Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 1 DERIVADA DE UNA FUNCIN :APLICACIONES DE LA DERIVADA Tasa de variacin media Ejemplo: Los beneficios de una empresa A han pasado de 5 millones de euros en el mes deabrila6,2millonesenelmesdejulio.LosdeunaempresaBhanpasadode4 millones de euros en el mes de abril a 5 millones en el mes de junio. Qu empresa ha crecido ms mensualmente? Sol: La empresa A ha ganado 12 millones de euros en 4 meses, por lo que su crecimientoha sido de 300 mil euros al mes. La empresa B ha ganado 1 milln de euros en 3 meses, por lo que su crecimiento ha sido de aproximadamente 333 mil euros al mes.Si consideramos el beneficio (en millones de euros) como una funcin del tiempo (en meses); el beneficio mensual sera el cociente entre el beneficio a lo largo de una serie de meses entre el nmero de meses. Este cociente se llama tasa de variacin media. En general: Se llamatasa de variacin media de la funcinf(x)en el intervalo[a, b] al siguiente cociente: [ ]( ) ( )a ba f b fb a M V T= , . .Llamandoh x b x a + = =0 0,, la frmula anterior queda: [ ]( ) ( )hx f h x fh x x M V T0 00 0, . . += + Y es una medida de la variacin de la funcin en dicho intervalo. Grficamente, la T.V.M es la pendiente de la recta que pasa porA(x0, f(x0))y B(x0+h, f(x0+h)). Ejemplos: -El espacio (en metros), que recorre un coche en funcin del tiempo (en segundos), viene descrito por la frmula t t t f + =231) ( . Halla su velocidad media los 3 primeros segundos. Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 2 Sol: La velocidad media los 3 primeros segundos equivale a la tasa de variacin media en el intervalo[0, 3], entonces [ ]( ) ( )sg mf fM V T / 230 60 30 33 , 0 . . === -La poblacin P de un determinado pas se da en la siguiente tabla. Ao199619982000200220042007 Poblacin (en miles de habitantes) 29 67230 24830 79131 31431 81632 536 a) En qu unidades se medir en este caso la tasa de variacin media? b)CoincidelaTVMentre1996y1998conlaTVMentre2002y2004?Qu significado tiene este hecho? Derivada de una funcin en un punto. -El espacio (en metros), que recorre un coche en funcin del tiempo (en segundos), viene descrito por la frmula t t t f + =231) ( . Halla su velocidad instantnea en el instante 3 segundos. Sol:( ) ( )sg mhhh hhf h ffh h h/ 3 33lim ........6 3 331lim) 3 ( ) 3 (lim ) 3 ( '020 0= + = = + + += += En general: La derivada de la funcin f(x) en el puntox0, se denota como f (x0) y es el valor del siguiente lmite, si existe y es finito: hx f h x fx fh) ( ) (lim ) ( '0 000 +=

Y representa la medida de la variacin de la funcin en el puntox0(sera la tasa de variacin instantnea en el punto x0 ). Medira la rapidez con la que la funcin vara en las proximidades del x0. Si existe f (x0) diremos que f es derivable en x0. La derivada es un nmero real que puede ser positivo, negativo o cero. Grficamente f (x0)es la pendiente de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto de abcisax0.(Intuitivamente se ve que cuandoh se va aproximando a 0, la pendiente de la recta que pasa por los puntosP y Q, que es la TVM en [x0, xo+h], se va aproximando a la pendiente de la recta tangente a la grfica en P, que es precisamente la derivada de f en x0 ). Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 3 Ejemplos: 1)A)Calculalapendientedelarectasecantealacurvadeecuacin 23 ) ( x x f =que corta a su grfica en los puntos de abscisas 3 y 4. B)Calcula la pendiente de la recta secante a la curva de ecuacin 23 ) ( x x f = que corta a su grfica den los puntos de abscisas 3 y 3,01. C)Calculalapendientedelarectatangentealacurvadeecuacin 23 ) ( x x f =enel punto de abscisa 3. 2-Dada la funcinf(x) = x3. Calcularf (1). Interpretar el resultado grficamente. 3-Dadaf(x) = 3x .Hallarf (0). Interpretar el resultado grficamente. 4-Halla la ecuacin de la recta tangente a la grficaf(x) = x2 + 3en el puntoP(1, 4).(Recordamos que la ecuacin de una recta viene dada por la frmulay = mx + n; donde m es la pendiente de la recta). 5-A un enfermo se le toma la temperatura durante tres horas y media y se observa que la evolucin de la fiebre viene dada por la funcin f(t) = t2 + 3t + 38, donde t viene dado en horas, y f(t), en grados. Calcula la derivada de esta funcin a las cero horas, a la hora y a las dos horas. Interpreta los resultados obtenidos. 1.Derivabilidad y continuidad -Derivadas laterales Llamamos derivada por la izquierda de f en x0 : hx f h x fx fh) ( ) (lim ) ( '0 000 += Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 4 Llamamos derivada por la derecha de f en x0 : hx f h x fx fh) ( ) (lim ) ( '0 000 +=++

- Si = =+ c x f x f ) ( ' ) ( '0 0Diremos que f es derivable en x0yc x f = ) ( '0 (la curva es suave en ese punto). Es equivalente a decir que f es continua enx0. - Si + ) ( ' ) ( '0 0x f x fDiremos quefno es derivable en x0 y por tanto no existe) ( '0x f(la curva presenta un punto anguloso en ese punto) -Proposicin Si f(x) es derivable en x0 entonces es necesariamente continua en dicho punto : Sifes derivable en/0x fes continua en 0x Dem: Tenemos que demostrar que f(x) es continua en x0,tomando como premisa que f(x) es derivable en x0. Tenemos: ( ) ) ( ) ( lim 0 ' 0) ( ) (lim lim)] ( ) ( [lim )] ( ) ( [ lim0 0000 00 00 000 00x f h x f x fhx f h x fhhx f h x f hx f h x fhh h h h= + = = + = += + , . Con lo que queda demostrado que f(x) es continua enx0. *(por ser derivable en x0 existe este lmite ). Observaciones: -Si una funcin no es continua en un punto no puede ser derivable en l. -Una funcin puede ser continua en un punto y, sin embargo, no ser derivable en l (bien por ser un punto anguloso o por tener tangente vertical en dicho punto). -Para que una funcin sea derivable en x0tiene que ser continua en x0 , adems tiene que existir la derivada enx0 y dicha derivada tiene que ser continua en x0. Ejemplos: 1)Sea > =2 32 3 2) (2x si xx si xx f Estudia su continuidad y derivabilidad en x = 2.Sol: f no es continua en x = 2 y por tanto tampoco es derivable en x = 2. Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 5 2)Sea > =2 82 3 2) (2x si xx si xx f Estudia su continuidad y derivabilidad en x = 2. Sol: f si es continua enx = 2 , sin embargofno es derivable en x = 2pues) 2 ( ' ) 2 ( '+ f f . Grficamente significa que en x = 2la funcin tiene un punto anguloso. 3)Comprueba que la funcin3) ( x x f =aunque es continua no es derivable en x = 0. Por qu? 4) Estudia la derivabilidad de la funcin: + + + =00 5) (22x si n xx si mx xx f 6)Calculaaybpara que la funcin siguiente sea derivable en todo R. > + =1 / 31) (2x si bxx si a x xx fSol:a=5,b=1 7) Estudiar la derivabilidad de la funcin:. 2 = x y 8) Estudiar la derivabilidad de la funcin:. 1 + = x y Funcin derivada Si una funcinfes derivable en todos los puntos de un intervaloI , la funcin: ) ( ' : ' x f x f definida enI, se llama funcin derivada de f (es la funcin que asigna a cada valor x del intervalo I la pendiente de la recta tangente a la grfica de f en el punto de abscisax). (A su vez, sif es derivable, su derivadaf se denomina derivada segunda, as sucesivamente se definenn v vf f f f ,... , ' , ' ' ') La funcin derivadaf (x)se obtiene: hx f h x fx fh) ( ) (lim ) ( '0 += Ejemplo: -Teniendo en cuenta que la funcin derivadaes otra funcin, halla la funcin derivada de f(x) = 3x4. Calcula despus la derivada en x=1, x=2.Calcula hasta donde puedas las derivadas sucesivas. Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 6 Observacin importante: Existen unas reglas de derivacin que permiten obtener de forma rpida y cmoda la funcin derivada de cualquier funcin (sin tener que realizar el lmite). Previamente: Derivadas de funciones elementales. Para simplificar la notacin utilizaremos la expresiny para referirnos a f (x): Si 0 ' = = y k yEj:0 ' 5 = = y y Si 1 ' = = y x y Si k y x k y = = ' Ej:3 ' 3 = = y x y Si 1 '= =n nx n y x y(se puede extender a mm nm nxmny x y= = '/ ) Ej:a)3 4 4 ' x y x y = =b) 2 2 315 3 5 ' 5 x x y x y = = = c)21'1xyxy= =d) xy x y21' = = e) 33 232'xy x y = =f) 5 323'1xyxy= = Si Lna a y a yx x ' = =Ej:2 2 ' 2 Ln y yx x= = Si x x xe Lne e y e y = = = ' Ej:x xe y e y 3 ' 3 = = Si a xy x yaln1' log = = Ej:2 ln1' log2xy x y = = Si x e xy x Lx y1ln1' ln = = = = Si x y senx y cos ' = = Si senx y x y = = ' cos Si xx tg y tgx y22cos11 ' = + = = Reglas de derivacin. 1)Derivada de una suma o resta de funciones: Sea ) ( ' ) ( ' ' ) ( ) ( x g x f y x g x f y = = Ej: 5 6 ' 5 32 = = x y x x y 2)Derivada del producto de una constante por una funcin: Sea ) ( ' ' ) ( x f k y x f k y = = Ej:5 ln 5 3 ' 5 3x xy y = = Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 7 3)Derivada de un producto de funciones: Sea ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' ) ( ) ( x g x f x g x f y x g x f y + = = Ej: xLxx xLxxx Lxxy Lx x y22 121 21' += + = + = = 4)Derivada de un cociente de funciones: Sea ) () ( ' ) ( ) ( ) ( '') () (2x gx g x f x g x fyx gx fy= = Ej: 22 323 2 3) 1 (2 15 10) 1 (1 ) 2 5 ( ) 1 ( 15'12 5++ +=+ += +=xx xxx x xyxxy 5)Derivada de una composicin de funciones. Regla de la cadena: Sea [ ] ( ) [ ] ) ( ' ' ' ) ( ) )( ( x f x f g y x f g x f g y = = = -Aplicacin de la regla de la cadena: a) Derivada de una funcin potencial: ' '1f f n y f yn n = = Ej: ( ) ( ) ( ) 5 6 1 5 2 3 ' 1 5 222333 + = + = x x x y x x y b)Derivada de una funcin exponencial: ' ln ' f a a y a yf f= = ' ' f e y e yf f= = Ej:2 ln 6 2 ' 21 3 1 32 2x y yx x = = 5 '5 5 x xe y e y = = c) Derivada de una funcin logartmica: a ffy f yaln'' log = = ffy f y'' ln = = Ej: 5 ln 215 ln21' log5xxxy x y = = = ( )x xxy x x y2 52 15' 2 5 ln323= = d) Derivada de las funciones trigonomtricas:

' cos ' f f y senf y = =

' ' cos f senf y f y = =

[ ]fff f tg y tgf y22cos'' 1 ' = + = = Ej: Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 8 -( ) ( )( ) 2 2 2 cos ' 22 2 = = x x x y x x sen y - ( ) ( ) ( ) x x x sen y x y 2 1 2 1 ' 1 cos22222 = =-[ ]) (ln cos/ 1 1) (ln 1 ' ) (ln22xxxx tg y x tg y = + = = Para ensayar realiza las siguientes derivadas: 1 12 2 ' 2 ) 1+ += =x xLn y y45'45) 2= = yxy xxy xxx y 223 '23 ) 322+ + = + =x xxy Lx y2 2' ) 422= = =xLxy x L y2' ) 52= =21' ) 6xLnxyxLnxy= =( ) ) 2 3 ( ) 3 ( 3 ' 3 ) 72 232x x x y x x y = =3 26'3) 8xyxy= =xy x y22' 8 ) 9 = =xy x L y= =32' ) 3 ( ) 102 x x y x x x y 10 6 8 ' ) 2 )( 2 )( 5 2 ( ) 112+ = + =) 5 14 ( ) 1 )( 4 ( ' ) 1 ( ) 4 ( ) 122 3 2x x x y x x y = =6 ' 2 3 ) 13 = = y x x y ) 1 ( ' ) 14 x e y e x yx x+ = =22 2) 1 2 (3 2 2'1 23) 15+ += +=xx xyxx xy 2) (1' ) 16LnxLnxyLnxxy= =221'1) 17xyxy= =1 3 1 32 2 2 '31) 18 = =x xe x y e y) 1 ( 2 ' ) 192 22 2x xe y e x yx x+ = = x y x y = = '32) 203 Lx xy Lx y21' ) 21 = =2 2 22 2) 3 ( ) 3 (3 2' ) 3 ( ) 22x x L x xxy x x L y = = 0 '11) 22 = = yxxy6377271 2 ' 0'7lg1 ' 0) 23 xxLn xyxxxy + = + = ) 9 5 ( ) 5 ( ' ) 5 ( ) 242 3 2 4 2x x y x x y = =3 2) 1 (8 2') 1 (3 2) 25 = +=xxyxxy APLICACIONES DE LA DERIVADA: 1)Recta tangente a una curva en un punto: Si f(x) es derivable enx0, la ecuacin de la recta tangente a la grfica def(x) en elpunto de tangencia(x0 , f(x0) ) es: y = f(x0) + f (x0)(x-x0) Tambin se puede obtener a partir de la ecuaciny = mx + n, teniendo en cuenta quem = f(x0). Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 9 Ejemplos: a)Halla la ecuacin de la recta tangente a la grficade la funcin 21) (=xx fen el punto de tangencia P(3, f(3)). Sol:y = - x + 4

b)Halla la ecuacin de las rectas tangentes a la curvay = x2 + 2x + 1, en los puntos de abcisas:x0 = -2, -1, 0. Represntalas y saca conclusiones. Sol:y-1=-2(x+2)y=0y=2x+1 c)Halla la ecuacin de las rectas tangentes a la curvaxxy42+=que sean paralelas al eje horizontal. Sol:y = - 4y = 4 d)Halla la ecuacin de las rectas tangentes a la curvay = x3 26x + 50 que sean paralelas a la bisectriz del primer cuadrante. Sol:y = x+104 y = x-2 e)Halla la ecuacin de las rectas tangentes a la curvaxy1=que sean paralelas a la recta de ecuacin y = -9x Sol: y+3=-9(x+1/3)y-3=-9(x-1/3) 2)Crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Intervalos de crecimiento -Diremos que f(x) es creciente en (a, b), si se cumple: ) ( ) ( , ), , ( ,2 1 2 1 2 1x f x f x x b a x x < < en tal casof (x)>0 en todos los puntos del intervalo(a, b). -Diremos que f(x) es decreciente en (a, b), si se cumple: ) ( ) ( , ), , ( ,2 1 2 1 2 1x f x f x x b a x x > < en tal casof (x) 0six > 2, luego comenz a producir beneficios a partir del 2 ao. c)060) ( '2> =xx f para todo el dominio) , 0 ( + , luego f(x)es siempre creciente y por tanto no alcanza ningn mximo. d)Si es rentable, pues a partir del 2 ao produce siempre beneficios. 3)En una industria se producen recambios de piezas de automviles. Se ha hecho un estudio de los costes de los recambios fabricados y ha resultado que el coste diario de produccin dexpiezas viene dado por la funcin: 22 20 3200 ) ( x x x C + + =euros. a)cuntas piezas de estos recambios se tiene que producir diariamente para que el coste de cada pieza sea el mnimo posible? b)Cul es el coste diario al fabricar el nmero anterior de piezas? Sol:a)La funcin coste unitario es xxx F 2 203200) ( + + = . Esta es la funcin que hay que minimizar. Haciendo F(x) = 0, obtenemos quex =40 (desechamos el valor x = -40, pues el dominio de F(x) es ) , 0 ( + . Estudiando el crecimiento de F(x) se comprueba que el valor (40, F(40)) es un mnimo relativo. Por tanto concluimos que: Hay que producir 40 unidades para que el coste unitario sea mnimo, dicho coste unitario ser deF(40) = 180 euros. b)El coste diario al fabricar 40 piezas ser de C(40) = 7200 Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 20 4)Escribirelnmero4comosumadedosnmerospositivostalesquelasumadel cuadrado del primero y del cubo del segundo sea mnima. Sol: 1 Paso. Los nmeros son x e y 2 Paso. Funcin a minimizar es la suma 3 2y x S + =3 Paso. Como la funcin depende de dos variables escribimos una variable en funcin de la otra, utilizando el dato del problema 4 = + y x Despejando x y = 4 4Paso.Como xe ytienenqueserpositivos 0 > yesdecir,0 4 > x,entonces x debe pertenecer al intervalo ( ) 4 , 0 5Paso.Sustituimosen S,resultando ( )3 24 ) ( x x x S + =funcinaminimizar dependiente de x 6Paso.Paracalcularelmnimodelafuncinsederivayseigualaacero. 0 48 26 3 ) (2= + = x x x S resulta 38= xy6 = x (el 6 lo descartamos pues no es del intervalo (0, 4)) 7Paso.Sehacelasegundaderivadaparacomprobarqueefectivamente 38= xesun mnimo.26 6 ) ( + = x x S; ( ) 0 26 6 ) (3838> + = S es un mnimo 8 Paso. Conocido el valor de x se calcula el valor de y, siendo 34= y Solucin: La suma S, se hace mnima con la restriccin propuesta, 4 = + y x, para: 38= xe 34= y 5)Sedeseaconstruirunalatadeconservasenformadecilindrorectodereatotal 2150cmy volumen mximo. Determinar su generatriz y su radio. Sol: 1 Paso. Funcin a maximizar el h r V2 = 2Paso.Estafuncindependededosvariables:radio(r)ygeneratrizoalturadel cilindro (h). 3 Paso. Escribimos una variable en funcin de la otra, utilizando el dato del problema referido al rea. h r r A 2 22+ = h r r 2 2 1502+ = simplificando r r + =275. Despejando rrh275 = 4 Paso. 0 > h. Por tanto(((

\|75, 0 r. 5 Paso. Sustituimos en el volumen hpuesta en funcin de r Ies Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 21 3227575) ( r rrrr r V == 6 Paso. Para calcular el mximo de la funcin se deriva y se iguala a cero. 0 3 75 ) (2= = r r V portantoresulta 5 25 = = r(descartamoselradio negativo) 7 Paso. Se hace la segunda derivada para comprobar que efectivamente es un mximo en 5= r. 0 6 ) ( < = r h V , efectivamente es un mximo 8 Paso. Calculo el valor de h, siendo 10= h Respuesta:Elcilindrodevolumenmximoyreatotalde 2150cm,tienepor dimensiones 5= r cm y 10= h cm. 6)Queremos construir en nuestro chalet una piscina en forma de ortoedro de base cuadrangular. Con el material de que disponemos podemos recubrir una superficie total de 192m2. Calcula las dimensiones de la piscina para que su volumen sea mximo. Qu volumen de agua albergar? Sol: 1. Encontrar la funcin que hay que optimizar. En este caso sera la funcin volumen (puede ayudar hacerse un dibujo o esquema)

y V (x,y) =x2 y x x 2. Encontrar una relacin entre las variables (con el fin de que la funcin a optimizar quede en funcin de una sola variable). Utilizando el dato del rea tenemos: A = x2 + 4xy =192 xxy41922=Por lo que tendremos: 419241924192 ) (3 4 2 22x xxx xxxx x V==|||

\| = 3. Calculamos los extremos relativos. 8 043 192) ( '2 = == xxx V (son los puntos singulares o posibles extremos relativos). El valor negativo no tiene sentido pues se trata de una longitud. ComoIes Africa Matemticas CCSSIIEnrique JanCurso 11-12 22 < = 0 ) 8 ( ' '46) ( ' ' Vxx V En x = 8 hay un mximo relativo. 4. Interpretar los resultados. Parax = 8se obtiene el volumen mximo. Tendremos 48 48 192) 8 (2== y

Es decir, la piscina de volumen mximo tendr 8m de lado de la base y 4m de altura. Su volumen ser:V = 82 4 = 256 m2. Ejercicios: 1)El coste de produccin dexunidades diarias de un determinado producto es25 35412+ + x xy el precio de venta de cada una de ellas es450xmiles de euros. Halla el nmero de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio obtenido sea mximo. (Ten en cuenta que la funcin beneficio se obtiene restando el precio de coste del precio de venta). Sol:15 unidades diarias. 2)Queremos limitar una parcela rectangular de 24 dam2por medio de una valla, y dividirla en dos partes iguales mediante otra valla paralela a uno de los lados. Qu dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla utilizada sea mnima? Sol:x = 6 dam, y = 4 dam. 3)Despus dethoras de estudio, el rendimiento de cierto estudiante (en una escala de 0 a 100) viene dado por la funcin: 4380) (2+=ttt r a)Calcula el rendimiento a las 4 horas de estudio. b)Determina cuando el rendimiento va en aumento y cuando en disminucin durante las 7 primera horas de estudio. c)Determina en que momento consigue el estudiante su mximo rendimiento , as como el valor de ese rendimiento mximo. Sol:a)A las 4 horas tiene un rendimiento de 76. b)De 0 a 2 horas crece y de 2 a 7 horas decrece. c)El mximo rendimiento se consigue a las 2 horas y es de 95.