1bTeoría de Colas

7/29/2019 1bTeora de Colas

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Marzo2013

Prof.RomnLaraC.


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TeoradeColasEsunaramadelasMatemticasqueseocupadelestudiodelascolasdeespera,conunalcancemsgeneralquelossistemasdecomunicaciones.

Suobjetivoeselestudiodesistemascompuestos,porunaomsunidadesllamadasprocesadoreso

servidores,encargadosderealizarlastareasencomendadasporotrasunidades,llamadasclientes,conlaparticularidaddequesidurantealgnintervalodetiempolallegadadeclientessuperalacapacidad

deprocesamientodelsistema,dichosclientespermanecenencolahastaqueseanservidos.


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TeoradeColas

Fuentesdetrfico

ClientesRecursos

T r f i c o de

lared

Servidores


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AplicacindelateoradecolasLoscamposdeaplicacindelateoradecolasenlaIngenieradeTelecomunicacinsonnumerosos,pudiendoagruparseenlassiguientesgrandesreas:

Anlisisydiseodeprotocolosdecomunicacin. Controlygestinderecursosenredesdetelecomunicaciones.

Dimensionadoderedesdecomunicacin. Modeladodeltrficoquecirculaporlasredes:voz,videoydatos.


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LascolasLascolassonfrecuentesennuestravidacotidiana:

EnunbancoEnunrestaurantedecomidasrpidas

AlmatricularenlauniversidadLosautosenunlavacar


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LascolasEngeneral,anadielegustaesperarCuandolapacienciallegaasulmite,lagentesevaaotrolugar

Sinembargo,unserviciomuyrpidotendrauncostomuyelevado

Esnecesarioencontrarunbalanceadecuado


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Modelobsico

Unsistemadecolaspuededividirseendoscomponentesprincipales:

Lacola

LainstalacindelservicioLosclientesollegadasvienenenformaindividualpararecibirelservicio


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Losclientesollegadaspuedenser:PersonasAutomvilesMquinasquerequierenreparacinDocumentosEntremuchosotrostiposdeartculos

Modelobsico


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Sicuandoelclientelleganohaynadieenlacola,pasadeunavezarecibirel

servicioSino,seunealacolaEsimportantesealarquelacolanoincluyeaquienestrecibiendoelservicio

Modelobsico


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Lasllegadasvanalainstalacindelserviciodeacuerdoconladisciplinade

lacolaGeneralmentestaesprimeroenllegar,primeroenserservido(FIFO)

Peropuedenhaberotrasreglasocolasconprioridades

Modelobsico


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Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalacindelservicio

Disciplina

de la cola

Salidas

Modelobsico


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Estructuras:picasdesistemasde

colasunalnea,unservidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas


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Estructuras:picasdesistemasdecolasuna

lnea,ml@plesservidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas


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Estructuras:picasdecolasvarias

lneas,ml@plesservidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola


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Estructuras:picasdecolasunalnea,

servidoressecuenciales

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor


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Costosdeunsistemadecolas

1. Costodeespera:Eselcostoparaelclientealesperar

Representaelcostodeoportunidaddeltiempoperdido

Unsistemaconunbajocostodeesperaesunafuenteimportantedecompetitividad


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2. Costodeservicio:Eselcostodeoperacindelserviciobrindado

Esmsfcildeestimar Elobjetivodeunsistemadecolases

encontrarelsistemadelcostototal

mnimo



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Eltiempoquetranscurreentredosllegadassucesivasenelsistemadecolassellamatiempoentrellegadas

Eltiempoentrellegadastiendeasermuyvariable

Elnmeroesperadodellegadasporunidaddetiemposellamatasamediadellegadas()



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SistemasdecolasLasllegadas

Eltiempoesperadoentrellegadases1/

Porejemplo,silatasamediadellegadases=20clientesporhora

Entonceseltiempoesperadoentrellegadases1/=1/20=0.05horaso3minutos


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Ademsesnecesarioestimarladistribucindeprobabilidaddelos

tiemposentrellegadasGeneralmentesesuponeunadistribucinexponencial

Estodependedelcomportamientodelasllegadas


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Distribucinexponencial

Laformaalgebraicadeladistribucinexponenciales:

Dondetrepresentaunacantidadexpresadaendetiempounidadesdetiempo(horas,minutos,etc.)

tetserviciodetiempoP = 1)(


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Media Tiempo0

P(t)


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Ladistribucinexponencialsuponeunamayorprobabilidadparatiemposentrellegadaspequeos

Engeneral,seconsideraquelasllegadassonaleatorias

Laltimallegadanoinfluyeenlaprobabilidaddellegadadelasiguiente


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SistemasdecolasLasllegadas-Distribucinde

Poisson

Esunadistribucindiscretaempleadaconmuchafrecuenciaparadescribirelpatrndelasllegadasaunsistemade

colas

Paratasasmediasdellegadaspequeasesasimtricaysehacems

simtricayseaproximaalabinomialparatasasdellegadasaltas


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SistemasdecolasLasllegadas-

DistribucindePoisson

Suformaalgebraicaes:

Donde:P(k):probabilidaddekllegadasporunidaddetiempo

:tasamediadellegadas

e=2,7182818

!

)(

k

ekP

k

=


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SistemasdecolasLasllegadas-

DistribucindePoisson

Llegadas por unidad de tiempo0

P


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Elnmerodeclientesenlacolaeselnmerodeclientesqueesperanel

servicioElnmerodeclientesenelsistemaeselnmerodeclientesqueesperanen

lacolamselnmerodeclientesqueactualmenterecibenelservicio

SistemasdecolasLacola


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Lacapacidaddelacolaeselnmeromximodeclientesquepuedenestar

enlacolaGeneralmentesesuponequelacolaesinfinita

Aunquetambinlacolapuedeserfinita



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Ladisciplinadelacolaserefierealordenenqueseseleccionanlosmiembrosdelacolaparacomenzarel

servicioLamscomnesFIFO:primeroenllegar,primeroensalir

Puededarse:seleccinaleatoria,prioridades,LIFO,entreotras.


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Elserviciopuedeserbrindadoporunservidoroporservidoresmltiples

Eltiempodeserviciovaradeclienteacliente

Eltiempoesperadodeserviciodependedelatasamediadeservicio()

SistemasdecolasElservicio


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Eltiempoesperadodeservicioequivalea1/

Porejemplo,silatasamediadeservicioesde25clientesporhora

Entonceseltiempoesperadodeservicioes1/=1/25=0.04horas,o2.4minutos



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Esnecesarioseleccionarunadistribucindeprobabilidadparalostiemposdeservicio

Haydosdistribucionesquerepresentaranpuntosextremos:Ladistribucinexponencial(=media)

Tiemposdeservicioconstantes(=0)



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UnadistribucinintermediaesladistribucinErlang

Estadistribucinposeeunparmetrodeformakquedeterminasudesviacinestndar:

mediak

1=


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Sik=1,entoncesladistribucinErlangesigualalaexponencial

Sik=,entoncesladistribucinErlangesigualaladistribucindegeneradacontiemposconstantes

LaformadeladistribucinErlangvaradeacuerdoconk



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Media Tiempo0

P(t)k =

k = 1k = 2

k = 8



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Sistemasdecolas

DistribucinErlang

Distribucin Desviacin estndar

Constante 0

Erlang, k= 1 media

Erlang, k= 2

Erlang, k= 4 1/2 media

Erlang, k= 8

Erlang, k= 16 1/4 media

Erlang, cualquierk

media2/1

media8/1

mediak/1


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NotacindeKendall Utilizadaparaclasificarlossistemasespecificandolascaractersticasdeloselementosquelocomponen.A/B/C/K/m/z

A:Distribucindetiemposentrellegadas()B:Distribucindetiemposdeservicio(s)

D(determinista),M(memory-less;exponencial),Ek(Erlang-k),Hk(hiperexponencialdekestados)oG(general;seaproximaraunadelasanterioressegn2 (0,1,1/ko1)).

C:Nmerodeservidores(canales) K=capacidadtotalmximadelsistema(usuariosencola+servidores). SiK=C=>noexistecola. Pordefecto,infinito.

m=tamaodelapoblacin. Pordefecto,infinito.

z=disciplinadelacola. Pordefecto,FIFO.


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Estadodelsistemadecolas

Enprincipioelsistemaestenunestadoinicial

Sesuponequeelsistemadecolasllegaaunacondicindeestadoestable(nivelnormaldeoperacin)

Existenotrascondicionesanormales(horaspico,etc.)

Loqueinteresaeselestadoestable


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Desempeodelsistemadecolas

Paraevaluareldesempeosebuscaconocerdosfactoresprincipales:

1. Elnmerodeclientesqueesperanenlacola

2. Eltiempoquelosclientesesperanenlacolayenelsistema


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ProcesosdePoisson

Tambinllamadosprocesostotalmentealeatorios,modelandeformaadecuadalallegadadeusuariosasistemasreales. P(llegadadeusuarioent)funcindellegadasanteriores.

Otraopcin=>Procesosautosimilares:caractersticassimilaresendistintosinstantesdetiempo. Msajustadosalarealidadperodepeormanejomatemtico.

Caractersticas: Probabilidaddellegadaenunintervalodirectamenteproporcionalalalongituddeste.

Probabilidaddemsdeunallegadaenunintervalolosuficientementepequeoesdespreciable.

Lallegadaenunintervaloesindependientedellegadaspasadasofuturas.

CasoparticulardeprocesodeMarkov: Probabilidaddesiguienteestadoslodependedelestadoactualynodelahistoria.


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Medidasdeldesempeodelsistemade

colas Deintersparalaexplotacindelsistemaconelmximobeneficioylamenorinversin. Demandaderecursosrealizadaporlosusuarios. Utilizacindelosrecursosdesplegados.

IntensidaddeTrfico=A(=I)[Erlangs]InterpretacinErlang=nmerodecanalespermanentementeocupadosnecesariosparacursartodoeltrfico.

AO=trficoofrecido Aperdido=trficonocursado AC=trficocursado

Factordeutilizacin= Probabilidaddequeunservidorestocupadooporcentajedetiempoenqueelservidorestocupado. =tasaefectiva(cursada)dellegada.

=/

= /=AC/=min(AC/)


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Parmetrosorientadosalsistema

Throughput(caudal)=Th[usuarios/segundo] Medidadelaproductividaddelsistema. Nmeromediodeusuariosservidosporunidaddetiempo.

Sinprdidas=>Th= Thmax=C

Volumendetrficocursadoporunservidor=V Tiempototaldeocupacindeeseservidorenunintervalodetiempodereferencia(T).=>VT

TambinsepuededefinirA=V/T. Varaalolargodelda=>franjashorariasypromedioenvariosdas. HC=HoraCargada=horadeldaconmayortrfico.

Apartirdeltrficoenestahoraserealizalaplanificacin. Unidades:

Devolumen:[LLR](llamadade120seg)y[CCS](llamadade100seg). Deintensidad:[Erlang](1Er=30LLR/HC=36CCS/HC)

Th=


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MedidadelaQoSpercibidaporelusuario. Tiempomediodeesperaencola=W

Esunav.a.yvaraparacadausuario. Tiempomedioenelsistema=T

Esunav.a.yvaraparacadausuario.Ti=Wi+Si Rgimenpermanente=>procesosestocsticosestacionarios.

Nmeromediodeusuariosenelsistema=N=T Esunav.a.yvaraconeltiempo.

Nmeromediodeusuariosencola=N =W Esunav.a.yvaraconeltiempo.

Otros: Probabilidaddequeexistaunservidorlibre. Probabilidaddequelacolasupereciertovalor. Tiempomediodeesperaparalosqueentranencola.

Parmetrosorientadosalsistema


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Medidasdeldesempeodelsistemadecolas

frmulasgenerales

+=

=

=

+=+=

q

q

NN

WN

TN

WSEWT1

][


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colasejemplo

Supongaunaestacindegasolinaalacuallleganenpromedio45clientesporhora

Setienecapacidadparaatenderenpromedioa60clientesporhora

Sesabequelosclientesesperanenpromedio3minutosenlacola

Determinarlosparmetrostotalesdelsistema


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colasejercicio

Supongaunrestaurantdecomidasrpidasalcuallleganenpromedio100clientesporhora

Setienecapacidadparaatenderenpromedioa150clientesporhoraSesabequelosclientesesperanenpromedio2minutosenlacola

Calculelasmedidasdedesempeodelsistema


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Probabilidadescomomedidasdel

desempeo

Beneficios:PermitenevaluarescenariosPermiteestablecermetas

Notacin:Pn:probabilidaddetenernclientesenelsistema

P(Ts t) : probabilidad de que uncliente no espere en el sistema msde thoras

ac or e u zac n e


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ac or eu zac n e

sistema

Dadalatasamediadellegadasylatasamediadeservicio,sedefineelfactordeutilizacindelsistema.

Generalmenteserequiereque


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Factordeu@lizacindelsistema-ejemplo

Conbaseenlosdatosdelejemploanterior,=0.75,=1

Elfactordeutilizacindelsistemasisemantuvieraunservidores

=/=0.75/1=0.75=75%

Condosservidores(C=2):=/C=0.75/(2*1)=0.75/2=37,5%


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Ejemplo

Unaparatoregistradordetrficotomamedidascada3minutos,durantelaHC,delnmerodecircuitosocupadosenungrupo. Lasmedidasobtenidasserepresentanenelsiguientegrfico:

Determineelvalordeltrficocursadosiladuracinmediadelasllamadasesde3minutos


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Ejemplo

Enunhazdecuatrocircuitos,cadaunoestocupadouncuartodehoradiferentedelaHoraCargada.

a)Culeseltrficocursadoporcadacircuito?Yporelhaz?

b)Ysicoincidenloscuatrocuartosdehora?


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AnlisiseconmicodelneasdeesperaCostos

Tasa de servicioTasa ptima

de servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total


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Procesosde

NacimientoyMuerte Resultaninteresantesporquelamayorpartedelossistemasdeesperacontiemposdellegadaydeservicioexponencialessepuedenmodelarcomoprocesosdenacimientoymuerte.

SonuncasoespecialdelosprocesosdeMarkovdondesloserealizan

transicionesaestadosadyacentes. Estadodelsistema:nmerodeelementosdelsistema. Laevolucinentreestadosdelsistemaslodependedelestadoactual.

Grficamente: Estadondelsisteman

Eventos Nacimiento:llegadadeunelementoalsistema Muerte:salidadeunelementodelsistema

Consideraremosquelasllegadasysalidassonindependientesentres

n n

Transiciones


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Procesosde

NacimientoyMuerte Latransicinentreestadostienelugarconunadeterminadaprobabilidad

Probabilidaddequesucedaunnacimiento eslaprobabilidaddeque,estandoelsistema

n-1 enelestadon-1,pasealestadon

Probabilidaddequesucedaunamuerte eslaprobabilidaddeque,estandon elsistemaenelestadon,pasealestadon-1

Ecuacindeconservacindelflujo(n>0) Enrgimenpermanente,elflujodeentradaysalidadecadaestadocoinciden

n-1pn-1=npnpn=n1 pn1/n

n-1 n


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Procesosde

NacimientoyMuerte 0 1 2

pn=n1 pn1/n

123Paraobtenerpnenfuncindep0:

p1=0 /1 p0yp0?Sielsistemaesestable0pn =1

p2=1 /2 p1 = 10/12 p0

0 1 2


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SistemasconPrdidas

SinReintento SistemasconPrdidasySinReintento:

Sistemasincola. Silademandasuperalacapacidaddeservicio,laspeticionesserechazanypierden.Laspeticionesquelleganalsistemaynoencuentranunservidorlibre,serechazan.

Lasllamadasquenosepuedencursarinmediatamente,serechazan.Sesuponequenohayreintento(otrosistema?).

Estructuradeunsistemaconprdidas Elmodelodetrficoqueestudia

estasituacineselmodelode Erlang-B(ErB)


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SistemasconPrdidas

SinReintento HiptesisdelmodeloErlang-B:

1.Tamaodelapoblacinesinfinito.

Caracterstica:latasadepeticionesdeservicionoseve afectadaporelestadodelsistema.

2.RgimendellegadasdePoisson.

3.Lav.a.tiempodeservicio(s)sigueunadistribucin exponencial.4.Nmerodeservidores:c.

5.Nohayespera(Q=0).

NotacinKendall:M/M/c/c/

Sesuponequelasunidades,unavezservidas,regresanalapoblacin


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SistemasconPrdidas

SinReintento


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SistemasconPrdidas

SinReintento


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SistemasconPrdidas

SinReintento

Paraconectarcuatrogruposdeterminalesdedatosaunordenadorcentralseproponendosconfiguraciones,representadasenlasfiguras(a)y(b).

Sabiendoquecadagrupotiene22terminalesyque,portrminomedio,estnactivosel10%deltiempo,determineelnmerodecircuitosquesenecesitanencadacasosiprobabilidaddebloqueomximaesdel5%.

(Nota:Modeleelsistemadeformaquelasllamadasbloqueadassepierden.)


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SistemasconPrdidas

SinReintento


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SistemasconPrdidas

ConReintento

SistemasconPrdidasyConReintento: Silapeticindeconexinnosecursa,lallamadavuelvealsistemacomounreintento.

Elanlisissimplificadodeestossistemassebasaentreshiptesis: H1)Todaslasllamadasqueelsistemarechazacuandoestbloqueadosecursanenposterioresreintentos.

H2)Eltiempoquetranscurreentreelinstanteenqueunapeticinencuentrabloqueoyelreintentoesaleatorioyestadsticamenteindependiente.

H3)Eltiempomedioentrereintentosesmayorqueeltiempomediodeservicio.

Desdeelp.d.v.analtico,distinguiremosentrellamadadeprimerintentoyllamadadereintento.


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SistemasconPrdidas

ConReintento


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SistemasconPrdidas

ConReintento


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SistemasconPrdidas

ConReintento


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SistemasconPrdidas

ConReintento

Determinelaprobabilidaddebloqueodeunenlacede10circuitosentreunacentralitayunacentrallocalsabiendoqueeltrficoofrecido,sisepudieracursarensutotalidad,esde7Erlangs.Nota:Apliqueelmodelodereintentosconllamadasperdidasysuponga

poblacininfinita.


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SistemasconPrdidas

ConReintento


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SistemasconPrdidas

ConReintento


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera

Unacentralitasirvedepuenteentre100extensionesy20lneasdesalidaconlassiguientescaractersticas:Encasodesaturacin,lasextensionesesperaneltiempoqueseanecesarioa

queunadelaslneasdesalidaquedelibre.Cadaextensingenera3llamadasdurantelaHC.Lamediadeduracindelasllamadasesde2

minutos.Calcule:

PD.Tiempomediodeespera.


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Sistemasconespera


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Sistemasconespera

Unacentralitasirvedepuenteentre100extensionesy20lneasdesalidaconlassiguientescaractersticas:Encasodesaturacin,lasextensionesesperaneltiempoqueseanecesarioa

queunadelaslneasdesalidaquedelibre.Cadaextensingenera3llamadasdurantelaHC.Lamediadeduracindelasllamadasesde2

minutos.Calcule:

PD.Tiempomediodeespera.


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Sistemasconespera

SetratadeoptimizarelnmerodecircuitosCdeunsistemaenelqueeltrficoofrecidoseestimaen3ErydondelaPBmximaserde0.03.

Sermejormodelarelsistemacomounsistemade

prdidasodeespera?Si,encasodeemergencia,eltrficoofrecidoaumentaraun20%cmoafectaraalgradodeservicio?

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