APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA

La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es el valor de la derivada

de la función en ese punto , así la ecuación de la recta tangente a una

curva en un punto es

2. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA

Observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

2.1. RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA

1

xxxf 2)(

, recta tangente en .

derivable y creciente en

derivable y decreciente en

Ejemplo:

es derivable en todo y su derivada es . La gráfica es

2.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O DECRECIENTES

es creciente es decreciente

2.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

2.3.1. CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

Si es derivable en , entonces

tiene un máximo o un mínimo en

Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo , como en en el ejemplo .

2

2.3.2. REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.

Ejemplo:

Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,

-3 -3 3 3 3 + + +

- + +- - +

Signo + - +

Luego podríamos decir que la función crece en decrece en

Así que hay un máximo relativo en y un mínimo relativo en como se observaba en la gráfica.

3. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

3

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.

3.1. RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA

Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y cuando es convexa cada vez menor.

Criterios de concavidad o convexidad:

Por la derivada primera:

a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan (f´ es creciente).

b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen (f´ es decreciente).

Por la derivada segunda:

Si f es cóncava hacia arriba entonces f´ creciente, por lo tanto f´´   0

Si f es cóncava hacia abajo entonces f´ decreciente, por lo tanto f´´   0

Si es derivable en y tiene un punto de inflexión en

3.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Si una función es derivable dos veces, se tiene

es cóncava

4

es convexa

Ejemplo:

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

5

1º) Comprueba que la función cumple las hipótesis

del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. Averigua dónde cumple la tesis.

2º) Calcula a, b y c para que la función cumpla las hipótesis

del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. Di en qué punto cumple la tesis.

3º) Halla el valor de k para que la función cumpla el Teorema de

Rolle en el intervalo [p/6,p/3].

4º) Comprueba que la función satisface las hipótesis

del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial. Calcula el valor o valores donde se cumple la tesis.

5º) Comprueba que la función f(x) = |x – 2| no cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo [0, 3].

6º) Estudia si el Teorema de Lagrange (o del Valor Medio del Cálculo Diferencial) se

puede aplicar a la función: en el intervalo [–1, 2].

7º) Sea f(x) una función continua y derivable en IR tal que f(0) = 3. Calcula cuánto tiene que valer f(5) para asegurar que en (0, 5) existe un valor c tal que f ’(c) = 8.

8º) Determinar, si es posible, a y b para que el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial sea aplicable a la función:

9º) ¿Se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función f(x) = |sen x| en el intervalo [p/3, 4p/3]? Razona la respuesta.

10º) Enuncia el teorema que asegura la existencia de solución del siguiente problema y resuélvelo: Halla el punto de tangencia de una recta paralela a la cuerda de la curva y = e x

definida por los puntos (0, 1) y (1, e).

11º) Determina un punto de la función f(x) = x3 en el que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, 8).

6

12º) Sea la función . ¿Puede cumplir la tesis del Teorema del Valor Medio

del Cálculo Diferencial en el intervalo [-2, 5]?. Justifícalo.

13º) Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], con derivada segunda en el intervalo (a, b). Demuestra que si f(x) = 0 en al menos tres valores de x Î [a, b], entonces f ‘’(x) = 0 para algún x Î [a, b].

14º) Razona si son aplicables los Teoremas de Rolle y del Valor Medio del Cálculo Diferencial a la función f(x) = tg x en [0, p].

15º) Si una función f(x) verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ¿verifica también las del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial? ¿Que diferencia hay en las conclusiones de ambos teoremas en ese caso?

16º) Dada la función :a) Halla a, b y c para que la función admita un extremo relativo en y un

punto de inflexión en x = 0, siendo .b) Para los valores anteriores de a, b y c, hallar:

b1) Los extremos relativos de la función.b2) Los valores máximo y mínimo de dicha función en el intervalo [-3, 5].

17º) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de , en su punto

de inflexión. Estudia la concavidad y convexidad de f(x).

18º) a) Define el concepto de máximo relativo de una función f(x) en un punto y enunciar su relación con las derivadas sucesivas de f(x) en .b) Determinar si la función tiene un máximo relativo en .

19º) Dada la función , halla tres intervalos tales que cada uno contenga una raíz diferente de la ecuación .

20º) Si el término independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, prueba que su derivada se anula para algún valor de x; razona que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificará.

21º) Demuestra que la ecuación no puede tener más de una raíz real. (Sugerencia: averigua si la primera derivada del polinomio se anula en algún punto).

22º) Demuestra que la ecuación no puede tener más de dos raíces reales. (Sugerencia: localiza los puntos en que se anula la derivada del primer miembro y ver cuántos son, para deducir lo dicho).

23º) Comprueba, utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, que la curva tiene exactamente tres puntos de intersección con el eje OX.

7

24º) Calcula los siguientes límites:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) , x>0 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24) ,

x>0

8

25) 26) 27)

28) 29) 30)

25º) Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

26º) En un libro los márgenes superior e inferior deben ser de 3 cm. y los márgenes laterales de 2 cm. Si cada página tiene una superficie de texto impreso de 96 cm2, ¿cuáles son las dimensiones si se sabe que el gasto de papel ha sido mínimo?

27º) Se quiere construir un marco para una ventana de 1 m2 de área. El coste del marco se estima en 6 € por cada metro de alto y 3 € por cada metro de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?

28º) Se desea construir una caja abierta, de base cuadrada y 864 dm3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que su superficie sea mínima?

29º) Con una plancha de cartón cuadrada de 12 dm de lado, se quiere construir una caja con el mayor volumen posible, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando luego la plancha de forma adecuada. ¿Qué lado debe tener el cuadrado que se ha de cortar?

9

30º) Calcula las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es 8p m3, si queremos que la hojalata empleada en su fabricación sea mínima. Considera los casos siguientes: a) El bote sólo tiene tapa inferior. b) El bote tiene dos tapas.

31º) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones del que tenga área máxima.

32º) En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se quiere construir un parterre rectangular; uno de los lados del rectángulo está sobre el diámetro y el lado opuesto tiene sus extremos en la curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.

33º) Se quiere construir un depósito cilíndrico de área total 54 cm2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo.

34º) De todas las rectas que pasan por el punto P(1, 2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas (en el primer cuadrante) un triángulo de área mínima.

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD

Septiembre de 19961.- A. Enunciado de la Regla de L’Hôpital.

B. Calcular

Junio de 19972.- A. Enunciado de la Regla de L’Hôpital.

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B. Calcular el límite siguiente:

Septiembre de 19973.- A. ¿Existen funciones polinómicas de tercer grado que no tengan ningún punto de

inflexión? Razonar la respuesta. B. Calcular los intervalos de concavidad, convexidad y los puntos de inflexión de la función f(x) = sen(x) + cos(x) definida en el intervalo [0, 2p].

Junio de 1998

4.- A. ¿Puede ocurrir que exista el y que la función f(x) no sea continua en x0?

Razonar la respuesta.

B. Calcular el límite

Septiembre de 19985.- De todos los rectángulos de área la unidad, halla las dimensiones de aquel que tiene

mínimo el producto de las dos diagonales.

Junio de 19996.- La curva corta al eje OX en x = 1 y tiene un punto de inflexión en el punto (3, 2). Calcular los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX.

Septiembre de 19997.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo de manera que uno de los lados esté sobre la base del triángulo y los otros dos vértices sobre los lados iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo de área máxima?

Septiembre de 20008.- A. ¿Puede tener una función polinómica de grado dos un punto de inflexión? Razona

la respuesta. B. Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función:

Junio de 2002

9.- Dada , escriba la ecuación de la secante a f que une los puntos

(-2, f(-2)) y (2, f(2)). ¿Existe un punto c en el intervalo [-2, 2] verificando que la tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela a la secante que ha hallado? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule c, en caso negativo razone porqué no existe.

Septiembre de 200210.- Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tal que el área del triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.

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Septiembre de 200311.- A) Dada la parábola , determine los valores de a, b y c sabiendo

que f tiene un máximo en el punto de abscisa y la recta tangente a f en el

punto (1,3) es y = -3x+ 6.B) Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función

, el eje OX y las rectas e y = x + 6.

Junio de 200412.- A) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en

C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km respectivamente.

Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3

Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar

hasta B si quiere llegar lo antes posible?

B) Demuestre que la función f dada por es estrictamente positiva

en y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x=2 y x=3.

Junio 200513.- A. Enunciado de la Regla de L´Hôpital.

B. Calcule la relación entre a y b para que sea continua en toda la recta real la función definida por:

Junio 200614.- Opción 1. a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = (x + 1)

en el punto de corte de f(x) con el eje OX.

b) Calcula, para f(x) = (x + 1) : intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

c) Enunciado e interpretación geométrica del Tª del Valor Medio del Cálculo Integral.

Junio 200615.- Opción 2. a) Enunciado e interpretación geométrica del Tª del Valor Medio del

Cálculo Diferencial.

b) De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima.

c) Área de un recinto.

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Septiembre 2006

16.- Opción 1. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f(x) =

tenga un mínimo relativo en el punto (½, 4). Para esos valores de a y b, calcula: asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

b) Calcula

c) Teoría de Cálculo Integral.

Septiembre 200617.- Opción 2. a) Definición de función continua en un punto. ¿Qué tipo de

discontinuidad tiene en x=0 la función f(x) = ?

b) Un alambre de 170 cm de longitud se divide en dos partes. Con una de las partes se quiere formar un cuadrado y con la otra un rectángulo de modo que la base mida el doble que la altura. Calcula las longitudes de las partes en las que se tiene que dividir el alambre para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

c) Área de un recinto.

Junio 200718.- Opción 1. b) Dada , calcula los valores a,b,c para que g(x) tenga en el punto (1,-1) un mínimo relativo y la recta tangente a la gráfica de g(x), en x=0, sea paralela a la recta y=4x.

Opción 2. a) Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.b) Dada , calcula para f(x): puntos de corte con los ejes,

intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Septiembre 2007

19.- a)Calcula .

b) Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima que se puede construir de modo que su base esté sobre el eje OX y los vértices del lado opuesto estén sobre la parábola .

Junio 2008

20.- Calcula el valor de m para que: .

Razón de cambio y razones relacionadas

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

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Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada

por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de

una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad

de un tiempo t a un tiempo . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

y la razón instantánea:

Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x por una fórmula podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde hasta , se entiende la relación:

Si el cociente diferencial tiene un límite cuando , este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de respecto a es la

derivada siempre que la derivada exista.

Ejemplos:1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el

lado mide 5 pulgadas.

Solución:Sea , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces:

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Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable es función del tiempo de manera que al tiempo

está dada por , donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor

inicial y el valor final de en el intervalo de tiempo está dada por

. Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad,

formulamos la siguiente definición.

DEFINICIÒN

La razón media de cambio de en el intervalo es

La razón de cambio de con respecto a es

Las unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por . A veces se llama la razón de cambio instantáneo de con respecto a .

El límite de este cociente cuando tiende a 0 (es decir, ) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen es una función de la temperatura t. La derivada nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.

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PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- La intensidad I (en amperes) de la corriente eléctrica en cierto circuito está dada por , donde R denota la resistencia (en ohms). Encuentre la razón de cambio de I con respecto a R cuando la resistencia es 20 ohms.

2.- El radio (en centímetros) de un globo esférico que se está inflando, después de

minutos está dado por , donde . ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a de cada una de las cantidades siguientes en (a) r(t) (b) el volumen del globo (c) El área de la superficie.

3.- Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?

4.- La iluminación I que produce una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad S de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d a la fuente. Suponiendo que I es igual a 120 unidades a una distancia de 2m, encuentre la razón de cambio de I con respecto a d a una distancia de 20m.

5.- Demuestre que la razón de cambio del radio de un círculo con respecto a su perímetro es independiente del tamaño del círculo. Ilustre este hecho usando unos círculos máximos sobre dos esferas, una del tamaño de un balón de basketball y otra del de la tierra.

6.- La relación entre la temperatura F en la escala Fahrenheit y la temperatura C en

la escala Celsius está dada por ¿Cuál es la razón de cambio de F

con respecto a C?.

7.- Un hombre sobre la azotea de un edificio, tira de una cuerda de 10 metros de longitud en cuyo extremo esta atado un peso P. El hombre se aleja del borde de la azotea con una velocidad de 2m/s ¿Con qué velocidad se alejan o se acercan el hombre y el objeto en el instante en que ya el hombre ha caminado 3m?

8.- Un cilindro circular recto tiene una altura fija de 8cm. Hallar la razón de cambio del volumen respecto al radio cuando este mide 2cm.

9.- Un estudiante de Ingeniería descubrió que el radio de una bola de nieve que se

derretía era de pulgadas, donde t es el tiempo en minutos. Hallar la

razón de cambio del volumen respecto al tiempo al final de 1 hora.

10.- Hallar el punto (o los puntos) de la parábola , donde la razón de cambio de la pendiente de la normal respecto a x sea 2 por unidad de longitud.

11.- Hallar la variación respecto al tiempo del ángulo agudo formado por las diagonales de un rectángulo si el lado mayor crece a razón de 4cm/seg., en una dirección y el otro permanece constante igual a 10cm; en el instante en que el lado que crece vale 17cm.

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Datos:

12.- La longitud de una arteza horizontal es de 4m, su sección transversal es un trapecio, el fondo tiene 2m de ancho; el seno del ángulo entre sus caras laterales y el plano horizontal es 4/5. Se echa agua a la arteza a razón de . ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando el agua tiene 60cm de profundidad.

13.- Un rombo tiene 10cms de lado. Dos de los vértices opuestos se separan a razón de 2cm/seg. ¿Con qué rapidez cambia el área, en el momento en que los vértices se han separado una distancia de 16 cms? (Tener en cuenta que los lados del rombo tienen 10 cms en todo instante.

14.- Un punto se mueve a lo largo de la curva: De modo

que su abscisa cambie en la razón de 5 unidades por segundo. ¿Cuál es la razón de cambio en su ordenada? ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por .

15.- Un punto móvil recorre con una velocidad de 3km/hr el diámetro vertical CB de un círculo de centro 0, en el sentido de abajo arriba, partiendo de C. En el extremo izquierdo A, del diámetro horizontal , hay un foco de luz, que proyecta la sombra del punto móvil sobre el arco CDB. Calcular la velocidad de dicha sombra en el momento en que el punto móvil ha recorrido la cuarta parte de la longitud del diámetro.

16.- Una bola gira describiendo círculos en el extremo de una cuerda de 5 pies a una velocidad de 20 r.p.m. Si la cuerda se rompe dejando escapar la bola tangencialmente, ¿a qué velocidad se estará alejando del centro de su trayectoria primitiva 1/100 de segundo después de que se rompió la cuerda?.

17.- Un hombre corre a lo largo de un diámetro de longitud 200mts. de un parque semicircular, a una velocidad uniforme de 5m/seg. ¿A qué velocidad se moverá su sombra a lo largo de la pared cuando los rayos del sol forman ángulo recto con el diámetro.

18.- Un punto se mueve sobre la parábola de manera que cuando la abscisa aumenta con una rapidez de 2mts/seg. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada en ese instante?

19.- El piloto de un bombardero que vuela a 2kmts. De altura y a una velocidad de 240 km/hr, observa un blanco terrestre hacía el que se dirige. Calcular la velocidad a la que debe girar el instrumento óptico cuando el ángulo entre la ruta del avión y la línea de mira es 30º?

20.- El radio de la base de un cono aumenta a razón de 3cm/hr y la altura disminuye a razón de 4cm/hr. Calcular como varía el área total del cono cuando el radio mide 7cm. Y la altura 24cm.

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