La Derivada Aplicaciones Mejor 2014

7/22/2019 La Derivada Aplicaciones Mejor 2014

1/23

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Diversas aplicacionesdel calculo vanencaminadas a ladeterminacin de lascondiciones optimas

de una situacin, estoes, a la localizacin depuntos queproporcionen el valor

mximo o mnimo deuna funcin quemodela ciertarealidad.

Al termino de la

sesin se tendr lacapacidad de:

Definir los puntoscrticos, valores

extremos relativosde una funcin.

Establecer y aplicarlos criterios paradecidir si un puntocritico da o no unvalor extremo

27/05/2014 NOLAN JARA JARA 1


2/23


Ttulo de videos:

1)Aplicaciones de la derivada

2)Mximos, mnimos, concavidad y puntos

de inflexin de una funcin

3)ejemplos Mximos, mnimos,concavidad, crecimiento y decrecimiento


3/23

APLICACIONES DE LA DERIVADA

INDETERMINACIONES. REGLA DE LHPITAL

En el calculo del lmite de un Cociente en el que elnumerador y el denominador tienden a 0 o cuandox tiende a a se tiene que:

( ) ( ) lim lim

( ) ( )x a x a

f x f x

g x g x

27/05/2014 3NOLAN JARA JARA


4/23

TEOREMA DE ROLLESea f: [a,b] RR una funcin continua en [a,b] ,derivable en ysi f(a) = f(b), entonces existe al menos un c ( a


5/23

Teorema del Valor MedioSea f: [a,b] RR una funcin continua en [a,b] y derivable en entonces existe al menos un c ( a


6/23

Teorema del valor medio generalizadoSean f, g: [a,b] RR funciones continuas en [a,b] ,derivables en y si no existe x en el que

f `(x) y g `(x) sean ambas infinitas, se verifica que existe almenos un c ( a


7/23

FUNCIONES MONTONASDada una funcin f: DRR derivable en D, se tiene que:1. f (x) >0 en D si y solo si f es creciente en D.

2. f (x)


8/23

VALORES EXTREMOSSea f: DRR una funcin y si c D, Diremos que:

1. ftiene un punto mximo absoluto en c f(c) f(x) para todo x D

2. ftiene un punto mnimo absoluto en c f(c) f(x) para todo x D

3. Si f(c) > f(x) para todo x D, entonces (c,f(c)) es un punto mximoabsoluto estricto de f.4. Si f(c) < f(x) para todo x D, entonces (c,f(c)) es un punto mnimo

absoluto estricto de f.

5. f tiene un punto mximo Relativo o local en c si f(c) f(x) para todoa x b que est en el dominio D.

6. f tiene un punto mnimo Relativo o local en c si f(c) f(x) para todoa x b que est en el dominio D



9/23

x

ma=(a,f(a))

M1=(b,f(b)

M2=(d,f(d))

m1=(c,f(c))

m2(e,f(e))

C: Y=f(x)

----------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------

------------

----------------------------------------------------------------

----------------------------

-------

Ma=(i,f(i))

x=b x=c x=d x=e x=i

x=a

y



10/23

TEOREMASea f una funcin diferenciable en un conjunto D y sea cun punto interior de D. Una condicin necesaria para que ftenga un

punto mximo o mnimo relativo en x=c es que x=c sea un puntoestacionario o critico de f, es decir:

Test para Mximo y/o mnimo relativo con la primera derivada.

entonces f tiene un punto mximo Relativo en x = c.

entonces f tiene un punto mnimo relativo en x = c.

bxxfycxaxfSi c0)(0)()1

bxxfycxaxfSi c0)(0)()2

no existecf 0)(



11/23

x1x2 x3

x4

x5 x

y

C: y=f(x)



12/23



13/23

CONCAVIDAD , CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

Una condicin necesaria para que f tenga un punto de inflexin enx=c es que x=c sea un punto critico de segundo genero de f, esdecir:

Sea f: D RR dos veces diferenciable en D. Se verifica que:

1) f ``(x)>0 en D f ` es creciente en D f es convexa (cncavahacia arriba) en D

2) f ``(x)


14/23

CONCAVA

CONVEXA

f (x)0



15/23

y

x

LT2

LT1

: y = f(x)

a x1 x2 b

(Cncava hacia abajo)

x

y

: y = f(x)

a x1 x

2

(Cncava hacia arriba)

b

LT2

LT1

f (x)0



16/23

x

ma=(a,f(a))

M1=(b,f(b)

M2=(d,f(d))

m1=(c,f(c))

m2(e,f(e))

C: Y=f(x)

----------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------

------------

----------------------------------------------------------------

----------------------------

-------

Ma=(i,f(i))

x=b x=c x=d x=e x=i

x=a

*Pi1

*Pi3

*Pi2

*Pi4

y



17/23


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARAVALORES EXTREMOS RELATIVOS

Sea funa funcin tal que su primera y segunda derivada existan enx = c.

Para la curva de f:

Existe un mximo relativo en x = c si:f ' (c) = 0 y f ''(c) < 0

Existe un mnimo relativo en x = c si:f ' ( c )=0 y f ''(c) > 0


18/23

APLICACIONES



19/23

1) Los puntos A y B estn situados uno frente al otro y en lados opuestos de un riorecto De 300 mts. de ancho. El punto D est a 600 mts. de B y en su misma orilla.Una compaa de telfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costopor metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. Cmo sedebe tender el cable, para que el costo total sea mnimo?

2) Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sintapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Culdebe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen dela caja sea mximo? Cul es el volumen de la caja?

3) Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de

ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular lasdimensiones de la boya para que su volumen sea mximo.

4) Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular portres de sus lados, ya que el cuarto lado estar limitado por el cause de un ro. Dequ medidas deber hacerse para que su superficie sea la mxima abarcada?

5) Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangularpor sus cuatro lados. De qu medidas deber hacerse para que su superficiesea la mxima abarcada?



20/23

6) Calcula los mximos y mnimos de las funciones siguientes:

7) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexin de las

funciones:



21/23

8) Los barriles que se utilizan para almacenar petrleo tienen forma cilndrica con unacapacidad de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la cantidad delata empleada en su construccin sea mnima.

9) Dos lneas frreas se cortan perpendicularmente. Por cada lnea avanza unalocomotora, una a 60 km/h y la otra a 120 km/h. Ambas se dirigen hacia el punto decorte y han salido al mismo tiempo desde dos estaciones situadas respectivamente

a 40km y 30 km del punto de interseccin.a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en funcin del tiempo

transcurrido desde el inicio del recorrido.b) Halla el mnimo de esta distancia.10) Dos puntos A, B se encuentran en la orilla de una playa recta, separados 6 km entre

s. Un punto C esta frente a B a 3 km en el mar. Cuesta $400:00 tender 1 km de

tubera en la playa y $500:00 en el mar. Determine la forma ms econmica detrazar la tubera desde A hasta C .(No necesariamente debe pasar por B .)

11) Si se quiere vallar un campo rectangular que est junto a un camino. Si la valla dellado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el rea delmayor campo que puede cercarse con 28800 Euros.

12) El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos a un precio de 600

cada uno. Por cada 60 que el propietario aumenta el precio observa que pierde uninquilino. a qu precio le conviene alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia

posible?



22/23

13) Un terreno tiene la forma de un rectngulo con dos semicrculos en los extremos. Siel permetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para quetenga el rea mxima.14) Una ventana presenta forma de un rectngulo coronado por un semicrculo. Hallelas dimensiones de la ventana con rea mxima, si su permetro es de 10 m.

15) Se desea construir un recipiente cilndrico de metal con tapa que tenga unasuperficie total de 80 cm2 . Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor

volumen posible.Sug. V = pirhA;S =2pir + 2pirh = 8016) Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas paraalmacenar 12 000 pies de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tieneun costo de $100 por pie y el material para construir la tapa cuesta $200 por pie

cules son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construccin?17) Dos poblados Pa y Pb estn a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos mscercanos A y B sobre una lnea de transmisin, los cuales estn a 4 km uno del otro. Silos dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de la lnea, culdebe ser la ubicacin de dicho punto para utilizar el mnimo de cable?18) Se requiere construir un oleoducto desde una plataforma marina que est localizadaal norte 20 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que estn en laplaya y 15 km al este. Si el costo de construccin de cada km de oleoducto en el mar esde 2 000 000 de dlares y en tierra es de 1 000 000, a qu distancia hacia el estedebe salir el oleoducto submarino a la playa para que el costo de la construccin seamnimo?



23/23

19) Se requiere construir un oleoducto desde una plataforma marina que estlocalizada al norte 20 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento queestn en la playa y 15 km al este. Si el costo de construccin de cada kilmetro deoleoducto en el mar es de 3 000 000 y en tierra es de 2 000 000, qu tan alejadodebe salir el oleoducto submarino a la playa para que el costo de la construccinsea mnimo?20) En un concurso de resistencia, los participantes estn 2 millas mar adentro ytienen que llegar a un sitio en la orilla (tierra firme) que est a 5 millas al oeste (laorilla va de este a oeste). Suponiendo que un concursante puede nadar 4 millas porhora y correr 10 millas por hora, hacia qu punto de la orilla debe nadar para

minimizar el tiempo total de recorrido?


La Derivada Aplicaciones Mejor 2014

Documents

Transcript of La Derivada Aplicaciones Mejor 2014