5.1p La Derivada y Aplicaciones

8/17/2019 5.1p La Derivada y Aplicaciones

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MATEMÁTICA

APLICADA A LOSNEGOCIOS

Derivada de una función y aplicaciones

!" Sesión Presencial

#nidad $% La derivada


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Lo&ro de la sesión

Al finalizar la sesión, el alumno calculaderivadas de funciones polinómicas, resuelve

problemas de razón de cambio instantánea y

marginalidad interpretando los resultados

obtenidos con actitud crítica; además, halla losmáximos y mínimos de una función en un

intervalo dado.


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Dada la función utilidad , con U endólares y x en miles de artículos, determina la razón de cambio

promedio con extremos x!" y x. #l valor de x irá variando

seg$n los valores mostrados en la tabla siguiente%

&''',() & −+−= x x xU

x "* "& "" "' "*

'CPmillar

dólares*+

millar

dólares',*+

millar

dólares',*+

millar

dólares-',*+

millar

dólares',*-

/u0 está pasando con la 123 a medida 4ue x se aproxima a x5

Mo(ivación

2onsidera dos valores x a$n más cercanos a x!" y halla el

valor de la 123. A cuánto se va aproximando dicho valor5

http://www.google.com.pe/url?sa=i&rct=j&q=utilidad%20en%20los%20negocios&source=images&cd=&cad=rja&docid=8GOzNXcLl_uipM&tbnid=mIDc0zbNKptZBM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.recursosynegocios.com/que-es-la-rentabilidad-y-utilidad-de-un-negocio/&ei=3TAOUoGrIcXYyAGxiIE4&bvm=bv.50768961,d.b2I&psig=AFQjCNEzifjYys1pIbszlJ0vAej9SnLNKQ&ust=1376748084830055


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La Derivada6a derivada de una función f en x

se define como

la razón de cambio promedio desde x hasta x

sabiendo 4ue estos valores son muy cercanos.


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'e&las de Derivación

7i f y g son funciones diferenciables y c es una constante,entonces%

".

&. [ ] ()()()() x g x f x g x f

dx

d ′±′=±

[ ] ().(). x f c x f cdxd

′=


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8alla las derivadas de las siguientes funciones%

a.

b.

c.

d.

e.

f.

'() = x f

**() x x g =

*&

*

'*() x x xh −=

E+e*plos

9&*'() &9 +−+= x x x x f

9*

*"

9*() x x x g −=

&

' ** &()

x

x x xh ++=


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3ara calcular la derivada de una función en un valor

x dado, bastará seguir los siguientes pasos%

• Deriva la función siguiendo las fórmulas y reglas

de derivación.

• 1eemplaza el valor de x en la derivada.

E+e*plo

2alcula la derivada de la función

para x ! 9.

x x x f '&() * −=


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8ace un instante hemos calculado el valor de la

derivada de la función en x !9.

Ahora, utiliza tu calculadora para comprobar el

resultado anterior.

x x x f '&() * −=


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E+e*plos


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Durante la motivación recuerda 4ue calculamos

varias razones de cambio promedio intentando, en

cada caso, 4ue x y x fueran lo más cercanos posibles.

Ahora halla la derivada de la función :tilidad

en x !" utilizando las

reglas vistas anteriormente.

&''',() & −+−= x x xU


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2onsideremos 4ue el ingreso mensual por las ventas de una

empresa está dado por , con I en soles y x

en unidades.

maginemos 4ue la empresa, durante este mes, lleva vendidas

& unidades y deseamos conocer la razón de cambio

instantánea en x ! &

2ómo se calcula5

2uál es la interpretación del resultado5

x x x I &&,() & +−=


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E+e*plo

:n comerciante determinó 4ue el ingreso, en miles de soles, por

la venta de un producto es donde q es la

cantidad producida y vendida en miles de unidades.

a. 2uál es la razón de cambio promedio del ingreso si la cantidad

cambia de ' a " unidades5

b. Determina la razón de cambio instantánea del ingreso respecto

a la cantidad vendida para " unidades.

c. nterpreta los resultados obtenidos en a y b.

&&'() qqq I −=


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An.lisis Mar&inal2onsideremos la función utilidad con U

en soles y x en unidades. 7i actualmente se vienen produciendo *unidades y deseáramos conocer la utilidad 4ue tendría para el

negocio producir la unidad *", cómo la podríamos calcular5

'&',() & −+−= x x xU

Pri*er procedi*ien(o /c.lculo e0ac(o1

7e calcula la

utilidad para *"

unidades y seresta la utilidad

para *

unidades.


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Se&undo Procedi*ien(o /c.lculo apro0i*ado1%7upongamos 4ue derivamos la función utilidad en x ! * y

obtenemos unidadsoles

*'(*) =′U

• In(erpre(ación co*o ra,ón de ca*-io ins(an(.nea%

3ara el instante en 4ue se han producido y vendido *

unidades, la utilidad aumenta a razón de *' soles por

unidad adicional.

• In(erpre(ación *ar&inal%

7eg$n la interpretación anterior, si se han producido y

vendido * unidades, al producir y vender una unidadadicional )la unidad *"( se logra una utilidad de *' soles,

aproximadamente.


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)unción Mar&inal

() x f dx

df ′=

6a función marginal de f viene dada por%

• In&reso Mar&inal

• Cos(o Mar&inal

• #(ilidad Mar&inal

()q I dq

dI ′

=

()qC dq

dC ′=

()qU dq

dU ′=


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Procedi*ien(o para el an.lisis *ar&inal de una función

•

7e deriva la función y se obtiene la función marginal.

• 7e eval$a la derivada para el nivel de producción dado.

• 7e interpreta el resultado. 1ecuerda 4ue este resultado es

A31AD


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E+e*plo6os costos mensuales, en soles, de una empresa vienen

dados por%.

8alla%

a.#l costo marginal para x ! *. nterpreta el resultado.

b.#l costo aproximado de producir la unidad "".

nterpreta el resultado.

*9',() & ++= x x xC


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:n artículo de una revista de sociología afirma 4ue si ahora se

iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces

al cabo de t a?os, el n$mero de personas, en miles, directamente beneficiadas estarían dadas por% .-& ;9@*"'()

&*≤≤−+−= t t t t t n

Mo(ivación

6uego de cuántos a?os el n$mero de personas beneficiadas

será máximo5 luego de cuántos a?os será mínimo5


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M.0i*os y *2ni*os de una función en unin(ervalo dado

3ara maximizar o minimizar una función, revisaremos dos

procedimientos fundamentales%

a. A partir de la gráfica.

b. A partir de f , [ ]ba x ,∈


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a. A par(ir de la &r.fica

2uál es la utilidad máxima y para 4u0 nivel de producción se

alcanza5 2uál es la utilidad mínima y para 4u0 nivel de

producción se alcanza5

6a función está definida en el intervalo B, "'C


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#l costo de un insumo a lo largo del tiempo )de febrero a unio(

varía como se muestra en la gráfica.

2uáles son los extremos del intervalo5

2uál es el costo máximo5 #n 4u0 punto ocurre5

2uál es el costo mínimo5 #n 4u0 punto ocurre5


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- A par(ir de f / x 1 3

•

Paso "% Deriva la función.

• Paso 4% guala la derivada a cero; y con ello, se determinanlos valores críticos. Aseg$rate 4ue dichos valores pertenezcan

al intervalo dado. De no pertenecer alguno, descártalo.

• Paso $% Eabula la función en los valores críticos y en losextremos del intervalo dado.

• Paso 5% Determina los valores máximos y mínimosescogiendo entre los resultados hallados.

[ ]ba x ,∈


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E+e*plos3ara cada una de las funciones dadas, halla el valor

máximo y mínimo.

a.

b.

'" , 9*',()&

≤≤−+−= x x x x f

9",9-*@*&() &* ≤≤−+−+= x x x x x g


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Pro-le*as de Op(i*i,ación

ntuitivamente op(i*i,ación se refiere a un procedimiento 4ue consisten en escoger la meor opción

entre un grupo de alternativas )3into 2arvallo, &*(.

#stas alternativas se expresan con frecuencia como una

función 4ue debe ser maximizada o minimizada.

>aximizar )minimizar una función( es determinar el

máximo )o el mínimo( de dicha función, para un

intervalo dado.


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E+e*plo

:na empresa estima 4ue su ingreso en dólares,está dado por%

donde x está en miles de unidades.

a. 8alla cuántas unidades se deben vender para

alcanzar el ingreso máximo.

b. 8alla el ingreso máximo.

-'con ≤≤ x*& &9*'&-'() x x x x I +−=


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'efle0ión• 3ara una función utilidad, es siempre positiva la razón de

cambio instantánea5

• 3ara una función costo, puede ser negativa la razón de

cambio instantánea5

•3ara una función ingreso se sabe 4ue

/u0 puede significar dicho resultado5

() x I unidad

dólares

"&(@) =′ I

• 7abiendo 4ue Fla utilidad 4ue se obtiene por la venta del

artículo & es aproximadamente igual a 9 dólaresG ese4uivalente a . 2uál es el valor de a y b5baU =′ ()

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