B 12,48 3 37,44

C 13,01 2 26,02

D 12,56 3 37,68

E 12,87 7 90,09

F 13,53 2 27,06

G 12,94 2 25,88

H 13,27 2 26,54

J 13,84 2 27,68

Total 24 310,55

Promedio = 310,55 / 24 = 12,94 m

Volumen = 20 m x 20 m x 12,94 m = 5176 m3

Método de Sanyaolu

V = 400 / 3 [(103,44 + 51,84) / 4]

V = 400 /3 [38,82]

V = 5176 m3

Método de la Sanyaolu usando Excel

Para este método solo remplace el paso tres del método de Wilson por el siguiente:

3. Ubico el cursor en B12 y escribo la formula =SI(ABS(A11-C13)>ABS(C11-A13) ;

$E$4^2/3 *(((A11-$H$4)+(C13-$H$4))+(((C11-$H$4)+(A13-$H$4))/2)) ;

$E$4^2/3*(((((A13-$H$4) + (C11-$H$4) +((C13-$H$4)+(A11-$H$4))/2)))))

115

Figura 77. Método de Sanyaolu

Nota: este y el método de Wilson son métodos que se emplean para terrenos con pendiente

pronunciadas.

10.5. Volúmenes por áreas extremas

Este procedimiento es conocido como promedio de áreas extremas, que consiste en

determinar el área de dos secciones transversales paralelas sucesivas que pueden ser

horizontales y verticales (En el volumen de excavación para la construcción de un edificio

las secciones son horizontales, para el volumen de tierra a mover en un tramo de vía las

secciones son verticales), sumar y multiplicar por la distancia.

Es el volumen de un prisma recto.

dAA *2

1 prisma delVolumen 21 (55)

116

A1 y A2 son las áreas de la secciones y d es la distancia que las separa.

Figura 78. Áreas extremas

Usualmente el área de las bases se calcula a partir de perfiles de las secciones transversales.

Una sección transversal es una sección vertical (Corte vertical) tomado perpendicularmente

a una línea de perfil.

En cada sección se debe mostrar la configuración del terreno y la posición con respecto al

proyecto que se quiere representar.

Figura 79. Sección

Elaborar una sección es semejante a dibujar un perfil, también se hace a dos escalas, el área

se determina gráficamente por medio de planímetro (Polar o de puntos) o analíticamente

por coordenadas.

10.6. Exactitud del cálculo de volúmenes

La exactitud de los volúmenes está determinada por las siguientes características:

1. La exactitud del mapa de curvas de nivel o plano topográfico

117

222

...

c

E

b

E

a

EcbaE cba

volumnes

2. El intervalo de las curvas de nivel

3. La exactitud de medir el área de cada curva de nivel

Los volúmenes basados en modelos TIN tienden a ser más exactos que los basados en

modelos de cuadrícula, por lo tanto debería realizarse estudios de este tipo para

conformaciones topográficas propias de Colombia.

10.7. Errores en los volúmenes

Normalmente las distancias a y b tiene el mismo error medio cuadrático, porque estas son

distancias medidas en el plano horizontal y la distancia c (Desnivel) es sobre el plano

vertical.

(56)

Es útil para considerar los errores propagados en el trabajo de campo del cálculo de

volúmenes. Para volumen por el método de promedio final (Ecuación 42) del área es:

V

V

l

V

A

V

Al

i

A A

2

2

2

2

2

2

2

1 2

(57)

𝜎𝑣2 = (

𝐴1+𝐴2

2)

2

𝜎𝑖2 + (

1

2)

2

(𝜎𝐴1

2 + 𝜎𝐴2

2 ) (58)

La desviación estándar es estimada de ±1.5 cm en la distancia horizontal y ±1.5 cm en la

elevación, en mediciones con cinta metálica, nivel de precisión o estación total.

Figura 80. Volumen

118

222222

1

01.0

5

02,0

5

02.0.1.5.5...

c

E

b

E

a

EcbaE cba

volumenes

Ejemplo:

En una cuadricula de un proyecto urbanístico se va a calcular un volumen con los

siguientes datos 5 x 5 y 1 metro de profundidad se necesita calcular el error en el volumen.

El errores planimétricos son ± 0.02 m y altimétrico ± 0.01 m.

E Volúmenes= ± 0.29 m3

Volumen = 25 m3 ± 0.29 m3

119

11. APLICACIONES DE LOS PLANOS

TOPOGRÁFICOS

11.1. Glosario

Cota negra: Es la altura (cota) correspondiente al terreno natural en cada uno de los puntos

por donde pasa el eje de un proyecto.

Cota roja: Es la cota del proyecto. Es la cota de diseño.

Rasante: Es un estado de alineaciones generalmente verticales que conforman el diseño del

estado final de un perfil longitudinal.

11.2. Interpretación del relieve

Para interpretar un mapa topográfico, es necesario conocer tres factores:

1. Escala, que puede ser numérica y/o gráfica. Permite usar una regla (o escala) para

comprender las distancias reales en el terreno.

2. Dirección y grado de la inclinación, que son las consideraciones más importantes en

una planificación de terreno y diseño debido a su efecto sobre la estabilidad de la

inclinación y el drenaje del agua de la superficie (El método para calcular la inclinación

se discute en la siguiente sección). Esencialmente, en un mapa topográfico la inclinación

es la diferencia de elevación entre dos curvas de nivel dadas, expresadas en porcentaje o

proporción.

3. El intervalo de contorno, es la diferencia en elevación entre curvas de nivel.

11.3. Perfiles longitudinales y transversales

Constituyen el punto de partida para la planeación detallada y el replanteo de vías de

comunicación (Caminos), así como para el cálculo de rellenos y o trazo óptimo de las rutas

con respecto a la topografía. Como primer paso, se replantea y marca el eje longitudinal

(Eje del camino); lo cual implica establecer los puntos a intervalos regulares. De esta

forma, se genera un perfil longitudinal a lo largo del eje del camino, determinando las

alturas de los puntos de estación al nivelar dicha línea, los perfiles longitudinales (En

120

ángulo recto hacia el eje del camino) se miden en los puntos de estación y en las

prominencias del terreno. Las alturas de los puntos que forman dicho perfil se determinan

auxiliándose de la altura conocida del instrumento. El procedimiento es el siguiente:

Coloque la mira sobre un punto de estación conocido, la altura del instrumento se forma por

la suma de la lectura de la mira y la altura del punto de estación conocido; posteriormente,

reste las lecturas de la mira (en los puntos del perfil transversal) de la altura del

instrumento; con lo cual se obtiene las alturas de los puntos en cuestión.

Las distancias del punto de estación hacia los diferentes puntos de los perfiles transversales

se determinan ya sea mediante cinta o en forma óptica, empleando el nivel, al representar

gráficamente un perfil longitudinal, las alturas de los puntos de estación se muestran a una

escala mucho mayor que aquella a la que se representan los puntos de dirección

longitudinal, la cual está relacionada a una altura de referencia en números enteros.

Figura 81. Perfil longitudinal

121

Figura 82. Perfil transversal o sección

11.3.1. Como elaborar un perfil

Es un dibujo producido de la intersección de un plano vertical, corta la superficie de un

terreno representado en plano topográfico (Plano horizontal).

Para elaborar un perfil exacto, se coloca el borde recto de una hoja de papel a lo largo de la

línea elegida sobre el plano topográfico, señalar las intersecciones de las curvas de nivel,

teniendo en cuenta las cotas de ríos, picos, y demás puntos destacados, posteriormente se

traza una línea base del perfil en una hoja de papel y trasladándose luego cuidadosamente

las señales anteriormente obtenidas sobre él.

Se trazan líneas verticales y se marca la cota en una escala vertical, elegida con gran

cuidado teniendo en cuenta la topografía o el uso futuro del perfil, en muchos casos la

relación de las dos escalas es de 10, una vez marcados todos los puntos, se unen con una

línea suave, no por varias líneas rectas a menos que se trate un de perfil de un objeto

construido por el hombre.

Figura 83. Como construir un perfil

122

11.3.2. Perfil y rasante usando Excel

1. Escriba los siguientes datos la columna A es alfanumérica.

Figura 84. Introducción de datos

2. Ubicar el cursor en B6 y marcar desde la celda B1 hasta la celda B11 (Para el

ejemplo que se está realizando hasta la celda que contenga datos), posteriormente

extiendo esta marca hasta la columna D. Se selecciona en el menú superior

Formato, luego celda, número y escogen dos posiciones decimales y se marca con

el ratón Aceptar.

Nota: Para trabajos muy especiales de pendientes muy pequeñas se debe seleccionar

tres posiciones decimales.

3. Ubicar el cursor en la celda C6 y escribo la cota de partida de la rasante (para

nuestro ejemplo 40).

4. Colocar el cursor en la celda C7 y se escribe =C6+($B$3/10)

5. Ubicado en la celda C7 presiono el botón derecho del ratón, aparece un menú del

cual se selecciona copiar (Las celdas seleccionadas aparecen en línea punteada

intermitente). Se marca con el ratón desde la celda C8 hasta la celda C11 (Esto se

logra teniendo presionado el botón izquierdo del ratón). Se presiona el botón

derecho y se selecciona pegar, y aparece lo siguiente:

123

Figura 85. Excel datos

6. Colocar el cursor en D6 y escribo =B6-C6 y presiono enter

7. Usando el mismo procedimiento del paso 5 realizar una copia de celda D6 en las

celdas que van de D7 a D1.

Figura 86. Excel alturas

124

8. Seleccionar el icono asistente para gráficos, en el tipo de gráfico se escoge XY

(Dispersión), marco siguiente, ubico el cursor en rango de datos y se determina

una zona desde la celda A6 hasta la celda C11, se selecciona en el Asistente para

gráficos (Paso 2 de 4) se ubica en Nombre y se escribe Cota negra, no ubicamos en

serie2 y en Nombre se escribe Rasante, presiono Siguiente.

9. En el asistente para gráficos (Paso 3 de 4) en Títulos se escribe lo siguiente:

Figura 87. Excel perfil

10. En líneas de división se selecciona líneas de divisiones principales en (x) y líneas de

divisiones principales en (y)

11. Para mejorar la presentación se coloca el cursor sobre el eje X y se presiona el botón

derecho del ratón y se escoge Formato de eje, selecciona escala, se retira la marca

de ejes de valor (Y), se cruza entre categorías y se presiona aceptar.

125

Figura 88. Excel rasante inicial

12. Con sólo cambiar el valor de la pendiente que se encuentra en la celda B3 se

modifican las cotas rojas y las alturas de corte.

Figura 89. Excel rasante final

11.4. Visibilidad

Es la determinación de ínter visibilidad entre puntos, o del área total desde cualquier

posición, entre puntos se determina de la siguiente forma, se traza un perfil de la línea a

126

determinar la viabilidad, desde el punto de observación al otro punto; si la línea deja libre

todas las elevaciones que se hallan en la línea, los puntos son visibles, hay que tener en

cuenta la fecha del plano en función de la posible vegetación existente en la zona.

El otro método es de área total, para lo cual se predetermina un área de cobertura,

expresada en una cobertura angular, la altura instrumental del observador, a partir de la

cobertura angular se divide está en segmentos, creando un gran cantidad de líneas, en cada

uno de estos se procede en la misma forma que para la determinación de visibilidad de una

línea y posteriormente se debe marcar la zona que se visible.

El uso de la visibilidad antiguamente se hacía con fines militares aunque todavía mantiene

un relativo uso, en el presente se hacen para la localización de casas campestres, miradores

y otros, También se emplea para simulación de poligonales y redes geodésicas.

Ejemplo:

A partir del siguiente plano determinar la zona de visibilidad en el punto A.

Figura 90. Plano topográfico

Se elabora los perfiles, para cada una de estas líneas, a partir de las distancias obtenidas del

perfil determinamos la zona de visibilidad.

127

Figura 91. Visibilidad

11.5. Elevaciones del terreno

También llamado perfiles superpuestos, compuesto o proyectado, es una práctica muy útil

comparar y correlacionar perfiles espaciados a intervalos regulares (O en función de los

cambios topográficos o geomorfológicos) en una zona donde se va a realizar un proyecto y

luego colocarlos en una sola figura.

El método consiste en dividir la superficie del proyecto en secciones a lo largo de las líneas

paralelas en ángulo recto a la orientación general del relieve, y para cada una construya un

perfil compuesto.

Se comprimen los perfiles compuestos mencionados anteriormente y cuando se ven en

ángulo recto, solo parecen aquellos rasgos no oscurecidos por otros más altos en primer

término.

11.6. Línea de pendiente

Para trazar un línea pendiente entre dos puntos A y B (Figura 67), colocados sobre dos

curvas de nivel, la pendiente de la línea es: Pendiente (P) = Equidistancia (E) / distancia

horizontal (Dh)

Por lo tanto para hallar la distancia necesaria para pasar de un punto situado sobre una

curva de nivel a otro sobre una curva de nivel siguiente, hacia arriba o abajo, con una

pendiente dada se tiene que: Distancia horizontal = Equidistancia / Pendiente Dh = E / P

La distancia horizontal se coloca en la abertura del compás en la escala del plano en que

se está trabajando. Para trazar la línea de pendiente desde el punto A, con una pendiente

definida, se coloca el centro del compás en este punto y se debe cortar la siguiente curva de

128

nivel, determinando el punto C; luego se ubica de nuevo el centro del compás en el punto C

y se corta la siguiente curva determinando así el punto D. y así sucesivamente hasta llega al

punto B

Figura 92. Línea de pendiente

Por ejemplo si se tiene un plano con curvas de nivel cada 2 metros y se quiere unir dos

puntos sobre curvas de nivel sucesivas con una pendiente del 4.0 %, se requiere la siguiente

distancia:

Distancia horizontal = 2.0 / 0.04 = 50.0 m.

Para hacer un buen estudio de una línea de pendiente se recomienda usar sobre el plano un

hoja de papel transparente y sobre este trazar diferentes posibilidades, si el plano está en

formato digital, usar diferentes capas (Layers) para ver las diferentes opciones y tomar la

mejor decisión de la línea de pendiente.

Figura 93. Estudio de línea de pendiente

129

11.7. Punto de ceros

La determinación de los puntos de ceros y posteriormente la línea de ceros es fundamental

para el cálculo de volúmenes ya que definen las zonas de corte y lleno de un proyecto.

Los puntos de ceros son aquellos puntos del perfil donde coincide el terreno y la rasante,

por tanto, su cota roja coincide con la cota negra y su corte o lleno es cero. Las alturas de

corte y de lleno deben ser similares de no serlo se produce una equivocación, en algunos

casos las soluciones con buena información son mejores que la matemática.

Figura 94. Punto de ceros

HC: Altura de Corte, HLL: Altura de Lleno, D: Distancia, X: Distancia desde la altura

corte al punto de ceros, Y: Distancia desde la altura de lleno al punto de ceros.

𝐷

𝐻𝐿𝐿 + 𝐻𝐶=

𝑌

𝐻𝐿𝐿=

𝑋

𝐻𝐶

𝑋 =𝐻𝐶

𝐻𝐶+𝐻𝐿𝐿. 𝐷 (59)

𝑌 =𝐻𝐿𝐿

𝐻𝐿𝐿+𝐻𝐶. 𝐷 (60)

130

11.7. Terraceo

El terraceo es el diseño que el topógrafo hace sobre un terreno generalmente en proyecto

urbanísticos, es fundamental para este proceso manejar el balanza entre volúmenes de

corte y lleno, de no ser posible el mayor de estos debe ser el corte, ya que los volúmenes

de lleno son más costosos.

El terreno se divide en una serie de franjas, de acuerdo con el contorno aproximado, de

esta manera se forma una serie de escalones, en el sentido de la pendiente generalmente.

Este método sirve para reducir la pendiente en lugares donde esta es excesiva.

La localización de las terrazas en contorno puede ser considerada como parte de la

planeación básica, durante la cual se localizan los linderos del terreno.

Debido a que con demasiada frecuencia el movimiento de tierra involucrado es bastante

grande, las terrazas se trazan de tal modo, que conservan lo más posible la topografía

original, hasta donde se permitan las labores urbanísticas.

Para llevar a cabo dicho trazado, es esencial tener un plano topográfico exacto del área de

influencia, e igualmente es necesario que este plano tenga puntos de referencia

permanentes para su control horizontal y que se localicen en el terreno, ya que las terrazas

tendrán que marcarse posteriormente, usando métodos planimétricos.

La necesidad de un plano topográfico es menor en terrenos planos, con pendientes suaves

y a veces la localización de las terrazas puede determinarse por inspección.

11.8. Determinación gráfica de puntos de chaflán

Puntos de chaflán: Es la intersección del terreno natural y el proyecto.

El uso de la topografía de este método es muy necesario para estudiar, elaborar y ejecutar

los proyectos de ingeniera de obras. Enfocándonos en la elaboración de un área en la cual

se realizará una obra, es importante tener en cuenta que el arquitecto dependerá de las

características que tenga el terreno, para así darle la mejor ubicación y distribución a la obra

en dicha área, al igual que en sus aspectos ornamentales y funcionales. La Topografía

también es utilizada en la geometrizacion del proyecto, aquí se relacionan en forma

analítica, los diferentes ejes de la simetría de la obra, entre sí mismo y con elementos fijos

del terreno.

1. Sobre un plano topográfico se ubica el proyecto a realizar, en este caso un terraplén, cuya

cota roja es 10:00.

131

Figura 95. Proyecto de terraza

2. Se define la relaciones de los taludes, para este caso 1:1

Figura 96. Talud

3. Se trazan la líneas paralelas a la terraza, se desplaza uno sobre la horizontal y bajando

uno sobre la vertical (para este ejemplo). En la siguiente figura.

132

Figura 97. Líneas de talud

4. Se determinan la intersección de las cotas rojas con las cotas negras, en los puntos que

estas coincidan, estos puntos se unen formando una línea de chaflanes.

Figura 98. Terraza y línea de ceros

133

11.8.1. Taludes en corte y lleno

Material Corte (H:V) Lleno (H:V)

Roca dura 0.3 : 1 2 : 1

Roca blanda 0.5: 1

Arena 1.5: 1 1:8 : 1

Suelos Cohesivos 1:1

Arcillas 1:5 : 1

Tabla 15. Taludes

11.9. Volúmenes gráficos

A partir el ejemplo anterior se determinan los volúmenes, por curvas de nivel. Se toma de

cada curva la negra y la curva roja (se debe cerrar) como se observa en las siguiente

graficas:

Curva 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10

Figura 99. Curvas de nivel

Se calculan las áreas para cada curva y se realiza el siguiente cuadro, para el cálculo de

volúmenes aplicando la siguiente fórmula:

EAA

Vol .2

2121

(61)

134

Vol1-2: Volumen 1-2

A1 : Área 1

A2 : Área 2

E: Equidistancia de las curvas de nivel

11.10. Cálculo de volúmenes por el método de curvas de nivel

Los volúmenes basados en las curvas de nivel se determinan a partir de planos

topográficos midiendo con el planímetro la superficie limitada por cada curva y

multiplicando el promedio de las áreas de dos curvas sucesivas por la equidistancia,

aplicando la fórmula del prisma, este método de las curvas de nivel es apropiado para

determinar volúmenes sobre grandes áreas.

11.11. Diagrama de bloque

Se selecciona una zona del plano topográfico mediante un cuadrado, una vez el cuadrado y

su retícula proyectados sobre el rombo, transfiriéndose a éste las curvas del plano,

empleando la retícula como guía; esto producirá una visión seudoperspectiva del plano de

curvas.

Se elige una escala vertical con una exageración según el caso, dibuja sobre papel

transparente el perfil del rombo y se trazan perpendiculares a cada esquina de la base a la

escala elegida.

Se coloca este trazado sobre el plano seudoperspectivo, ajustado exactamente las esquinas;

después, se corren a lo largo de la escala vertical, hasta que la curva más alta se halle en el

Curva Área

m2

Volumen Parcial

m3

3 123.69

4 560.33 342.01

5 1265.43 912.71

6 1889.04 1577.24

7 1921.17 1905.11

8 1453.47 1687.32

9 1026.02 1239.32

10 670.60 848.31

Total 8512.45

135

mismo plano que su altura correspondiente en la escala vertical y se traza esta curva de

nivel.

Posteriormente se desciende el trazado hasta que la curva que le sucede en altura se halle

en el mismo plano que su altura correspondiente en la escala vertical y trace esta también, y

así sucesivamente. Si una curva corta a una más alta, no hay necesidad de continuar, y que

caerá fuera del campo de visión. Complétese los bordes del bloque, únase los extremos de

las curvas por medio de líneas entre cada una de las cuatro esquinas, es decir, por medio de

secciones, teniendo cuidado de no incluir espacios muertos.

11.12. Diagrama de dos direcciones

En este método de representación, la cota del plano de comparación es inferior a la cota

menor del terreno, y cada punto se traza hacia arriba del plano de comparación y a la

derecha del punto de referencia.

Todas las diagonales están a 45º, el dibujo de diagrama de dos direcciones no debe usarse

en terrenos que tengan grandes diferencias de elevaciones.

Este método se usa para adecuación de tierra y se pueden también usar como insumo para

el cálculo de volúmenes.

Figura 100. Diagrama de dos direcciones

137

12. TOPOGRAFÍA 3D 12.1. Glosario

Modelo: Es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la

entidad misma. El propósito de los modelos es ayudarnos a explicar, entender o mejorar un

sistema. Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste o una abstracción de

las propiedades dominantes del objeto.

Simulación: Reproducción de un fenómeno real mediante otro más sencillo y más

adecuado para ser estudiado.

CAD: El diseño o dibujo asistido por computadora, es el uso de un amplio rango de

herramientas computacionales que asisten a ingenieros.

12.2. Modelaje numérico de terreno (MNT)

Un modelo numérico de terreno es una representación matemática de la distribución

espacial de una determinada característica vinculada a una superficie real. La superficie es

en general continua y el fenómeno que representan puede ser variado.

Entre algunos usos del MNT se pueden mencionar:

a. Almacenamiento de datos de altimetría para crear mapas topográficos.

b. Análisis de corte y lleno para la realización de obras civiles.

c. Elaboración de mapas de pendiente y exposición como apoyo al análisis de la

geomorfología y de la erosión.

d. Análisis de variables geofísicas y geoquímicas.

e. Presentación tridimensional.

Para la representación de una superficie real en el computador es indispensable la

elaboración y creación de un modelo digital, que puede estar representado por ecuaciones

analíticas o por una red de puntos, de tal manera que trasmita al usuario las características

espaciales del terreno. Un MNT es creado en la manera de retícula de puntos regulares e

irregulares.

138

La creación de un modelo numérico de terreno corresponde a una nueva manera de enfocar

el problema de la elaboración e implantación de proyectos.

A partir de los modelos (Retículas) se pueden calcular directamente volúmenes, áreas,

visualizar perfiles y secciones transversales, generar imágenes sombreadas o en niveles de

grises, generar mapas de pendiente y aspecto, dividir en intervalos deseados y para tener

perspectivas tridimensionales.

En el proceso de modelaje numérico de terreno se puede distinguir tres fases:

• Adquisición de los datos

• Generación de las retículas

• Elaboración de productos

12.3. Modelación de superficies

En muchas obras de ingeniería, los movimientos de tierras son muy importantes en el

presupuesto de la obra. Por lo cual es fundamental llevar un control riguroso de los

volúmenes de tierra en corte y lleno, con el fin de evitar gastos muy altos a la hora de

valorar el trabajo realizado. Los diseños de movimientos de tierra han sido realizados en

forma subjetiva, como una respuesta a esto aparece la modelación de superficies que

describe generalmente el proceso de representación física y artificial de una superficie

mediante un modelo geométrico20

Este concepto ha estado sujeto a constantes investigaciones y desarrollos durante los

últimos 35 años.

En forma más amplia el modelamiento de superficies del terreno se caracteriza por los

siguientes aspectos:

• La superficie modelada puede modificarse sin restricción alguna. (Solo en función

de parámetros fijos y variables)

• El modelo obtenido es fácilmente verificable

• Las clases de superficies de terreno son ampliamente conocidas

• Los archivos de datos son muy grandes.

La utilización del modelo de superficies permitirá un manejo más óptimo de los proyectos

desde lo económico y ambiental.

20 KENNIE T. J. M. and PETRIE G. Engineering Surveying Technology. John Wiley & Sons. Inc. Great

Britain. 1990. 485 Págs.

139

La aplicación de estos modelos está sujeta al tipo de relieve, ya que en terrenos planos estos

pasan a ser muy simples, por lo contrario en zonas montañosas su aplicación es muy amplia

y compleja; como es el caso de la región del eje cafetero.

Con el desarrollo de las técnicas de adquisición y procesamiento de datos se hace

fundamental los modelos digitales de terreno.

12.4. LIDAR

La topografía cuenta actualmente con herramientas de gran precisión que han permitido

acelerar los procesos de toma de datos, maximizar y optimizar la información

proporcionada por estos y obtener resultados que son una representación cada vez más fiel

del objeto terrestre, como es el caso del levantamiento de alta definición LIDAR (Un

acrónimo del inglés Light Detection and Ranging o Laser Imaging Detection and Ranging),

cuyos resultados entregan una información muy completa tanto desde el punto de vista de

la representación, el análisis del objeto topográfico, la interpretación y la generación de

resultados, como en las formaciones tridimensionales de las distintas fases de un objeto

topográfico.

Figura 101. LIDAR21

12.4.1. Método de toma de datos

La adquisición de información de los sistemas de escáner láser terrestres, consiste en la

aplicación de un haz de luz láser sobre el objeto topográfico y la medición de la señal de

reflexión, además de un software asociado que permite la adquisición de los datos, el

21 Tomado de Trimble

140

control del escáner y la introducción de los parámetros de acuerdo a las condiciones de

cada levantamiento.

En el tratamiento de los mismos se realiza un análisis de los datos y se integran los

diferentes barridos o escaneos para obtener la nube de puntos que dará lugar a los modelos

tridimensionales.

Este sistema permite también la obtención del color y de la intensidad de los objetos

topográficos, dependiendo de la señal de reflexión.

Esto es muy importante porque se obtienen en diferentes tonos de gris o colores sobre la

superficie barrida, las texturas, materiales y estructuras existentes, lo cual permite

posicionamientos y geometría de las estructuras, directamente sobre el objeto o topografía.

Figura 102. Imágenes LIDAR22

La gran ventaja es que el sistema láser consiste en la obtención de un modelo 3D de

dimensiones reales, sin pasos previos y rápidamente, sobre el que se puede trabajar de una

manera inmediata, el sueño de los topógrafos modernos.

En la realización de cada escaneo es posible determinar varios parámetros, principalmente

la frecuencia de escaneo y la densidad, que establece la cantidad de puntos (Entre los 20 y

100 puntos por metro cuadrado), la resolución y grado de detalle.

El proceso siguiente permite la obtención de la superficie topográfica, a partir de la nube de

puntos y la interpolación de las características geométricas del modelo topográfico.

22 Tomado del IDEE

141

Forma de tomar los datos:

Aéreo

Normalmente utilizado para grandes extensiones, el sensor se coloca en un avión que

normalmente vuela a una altura entre 400 y 2.500 m sobre el nivel del mar, cuando va

colocado en un helicóptero vuela a menores alturas en algunos casos hasta 50 m sobre la

superficie.

La precisión suele estar de acuerdo al modelo y las condiciones climáticas en los siguientes

intervalos verticalmente de ±9 cm a ±18cm y horizontalmente de ± 10 cm a ±1 m, se

utiliza normalmente para estudios de vías e infraestructuras lineales como líneas eléctricas,

canales y otros.

Figura 103. LIDAR aéreo23

Móvil

El sistema se monta en la parte trasera de un vehículo generalmente una camioneta, de tal

forma que el láser pueda rotar 360 º continuamente durante la operación de toma de datos,

mientras que el vehículo avanza.

La precisión en este caso es la mayor en relación con el resto de técnicas aproximadamente

5 cm, la distancia máxima es de unos 200 m (De acuerdo al modelo) desde el sensor, y la

densidad de puntos por metro cuadrado puede llegar a los 4.000.

23 Tomado de Arklatex Geographics, LLC

142

El tipo de medición es de 100.000 puntos por segundo por cada sensor. El sistema usa un

GPS. El procedimiento de campo muy similar a la antigua nivelación motorizada.

Terrestre

En este caso, el sistema no se mueve (Sobre un trípode), la precisión es muy alta, pero la

cantidad de datos a recoger está limitada puesto que se trata de sistemas estacionarios y este

sistema láser capaz de capturar hasta 30.000 puntos por segundo en un rango que va de

150m a 330m en una superficie común y con una precisión de 4mm en un rango de 1 m a

150 m.

12.4.2. Tratamiento de datos

El resultado del escaneo de las superficies, consiste en una nube de puntos que representan

todos los objetos que reflejan el haz, incluidos árboles, animales, carros, basura y otros es

por ello que los datos brutos obtenidos del barrido deben ser tratados para obtener la

información requerida.

La toma de información permite la visualización de los datos de campo en la pantalla del

computador, si los datos obtenidos en el escaneo son suficientemente detallados, el

programa guardará cada barrido en un archivo independiente que puede ser orientado en un

sistema de coordenadas global o local.

De la obtención de los diferentes escaneos, se requiere su unión para obtener el modelo

tridimensional de la superficie topográfica, para ello es necesario que tres puntos de un

escaneo coincidan con tres puntos de otro, de esta manera los distintos escaneos se irán

acoplando de dos en dos.

El software localiza estos puntos comunes mediante un sistema de búsqueda automática de

puntos comunes entre los diferentes barridos y ajuste máximo de nubes de puntos. De la

nube de puntos se obtiene un modelo georreferenciado con coordenadas.

Se requiere procesar los datos para obtener el modelo deseado con la precisión exigida,

para ello el software incorpora herramientas de filtrado y de enmascaramiento, en primer

lugar se debe proceder al análisis de la nube de puntos obtenida del escaneo, para lo cual se

pueden utilizar las funciones de coordenadas, mediante las herramientas de filtrado eliminar

aquellos puntos no necesarios o que producen errores en la obtención del resultado

buscado.

Con la nube de puntos se puede obtener el modelo mediante la combinación de distintas

herramientas; con elementos básicos de CAD lo que permitiría un filtrado de los datos

obtenidos en el escaneo.

Otra posibilidad es la eliminación de aquellos puntos que representarían por ejemplo los

árboles, animales, basura u otro tipo de materiales no necesarios en el modelo.

143

12.4.3. Ejemplos de aplicaciones

A continuación una serie de aplicaciones:

Obras de infraestructuras:

Cartografía.

Levantamientos topografía de obras civiles.

Control de túneles y cubicación de volúmenes.

Control topográfico deformaciones en obras

Levantamientos de vías.

Levantamientos Industriales

Figura 104. Puente24

Figura 105. Levantamiento industrial25

Minería

24 Tomado de Leica 25 Tomado de Ground Penetrating Radar Systems (GPRS)

144

Topografía de explotaciones a cielo abierto (Cubicaciones de volúmenes de material),

topografía para trabajos de geotecnia. (Estabilidad de taludes, movimiento de masas),

topografía para actualización del avance y cubicación de explotaciones, simulaciones en

zonas que se van restaurar en estudios de impacto ambiental, áreas subterráneos y mineras

para depósitos de residuos.

Figura 106. Poblado

Urbanismo

Planificación urbana (Planes de ordenamiento territorial), levantamientos arquitectónicos

para evaluaciones y restauraciones, topografías de grandes obras (Viaductos), para

mantenimiento, levantamientos de monumentos históricos, estudios topográficos de cuevas

y espacios subterráneos.

Figura 107. Edificios históricos26

26 Tomado de CyArk

145

BIBLIOGRAFÍA

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ZIESKE Karl. Principios Básicos de Topografía. Leica Geosystems. Switzerland. 2000. 35

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147

Índice

Abney ................................................................................................................................... 33

Altimetría .............................................................................................................................. 17

altímetro ................................................................................................................................ 63

Angulo Vertical ..................................................................................................................... 17

Área .................................................................................................................................... 105

Aumentos .............................................................................................................................. 27

B.M. ...................................................................................................................................... 18

Banco de Nivel ...................................................................................................................... 18

Características de las curvas de nivel ................................................................................... 84

Clisímetro ............................................................................................................................. 33

Compensador ........................................................................................................................ 30

contranivelación ................................................................................................................... 53

Control Vertical .................................................................................................................... 18

Cota ...................................................................................................................................... 18

Cota redonda ......................................................................................................................... 91

Cuadricula ............................................................................................................................. 89

Curvas de nivel ..................................................................................................................... 83

Curvatura ............................................................................................................................. 18

Datum ................................................................................................................................... 18

desnivel ................................................................................................................................. 17

Desnivel ................................................................................................................................ 20

Determinación del radio de curvatura ................................................................................... 26

Diagrama de bloque ............................................................................................................ 134

Diagrama de dos direcciones .............................................................................................. 135

Diferencia de elevación ........................................................................................................ 17

Doble altura instrumental .................................................................................................... 54

Doble punto de cambio ......................................................................................................... 53

Elevación .............................................................................................................................. 18

Errores en la nivelación ....................................................................................................... 55

Escalímetro ........................................................................................................................... 96

Figura 67. Línea de pendiente ........................................................................................... 128

Figura 68. Estudio de línea de pendiente ........................................................................... 128

Haz de rectas ......................................................................................................................... 97

IDW ...................................................................................................................................... 99

Interpretación del relieve .................................................................................................... 119

ISO ........................................................................................................................................ 37

Isógrafo ................................................................................................................................. 97

Kriging .................................................................................................................................. 99

LIDAR ................................................................................................................................ 139

Línea de ceros ..................................................................................................................... 129

Línea de nivel ....................................................................................................................... 17

Línea de pendiente .............................................................................................................. 127

Línea Horizontal ................................................................................................................... 17

Línea Vertical ....................................................................................................................... 17

148

Locke ..................................................................................................................................... 33

Los métodos de los vecinos más próximos .......................................................................... 99

Mapas en relieve ................................................................................................................... 81

Método de aproximaciones Sucesivas .................................................................................. 76

método de Cholesky ............................................................................................................. 53

Método de la Cuadricula..................................................................................................... 111

método de Wilson ............................................................................................................... 107

Método del Punto de altura ................................................................................................. 112

Método del punto medio ....................................................................................................... 42

Mínima curvatura ................................................................................................................. 99

Mira ...................................................................................................................................... 36

Modelación de superficies .................................................................................................. 138

Modelaje Numérico de terreno ........................................................................................... 137

Modelos digitales .................................................................................................................. 87

Nivel Automático ................................................................................................................. 30

Nivel Basculante ................................................................................................................... 28

Nivel de la mira .................................................................................................................... 37

Nivel de Línea Láser............................................................................................................. 32

Nivel de placa plano paralela................................................................................................ 28

Nivel Digital ......................................................................................................................... 31

Nivel Dumpy ........................................................................................................................ 27

Nivel Láser ........................................................................................................................... 31

Nivel medio del mar .............................................................................................................. 18

Nivelación ....................................................................................................................... 20, 53

Nivelación barométrica ......................................................................................................... 21

Nivelación con mira ............................................................................................................. 21

Nivelación con tres hilos ...................................................................................................... 51

Nivelación Diferencial .......................................................................................................... 45

Nivelación directa ................................................................................................................ 21

Nivelación indirecta o trigonométrica ................................................................................. 21

Nivelación Taquimétrica ...................................................................................................... 60

Nivelación Trigonométrica ................................................................................................... 57

Niveles de Mano ................................................................................................................... 33

Niveles de Precisión Óptico mecánico ................................................................................. 27

Normas ISO ........................................................................................................................... 37

Pendiente .............................................................................................................................. 19

perfil ............................................................................................................................. 48, 121

Plano horizontal ................................................................................................................... 18

Punto de Cambio .................................................................................................................. 45

Puntos de liga ....................................................................................................................... 37

refracción ............................................................................................................................. 18

Splines .................................................................................................................................. 99

Superficie de Nivel ................................................................................................................ 18

Terraceo .............................................................................................................................. 130

TIN ....................................................................................................................................... 99

Valores de las curvas de nivel .............................................................................................. 86

Visibilidad .......................................................................................................................... 125

149

Vista intermedia .................................................................................................................... 45

Volumen .............................................................................................................................. 105

Volúmenes gráficos ............................................................................................................ 133

Volúmenes por áreas extremas ................................................................................... 115, 116

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