Fuerza de atraccion Gravitacional F

SATELITE

TIERRA

X Km

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA

LICENCIADO : GONZALO FERNÁNDEZ ROMERO

I. EL PROBLEMA DE LA TANGENTE

Definición.-Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva. Recta Tangente Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de está, se reduce a encontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación ( )y f x ,

donde f es una función continua. Se desea trazar la recta tangente, TL , en un

punto 0 0( , )P x y dado de la curva. Sea PQL la recta secante que pasa por los

puntos 0 0( , )P x y y ( , )Q x y de la curva.

La figura (1) muestra que s

ym

x

es la pendiente de la secante PQL , i.e.

0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )s

f x f x f x h f xm

x x h

,

FIGURA 1

Cuando 0h , P permanece fijo y Q se mueve sobre la curva acercándose a P ; la

secante PQL va girando alrededor de P hasta que llega a su posición límite que es la

tangente TL a la curva en el punto P : Así la secante geométrica se transforma en la tangente geométrica, m , i.e.

0 00

0 0

( ) ( )lím lím ( )Sh h

f x h f xm m x

h

.

Concepto de Continuidad: Una función es continua en un intervalo I si su gráfica no tiene roturas, saltos o agujeros en dicho intervalo. Definición de Continuidad: La función f es continua en 0x si f está definida en

0x , y

00( ) ( )

x xlím f x f x

.

La función f es continua en un intervalo I si es continua en todo punto del intervalo I .

II. DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN a) Derivada de una Función en un Punto Definición.-Sea :f I R R una función real y 0x I (I es un intervalo). La

derivada de f en el punto 0x , denotada por 0(́ )f x , es el 0

0

0

( ) ( )límx x

f x f x

x x

si este

límite existe, i.e.

0

00

0

( ) ( )(́ ) lím

x x

f x f xf x

x x

.

Si en la definición anterior se sustituye 0x x por h , entonces 0h cuando

0x x y 0x x h . Luego

0 00 0

( ) ( )(́ ) lím

h

f x h f xf x

h

,

si este límite existe. Nota: La función f es derivable en 0x si 0(́ )f x existe.

b) Recta Tangente ( )TL La derivada de f en 0x , si existe, es la pendiente de la recta tangente a la curva

( )y f x en el punto 0 0( , ( ))P x f x . La ecuación de esta recta es: 0 0 0: ( ) (́ )( )TL y f x f x x x . Si 0(́ ) 0f x , la tangente a la curva ( )y f x en el punto 0 0( , ( ))x f x es una recta horizontal.

c) Función Derivable Si (́ )f x existe para cada x en un intervalo I , I R, se dice que la función f es derivable en I . Definición.-Si f es una función derivable en un intervalo I , I R, entonces ´f es una nueva función llamada la función derivada de f , cuya regla de correspondencia es:

0

( ) ( )(́ ) lím

h

f x h f xf x

h

.

El dominio de ´f esta formado por todos los números del dominio de f para los

que existe ´f ´( )f fD D .

Ejemplo: Si ( )f x x con 0x , entonces 1(́ )

2f x

x está definida únicamente

para 0x , es decir, ´ (0, )fD .

Notaciones para la derivada de una función La derivada de ( )y f x con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos:

(́ ); ( ); ( ); ;́ ;x x

df dyf x x D f x y D y

dx dx.

a) ( )xD f x se lee: derivada de ( )f x respecto a x .

b) dy

dx se lee: derivada de y respecto a x .

c) (́ )f x se lee: f prima de x .

III. RAZÓN DE CAMBIO (INSTÁNTÁNEO) (Interpretación física de la derivada)

La pendiente de la recta secante de f sobre el intervalo ,a b esta dada por:

( ) ( )

. . . . .f b f a

Razon de cambio promedio de fb a

.

El cociente 0 0( ) ( )f x x f xy

x x

es la razón promedio de cambio de y con respecto a x , sobre el intervalo

0 0,x x x .

La derivada de f en 0x es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el

punto 0 0( , ( ))x f x , ( )x h :

0 00

0

( ) ( )( )

h

f x h f x dyf x lím

h dx

,

y da la razón de cambio instantánea de f en 0x . La segunda derivada de f , denotada por f , es la derivada de f .

Ejemplos de funciones que dependen del tiempo t : 1) ( )N N t : Cantidad de una sustancia radioactiva, en cualquier instante. 2) ( )T T t : Temperatura de un cuerpo en cualquier instante. 3) ( )E E t : Cantidad de dinero, en miles de euros, depositado en una cuenta del BCP.

La velocidad de P, en un instante t es: ds

vdt

.

i) Si 0v , P se mueve en la dirección creciente de s (P se aleja de O ). ii) Si 0v , P se mueve en la dirección decreciente de s (P se acerca a O ). iii) Si 0v , P está en reposo en dicho instante (partícula estacionaria). Notas: 1) Rapidez velocidad

2) La rapidez nos indica únicamente cuan rápido se mueve la partícula, mientras que la velocidad instantánea nos indica además, la dirección del movimiento.

La aceleración de P, en un instante t es: 2

2

dv d sa

dt dt .

Si 0a , v aumenta; Si 0a , v disminuye.

Matemática I Lic. Gonzalo Fernández Seminario Nº 3

PROBLEMA 1:

El Problema del Satélite

1. El módulo lunar SCANFCNM pesa 4 toneladas cuando está sobre la superficie lunar, pero pierde

peso cuando es colocado en órbita lunar. Si el radio de la luna es de 3800 Km:

a) ¿Cuánto pesará el SCANFCNM cuando esté a 200 Km sobre la superficie lunar?

b) ¿A qué razón está “perdiendo peso” el SCANFCNM cuando se encuentra a 200 Km de la

superficie lunar?

Nota: La atracción gravitacional entre la Luna y el satélite es inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre sus centros.

Fuerza de atraccion Gravitacional F

SATELITE

TIERRA

X Km

SOLUCION

Matemática I Lic. Gonzalo Fernández Seminario Nº 3

Por la Ley de atracción gravitacional del inverso del cuadrado; 21xF :

2KxF , K : constante de proporcionalidad 2( ) K

xF x , donde:

F : Fuerza gravitacional (en kg.) que ejerce la Luna sobre el satélite cuando esta se encuentra a

una distancia de x km del centro de la Luna.

Calculando la constante K :

El satélite pesa 4 toneladas (4000 kg.) antes de ser lanzado, y el radio de la Luna es de 3800 km:

(3800) 4000F 22

38004000 4000 3800K K . Por lo tanto:

2 3

22 2(4000 3800 )4000 3800( ) dFx xdx

F x

a) Cuando el satélite está a 2000 km sobre la Luna, se encuentra a 3800+200 = 4000 km del

centro de la Luna, entonces su peso es:

2

24000 38004000

3610(4000)F kg.

b) Parecerá estar perdiendo peso (signo negativo) a una razón aproximada de:

3

22(4000 3800 )4000

1,8dFdx

/kg km .

Nota.- El signo negativo indica que la atracción gravitacional, entre la Luna y el satélite,

disminuye cuando el satélite se aleja del centro de la Luna.

PROBLEMA 2:

EL PROBLEMA DE LA POLEA

Una cuerda de 32 pies de largo está amarrada a un peso y pasa por una polea que está a

16 pies sobre el suelo. Desde el suelo se jala del otro extremo de la cuerda a la

velocidad de 3 pies/seg. ¿A qué velocidad sube el peso en el instante en que el otro

extremo de la cuerda está a 12 pies del punto inicial?

Solución:

Datos (ver gráfico): /3pies segdydt

Velocidad de elevación: ?dt

dx

Si y = 12 pies

Del gráfico:

y2 = (16+x)2 -162 ; y2 = 32x + x2 ..........(1)

Derivando implícitamente con respecto a t:

dt

dxx2

dt

dx32

dt

dyy2

)2...(..........dt

dx)x16(

dt

dyy

En (1) Si y = 12 122 = 32x +x2 ; x2 + 32x – 144 = (x+36)(x-4) = 0

pero x 0, x = distancia en pies x = 4

Luego si y = 12 x =4 ........(3)

Reemplazando (3) en (2) : 12(3) = (16+4)dt

dx2036

dt

dx

seg/pies5

9

dt

dx .

IV. CONCEPTOS, DEFINICIONES Y TEOREMAS IMPORTANTES PARA MÁXIMOS Y

MÍNIMOS Y GRÁFICA DE FUNCIONES Funciones Crecientes y Funciones Decrecientes Una función f es creciente si los valores de ( )f x crecen cuando las x crecen. Una función f es decreciente si los valores de ( )f x decrecen cuando las x crecen. La gráfica de una función creciente asciende vista de izquierda a derecha. La gráfica de una función decreciente desciende vista de izquierda a derecha. Concavidad La gráfica de una función es convexa (cóncava hacia arriba) si se dobla hacia arriba, vista de izquierda a derecha. La gráfica de una función es cóncava (cóncava hacia abajo) si se dobla hacia abajo, vista de izquierda a derecha. Una recta no es convexa ni cóncava.

Información dada por las derivadas: Si ( ) 0f x sobre un intervalo I , entonces f es creciente sobre dicho intervalo. Si ( ) 0f x sobre un intervalo I , entonces f es decreciente sobre dicho intervalo. Si ( ) 0f x sobre un intervalo I , entonces f es convexa sobre dicho intervalo. Si ( ) 0f x sobre un intervalo I , entonces f es cóncava sobre dicho intervalo.

FIGURA 2.1 Funciones crecientes y decrecientes

FIGURA 2.2 Funciones crecientes y decrecientes

FIGURA 3.1 Convexidad y Concavidad de una gráfica.

FIGURA 3.2 Convexidad y Concavidad de una gráfica.

FIGURA 4 El punto (0,0) es punto de inflexión de la

gráfica de la función 3( )f x x .

Máximos y Mínimos Relativos o Locales: f tiene un máximo local en 0x si 0( )f x es mayor o igual a los valores de f en

puntos cercanos a 0x (i.e. en un entorno de 0x ).

f tiene un mínimo local en 0x si 0( )f x es menor o igual a los valores de f en

puntos cercanos a 0x (i.e. en un entorno de 0x ).

Máximos y Mínimos Absolutos o Globales: f tiene un máximo global en 0x si 0( )f x es mayor o igual a los valores de f en

cualquier punto del intervalo. f tiene un mínimo global en 0x si 0( )f x es menor o igual a los valores de f en

cualquier punto del intervalo.

Un punto crítico de una función f es un punto 0x en el dominio de f donde

0( ) 0f x o 0( )f x no está definido. Teorema: Un máximo o mínimo relativo, que no ocurre en los extremos del dominio, ocurre en los puntos críticos. La Prueba de la Primera Derivada para Máximos y Mínimos Relativos: Si f cambia de negativo a positivo en 0x , entonces f tiene un mínimo

relativo en 0x .

Si f cambia de positivo a negativo en 0x , entonces f tiene un máximo

relativo en 0x .

La Prueba de la Segunda Derivada para Máximos y Mínimos Relativos: Si 0( ) 0f x y 0( ) 0f x entonces f tiene un mínimo relativo en 0x .

Si 0( ) 0f x y 0( ) 0f x entonces f tiene un máximo relativo en 0x .

Si 0( ) 0f x y 0( ) 0f x entonces la prueba no informa nada. Para encontrar el máximo o mínimo absoluto de una función en un intervalo comparamos los valores de f en todos los puntos críticos y en los extremos del

intervalo (si el intervalo está acotado, o con ( )xlím f x

si el intervalo no esta

acotado). Un punto de inflexión de f es un punto donde la gráfica de f cambia de concavidad; f es cero o no está definida en un punto de inflexión.

V. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PROBLEMA 3:

MODELO MATEMATICO DE MINIMIZACION

Una hoja de papel tiene S cm² de material impreso, con márgenes superior e inferior de

4 cm. y márgenes laterales de 2 cm. Encuentre un modelo matemático que exprese el

área de la hoja de papel en función de una de las dimensiones del material impreso.

Determinar cuáles deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor

cantidad de papel.

Solución:

Material impreso : Scm2 ; Márgenes: superior e inferior: 4cm, laterales:2cm

Determinaremos las dimensiones de la

hoja, para usar la menor cantidad de papel.

Sea S = xy, x>0, y>0

Máx. : A = (x+4)(y+8)

A = xy +8x + 4y + 32; xy = S y = x

S

A = S + 8x + 0x,)x(A32x

S4

0x,0x

S48

x

S48

dx

dA22

4(2x2-S)=0 2x2=S x 0,2/ xS

0y,S2yS2S

2S

2/S

S

x

Sy

Dimensiones de la hoja:

cm2

8S24

2

S242/S4x

8 2 8 .y S cm

VI. GRÁFICA DE FUNCIONES

PROBLEMA 4: LA CURVA DE GAUSS

Analizar y graficar la curva de Gauss: 2

( ) xy f x e

Solución:

1° Análisis previo

a) Dominio : Df = R

b) La curva no intersecta al eje X. Intersecta al eje Y en (0,1)

c) La función es par luego, la gráfica será simétrica al eje Y. La función es continua

en todo R.

d) Asíntotas :

La recta y = 0 es una asíntota horizontal, pues:

0e/1LímeLím2x

x

2x

x

La curva carece de asíntotas vertical y oblicua.

2° Monotonía. Máximos y Mínimos

a. PC1: 2 2

( ) '( ) 2x xf x e f x xe

Si '( ) 0f x 2

2 0xxe luego x =0 )Rx,0e(2x

Por lo tanto, el punto crítico es: x = 0.

b. Análisis del signo de la primera derivada, 2

'( ) 2 xf x xe :

Si x < 0: '( ) 0f x entonces, f es creciente

Si x > 0: '( ) 0f x entonces, f es decreciente.

Luego, x =0 es un punto de máximo local; (0) 1f .

a. Tabla de variación

Máx.

x -,0 x=0 0,

f’(x) f’(-1)>0:+ 0 f’(1)<0:-

Conclusión

f(x)

Creciente : 1 Decreciente :

Máximo: x=0, y = f(0) = 1 ymáx = 1

3° Concavidad y puntos de inflexión

a. PC2: 2 2 2'( ) 2 ( ) 2 (2 1)x xf x xe f x e x

Si ( ) 0f x 2 22 (2 1) 0xe x luego

1 1

2 2x ó x .

b. Análisis del signo de la segunda derivada, 2 2( ) 2 (2 1)xf x e x :

Si x<-1/ 2 : ( ) 0f x entonces, f es convexa (cóncava hacia arriba)

Si -1/ 2 <x<1/ 2 : ( ) 0f x entonces, f es cóncava (cóncava hacia abajo).

Si x> 2/1 : ( ) 0f x entonces, f es convexa (cóncava hacia arriba).

Luego:

En 12

x f tiene un punto de inflexión, pues ocurre cambio de concavidad;

1 12

( ) ef .

En 12

x f tiene un punto de inflexión, pues ocurre cambio de concavidad;

1 12

( ) ef .

a. Tabla de variación

P.I. P.I.

x , -1/ 2 x= -1/

2 -1/ 2 , 1/ 2 x=1/ 2 ,21/

f”(x) f”(-1)>0 : + 0 f”(0)<0 : - 0 f”(1)>0:+ Conclusión

f(x) Cóncava

:U 1/ e Cóncava : 1/ e Cóncava :U

Puntos de Inflexión:

e

1,

2

1 y

e

1,

2

1.

Gráfica:

Curva de Gauss

y = 2xe

Nota: Es importante observar, que debido a la simetría de la curva de Gauss

respecto al eje Y, sería suficiente investigar el signo de la concavidad de esta

curva en el semieje positivo 0<x<+.

“El corazón alegre hermosea el rostro.”

Proverbios 15:13.