Aplicaciones de La Derivada-0

8/13/2019 Aplicaciones de La Derivada-0

1/14


2/14

ObjetivosDefiniciones y Teoremas

Ejemplo Aplicado

Objetivo General:

Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada a problemas dela vida cotidiana.

Objetivos Especficos:

1 Identificar cuando una funcin es creciente y decreciente,puntos de inflexin, cncava hacia arriba y cncava haciaabajo.

2 Encontrar puntos crticos, mximos y mnimos.

Carlos F. Piedra Cceda Licenciado en Matemtica APLICACIONES DE LA DERIVADA
http://find/


3/14


Ejemplo Aplicado

Definiciones y Teoremas:

Teorema I:Si f (x) >0 para cada valor de x en (a, b) entonces f escrecienteen (a, b).Si f (x) 0

0

y

f(x)


4/14


Ejemplo Aplicado

Punto Crtico

Un punto crtico de una funcin f es cualquier punto xen el

dominio de f tal que f (x) =0 o f (x) no existe.

Ejemplo

x

(2, 11)

(2, 21)

y

1 2 3 4234 1 0

10

20

10

20

yx3 12x 5

Figura:

f(x) =x3 12x 5

f

(x) =3x2 12= 3x2 12=0

x2 =4x= 2

Los puntos crticos son -2 y 2.


Ob
http://find/


5/14


Ejemplo Aplicado

Mximo relativo

ftiene un mximo relativo en csi existe un intervalo (a, b) que

contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x (a, b).

Mnimo relativo

ftiene un mnimo relativo en csi existe un intervalo(a, b) que

contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x (a, b).

Ejemplo

x

(2, 11)

(2, 21)

y

1 2 3 4234 1 0

10

20

10

20

yx3 12x 5

f(x) = x3 12x 5f(3) = 4f(2) = 11f(1) = 6

= f(3) < f(2) f(1) < f(2)Luego :

f(1) = 16f(2) = 21f(3) = 14

= f(1) > f(2) f(3) > f(2)


Obj ti
http://find/


6/14


Ejemplo Aplicado

Teorema 2: Concavidad

1 Si f (x) >0 para cada valor de x en (a, b), entonces f es

cncava hacia arriba en (a, b).

2 Si f (x) 0f (0) = 4 0

x

y

0 11

(1, 1)(1, 1)1

(0, 2)

yx42x

22

Figura:


Objetivos
http://find/


7/14


Ejemplo Aplicado

Punto de Inflexin

Un punto sobre la grfica de una funcin f donde exista la rectatangente y cambie la concavidad es un punto de inflexin.

c0 x

y

f(x)0

Figura:


Objetivos
http://find/


8/14


Ejemplo Aplicado

Criterio de la primera derivada

1 Determinar los puntos crticos de f.

2 Determinar el signo de f a la izquierda y a la derecha de cadapunto crtico.

Si f (x) cambia de signo de positivo a negativo al pasar porun punto crtico x=c, entonces f(c) es un mximo relativo.Si f (x) cambia de signo de negativo a positivo al pasar porun punto crtico x=c, entonces f(c) es un mnimo relativo.Si f (x) no cambia de signo al pasar por un critico x=c,entonces f(c) no es un mximo o un mnimo relativo.


Objetivos
http://find/


9/14


Ejemplo Aplicado

Criterio de la segunda derivada

1 Calcularf (x) y f (x).

2 Determinar los puntos crticos de f donde la derivada

f

(x) =0.3 Calcularf (c) para cada punto crtico c.Si f (c) 0, entonces ftiene un mnimo relativo en c.Si f (c) =0, entonces el criterio no es concluyente.


Objetivos
http://goforward/http://find/http://goback/


10/14


Ejemplo Aplicado

Ejemplo Aplicado

Ejemplo

Una empresa que produce leche, tiene envases de forma de cilindrocircular recto y de volumen 442,8cm3. Actualmente la empresarequiere que los envases de este tipo, tengan la menor cantidad de

metal, para as reducir el costo del material.

Resolucin

Para que los envases tengan menor cantidad de material, serequiere minimizar el rea de la superficie del cilindro circular

recto. Para esto denotamos a rcomo el radio de las bases y a hcomo la altura del cilindro. Ahora el rea de la superficie total delcilindro es:

A= 2r2 +2rh. (1)


Objetivos
http://find/


11/14

Objeti osDefiniciones y Teoremas

Ejemplo Aplicado

r

h

Figura:

r

Area2{r@}

Area(2r)h

2r

h

I ll

Figura:

Luego el volumen del cilindro es:

V =442,8

r2h=442,8

Despejandoh:

h=442,8

r2 (2)


Objetivos
http://find/


12/14

jDefiniciones y Teoremas

Ejemplo Aplicado

Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos:

A(r) =2r2 +885,6

r . (3)

que es la funcin a minimizar.

Ahora aplicando el criterio de la primera derivada:

A(r) =4r 885,6r2

= A(r) =0

4r 885,6r2

=0

r= 3

885,64

r=4,13cm


Objetivos
http://find/


13/14

Definiciones y TeoremasEjemplo Aplicado

Intervalo Punto de prueba A(r) A(r) Conclusiones

r< 4,13 3 A

(3) = 60,72 < 0 A es decreciente en (0;4,13)

r = 4,13 A(4,13) = 322,4 A tiene un mnimo en r = 4,13

r> 4,13 5 A(5) = 27,376 > 0 A es creciente en (4,13;+)

O tambin aplicando el criterio de la segunda derivada:

A(r) =4+ 1771,2r3

= A(4,13) =4(3, 14) + 1771,2(4,13)3

A(4,13) =12,56+ 1771,270,5

A(4,13) =12,56+25,1

A(4,13) =37,7

Por lo tanto como A(4,13) =37,7 >0 entonces A tiene unmnimo en r=4,13cm y es A(r) =322,4cm2.

http://find/


14/14

Aplicaciones de La Derivada-0

Documents

Transcript of Aplicaciones de La Derivada-0