3era Guía de Estudio – 2do Parcial Derivadas Parciales y ... · optimización de funciones en...

Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 2do Parcial – 3era Guía de Estudio Recopilado y digitalizado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Funciones en Varias Variables (Diferenciación Parcial y Aplicaciones) Página 1 de 15

3era Guía de Estudio – 2do Parcial

Derivadas Parciales y Derivación Implícita Regla de la Cadena en Varias Variables

Optimización en Varias Variables con Derivadas Parciales Optimización en Varias Variables con Multiplicadores de Lagrange

Guía Complementaria No.03 – v 2.0 Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el primer examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas erróneas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo II, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes libros de Cálculo en varias variables y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas de Entrega: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja y

como mínimo grapada. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás

elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su

respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los problemas del No.01 – No.03, evaluar Fx & Fy en el punto dado

1) 2,2arctan,

P

x

yyxf

2) 1,1arccos, Pxyyxf

3) 1,154

2,

22P

yx

xyyxf



B.-) En los problemas del No.04 – No.07, para f(x,y), encontrar todos los valores de x & y , tal que fx(x,y)=0 & fy(x,y)=0 simultáneamente

4) yxyxyxyxf 22, 22

5) 31644, 22 yxyxyxyxf

6) 22, yxyxeyxf

7) 1ln, 22 yxyxf C.-) En los problemas del No.08 – No.11, hallar dy/dx

8) 022 yxyxyx

9) 05tansec xyxy

10) 4ln 22

yxyx

11) 6222

yyx

x

D.-) En los problemas del No.12 – No.14, hallar dw/dt utilizando la regla de la cadena apropiada

12) teztsenytxzyxw ,,cos,222

13) tztytxzxyw arccos,,,cos 2

14) 2,2,, 2222 ztytxyzzxxyw

E.-) En los problemas del No.15 – No.20, hallar w/ r y w/ utilizando la regla de la cadena apropiada

15) ryrxyxyxw ,,22



16) rsenyrxxyw

,cos,arctan

17) rsenyrxyxw ,cos,5525 22

18) 2,,, rzryrxxyzw

19) 2222 ,cos,, rzryrsenxzyxw

20) 2,,,cos 22 rzyrxyzxw

F.-) En los problemas del No.21 – No.24, demuestre la igualdad planteada utilizando de forma apropiada los conceptos relacionados con la regla de cadena en una variable y varias variables.

21)

2

2

222 1:

&cos,,

w

rr

w

y

w

x

wqueDemuestre

rsenyrxyxfwqueSuponga

22)

2

2

22

2

2

2

2

2 11:

&cos,,

w

rrw

rr

w

y

w

x

wqueDemuestre

rsenyrxyxfwqueSuponga

23)

dr

dw

rdr

wd

z

w

y

w

x

wqueDemuestre

zyxrrfwqueSuponga

2:

&

2

2

2

2

2

2

2

2

222

24)

2

2

2

2

2

22

2

2

225:

&2,

v

w

u

w

y

wyx

w

x

wqueDemuestre

vuyvuxdondeyxfwqueSuponga



G.-) En los problemas del No.25 – No.28, determine el valor de la incógnita planteada a través de la optimización de funciones en varias variables.

25) Encuentre el máximo producto posible de tres números positivos cuya suma sea 120.

26) Calcule el volumen máximo posible de una caja rectangular si la suma de las longitudes de sus 12 aristas es igual a 6 metros.

27) Determine las dimensiones de la caja cuyo volumen es 1,000 in3 y que tenga el área superficial

S mínima.

28) Halle las dimensiones de la caja abierta por arriba con volumen de 4,000 cm3 y cuyos cuatro lados, inferior y laterales, tengan un área total superficial S mínima.

H.-) En los problemas del No.29 – No.32, encuentre las dimensiones que minimicen el costo total del material necesario para construir la caja rectangular que se describe.

29) La caja ha de estar abierta por arriba, con un volumen de 600.00 in3. El material para su fondo cuesta 6¢/in2, y para los cuatro lados cuesta 5¢/in2.

30) La caja va a estar cerrada, con un volumen de 48 ft3. El material de la tapa y el fondo cuesta

$3/ft2, y el de sus cuatro lados cuesta $4/ft2.

31) La caja estará cerrada y tendrá un volumen de 750 in3. El material para su tapa y fondo cuesta 3¢/in2, y de su frente y parte posterior 6¢/in2, y el material de sus dos extremos cuesta 9¢/in2.

32) La caja será un cajón cerrado para envíos con un volumen de 12 m3. El material para su fondo

cuesta lo doble (por metro cuadrado) que el de su parte superior y sus cuatro lados. I.-) En los problemas del No.33 – No.47, determine el valor de la pregunta planteada a través de la optimización de funciones en varias variables o multiplicadores de Lagrange, esto de acuerdo al enunciado.

33) Un edificio rectangular va a tener un volumen de 8,000 ft3. Los costos por calefacción y enfriamiento serán de $2/ft2 para sus paredes superior, del frente y posterior, y de $4/ft2 por las de los dos extremos. ¿Qué dimensiones del edificio minimizarían dichos costos anuales?

34) Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra, que cuesta 28¢/in2. Los

lados serán de vidrio, que cuestan 5¢/in2, y la parte superior será de acero inoxidable, que cuesta 2¢/in2. El volumen de este acuario será de 24,000 in3. ¿Cuáles son las dimensiones del que resulte más barato?



35) Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano como se muestra en la figura. Hallar el volumen máximo de la caja.

36) Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares)

obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD & y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

000,10001.0108, 22 yxyxyxyxP Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia máxima?

37) Una boya tendrá la forma de cilindro circular recto

cubierto en cada extremo por conos circulares rectos idénticos con el mismo radio que el cilindro. Encuentre el área superficial mínima de la boya, dado que tiene un volumen constante V.

38) Resuelva el problema No. 37 bajo todas las mismas condiciones descritas en su enunciado, pero en esta ocasión se solicita utilizar los multiplicadores de Lagrange y concluya sobre las respuestas generadas.

h

z

z



39) Una ventana pentagonal tendrá la forma de un rectángulo coronado por un triángulo isósceles (con base horizontal, de modo que la ventana será simétrica respecto a su eje vertical), y el perímetro de la ventana será de 24.00 ft. ¿Cuáles son las dimensiones de una ventana como esa para la cual entre la mayor cantidad de luz, gracias a que posea el área máxima?

40) Un rectángulo muy largo de placa metálica tiene un ancho L (línea continua gruesa color negro en figura de sección transversal) y se va a doblar para formar una canaleta pluvial (ver figura de isométrico). Calcule las dimensiones de x & θ para maximizar el área de la sección transversal.

41) Un contenedor de carga (en forma de un sólido rectangular) debe tener un volumen de 480.00 pies3. Para su construcción, la parte inferior costará $5/pie2, los lados y la parte superior costarán $3/pie2. Usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones del contenedor de este tamaño que tiene costo mínimo.

42) Un semicírculo está sobre un rectángulo (ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.

x

y

h

Sección Transversal Isométrico



43) Un tanque industrial tiene forma cilíndrica

con extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1,000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.

44) Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos de construcción difieren (ver la figura). El costo por kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R & k de R a S. Para simplificar, sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange para localizar x, y & z tales que el costo total C se minimice.

45) La charola para hielos que se muestra en la figura va a construirse con un material que cuesta 3¢/in2. Utilizando multiplicadores de Lagrange, minimice una función de costo sujeta a las restricciones de que cada uno de los 12 compartimientos debe tener sección transversal cuadrada y de que el volumen total ha de ser de 12 in3 (ignore el espesor de las separaciones).

46) Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja rectangular y un volumen de 1,000 pies3, como se muestra en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente minimizan los costos de calefacción.



47) La figura muestra un foso de ancho “a”, infestado de cocodrilos, y limitado por cada lado por una pared de altura “b”. Unos soldados planean cruzar el foso por medio de subir una escalera colocada entre la pared más cercana según se indica, anclada al terreno por un bloque apropiado y con el extremo superior directamente por encima de la pared alejada sobre el lado opuesto del pantano. Naturalmente, se preguntan cuál es la longitud mínima L de una escalera para que sirva para ese propósito. Éste es un caso particular del problema de minimizar la longitud de un segmento de recta en el plano uv que une los puntos P(x,0) y Q(0,y) sobre los dos ejes coordenados, y que pasa por el punto dado en el primer cuadrante (a,b). Demuestre que Lmín = (a2/3 + b2/3)3/2 por medio de minimizar el cuadrado de la longitud f(x,y) = x2 + y2 sujeto a la restricción de que satisfaga la ecuación (a/x)+(b/y)=1 de la recta que pasa por P y Q.

PROBLEMAS ADICIONALES DE REPASO Y/O CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS (No forman parte de la entrega de ejercicios para fines acumulativos de guías de estudio)

48) Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área superficial

total es de 64.00 cm2. 49) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que la suma del

largo de sus 12 aristas es una constante c.

50) La base de un acuario de volumen constante V está hecho de pizarra y los lados son de vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces más por unidad de área que el vidrio, determine las dimensiones del acuario que minimizan el costo de los materiales.

51) Una caja de cartón sin tapa debe tener 32,000 cm3. Calcule las dimensiones que minimicen la

cantidad de cartón utilizado. 52) Está en proceso de diseño un edificio rectangular para que minimice las pérdidas de calor. Los

muros oriente y poniente pierden calor a razón de 10 unidades/m2 por día, los muros del norte y del sur pierden 8 unidades/m2 por día, el piso pierde 1 unidad/m2 por día, y el techo pierde 5 unidades/m2 por día. Cada muro debe medir por lo menos 30 m de largo, la altura debe ser por lo menos de 4 m y el volumen debe ser exactamente 4,000 m3. a) Encuentre las dimensiones que minimizan la pérdida de calor. b) ¿Podría diseñar un edificio con menos pérdida de calor si las restricciones de las longitudes

de los muros se eliminaran?



53) La temperatura en un punto (x, y) de una placa de metal es 22 44, yxyxyxT . Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima encontradas por la hormiga?

54) Se ha pedido a su empresa diseñar un tanque de almacenamiento para concentrado de jugo de

naranja. Las especificaciones del cliente demandan un tanque cilíndrico con extremos semiesféricos, y el tanque debe alojar 8,000 m3 de jugo de naranja. El cliente también quiere usar la menor cantidad posible de material en la construcción del tanque. ¿Qué radio y altura recomendaría para la porción cilíndrica del tanque?

55) Usted es el encargado de instalar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para minimizar la interferencia, quiere colocar el radiotelescopio donde el campo magnético del planeta sea más débil. El planeta es esférico, con un radio de 6 unidades. Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está

dada por 606,, 2 xzyxzyxM . ¿Dónde debe ubicar el radiotelescopio?

56) Calcule las dimensiones de la lata cilíndrica circular recta y cerrada con menor área superficial cuyo volumen sea de 16π cm3.

57) Determine el radio y la altura del cilindro circular recto y abierto de mayor área superficial que puede inscribirse en una esfera de radio “a”. ¿Cuál es la mayor área superficial?

58) Use el método de multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones del rectángulo de

mayor área que se puede inscribir en la elipse 1916

22

yx

, con lados paralelos a los ejes

coordenados.

59) En una fábrica, los trabajadores se han clasificado en dos maneras: A y B. Los trabajadores tipo A ganan $14 por jornada, mientras que los del tipo B ganan $13. Para alcanzar cierta producción en una jornada, se ha determinado aumentar los salarios de los trabajadores, si se emplean x trabajadores del tipo A & y trabajadores del tipo B, entonces el número de dólares

del costo de la jornada es 600823 xyxy . ¿Cuántos trabajadores de cada tipo deben emplearse a fin de que el costo de la jornada sea un mínimo si se requieren por lo menos tres trabajadores de cada tipo para una jornada?

60) Una compañía tiene tres fábricas y todas elaboran el mismo producto. Si la fábrica A produce x

unidades, la fábrica B produce y unidades y la fábrica C produce z unidades, entonces sus

respectivos costos de producción son: 2003 2 x dólares, 4002 y dólares &

3002 2 z dólares. Si se va a surtir un pedido de 1100 unidades, emplee los multiplicadores de Lagrange para determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo total de producción.



61) La figura muestra un hexágono con vértices (0, ±1) & (±x, ±y) inscrito en la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1. Demuestre que su área es máxima cuando la figura pintada representa un hexágono regular con lados iguales.

62) Cuando el hexágono del ejercicio No.61 se gira alrededor del eje

“y”, genera un sólido de revolución que consiste en un cilindro y dos conos (tal como se puede apreciar en la figura mostrada). ¿Cuál es el radio y altura del cilindro que maximizan el volumen de este sólido geométrico regular?

63) Una inyección de x miligramos de cierto medicamento A & y miligramos del medicamente B,

produce una respuesta de R unidades, misma que se describe a través de yxcyxR 32 , donde c es una constante positiva. ¿Qué dosis de cada medicamente ocasionarán la máxima respuesta?

64) Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide

364936 222 zyx , si las aristas deben ser paralelas a los ejes coordenados.

65) Se elabora una caja rectangular sin tapadera con un costo total por material de $10. Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15/pie2 y el material para los lados cuesta $0.30/pie2; determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse.

66) Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 pie3 empleando tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapadera es de $0.18/pie2, el costo del material para el frente y parte posterior es de $0.16/pie2, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12/pie2. Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea mínimo.



67) Determine las dimensiones de una caja rectangular con un volumen de 1 pie3 que tiene un área

superficial mínima S.

68) Encuentre el punto sobre el plano 12 zyx más cercano al origen. (sugerencia: considere el cuadrado de la distancia.)

69) El pentágono que se muestra en la figura, formado por un triángulo isósceles sobrepuesto sobre un rectángulo, tiene perímetro fijo P. Calcule x, y & θ de manera que el área del pentágono sea un máxima.

70) Un pedazo de latón de 24 pulg de ancho se dobla de

manera tal que su sección transversal es un trapezoide isósceles. Calcule x & θ de manera que el área de la sección transversal sea un máximo. ¿cuál es el área máxima?

71) Un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapadera cónica en la forma que se ilustra en la figura. El radio del tanque es de 3m, y su área superficial total corresponde a 81π cm2. Calcule las alturas x & y de manera que el volumen del tanque sea máximo.

72) Encuentre el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es de 4 pies.



Referencias Bibliográficas Utilizadas en la Elaboración de ésta Guía de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México D.F, México. Pearson Educación. 2. Leithold, L. (1998). El Cálculo. 7ª ed. México D.F, México. Oxford University Press – Harla México, S.A. 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México D.F, México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México D.F, México. Grupo Editorial

Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo Varias Variables, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México D.F, México.

Cengage Learning Editores. 6. Stewart, J. (2012). Cálculo Varias Variables, Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México D.F, México.

Cengage Learning Editores. 7. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México D.F, México.

Pearson Educación. 8. Thomas, G. (2010). Cálculo Varias Variables, 12ª ed. México D.F, México. Pearson Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo Varias Variables. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México D.F, México. McGraw-

Hill Educación. 10. Larson, R.; Edwards, B. (2010). Cálculo 2 de Varias Variables, 9ª ed. México D.F, México. McGraw-Hill

Educación. 11. Zill, D.; Wright, W. (2011). Matemáticas 3. Cálculo de Varias Variables. 1ª ed. México D.F, México.

McGraw-Hill Educación. 12. Juárez, I.; Moreno, J.; Tomeo, V. (2007). Cálculo en Varias Variables Paso a Paso. 1ª ed. Madrid, España.

Thomson Editores. 13. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.

Universidad de Chile. Santiago de Chile. 14. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning

Editores. 15. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República

Bolivariana de Venezuela. 16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José

Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 17. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.

Santiago de Chile, Chile. 18. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de

Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JUCELO1209® D.R.2016

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Listado De Soluciones Aproximadas Para Los Ejercicios Propuestos A.-) En los problemas del No.01 – No.03, evaluar Fx & Fy en el punto dado

1) R/= 412,22,2 yx ff

2) R/= definidonofdefinidonof yx 1,11,1

3) R/= 2781,1;27

101,1 yx ff



B.-) En los problemas del No.04 – No.07, para f(x,y), encontrar todos los valores de x & y , tal que fx(x,y)=0 & fy(x,y)=0 simultáneamente

4) R/=> 2;2 yx

5) R/=> 4;6 yx

6) R/=> 0 yx

7) R/=> 0 yx C.-) En los problemas del No.08 – No.11, hallar dy/dx

8) R/=> 12

12

xyxy

dxdy

9) R/=> xy

dxdy

10) R/=> 22

22

yxyyxx

dxdy

11) R/=> 5324

22

2422 yyxyxxyxy

dxdy

D.-) En los problemas del No.12 – No.14, hallar dw/dt utilizando la regla de la cadena apropiada

12) R/=> tedtdw 22

13) R/=> 34tdtdw

14) R/=> 824 3 tdtdw



E.-) En los problemas del No.15 – No.20, hallar w/ r y w/ utilizando la regla de la cadena apropiada

15) R/=> 6;2

wrrw

16) R/=> 1;0

wr

w

17) R/=> 0;525

52

wr

rr

w

18) R/=> 22222 22;3

rrwrrw

19) R/=> 324 4;12 rwrrw

20) R/=>

32322

322232

226

222cos

rsenrrw

rsenrrrrw

G.-) En los problemas del No.25 – No.28, determine el valor de la incógnita planteada a través de la optimización de funciones en varias variables.

25) R/→ x=y=z=40; P=64,000

26) R/→ x=y=z=1/2m; V=1/8m3

27) R/→ x=y=z=10in; A=600in2

28) R/→ x=y=20cm; z=10cm H.-) En los problemas del No.29 – No.32, encuentre las dimensiones que minimicen el costo total del material necesario para construir la caja rectangular que se describe.

29) R/→ x=y=10in; z=6in; C=$18

30) R/→ x=y=4ft; z=3ft; C=$288.00

31) R/→ x=10in; y=15in; z=5ft; C=$27.00

32) R/→ x=y=2m; z=3m; C=36.00



I.-) En los problemas del No.33 – No.47, determine el valor de la pregunta planteada a través de la optimización de funciones en varias variables o multiplicadores de Lagrange, esto de acuerdo al enunciado.

33) R/→ x=20ft; y=40ft; z=10ft; C=$4,800.00

34) R/→ x=y=20in; z=60in; C=$360.00

35) R/→ x=4/3; y=2in; V=64/9 und3

36) R/→ x=2000 unds; y=4000unds; P=$18,000

37) R/→ undsVr 62

2

209

, undsVhz 3

2512

38) R/→ igual que el ejercicio No.50

39) R/→ x=6.43ft; h=1.86ft; y=5.071ft; A=38.58ft2

40) R/→ x=L/3; A= 22

123 undsL .

41) R/→ x=y=7.11pies; z=9.49pies; C=

42) R/→

43) R/→ r=6.20unds; h=0.014unds

44) R/→ x=0.707Km; y=0.577Km; z=8.716Km

45) R/→ x=6.6in; y=2.2in; z=0.82in; C= (respuestas con un costo unitario de 1c/in2)

46) R/→ x=y=z=10pies; C=

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