Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Para ilustrar este concepto matemático, considérense los casos siguientes: 1) Ángulo entre curvas. 2) Velocidad y la aceleración en un instante determinado. 3) Razones de variación de una variable con respecto a otra. 4) Aproximación de valores de una función 5) Valores máximos y mínimos de una función. RAZÓN MEDIA DE VARIACIÓN Sea ( ) 2 3 2f x x x= + − y supóngase que la variable " "x aumenta de 2 a 2.4 . Entonces, el incremento será

2.4 2 0.4x xΔ = − ⇒ Δ = Para obtener el incremento yΔ de la función, se hace lo siguiente:

( ) ( )22 3 2 ; 3 2y x x y y x x x x= + − + Δ = + Δ + + Δ − Se restan ambas expresiones y,

( ) ( ) ( )2 23 2 3 2y x x x x x xΔ = + Δ + + Δ − − + − 22 22 3 3 2 3 2y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + + Δ − − − +

22 3y x x x xΔ = Δ + Δ + Δ

Si se dividen ambos miembros entre xΔ se tiene que: 2

2 3 2 3y x x x x y x xx x x

Δ Δ + Δ + Δ Δ= ⇒ = + Δ +

Δ Δ Δ

Definición. La razón media de variación de la función

( )y f x= con respecto a " "x cuando esta variable experimenta un incremento xΔ , es igual al cociente del


2incremento de la función entre el incremento de la variable

independiente, esto es, yx

ΔΔ

.

Se puede apreciar que y

xΔΔ

, que representa a la razón media

de variación de la función con respecto a la variable independiente, es la pendiente de la recta secante. Por otro lado, la ecuación de una recta cuya pendiente es " "m y con ordenada al origen " "b es y mx b= + y si se determina en esta función su razón media de variación se tendrá:

( );y mx b y y m x x b y y mx m x b= + + Δ = + Δ + ⇒ + Δ = + Δ + yy mx m x b mx b y m x mx

ΔΔ = + Δ + − − ⇒ Δ = Δ ∴ =

Δ

Para el caso de una recta, la razón media de variación es constante y equivale a la pendiente " "m de la recta.

y

x

y y+ Δ

y

f

x x x+ Δ

recta secante

y

x

y mx

Δ=

Δ

( )f x x+ Δ

( )f x

y mx b= +

x x x+ Δ

yΔ

xΔ


3CONCEPTO DE RECTA TANGENTE Se debe al célebre matemático francés Pierre de Fermat, de los grandes matemáticos del siglo XVII. Se basa en el siguiente razonamiento: La recta tangente en un punto " "A de una curva puede interpretarse como la posición límite de la secante, que es la tangente, cuando el punto " "B tiende al punto " "A .

LA DERIVADA COMO RAZÓN INSTANTÁNEA DE VARIACIÓN Si el punto " "B tiende al punto " "A , esto implica necesariamente que el incremento xΔ tiende a cero y si

esto sucede, entonces el límite 0

limx

yxΔ →

ΔΔ

se conoce como la

razón instantánea de variación de " "y con respecto a " "x . Para la función analizada con anterioridad, es decir,

2 3 2y x x= + − , la razón media de variación es

2 3y x xx

Δ= + Δ +

Δ. Y si se calcula la razón instantánea de

variación se tendrá: ( )0 0

lim lim 2 3 2 3x x

y x x xxΔ → Δ →

Δ= + Δ + = +

Δ y

cuando 2x = , la razón instantánea de variación es 7 . Definición. A la razón instantánea de variación de una función f con respecto a " "x , se le conoce como la derivada de la función con respecto a la variable independiente, es decir,

f

B

y

A

recta secante

x

recta tangente

( )lim secante tangenteB A→

=


4

0lim derivada de con respecto a " "x

y f xxΔ →

Δ=

Δ

De acuerdo con lo ya tratado, se puede escribir que:

( ) ( )0 00lim ;x

dy y y f x x f xdx xΔ →

Δ= Δ = + Δ −

Δ

( ) ( )0 0

0limx

f x x f xdydx xΔ →

+ Δ −=

Δ

y si además se considera que 0x x xΔ = − , entonces ( ) ( )

0

00

0

0 limx x

f x f xdyx x xdx x x→

−Δ → ⇔ → ∴ =

−

Esta expresión define a la derivada de la función, específicamente en el punto en el que 0x x= . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

( )lim recta secante recta tangente

B A→=

0 00 ; lim lim tan tan

x xB A x β α β α

Δ → Δ →→ ⇔ Δ → = ∴ =

0tan BAC=tan = lim tan

x

y y dyx x dx

β αΔ →

Δ Δ∴ = =

Δ Δ

Por lo tanto la derivada es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica con el eje de las abscisas. Equivale a la pendiente de la recta tangente

tan Tdy mdx

α= =

donde Tm es la pendiente de la recta tangente.

y

x x x+ Δ

( )f x

( )f x x+ Δ

f

yΔ

xΔA

x

B

α β

C

secante

tangente


5NOTACIONES DE LA DERIVADA Las notaciones más conocidas son:

( )' ' notación de Lagrangey ó f x ( ) notación de Cauchyx xD y ó D f x

( ) notación de Leibnizdy dó f xdx dx

( ) notación de Newtony ó f xii

Ejemplo. Supóngase que parte de la trayectoria de un juego mecánico de montaña rusa tiene la forma mostrada en la figura, donde el recorrido de A a B y de B a C , son curvas parabólicas distintas, y el recorrido de C a D es una media circunferencia.

Si se denota con " "θ el ángulo que forma el piso del carrito con la línea horizontal: )i ¿Qué valor tiene θ en el punto más alto? )ii ¿Qué valor tiene θ en el punto más bajo? )iii ¿Existen otros puntos en donde tenga el mismo valor que

los que tuvo en los primeros incisos? Solución.

A B C D

θ

0θ =

0θ =

0θ =

A B C D


6Ejemplo. Se tiene una pila de cemento colocada junto a una pared vertical sobre un piso horizontal. Considerando el origen de coordenadas en la intersección de piso y pared, el perfil del cemento está descrito, con una buena aproximación, por la curva 2 9y x= − + . Supóngase además que hay una escalera perfectamente recta e indeformable que se apoya simultáneamente en la pared, el cemento y el suelo. )i Demostrar que si la abscisa del punto de contacto de la

escalera con la pila de cemento es 1.5, entonces la ecuación de la escalera se puede expresar como

3 11.25y x= − + . )ii Determinar la longitud de la escalera.

Solución. )i Un modelo geométrico del problema planteado es el

siguiente:

Escalera

x

y

2 9y x= − +

Pila decemento

Pared

Piso


7 Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )4,0− y es tangente a la curva 1y x= + − . Obtener también las coordenadas del punto de tangencia y hacer un dibujo del problema planteado. Solución. La gráfica de la curva con la recta tangente y el punto de tangencia se muestran a continuación:


8Ejemplo. El volumen de un cierto tipo de bacterias en un cultivo de laboratorio es inversamente proporcional al número de días " "n que pasan sin nutrientes, de tal forma que el modelo para esta relación es:

10,000Vn

=

función que se satisface a partir del primer día, es decir, cuando 1n = y 10,000V = bacterias. Obtener la razón de cambio en la que decrece el número de bacterias con respecto a los días sin alimento, cuando 4n = . Solución. Ejemplo. El costo de una cierta aleación de metales depende de la cantidad de oro que contiene. La mínima cantidad que debe contener es de 3 gramos y su costo es de $ 81,000 y aumenta este de acuerdo con el modelo:

3 25000 6000C x x= − donde " "C es el costo en pesos y " "x el oro en gramos. Determinar la razón de cambio del costo de la aleación, con respecto a la cantidad de oro, cuando tiene " 5" gramos de este metal precioso.


9Solución. MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS PARA DERIVAR Considérese la función:

( ) ( )1y f x= Primer paso: Se incrementa en xΔ el valor de la variable independiente, con lo que la variable dependiente experimenta el correspondiente incremento yΔ :

( ) ( )2y y f x x+ Δ = + Δ Segundo paso: Se resta la expresión ( )1 de la ( )2 , con lo que se obtiene el incremento yΔ :

( ) ( ) ( )3y f x x f xΔ = + Δ −

Tercer paso: Se calcula el cociente de incrementos yx

ΔΔ

,

dividiendo la expresión ( )3 entre el incremento xΔ . Así, ( ) ( ) ( )4

f x x f xyx x

+ Δ −Δ=

Δ Δ

Cuarto paso: Se calcula el límite del cociente anterior cuando el incremento xΔ tiende a cero:


10

( ) ( )0 0

lim limx x

f x x f xyx xΔ → Δ →

+ Δ −Δ=

Δ Δ

Si este límite existe, entonces se obtiene la derivada de la función considerada:

( )'dy f xdx

∴ =

y se dice que la función dada es derivable. Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones mediante el método de los cuatro pasos:

3 3) 6 1 ; ) ; ) 5 25xi y x x ii y iii y x

x−

= − + = = −+


11 Teorema. Derivada de la función constante Sea la función constante ( ) , con una constantey f x k k= = . Entonces su derivada es igual a cero, es decir,

0dydx

=

( )

0 0; lim lim 0 0

x x

dy k k dy dyy kdx x dx dxΔ → Δ →

−= = ⇒ = ∴ =

Δ

x

k

y

0Tdymdx

= = y k=


12

Teorema. Derivada de la función identidad Sea la función identidad ( )y f x x= = . Entonces su derivada es igual a la unidad, esto es,

1dydx

=

( )

0 0; lim lim 1 1

x x

dy x x x dy dyy xdx x dx dxΔ → Δ →

+ Δ −= = ⇒ = ∴ =

Δ

Teorema. Derivada de la función identidad elevada a un exponente real. Aquí sólo se verá el caso del exponente natural. Elevada a un exponente real también es demostrable. Sea entonces la función ;ny x n= ∈ . Entonces su derivada está dada por:

1ndy nxdx

−=

Prueba.

( )0

limn n

x

x x xdydx xΔ →

+ Δ −=

Δ

A través del desarrollo del binomio de Newton, se llega a: ( ) 21 2

0

11! 2!lim

nn n n n

x

n nnx x x x x x xdydx x

− −

Δ →

−+ Δ + Δ + + Δ −

=Δ

…

( ) 11 2

0

1lim

1! 2!nn n

x

n ndy n x x x xdx

−− −

Δ →

⎛ ⎞−= + Δ + + Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠…

x

y

y x=

045

1Tdymdx

= =


13

1ndy nxdx

−=

Ejemplo. Calcular la derivada de las funciones siguientes:

( ) 5) ; ) 4i f x x ii y= = Teorema. Derivada de la suma de funciones Considérese la función ( ) ( ) ( )h x f x g x= + . Entonces, la derivada de la función " "h es igual a:

( ) ( ) ( )' ' 'h x f x g x= + Prueba. Teorema. Derivada del producto de una función por un escalar Sea la función ( ) ( ) ;h x f xα α= ∈ . Entonces su derivada será:

( ) ( )' 'h x f xα= Prueba.


14Ejemplo. Obtener la derivada de la función:

( ) 65f x x= Ejemplo. Derivar las siguientes funciones:

( )1

4 2 22

2 1) 3 2 7 ; ) 83

i f x x x x ii y xxx

= + − + = − +

Teorema. Derivada de una función como radicando de una raíz cuadrada. Sea la función ( ) ( )h x f x= . Entonces su derivada es igual a:

( ) ( )( )

''

2

f xh x

f x=

Prueba.


15Ejemplo. Obtener la derivada de la función

133 5y x= −

Teorema. Derivada del producto de dos funciones Sea la función ( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ . Entonces, la derivada de " "h es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'h x f x g x g x f x= ⋅ + ⋅ Prueba. Ejemplo. Obtener la derivada de:

( ) ( )3 2 23 1f x x x x= − +


16

Teorema. Derivada de un cociente de funciones.

Sea la función " "h dada por ( ) ( )( )

f xh x

g x= , esto es, cuya regla

de correspondencia involucra el cociente de las funciones " "f y " "g . Entonces su derivada es igual a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

' ''

g x f x f x g xh x

g x

⋅ − ⋅=

⎡ ⎤⎣ ⎦

Prueba. Ejemplo. Derivar las siguientes funciones:

( )2 2 3

23 6 2) ; )

1 5 6x x xi f x ii y

x x x

−− −= =

− − +


17 Teorema. Regla de la cadena (Derivada de una función de función) Sean las funciones ( )y f u= y ( )u g x= , ambas derivables, tales que con ellas se logra la función compuesta

( )( ) ( ){ };g fy f g x x x x D g x D= ∀ ∈ ∈ ∈ Entonces se cumple que:

dy dy dudx du dx

=

Prueba. A cada incremento xΔ de la variable independiente " "x le corresponde un incremento uΔ de la variable intermedia " "u y un incremento yΔ de la variable dependiente " "y . Si se multiplican numerador y

denominador del cociente yx

ΔΔ

por uΔ , se llega a la

siguiente identidad:

; 0y y u y y u ux x u x u x

Δ Δ Δ Δ Δ Δ= ⇒ = Δ ≠

Δ Δ Δ Δ Δ Δ

Como ( )u g x= es derivable, será también continua, por lo que si 0xΔ → , entonces 0uΔ → . Entonces, tomando límites en la expresión antes obtenida, se llega a:

0 0 0lim lim limx u x

y y ux u xΔ → Δ → Δ →

Δ Δ Δ=

Δ Δ Δ

Y, por la definición de derivada, se tiene que: dy dy dudx du dx

=

y queda demostrado el teorema. Ejemplo. Obtener la derivada de la función

32

211

xyx

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+⎝ ⎠


18 Ejemplo. Obtener la derivada de:

( )2

3

1xf x

x=

−

Ejemplo. Obtener dydx

para la siguiente función, mediante la

aplicación de la regla de la cadena, por pasos:

( )223 1 2y x= + + −


19Ejemplo. Calcular las derivadas de las funciones siguientes y evaluarlas en el punto indicado.

( ) ( )2 2

33

8 3 9) ; 1 ; ) ; 15

x xi y x ii f x xxx

+ += = = = −

−

Resumen de las fórmulas obtenidas: Sean , ,u v w funciones de " "x y " "C una constante real: Entonces:

0xD C = 1xD x = ( )x x x xD u v w D u D v D w+ − = + − ( )x x xD uv uD v vD u= +

x xD Cv CD v= 2x x

xvD u uD vuD

v v−

=

2x

xCD vCD

v v= − 1n n

x xD u nu D u−=

1n nxD x nx −=

2x

xD uD u

u=


20DERIVADA DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA Cuando se tenga una función en forma implícita, se utiliza la regla de la cadena para derivarla cuantas veces se presente. Ejemplo. Calcular dy

dx en la ecuación 2 2 4x y+ =

Ejemplo. Calcular dy

dx para la ecuación: 4 2 32 8 4x y xy y y− + =


21

Ejemplo. Considérese la ecuación 4 18y xx y+ = .

Demostrar que dy ydx x

= .

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS Teorema. Sea la función ( );y senu u f x= = . Entonces:

cosdy duudx dx

=

Prueba.


22

Teorema. Sea la función ( )cos ;y u u f x= = . Entonces: dy dusenudx dx

= −

Prueba. Teorema. Sea la función ( )tan ;y u u f x= = . Entonces:

2secdy duudx dx

=

Prueba. Teorema. Sea la función ( )cot ;y u u f x= = . Entonces:

2cscdy duudx dx

= −

Prueba.


23

Teorema. Sea la función ( )sec ;y u u f x= = . Entonces:

sec tandy duu udx dx

=

Prueba. Teorema. Sea la función ( )csc ;y u u f x= = . Entonces:

csc cotdy duu udx dx

= −

Prueba. Ejemplo. Derivar las siguientes funciones:

( ) ( ) ( )21 cos) ; ) 1 5 ; ) tan1 cos

xi f x ii y sen x iii f x xx

−= = − =

+

( ) ( )2 2 31) sec csc ; ) cotiv y x v f x senxx

= + =

( )1

2 3) sec 2 6vi y x= −


24


25 DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Teorema. Sea la función ( );y angsenu u f x= = . Entonces:

21

dudy dxdx u

=−

Prueba.


26

Teorema. Sea la función ( )cos ;y ang u u f x= = . Entonces:

21

dudy dxdx u

= −−

Prueba. Teorema. Sea la función ( )tan ;y ang u u f x= = . Entonces:

21

dudy dxdx u

=+

Prueba.


27

Teorema. Sea la función ( )cot ;y ang u u f x= = . Entonces:

21

dudy dxdx u

= −+

Prueba. Teorema. Sea la función ( )sec ;y ang u u f x= = . Entonces:

2 1

dudy dxdx u u

=−

Prueba.


28

Teorema. Sea la función ( )csc ;y ang u u f x= = . Entonces:

2 1

dudy dxdx u u

= −−

Prueba. Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

( ) 2) se 1 ; ) seci f x ang n x ii y ang x= − = ( ) ( )2) cot ; ) cos 1iii f x x ang x iv y ang x= = −

( ) ( )21) tan ; ) csc 8v f x x ang vi y ang xx

= = −


29


30Resumen de las fórmulas para derivar funciones circulares directas e inversas: Sea ( )u f x= . Entonces:

cosxduD senu udx

= 21

xx

D uD angsenuu

=−

cos duD u senux dx= −

2cos

1x

xD uD ang u

u= −

−

2tan secxduD u udx

= 2tan1

xx

D uD ang uu

=+

2cot cscxduD u udx

= − cot21

xx

D uD uu

= −+

sec sec tanxduD u u udx

= 2

sec1

xx

D uD uu u

=−

csc csc cot duD u u ux dx= −

2 1x

xD uD u

u u= −

−

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