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ALTIMETRIA SATELITALMODELOS LOCALES DE GEOIDE Y NIVELACION GPS

Ing. Ral A. Mrquez Departamento de Ingeniera en Agrimensura Facultad de Ingeniera UNSJ ----- Ral Mrquez, e-mail: ingramarquez@hotmail.com ----1

Indice: Introduccin 1.- Determinacin del geoide El mtodo gravimtrico El mtodo astro-geodsico 2.- Alturas Ortomtricas 3.- Los Mtodos de Interpolacin Superficial El Mtodo de los Promedios Ponderados El Mtodo Multicudrico El Mtodo de Regresin 4.- Validacin de los Mtodos de Interpolacin Superficial Validacin del Mtodo de los Promedios Ponderados Validacin del Mtodo Multicudrico Validacin del Mtodo de Regresin 5.- Nivelacin GPS Validacin del Mtodo Anexo: Las aplicaciones MATLAB. Bibliografa pg 3 pg. 4 pg . 4 pg. 5 pg. 5 pg. 8 pg. 9 pg. 10 pg. 13 pg. 18 pg. 21 pg. 27 pg. 30 pg. 56 pg. 59 pg. 66 pg. 79

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Introduccin: Los mtodos clsicos para determinar alturas sobre el nivel medio del mar de puntos sobre la superficie terrestre, son la nivelacin geomtrica con precisin de unos pocos centmetros o mejor, la nivelacin trigonomtrica con precisin de algunos decmetros y la nivelacin baromtrica con precisin ms all del metro. La geodesia satelital (Sistema GPS) permite, midiendo en modo diferencial esttico, obtener alturas elipsoidales muy precisas y mediante tcnicas de interpolacin superficial, puede estimarse las ondulaciones del geoide. Se logra as convertir alturas elipsoidales en alturas sobre el nivel medio del mar. Si sobre un rea determinada se cuenta con una red de puntos de control bien distribuidos y que tengan coordenadas geodsicas latitud, longitud y altura elipsoidal referidas al sistema global WGS84 como as tambin cotas ortomtricas, es posible entonces determinar en cada uno de ellos la ondulacin del geoide y asignarles un par de coordenadas planas en una determinada proyeccin cartogrfica. Es posible ahora generar un modelo matemtico local de ondulaciones del geoide para el rea en cuestin e interpolar el valor de la ondulacin en todo punto si se conocen las coordenadas planas del punto en cuestin. La superabundancia de observaciones (vectores GPS y desniveles geomtricos) entre los puntos de control, permite efectuar el correspondiente ajuste mnimos cuadrados y el control de calidad de ambas redes, GPS y altimtrica, y estimar la influencia de los errores de los observables propagados a los parmetros ajustados en ambas redes. Es posible generar ahora un modelo matemtico local de ondulaciones a partir de una muestra de puntos de control denominada la muestra generadora, y estimar ondulaciones en cualquier punto del rea con slo conocer su posicin planimtrica. Para determinar el error de interpolacin, basta seleccionar otra muestra, la muestra interpolada, y estimar las ondulaciones en cada uno de sus puntos mediante el modelo generado. La esperanza matemtica de la media muestral de las diferencias entre las ondulaciones estimadas y las ondulaciones efectivas; es decir, las obtenidas a partir de las correspondientes alturas elipsoidales y ortomtricas, debe ser igual a cero. La media muestral representa la componente sistemtica del error de interpolacin mientras que la desviacin estndar de las diferencias, es la componente estocstica o randmica. El error total de la interpolacin es la resultante de ambas. Una prueba de hiptesis y significacin indica si debe aceptarse o rechazarse que el valor esperado de las diferencias sea igual a cero. Se dispone pues, de todos los elementos necesarios para estimar el error propagado a la altura sobre el nivel medio del mar, mediante el procedimiento de la conversin. Se proponen tres caminos para generar modelos matemticos locales de ondulaciones del geoide, el mtodo de los promedios ponderados, el mtodo multicudrico y el mtodo de regresin. La validacin de los mtodos se hizo con datos de la red geodsica de la Direccin de Geodesia y Catastro de la provincia de San Juan, Argentina, que cubre un rea de 150000 hectreas aproximadamente y tiene 112 puntos que cuentan a su vez, con las coordenadas antes mencionadas. El procesamiento numrico de los datos se efectu con aplicaciones MATLAB desarrolladas a tal efecto. Se presenta tambin un mtodo alternativo para convertir alturas elipsoidales en alturas sobre el nivel medio del mar, prescindiendo de los modelos locales del geoide. Este mtodo utiliza la expresin de la nivelacin trigonomtrica clsica debidamente modificada, donde el ngulo de altura y la distancia reducida al plano del horizonte se obtienen directamente del vector GPS observado y procesado. 3

1.- Determinacin del geoide. La relacin existente entre la altura elipsoidal h, la cota ortomtrica H y la ondulacin del geoide N, puede expresarse por:h=H + N

(1.1)

Segn muestra la figura (1.1):

Lin ea de fu erza P

N orm al al elipsoide

S up. T opogrfica H

h

N

G eo ide E lipsoide

Figura (1.1). Relacin entre h, H y N Entre los mtodos clsicos para obtener la ondulacin del geoide, pueden citarse: i) ii) el mtodo gravimtrico el mtodo astro-geodsico

El mtodo gravimtrico: Puede usarse una multitud de datos para la determinacin gravimtrica del geoide, tales como modelos geopotenciales globales, anomalas gravimtricas y modelos digitales del terreno. La combinacin ptima de tales datos conduce a soluciones con la mejor resolucin de las longitudes de onda, necesaria para la representacin precisa de las ondulaciones del geoide como:N = N MG + N g + N h

(2.1)

donde NMG es el efecto del modelo geopotencial que representa la caracterstica de la longitud de onda geoidal en distancias del orden de los 100 kilmetros variando muy suavemente en el orden del metro. Puede calcularse a partir de una serie de coeficientes de las harmnicas esfricas, determinados a partir de una solucin terrestre-satelital combinada. El trmino Ng depende de las anomalas de la gravedad, representando caractersticas regionales del geoide con longitudes de onda tpicas entre los 20 y los 100 kilmetros, variando con una longitud del orden del decmetro y puede calcularse usando el modelo geopotencial como una solucin de referencia, respecto de la cual se reducen las anomalas de la gravedad. Asimismo, el modelo geopotencial puede usarse para calcular el efecto de las zonas exteriores y aplicando la formula de Stokes, el rea para la cual se requieren las anomalas gravitatorias puede reducirse a una pequea 4

regin alrededor del punto que se desea evaluar. El termino Nh representa las caractersticas de la longitud de onda por debajo de los 20 kilmetros producida por la topografa, como una contribucin del modelo digital del terreno. Este trmino vara rpidamente con una magnitud del orden del centmetro. El trmino Nh es necesario para evaluar los efectos de la gravedad y correcciones topogrficas. El mtodo astro-geodsico: Las ondulaciones del geoide se obtienen a partir de observaciones astronmicas de latitud y longitud en estaciones con posiciones geodsicas conocidas. En primer lugar se determinan las componentes principales de la deflexin de la vertical:

= =

(3.1) (4.1)

donde y indican las coordenadas astronmicas medias mientras que y son las coordenadas geodsicas. La deflexin de la vertical en una direccin de acimut , est dada por:

= cos + sen

(5.1)

En la direccin de un perfil de acimut , la ondulacin del geoide puede determinarse por la relacin: dN = dS a partir de la cual: (6.1)

N 2 = N1 + dN

(7.1)

donde dS es la distancia desde un punto de ondulacin conocida N1 hasta otro punto de ondulacin desconocida N2. En perfiles de direcciones norte-sur: = y dS = d , y mientras que para perfiles este-oeste: = y dS = cos d donde y son los radios de curvatura principales del elipsoide en el meridiano y en el primer vertical respectivamente. Existen algunas desventajas asociadas con el mtodo astro-geodsico, tales como los problemas de propagacin de los errores y la limitacin de la distancia dS. Combinaciones de tcnicas gravimtricas y astro-geodsicas, son tambin posibles para determinar el geoide por el denominado mtodo astro-gravimtrico.

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2.- Alturas Ortomtricas. Sea P0 la interseccin del geoide con la lnea de fuerza por P, segn la figura (2.2):

P

Q HZ = HaSu pe rfic ie

top o

gr

fica

Po

Geoide

Figura (2.2): Altura Ortomtrica. Sea C el nmero geopotencial de P, es decir:

C = dW = (W W0 ) = W0 W0

H

(8.2)

donde W0 es el valor del geopotencial gravitatorio en P0 y W es el valor del geopotencial gravitatorio en P. Sea H la altura ortomtrica de P; es decir, la longitud de la lnea de fuerza entre P0 y P. Se plantea la integral a lo largo de la lnea de fuerza entre P0 y P, siendo esto posible puesto que el resultado es independiente del camino. Se tiene entonces:

C = g dH0

H

(9.2)

Esta ecuacin contiene a H en forma implcita, siendo posible explicitar la altura ortomtrica H. Se tiene: dC = dW = g dH => dH = Se tiene entonces: dW dC = g g (10.2)

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dW dC H = = g g W0 0

W

C

(11.2)

como antes, la integral es a lo largo de la lnea de fuerza. La frmula explcita (11.2) tiene poco significado prctico. Resulta mas conveniente en una frmula que a primera vista parece trivial:

1 C = g dH = H g dH H0 0H H

(12.2)

tal que:

C=gH

(13.2)

donde:

1 g = g dH H0H

(14.2)

Segn el teorema del valor medio del clculo integral, resulta que g es el valor medio de la gravedad a lo largo de la lnea de fuerza entre el geoide, punto P0, y la superficie terrestre, punto P. De la (13.2), se tiene: H= C g (15.2)

que permite calcular H conociendo la gravedad media g a lo lago de la lnea de fuerza entre P0 y P y el nmero geopotencial C en P. Para calcular H, se necesita