Aplicaciones de La Derivada-cb

7/21/2019 Aplicaciones de La Derivada-cb

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CAPTULO 2

APLICACIONES DE LA DERIVADA

2.1 ANLISIS Y TRAZO DE CURVAS

2.1.1 Estudio de la Variacin de una Funcina) Tabulacin y Graficacin de una Funcin

b) Dominio y Rango de una Funcin

2.1.2 ntersecciones con los E!es "oordenadosa) "eros de la Funcinb) nter#alos $ara los %ue la Funcin es &ositi#ac) nter#alos $ara los %ue la Funcin es 'egati#a

2.1.( *+imos y ,nimos de una Funcina) nter#alos $ara los %ue la Funcin es "reciente

b) nter#alos $ara los %ue la Funcin es Decrecientec) "riterio de la &rimera Deri#ada $ara la -btencin de

*+imos y ,nimos de una Funcin

2.1.2 &untos de nfle+ina) "riterio de la egunda Deri#ada $ara la -btencin de los

&untos de nfle+inb) "onca#idad y "on#e+idad

2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL

2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEOPTIMIZACIN Y RAZN DE CAMBIO


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7/


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P R O P S I T O

"onsidera as siguientes $reguntas antes de introducirte al estudio de este ca$,tulo estote ayudar* a tener un $anorama general de sus contenidos la forma de abordarlos y lautilidad %ue te re$ortar* su a$rendi3a!e.

45u6 #oy a a$render 4"mo lo #oy a lograr 4&ara %u6 me #a a ser#ir

"riterios $ara anali3ar

cuantitati#a y

cualitati#amente funciones

%ue modelan situaciones

%ue se $resentan endi#ersas ramas del

conocimiento y la

acti#idad 8umana.

Estableciendo modelos

matem*ticos $ara di#ersas

situaciones incluyendo sus

gr*ficas am$liando el

conce$to de deri#ada ya$licando las t6cnicas de

deri#acin.

&ara 8allar la solucin de

$roblemas %ue se refieren a

o$timi3acin y ra3n de

cambio y tener m*s

elementos $ara la toma dedecisiones tanto en la #ida

cotidiana como en tu

acti#idad $rofesional.


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CAPTULO 2

APLICACIONES DE LA DERIVADA

: menudo la #ida nos enfrenta al $roblema de encontrar un me!or modo de 8acer unadeterminada labor. &or e!em$lo un agricultor %uiere escoger la me3cla de culti#os %uesea la m*s a$ro$iada $ara obtener el mayor a$ro#ec8amiento. :lgunas #eces un$roblema de esta naturale3a $uede asociarse de tal manera %ue in#olucre ma+imi3ar ominimi3ar una funcin sobre un con!unto es$ec,fico.


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/2

2.1 ANLISIS Y TRAZO DE CURVAS

En este tema se e+aminar*n las funciones mediante la tabulacin y el $osterior an*lisis

de su com$ortamiento gr*fico.

2.1.1 ESTUDIO DE LA VARIACIN DE UNA FUNCIN

a) Tab!a"#$% & G'a(#"a"#$% * %a F%"#$%

E!em$lo.

;n gru$o de in#estigadores ecologistas obser# %ue el crecimiento de un $ino de unaes$ecie determinada esta dado $or la siguiente funcin.

y < x

En donde =+> re$resenta el n?mero de a@os transcurridos de la #ida del $ino y la =y>re$resenta su altura en metros.

"om$leta la siguiente tabla

+ 9 1 2 ( A B C 7 / 0

y 9 1 2 (

os #alores %ue se le dan a =+> son arbitrarios y $ueden ser m*s grandes %ue 0 $ero no

m*s $e%ue@os %ue cero 4$or %u6


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Y+,a'#ab!*

)*-*%)#*%.*/

0*.'12)

/(

a gr*fica %ueda como se muestra a continuacin.

A

(

2

1

9

9 1 2 ( A B C 7 / 0 19

3+,a'#ab!* #%*-*%#*%.*/a412)

Recuerda %ue la #ariable =y> es una funcin de =+> y < f +) ).

ACTIVIDAD DE REGULACIN

"ontesta las siguientes $reguntas con base a la funcin %ue rige el crecimiento del $ino.

4"u*l es el m*s $e%ue@o #alor %ue $uede tomar el tiem$o +)

4"u*l es el mas alto #alor %ue $uede tomar el tiem$o +)

4"u*l es el m*s $e%ue@o #alor %ue $uede tomar la altura del $ino )

4"u*l es el m*s alto #alor %ue $uede tomar la altura del $ino )

E!em$lo

a altura a la %ue se encuentra una $elota $ateada desde un $unto situado a 19 $iessobre el ni#el del suelo esta dada $or la siguiente funcin

8 t) < /9t 1Ct2

19


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/A

En donde HtI es el tiem$o en segundos) y 8 t ) es la altura en $ies ) sobre el suelo a la%ue se encuentra situada la $elota en el instante t.


T 9 1 2 2.B ( A B C

8 t ) 19C 19C

a gr*fica se muestra a continuacin


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/B

-bser#a la gr*fica y anali3a las siguientes $reguntas.

4&ara %ue #alores del tiem$o t ) la altura 8 ) %ue alcan3a la $elota tiene significadolgico : ese con!unto se llama dominio y se $resenta as,J

9 t B.12

o %ue significa %ue =t> es mayor o igual %ue cero $ero menor o igual %ue B.124"u*les son los $osibles #alores de la altura %ue $uede alcan3ar la $elota : esecon!unto se le llama rango y se $resenta as,J

9 8 119

y significa %ue =8> es mayor o igual %ue cero $ero menor o igual %ue 119.

b) D0#%# & Ra%5 * %a F%"#$%

: $artir de las gr*ficas siguientes obt6n la informacin necesaria $ara contestar lo

%ue se te $ide a continuacinJ

4"u*l es el inter#alo de #alores %ue $uede tomar =+> $ara %ue la funcin e+ista

4"u*l es el inter#alo de #alores %ue $uede tomar =y> %ue corres$onden a las im*genesde los #alores %ue $ueden tomar =+>


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/C

a) b)y y

+ +9 9

c) d)y y

1+ +

9 2 9

:8ora ya se $ueden definir el dominio y el rango definiciones

D-'- D). El dominio de una funcin son todos los #alores de la #ariableinde$endiente =+> %ue 8acen %ue la funcin sea real es decir %ue e+ista.

R:'G- R). El rango o con!unto de im*genes de una funcin son todos los#alores %ue $uede tomar la funcin y) $ara todos y cada uno de los elementos deldominio.


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1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica su dominio y surango.

a) f +) < B 9 K + K C este inter#alo debeconsiderarse comoel dominio)

b) f +) < (L 2 M( + (.

c) f +) 4De %ue modo

-bser#a nue#amente la tabla.

4E+iste alg?n #alor $ara las ganancias f+) tal %ue la $roduccin =+> sea igual a cero

P"laro estaQ "uando f+) #ale 1299 =+> #ale cero.

45u6 es lo %ue esto significa $ara la em$resa

Tambi6n $uedes #erificarlo en la gr*fica.

&ero el m6todo algebraico $ara 8allar las intersecciones con el e!e =y> es como sigueJ

i en la funcin original f +) < +2

/9+ 1299

e 8ace %ue =+> sea igual a cero 4%u6 se obtiene

f +) < 9)2 /99) 1299

o sea f +) < 1299

lo %ue se es$eraba.

:s, %ue

&ara 8allar las intersecciones con el e!e =+> se 8ace %ue f+) sea igual a cero y seresuel#e la ecuacin resultante.

&ara 8allar las intersecciones con el e!e =y> se 8ace %ue =+> sea igual a cero y seresuel#e la ecuacin resultante.

Definicin.

e llama =ceros> de una funcin a todos los #alores de =+> $ara los cuales la funcin esnula es decir cero.


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1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica las interseccionescon el e!e =+> las intersecciones con el e!e =y> y los ceros.

a) f +) < (+ 2 d) f +) < 2+2

(2

b) f +) < M2+ ( e) f +) < L2

+ C

c) f +) < +2

C+ f) f +) < 2+2

7+ (

2. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica las interseccionescon el e!e =+> las intersecciones con el e!e =y> y los ceros.

2

a) f +) < C+ 1 d) f +) < + A0

2b) f +) < (+ 2 e) f +) < + /+ 1B

c) f+) < +2

M A+ f) f +) < (+2

/+ (

b) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * P##,a

-bser#a la siguiente tabla

+ 9 19 29 (1 A9 A0 C9 79 /9

f +) 1299 B99 9 (10 A99 (10 9 B99 1299

4&ara %u6 #alores de la $roduccin + la em$resa obtiene ganancias f +)

PSienQ Estos son (1 A9 y A0 $ants.


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:8ora obser#a la siguiente gr*fica

f+) $esos

A99

+9 19 29 (9 A9 B9 C9 79 /9 numero de $ants)

4E+isten otros #alores de la $roduccin $ara %ue la em$resa obtenga ganancias

4"u*l es el m,nimo #alor de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias

4"u*l es el m*+imo #alor de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias

4"u*l es el inter#alo %ue obtienes

&ues bien el inter#alo de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias esJ

21 + B0

en los inter#alos cerrados los e+tremos si se incluyen) y deben leerse as, =+> es

mayor o igual %ue 21 $ero menor o igual %ue B0. o %ue es muy cierto $uesto %uecuando L < 29 o L < C9 la funcin no es $ositi#a ni negati#a es nula. :dem*s los#alores de =+> deben ser numeros enteros $uesto %ue re$resentan la $roduccin de $antscom$letos).

") I%*',a! -a'a ! 7* !a (%"#$% * %*5a#,a

4&ara %ue #alores de la $roduccin +) la em$resa registra ganancias negati#as esdecir $erdidas

+ 9 19 29 (1 A9 A0 C9 79 /9

f +) 1299 B99 9 (10 A99 (10 9 B99 1299


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:8ora obser#a nue#amente la gr*fica anterior.

4E+isten mas #alores de =+> $ara los %ue las ganancias sean negati#as

4En cuantos inter#alos la funcin f +) es negati#a

4"u*les son

P"laroQ Estos inter#alos deben ser

9 K + K 29 y C9 K + K

en los inter#alos abiertos K los e+tremos no se incluyen)

el signo = > indica %ue la $roduccin $uede ser muy alta muc8o m*s grande %ue /9%ue son los #alores $ara los %ue siem$re se obtendr*n $erdidas. 4&or %u6 moti#os se$odr,a $resentar esta situacin en la em$resa

Definiciones

F;'"O' &-TV:. ;na funcin es $ositi#a si al graficarla se encuentra $or encimadel e!e =+>.

F;'"O' 'EG:TV:. ;na funcin es negati#a si al graficarla se encuentra $or deba!odel e!e =+>.


1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra sus ceros los inter#alos endonde la funcin es $ositi#a y los inter#alos en donde es negati#a.

a) f +) < (+ 2 d) f +) < 2+2

M (2

b) f +) < M2+ ( e) f +) < +2 + C

c) f +) < +2

C+ f) f +) < 2+2 7+ (


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2. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra sus ceros los inter#alos dondela funcin es $ositi#a y los inter#alos en donde la funcin es negati#a.

a) f +) < C+ 1 d) f +) < +2 A0

b) f +) < M(+ 2 e) f +) < +2 /+ 1B

c) f +) < +2 A+ f) f +) < (+2 (+ (

2.1.3 MIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN

E!em$lo

Desde el fondo de un $o3o de 1B metros de $rofundidad un e+cursionista %ue all, seencontraba $or accidente lan3a $iedras $ara %ue sus com$a@eros las #ean y as, $uedaser rescatado.a #elocidad con la %ue lan3a las $iedras #erticalmente 8acia arriba es de Vo < 29 ms.e sabe %ue la funcin %ue describe la altura %ue alcan3a la $iedra en t6rminos deltiem$o es

8 t) < Vo t gt2

2

ustituyendo Vo < 29 ms y g < 0./ ms2

tenemos %ue 8t) < 29t A.0t2

&ara graficar esta e+$resin #ariamos el #alor de HtI seg?n la siguiente tabla.

t 8t)

9 9 89) < 299) A.09)2 < 9

1 1B.1 81) < 291) A.01)2

< 1B.1

2 29.A 82) < 292) A.02)2

< 29.A

( 1B.0 8() < 29() A.0()2

< 1B.0

A 1.C 8A) < 29A) A.0A)2

< 1.C


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8t) metros

22.A10.2

1C

12./

0.C

C.A

(.2

91 2 ( A t segundos)

-bser#a la tabla y la gr*fica $ara contestar las siguientes $reguntasJ

4&ara %ue #alor de =t> la $iedra asciende El #alor de la funcin aumenta es decir

crece)

4&ara %ue #alor =t> la $iedra desciende el #alor de la funcin disminuye es decir

decrece)

4"u*l es el m*+imo #alor %ue $uede tomar la altura

Definicin

&;'T- UL-. e dice %ue un $unto sobre una determinada cur#a f +) es unm*+imo relati#o si los #alores de la funcin un $oco a la i3%uierda y un $oco a laderec8a de dic8o $unto son m*s $e%ue@os.

f+) &m*+imo

+


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a) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * C'*"#*%*

Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores

4&odr,as decir cual es el inter#alo $ara el %ue la funcin es creciente

Recuerda %ue el inter#alo de definicin debe estar en t6rminos de la #ariable =t>.:s, %ue debe ser 9 K t K 2

'o se incluyen los e+tremos t < 9 y t < 2 dado %ue en esos $untos la funcin no crece nidecrece.

b) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * D*"'*"#*%*

Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores

4&odr,as decir cual es el inter#alo $ara el %ue la funcin es decreciente

Dic8o inter#alo debe ser as,J2 K t K (

Definiciones

F;'"O' "RE"E'TE. ;na funcin es creciente cuando al aumentar el #alor de la#ariable inde$endiente +) el #alor de la #ariable de$endiente y) tambi6n aumenta.

F;'"-' DE"RE"E'TE. ;na funcin es decreciente cuando al aumentar el #alor dela #ariable inde$endiente +) el #alor de la #ariable de$endiente y) disminuye.

Durante los $rimero 7 segundos el $ulso en $ulsaciones $or minuto) de un indi#iduo =t>segundos des$u6s de %ue comien3a a correr est* dado $or

& t) < 2t2 t BC

El dominio de la funcin est* dado en el mismo enunciado del $roblema. 4&uedes decir

cu*l es


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t 9 1 2 ( A B C 7 1 2 ( 9.2B

&t) C2 122 CC BB./12B

a gr*fica de esta funcin es la %ue a continuacin se muestra P#erif,caloQ

&t)

BB./12B

9.2BBB./12B) ,nimo

M1 9 9.2B 1 2ts)


Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores contesta las siguientes $reguntasJ

4"u*l es el #alor m*s $e%ue@o de la funcin

4&ara %ue #alor de =t> la funcin es creciente

4&uedes determinar el inter#alo de #alores de =t> $ara los %ue la funcin sea decreciente

en el sentido del conte+to del $roblema


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Puy bienQ El #alor m*s $e%ue@o de la funcin es BB./7B $ulsaciones $or minuto).:dem*s el inter#alo de #alores de =t> $ara los %ue la funcin es creciente es

9.2B K t K 7

y el inter#alo de =t> $ara los %ue la funcin es decreciente es

9 K t K 9.2B

Definicin.

&;'T- '-. e dice %ue un $unto sobre una determinada cur#a f L) es unm,nimo relati#o si los #alores de la funcin un $oco a la i3%uierda y un $oco a laderec8a de dic8o $unto son m*s grandes.

f+)

&m,nimo

+


&ara las gr*ficas %ue se muestran a continuacin determinaJ

os inter#alos en los %ue la funcin es $ositi#a osinter#alos en los %ue la funcin es negati#a osinter#alos en los %ue la funcin es creciente osinter#alos en los %ue la funcin es decreciente

y y

a) b)

+

+


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yyc) d)

+ +

") C'#*'# * !a P'#0*'a D*'#,aa Pa'a !a Ob*%"#$% * M89#0 & M:%#0 * %aF%"#$%.

"once$tos S*sicos.

Recordaras %ue la deri#ada de una funcin y < f+) en un $unto :+y) estare$resentada geom6tricamente $or la $endiente de la tangente a la cur#a en ese $unto.

i < f +)

entonces f = +) < tg

en donde = > es la inclinacin de la recta tangente y =tg > es la $endiente de dic8atangente.

y

Tangente a la cur#a en el $unto =:>

f+)

y :

++

:dem*s tambi6n se re%uiere %ue recuerdes como es la orientacin de la tangentemencionada con anterioridad cuando su $endiente es $ositi#a negati#a o cero.


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yy

++

Recta con $endiente $ositi#a Recta con $endiente negati#a

y

+

Recta con $endiente =cero>


"ontesta las siguientes $reguntas con base a las gr*ficas anteriores.

4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene $endiente $ositi#a

4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene $endiente negati#a

4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene como $endiente el#alor cero


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2+.)

En un laboratorio de in#estigaciones nucleares cierto cient,fico encontr %ue la funcin%ue describe la $osicin de cient,fico encontr %ue la funcin %ue describe la $osicin deuna determinada $art,cula subatmica %ue se des$la3a sobre una recta coordenadaesta dada $or

s t ) < t 3 12t 2 (Ct 29

En donde st) re$resenta la $osicin de la $art,cula en el instante =t> y la #ariable =t>re$resenta cual%uier instante en segundos).

t 9 9.B 1 1.B 2 2.B ( (.B A

st) 29 19.(7B 19.C2B A

A.B B B.B C C.B 7 7.B / 19

1/.C2B (.12B

a gr*fica %ue corres$onde a la funcin dada es

1B

19

B

9

MB

M19

M1B

M29

M2B

9 1 2 ( A B C 7 /

.

4&uede dar los inter#alos en los %ue la funcin es creciente

4"u*l es el inter#alo en donde la funcin es decreciente

"laro %ue seria m*s f*cil 8allar dic8os inter#alos si se conocieran con seguridad los#alores de =t> $ara los %ue la funcin es m*+ima o m,nima.


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4"mo deben ser las tangentes en los $untos cr,ticos ya sea m*+imos o m,nimos

4 como deben ser sus $endientes

4 cual debe ser el #alor de la deri#ada de la funcin en dic8os $untos

&ues bien $ara 8allar con $recisin los m*+imos y m,nimos en la ecuacin resultante sedes$e!a la #ariable.

:s, si la funcin es

u deri#ada resulta sert) < t

3 12t

2 (Ct 29

=t) < (t2

2At (C

al igualar a cero se obtiene %ue

(t2

2At (C < 9

se $uede #er %ue se trata de una ecuacin de segundo grado y $ara resol#erla debesa$licar la ecuacin general

X = b b

2 4ac

1,22a

45u6 #alores obtu#iste

4&uedes decir lo %ue significan

os #alores obtenidos son t1 < 2 seg. t2 < C seg. %ue son los instantes en donde se

obtiene un m*+imo y un m,nimo.

&ero si no conocieras la gr*fica 4$odr,as determinar en %ue instante se obtiene unm*+imo y en cual otro se obtiene un m,nimo

4"u*l es el #alor de la deri#ad $ara un #alor de =t> a la i3%uierda de t < 2

4&uedes obtener una conclusin a este res$ecto

4"u*l es el #alor de la deri#ada $ara un #alor de =t> a la i3%uierda de t < C

4"u*l es el #alor de la deri#ada $ara un #alor de =t> a la derec8a de t < C

4&uedes obtener una conclusin a este res$ecto

"omo la deri#ada de la funcin es =t) < (t2

M 2At (C

Entonces $ara t < 1.0 seg. %ue es un #alor de =t> un $oco a la i3%uierda de t < 2 seg. setiene %ue

=1.0) < ( 1.0)2

2A 1.0) (B < 1.2(


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19(

y como es un #alor $ositi#o de la deri#ada entonces la $endiente es $ositi#a y la funcinen ese instante es creciente.

:s, tambi6n $ara t < 2.1 seg. %ue es un #alor de =t> un $oco a la derec8a de t < 2 seg.

se tiene %ue=2.1) < ( 2.1)

2 2A 2.1) (C < 1.17

y como es un #alor negati#o de la deri#ada entonces la $endiente de la tangente a lacur#a es negati#a y a la funcin en ese instante es decreciente.

En conclusin como la funcin $rimero crece en t < 1.0) y luego decrece en t < 2.1)entonces el $unto cr,tico encontrado en t < 2 es un m*+imo.

&ara calcular el #alor del $unto m*+imo se sustituye t < 2 en la funcin original sinderi#ar).

t) < t( 12tW (Ct 29

se obtiene %ue 2) < 2)

( 12 2)W (C 2) 29 < 12

$or tanto las coordenadas del $unto m*+imo son & 212)

t)

12& 212)

t9 2 C

M29 &CM29)

Del mismo modo $ara determinar %ue ti$o de $unto critico m*+imo o m,nimo ) es el%ue se encuentra en t < C seg. se sustituye $or el #alor de =t> un $oco a la i3%uierda det < C $or e!em$lo t < B.0 y otro un $oco a la derec8a de t < C $or e!em$lo t < C.1 enla funcin deri#ada como se muestra a continuacin.

: $artir de>t) < (tW 2At (C


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19A

$ara t < B.0 se tiene %ue

>B.0) < ( B.0)W 2A B.0) (C < 1.17

y como es un #alor negati#o de la deri#ada significa %ue la $endiente es negati#a y lafuncin en ese instante es decreciente.

:s, tambi6n $ara t < C.1 se tiene %ue

> C.1 ) < ( C.1) W 2A C.1) (C < 1.2(

y como es un #alor $ositi#o de la deri#ada entonces la $endiente de la tangente a lacur#a es $ositi#a y la funcin es creciente.

En conclusin como la funcin $rimero decrece en t < B.0) y luego crece en t < C.1)entonces el $unto critico encontrado en t < C es un m,nimo.

&ara calcular el $unto m,nimo se sustituye t < C en la funcin original sin deri#ar ).

t) < t( 12tW (Ct 29

y se obtiene %ueC) < C)

(M 12 C)W (C C) 29 < 29

&or tanto las coordenadas del $unto m,nimo son &m C29).

-bser#a la gr*fica anterior).

as siguientes gr*ficas te ayudaran a concretar tus ideas.

& m +) K 9 y la funcin es decreciente.

i m < 9 entonces f> +) < 9 y la funcin no crece ni decrece se trata de un m*+imo oun m,nimo


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19B

2.1.; PUNTOS DE INFLEIN

&ara la funcin deri#ada del $roblema anterior

> t) < (tW 2At (C

Termina de llenar la tabla siguienteJ

t 2 ( (.B (./ (.0 A A.1 A.2 A.B B C

>t) M11.2B M11.07 12 M11.// M0

4"u*l es el #alor m*s $e%ue@o de la deri#ada > t)

4&ara %ue #alor de =t> sucede esto

&ues bien e+iste entre un $unto m*+imo y un $unto m,nimo otro $unto en donde laderi#ada tiene ya sea el m*+imo #alor o el m,nimo #alor. : dic8o $unto se le llama $untode infle+in.

a gr*fica de la funcin deri#ada es la %ue se muestra a continuacin

s> t )

M(MC

M0

M12

t

1 2 ( A B C

&uesto %ue la gr*fica $resenta simetr,a res$ecto al #alor de t < A se $uede decir %uee+iste un $unto de infle+in all, mismo en t < A.


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19C

a) C'#*'# * !a S*5%a D*'#,aa -a'a !a Ob*%"#$% * ! P% * I%(!*9#$%

"omo $udiste obser#ar en la gr*fica anterior el $unto de infle+in se $resenta cuando laderi#ada de la funcin tiene un m,nimo aun%ue $uede ser un m*+imo como ya se di!o.

Entonces se a$licar* el criterio de la $rimera deri#ada sobre la funcin deri#ada > t)$ara 8allar el m*+imo o el m,nimo #alor de dic8a funcin deri#ada consulta el criterio dela $rimera deri#ada).

"omo el criterio de la $rimera deri#ada indica %ue se debe deri#ar la funcin en estudioy dic8a funcin es ya una funcin deri#ada entonces se tiene la deri#ada de unaderi#ada y de a%u, %ue se le llame comoJ =criterio de la segunda deri#ada>.

De este modo al deri#ar la funcin deri#ada

> t) < ( t W 2At (

e obtiene %ue>> t) < Ct 2A

:l igualar a cero esta ultima deri#ada resulta %ue

C t 2A < 9

y al des$e!ar =t = %ueda

t en donde la deri#ada > t) tiene un #alor e+tremom,nimo) es decir es el #alor de =t> en donde se $resenta el $unto de infle+in o $untosde infle+in si =t> tomara #arios #alores).

&ara 8allar la abscisa del $unto de infle+in se sustituye t < A en la funcin original

t ) < t3

12tW (Ct 29

as,

A) < (4)3 12 A)W (C A) 29

o bien A ) < A


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197

&or lo %ue el $unto de infle+in se encuentra en & AA)

t)

12

MA

M29

2 A C t

&AMA)

"omo $uedes a$reciar la conca#idad de la cur#a antes del $unto de infle+in esnegati#a y des$u6s del $unto de infle+in es $ositi#a.

DEF'"O'

&;'T- DE 'FELO'. Es un $unto sobre la cur#a f +) en donde la cur#a cambia laconca#idad.

b) C%"a,#a & C%,*9#a

: $artir de la segunda deri#ada de la funcin del $roblema anterior

>> t ) < Ct 2A

"om$leta la siguiente tabla.

t 2 2.B ( (.B A A.B B B.B C

>>t) M0 MC 9 ( 12


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19/

"omo $uedes obser#ar la segunda deri#ada de la funcin antes del $unto de infle+int < A) es negati#a lo %ue %uiere decir %ue la conca#idad de la cur#a es negati#a en eseinter#alo K t K A). :s, tambi6n la segunda deri#ada de la funcin des$u6s del$unto de infle+in es $ositi#a lo %ue %uiere decir %ue la conca#idad de la cur#a es$ositi#a en ese inter#alo A K t K ).

Definiciones

"-'":VD:D. e dice %ue una funcin es cnca#a cuando su conca#idad es$ositi#a es decir cuando la segunda deri#ada de la funcin es $ositi#a.

"-'VELD:D. e dice %ue una funcin es con#e+a cuando su conca#idad esnegati#a es decir cuando la segunda deri#ada de la funcin es negati#a


1. &ara cada una de las siguientes funciones encuentra utili3ando los criterios de la$rimera y de la segunda deri#adaJ

os inter#alos en donde la funcin es creciente.

os inter#alos en donde la funcin es decreciente.

os $untos e+tremos m*+imos yo m,nimos).

os $untos de infle+in.

os inter#alos en donde la funcin es cnca#a.

os inter#alos en donde la funcin es con#e+a.

Xa3 una gr*fica a$ro+imada de cada una de las siguientes funciones sin tabular.

a ) f +) +) < 9 +( +A

ntersecciones con el e!e H+I con y12>+) < 9 +B +C &untos de nfle+inJ &+ByB) &+CyC)

f>>+) N 9

f>>+) K 9

,nimo

cnca#a)

*+imo con#e+a)


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119

2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL

"uando estudiaste geometr,a anal,tica atem*ticas V) seguramente te encontraste con

el $roblema de 8allar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una cur#a en un$unto determinado. &ues bien en esta seccin $odr*s obtener dic8as ecuacionesutili3ando la deri#ada de la funcin.

E!em$lo.

ea la ecuacin de una $ar*bola y < +W + C

'os interesa encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a dic8a cur#a enel $unto &2A).

"omo la deri#ada de la funcin re$resenta la $endiente de la recta tangente a la cur#a

en cual%uiera de sus $untos entonces em$e3aremos $or obtener dic8a deri#ada.:s, y> < 2+ 1

como el $unto en donde nos interesa obtener las ecuaciones de las rectas tangentes ynormal es $2A) %ue tiene como abscisa el #alor de + < 2 entonces el #alor de laderi#ada de la funcin en + < 2 es

f> 2) < 2 2) 1

< A 1

< (

&or tanto la $endiente de la recta tangente a la cur#a en el $unto dado es m < (

Debes recordar %ue las ecuaciones de las rectas tangente y normal sonJ

y y1

< m + +1) Ecuacin de la recta tangente

1y y

1< + +1) Ecuacin de la recta normal

m

en donde =m> re$resenta la $endiente de la recta tangente y los #alores +1 e y1re$resentan las coordenadas del $unto de tangencia %ue en nuestro $roblema estadado $or el $unto $).

De este modo al sustituir los datos %ue tenemos en las ecuaciones anteriores resultaJ


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111

a) $ara la ecuacin de la recta tangente

y A < ( + 2)

y A < (+ C

o sea y < (+ 19

o bien (+ y 19 < 9

b) $ara la ecuacin de la recta normal

1y A <

3+ 2)

al multi$licar la ecuacin anterior $or ( %ueda.

(y 12 < + 2)

o bien (y 12 < + 2

o tambi6n + (y 19 < 9

a gr*fica es como a continuacin se muestra

y

RE"T: T:'GE'TE

+M( M2 M1 9 1 2 ( A

MA &2MA)

RE"T: '-R:

MC


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112


1. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal $ara cada una de lassiguientes funciones y en los $untos %ue se indican.

a) f +) < +W + C en + < (

b) f +) < +W (+ A en + < 2

c) f +) < +(

A+W (+ 2 en + < 1

2. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal $ara cada una de lassiguientes funciones y en los $untos %ue se indican.

a) f +) < +W A en + < 9

b) f +) < +W + 29 en + < (

c) f +) < 2+(

2+W ( en + < 1

EPLICACIN INTEGRADORA

;no de los $roblemas %ue moti# la in#encin del c*lculo fue el $roblema relati#o a latangente a una cur#a en un $unto dado.

:nteriormente a$rendiste %ue la recta tangente a la gr*fica de f+) en el $unto &+1f+1))tiene $endiente m < f>+1). "on este conocimiento la ecuacin de la tangente se obtienef*cilmente $ues conocemosJ a) as coordenadas de un $unto &+1f+1)) y b) la$endiente m < f>+1).

:s, la ecuacin de la recta tangente esJ y f+1) < f>+1) + +1)

a normal a la cur#a en el $unto &+1f+1)) es $er$endicular a la tangente $or lo tanto su

$endiente es rec,$roca y de signo contrario es decir 1

.

f Y +1 )1

&or lo tanto la ecuacin de la recta normal esJ y f+1) < + +1)f Y +1 )


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11(

2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEOPTIMIZACIN Y RAZN DE CAMBIO

E!em$lo.

El director de una determinada em$resa editorial 8a obser#ado %ue si fi!a el $recio de undeterminado libro Z29 #ende 19999 e!em$lares. &ero $or cada $eso %ue incrementa el$recio las #entas disminuyen en A99 co$ias. 45u6 $recio deber* fi!ar el editor a cadalibro de manera %ue el ingreso $ara la em$resa $or la #enta de estos libros seam*+imo 4"u*l es el #alor de dic8o ingreso

&lanteamiento.

4"mo crees %ue se calculan los ingresos

os ingresos se calculan multi$licando el $recio de articulo #endidos as,

< 29) 19999) donde < ingreso

u$ongamos %ue =+> re$resenta el numero de $esos en %ue se incrementa el $recio dellibro entonces.

29 + es el nue#o $recio del libroA99 + es el n?mero de co$ias %ue de!an de #enderse $or cada $eso %ue

aumenta el $recio19999 A99+ es el nue#o numero de e!em$lares #endidos.

Entonces la funcin %ue re$resenta el ingreso en t6rminos del numero de $esos en %uese aumenta el $recio del libro es

+) < 29 +) 19999 A99+)

Esta funcin +) recibe el nombre de funcin ob!eti#o $or%ue es la funcin %ue sere%uiere o$timi3ar.

olucin

:8ora se debe a$licar el criterio de la $rimera deri#ada se deri#a y se iguala a cero lafuncin resultante.

a deri#ada de la funcin +) es

> +) < 1) 19999 A99+) A99 29 +)

o sea > +) < 19999 A99+ /999 A99+


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11A

o bien > +) < /99+ 2999

:l igualar a cero resulta %ue /99+ 2999 < 9

o bien /99+ < 2999

o tambi6n x = 2000

800

y $or tanto9 < = 2.>

5ue re$resenta el n?mero de $esos en %ue se debe incrementar el $recio del libro $araobtener el m*+imo ingreso.

De esta manera al incrementar el $recio de #enta del libro en Z2.B se obtiene el m*+imoingreso. &ara calcular el ingreso m*+imo se sustituye + < 2.B en la funcin ob!eti#o yresulta

2.B) < 29 2.B) [19999 A99 2.B )]

o 2.B) < 22.B) 19999 1999)

o bien 2.B ) < 22.B) 0999)

$or tanto 2.B) < Z 292B99.99

5ue re$resenta el m*+imo ingreso.

E!em$lo.

En una f*brica de art,culos de fibra de #idrio se desea construir un reci$iente cil,ndricocon ta$a %ue tenga ca$acidad de un metro c?bico. 4"u*les deben ser las dimensionesde dic8o reci$iente $ara %ue la cantidad de material em$leado en su construccin sea

m,nima


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11B

&lanteamiento.

El reci$iente tiene la siguiente forma

r

8

&ero si $udiera desen#ol#erlo %uedar,a as,

ta$a r

Cuerpo del cilindro 8

rta$a

el *rea del reci$iente seria la suma del *rea del cuer$o del cilindro m*s el*rea de las dos ta$as

: < 2

olucin.

"*lculo del *rea del cuer$o del cilindroJ

"omo el largo del rect*ngulo es igual a la longitud de la circunferencia c < 2 r

y su altura es =8> entonces el *rea del rect*ngulo : < base + altura) %ueda as,

: < 2 r 8


40/55

11C

"alculo del *rea de las dos ta$asJ

"omo las ta$as tienen forma circular entonces

: < rWy $or tratarse de dos ta$as

: < 2 rW

as, el *rea total es

: < 2 r 8 2 rW funcin ob!eti#o)

"omo la funcin ob!eti#o esta en t6rminos de dos diferentes #ariablesIrI y H8I esnecesario con#ertir dic8a funcin en t6rminos de una sola #ariable y as, $oder deri#arlaf*cilmente.

"omo el #olumen %ue se desea en el reci$iente es de 1 m3

y el #olumen de un cilindroesta dado $or la frmula.

V < r2

8

Entonces

r2

8 < 1

o sea

8

t1

< 2.1 seg.

t2

< 1.17 seg.

4"u*l de estos dos #alores es el correcto

45u6 inter$retacin les das


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12A


. -bt6n la solucin de los siguientes $roblemas.

1) Encuentra dos n?meros $ositi#os cuya suma sea 199 y su $roducto sea m*+imo

2) Encuentra dos n?meros cuya suma sea B9 y tales %ue la suma de sus cuadradossea m,nima

() El ingreso mensual $or conce$to de la #enta de =+> unidades de cierto art,culo estadado $or R +) < 12+ 9.91+W $esos. Encuentra el n?mero de unidades %uedeben #enderse cada mes con el $ro$sito de ma+imi3ar los ingresos. 4cu*l esese ingreso m*+imo

A) En una f*brica de conser#as necesitan botes cil,ndricos con una ca$acidad de unlitro. "alcula las dimensiones de dic8o bote radio y altura) de manera %ue en suconstruccin entre la menor cantidad de material $osible.

B) e re%uiere construir un rect*ngulo con un tro3o de alambre %ue tiene una longitudde 1 metro de manera %ue se forme un rect*ngulo e la mayor *rea $osible. 4cu*les deben ser las dimensiones de los lados

C) ;n tan%ue de aceite %ue tiene forma de un cilindro circular con un radio de / m sellena constantemente a ra3n de 19 m( min. 4"on %u6 ra$ide3 sube el ni#el delaceite

7) e %uiere construir una ca!a cerrada %ue tenga una base cuadrada y unaca$acidad de B999 cm(. si el costo de la base y de la ta$a es de Z C.99 $or cadacmW y el costo de los lados es de Z 2.99 $or cada cmW. Determina las dimensiones%ue debe tener la ca!a $ara %ue sea construida con un costo m,nimo.

/) ;na com$a@,a de bienes ra,ces es due@a de 1/9 de$artamentos %ue se ocu$an ensu totalidad cuando la renta es de Z (999.99 mensuales. a com$a@,a calcula %ue$or cada Z 199.99 de aumento en la renta se desocu$an B de$artamentos. 4cu*ldebe ser la renta mensual $ara %ue la com$a@,a obtenga el m*+imo ingreso

0) ;n tan%ue tiene la forma de un cono in#ertido. a altura de dic8o tan%ue es de1C $ies y el radio de su base es de A $ies. ;na lla#e de agua llena el tan%ue a

ra3n de 2 $ies

(

min. 4%u6 tan r*$ido crece el ni#el cuando el agua tiene B $ies de$rofundidad


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12B

19) e lan3a #erticalmente 8acia arriba una $iedra con una #elocidad inicial de112 ms. i se sabe %ue la ley del mo#imiento es de < 112t A.0 tW en donde =>es la distancia al $unto de $artida calculaJ

a) a #elocidad y la aceleracin en los instantes t < ( y t < A.b) a m*+ima altura alcan3adac) El tiem$o %ue tarda en llegar a una altura de 0C m.d) a aceleracin en cual%uier instante

11) Encuentra dos n?meros reales $ositi#os cuya suma sea A9 y su $roducto seam*+imo.

12) Encuentra dos n?meros cuyo $roducto sea 1C y cuya suma sea m,nima

1() De entre todas las latas cil,ndricas de 8o!alata con ca$acidad de 199 cm(

4cu*l esla %ue re%uiere menos metal Encuentra =r> y =8>).

1A) i el n?mero de turistas %ue 8acen un recorrido en autob?s a una determinadaciudad es de (9 e+actamente la em$resa cobra Z299 $or $ersona. &or cada$ersona %ue se suma a las (9 el costo $or $ersona se reduce en ZB. 4cu*l es eln?mero $timo de turistas %ue el autob?s debe lle#ar $ara %ue la em$resa obtengael m*+imo beneficio

1B) ;n alambre de C9 cm. De largo se $arte en dos $eda3os. "on una de las $artesformar* un c,rculo y con la otra se formar* un triangulo e%uil*tero. 4cu*l debe serla longitud de cada uno de estos $eda3os $ara %ue la suma de las *reas de lasdos figuras sea m*+ima 4y $ara %ue sea m,nima

1C) De una $ie3a cuadrada de cartn se #a a formar una ca!a abierta en su $artesu$erior y $ara ello se recorta un $e%ue@o cuadrado en cada una de las es%uinasy $osteriormente se doblan sus bordes. El cartn mide A9 cm. &or cada lado.

recortar

A9cm

doblar

A9cm

Encuentra las dimensiones de la ca!a de modo %ue se obtenga el #olumen m*+imo.


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12C

17) ;na escalera de 2B $ies de largo se a$oya contra una $ared #ertical. i la base dela escalera se desli3a 8ori3ontalmente ale!*ndose de la $ared a ( $iesseg. 4%u6tan r*$ido se desli3a la $arte su$erior de la escalera cuando la base se encuentraa 1B $ies de la $ared

1/) El agua esca$a $or la $arte inferior de un de$sito cnico a ra3n de 1 $ie(min.

4"on%ue ra$ide3 #aria el ni#el del agua cuando su altura sobre el fondo es de C$ies

4: %ue ra3n cambia el radio de la su$erficie del agua en ese instante

10) Desde un te!ado de 112 m de altura se lan3a #erticalmente 8acia arriba una $elota%ue finalmente regresa al suelo. i se sabe %ue el es$acio => recorrido desde elte!ado es < 0Ct 1C tW m) calculaJ

a) a $osicin de la $elota su #elocidad y el sentido del mo#imiento en el instante

t < 2.b) u #elocidad al llegar al suelo.


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127

EPLICACIN INTEGRADORA

a deri#ada nos $ermite resol#er toda una gama de $roblemas de o$timi3acin comoma+imi3ar ganancias minimi3ar la cantidad de material em$leado $ara fabricar un$roducto y $ara calcular ra3ones de cambio como #elocidad aceleracin etc.

&ara resol#er un $roblema se necesitaJ

1. "om$render el $roblema. En esta fase se identifican los datos las incgnitas y lascondiciones.

2. Elaborar un $lan $ara lo cual se determina la relacin entre los datos y la incgnita seformula el modelo matem*tico y se establecen los $asos a seguir incluyendo laa$licacin de los conce$tos del "*lculo Diferencial.

(. E!ecutar el $lan.

A. Verificar la solucin obtenida.


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12/

Variacin de

una Funcin

mediante

Gr*fica

identific ndo

Dominio y

Rango

RECAPITULACIN

Xas concluido el estudio del ca$,tulo 2 Ha$licaciones de la deri#adaI anali3a el siguientees%uema en donde se muestran los conce$tos %ue se abordaron $ara ayudarte aorgani3ar los conocimientos %ue 8as ido construyendo.

:&":"-'E

DE : DERV:D:

en $ara obtener en la solucin de

:n*lisis y Tra3o de

"ur#as

Ecuaciones de las

Rectas Tangente y

&roblemas de -$timi3acin

y Ra3n de "ambio

estudiar determinar calcular identificar

ntersecciones con

los E!es "oordenados

*+imos y

,nimos

&untos de

nfle+in

$ara obtener anali3ando usando

"eros de una

Funcin

y encontrar

nter#alos $ara los

%ue una Funcin es

&ositi#a o 'egati#a

nter#alos

$ara los %ue

la Funcin

es "reciente

o

Decreciente

a$licando

"riterio de la

1\ Deri#ada

"riterio

de la 2\

Deri#ada

$ara determinar

"onca#idad

y

"on#e+idad


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120

ACTIVIDADES INTEGRALES

"on el ob!eto de reafirme tus conocimientos resuel#e los siguientes $roblemasJ

1 En un determinado 8uerto el agricultor $lanta man3anos con una densidad de (9man3anos $or acre y el #alor de la cosec8a $roducida $or cada *rbol es deZ199.99.si adem*s se sabe %ue $or cada *rbol e+tra %ue se $lante en un acre el#alor de la cosec8a disminuye en Z(.99 entonces se $odr,an $lantear las siguientes$reguntasJ

a) 4"u*l es el n?mero de *rboles %ue deben $lantarse $or acre con el ob!eto deobtener el m*+imo #alor de la cosec8a

b) 4"u*l es el #alor m*+imo de la cosec8a

c) 4"u*l debe ser el inter#alo de #ariacin del n?mero de man3anos e+tra$lantados $ara %ue el $roblema tenga sentido

d) 4"u*l es el inter#alo de #ariacin $ara el #alor de la cosec8a %ue es $osible eneste $roblema


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1(9

2 ;n atleta ol,m$ico dis$ara una flec8a con una #elocidad #ertical de (Bms. e sabe%ue la flec8a se encontrar* a una altura sobre el suelo de 8 t) < A.0t

2 (Bt HtI

segundos des$u6s del dis$aro entonces se $regunta lo siguienteJ

a) 4"u*nto tiem$o se tarda el $royectil en llegar al suelob) 4"on %u6 #elocidad #ertical llega al suelo la flec8ac) 4"u*l es la altura m*+ima %ue alcan3ad) 4: %ue #elocidad #ertical #ia!a la flec8a al cabo de ( B o 7seg. e) 4"u*l es la aceleracin #ertical %ue e+$erimenta la flec8a al cabo de ( B o

7seg.

( ;no de los e+tremos de una #arilla s6 1B cm. de longitud se encuentra unida en suse+tremos a dos correderas una #ertical y otra 8ori3ontal.

i se !ala la corredera interior 8acia la derec8a a ra3n de 90.( cms. EntoncesJ

a) 4"on %u6 #elocidad ba!a el e+tremo su$erior de la #arilla cuando su e+tremoinferior se encuentra ale!ado de la corredera #ertical a una distancia de A cm.

b) 4"u*ndo se mo#er*n con la misma #elocidad los dos e+tremos de la #arillac) 4"u*ndo ba!a el e+tremo su$erior de la #arilla a ra3n de 1.2 cm. seg.


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AUTOEVALUACIN

"om$ara las res$uestas %ue obtu#iste en las acti#idades de consolidacin con los#alores %ue enseguida se te muestran

En caso de %ue tengas dudas consulta con tu asesor de contenido.

1) a) (9 B() *rboles o bien (2 *rboles.

b) Z(99/ acrec) 9 K + K (( + < n?mero de man3anos adicionalesd) CC K y K (99/ y < #alor de la cosec8a en Z).

2)a) t < 7.1A seg.

b) 8[ 7.1A) < (Bms.c) 8[ (.B7) < C2.B m.d) 8[ () < B.Cms.

8[ B) < 1A ms.8[ 7) < (( ms.

e) 8[[t) < 0./ msW

()a) dy < 9.2B cms.b) cuando + < yc) cuando + < 12 cm. e y < 0 cm.

Aplicaciones de La Derivada-cb

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