Teoría de Colas o Teoría de Colas o Fenómenos de EsperaFenómenos de Espera

Rodrigo R. Rodulfo.Rodrigo R. Rodulfo.

Republica Bolivariana de VenezuelaRepublica Bolivariana de VenezuelaInstituto Universitario PolitécnicoInstituto Universitario Politécnico

¨Santiago Mariño¨¨Santiago Mariño¨Maturín - Edo. MonagasMaturín - Edo. Monagas

Colas o líneas de Espera

Una colacola es una línea de espera y la teoría de colas teoría de colas

es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de

colas.

ObjetivoObjetivoLos modelos sirven para

encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema

dado.

La teoría de colas se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Colas

Un ejemplo de una cola es: cuando se va a comprar un boleto para viajar, si existen pocas personas para ser atendidas, será una cola pequeña; sin embargo, si hay un gran número de personas esperando ser atendidas será una cola muy grande.

Ahora bien, el número de servidores dependerá de cuantas personas están atendiendo y el cliente será la persona que quiere comprar el boleto, el número de servidores podrá ser de 1 hasta infinito.

A continuación se muestra el ejemplo de una cola con un único servidor.

Ejemplo de Modelo de Cola con 1 Ejemplo de Modelo de Cola con 1 ServidorServidor

Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavadero automático de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc.).

Ejemplo de Modelo de Colas con Dos Ejemplo de Modelo de Colas con Dos ServidoresServidores

Para modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden de llegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible un servidor se le asigna el siguiente cliente.

El principal problema con esta estructura es que requiere un requiere un estricto control de la cola estricto control de la cola para mantener el ordenpara mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles.

(Ejemplo: una panadería en donde

los clientes toman un numero al entrar y se les

sirve cuando llega el turno).

Ejemplo: Varias colas y varios servidores

El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo diferencias en el tiempo de servicio de servicio para cada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas.

Como resultado de esto, algunos clientes son atendidos antes que otros que llegaron primero y además producen cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de los bancos y las cajas de pago de los supermercados).

Múltiples servidores (Fases múltiples)

En este caso se sigue una secuencia de pasos específicossigue una secuencia de pasos específicos, como en el caso de admisión de pacientes en un hospital (contacto inicial en el mostrador de admisión, llenar formularios, elaborar tarjetas de identificación, obtener la asignación de una habitación, llevar al

paciente a la habitación, etc.). Es posible procesar más de un paciente a la vez, ya que generalmente existen varios servidores disponibles para este procedimiento.

Características de los sistemas de Colas

Un sistema de colas se especifica por seis características principales :

1.El tipo de distribución de entradas o llegadas

(tiempo entre llegadas).

2.El tipo de distribución de salidas o retiros

(tiempo de servicio).

3.Los canales de servicio.

Determinan los modelos por los cuales los clientes entran y salen y también hace referencia al tiempo.

Proceso o sistema que efectúa el servicio.

Características de los sistemas de Colas

4. Disciplina del Servicio

La disciplina es una regla para seleccionar clientes de la línea de espera al inicio del servidor. Una de las disciplinas mas usadas es la ¨First In – First Out FIFO¨(Primeros que llegan, serán los primeros en salir).

La otra es ¨¨Last In – First Out (los últimos en llegar son los primeros en salir).Existen otras disciplinas denominadas el azar y de prioridad.

En general la disciplina de los modelos de cola es: primero en entrar, primero en salir. Las reglas de prioridades más comunes para

determinar el orden de servicio a los clientes que esperan en la cola son:

PEPS: Primero Entrado, Primero Salido. (FIFO)UEPS. Ultimo Entrado, Primero Salido. (LIFO)

SEOA: Servicio en Orden Aleatorio. GD: Disciplina General de Servicio

(representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA).

Características de los sistemas de Colas

5.El numero máximo de clientes permitidos en el sistema.

6.La fuente o población.

Es el cupo de clientes permitidos en una cola dependiendo de las características que presenta el sistema, de acuerdo a estas se podrá tener colas finitas o infinitas. Si son infinitas no hay problema con el numero de clientes que lleguen, si son finitas una vez que este llena la cola los clientes serán rechazados.

Factor importante, el modelo de llegada depende de la fuente de los clientes. La fuente que genera las llamadas puede ser finita o infinita.

Características de los sistemas de Colas

7. Proceso de Salida

Es la forma en que los clientes abandonan un sistema de colas. Para describir el proceso de salida de un sistema de cola, se especifica una distribución de probabilidad. En la mayor parte de los casos suponemos que la distribución de tiempo de servicio es independiente del número de clientes presentes, es decir que el servidor no trabaja más rápido cuando hay más clientes.

Elementos principales de un sistema de Colas.

Modelos de Teorías de Colas

El modelo 5 y 6, suelen llamarse de servicio cerrado. El servidor atiende a unun número constante de máquinas o unidades. Cuando una máquina se rompe, no puede generarse nuevos llamados mientras permanezca en servicio.

En el caso del modelo 6 el sistema tiene un total de K máquinas que son atendidas por R operarios.

Clasificación de los Modelos de Colas

Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas, según sus características o propiedades. Esta clasificación se aplica a modelos de servicio único prestado por una o varias estaciones.

Los modelos se identifican mediante la siguiente convención, en letras:

Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F) Clasificación de Kendall: A/B/C: (D/E/F)

Las letras o campos se usan según la siguiente convención:

A = En esta campo se coloca la distribución del tiempo entre llegadas

B = En este campo se especifica la distribución del tiempo de servicio

C = Se usa para identificar el número de estaciones de servicio, en paralelo

D = En este campo se especifica la prioridad del sistema. Por defecto se supone que es FIFO.

E =Indica la capacidad de sistema (Por defecto se supone que es limitada)

F = Tamaño de la fuente (Por defecto se asume que es ilimitada)

Cuadro de Clasificación de Kendall

Notación Significado

A Modelo de llegadasM: exponencialesD: deterministas

G: generales

B Modelo de Servicio (puede tomar los valores de A).

X Numero de Servidores

Y Capacidad del sistema (se puede omitir si es infinita).

Z Disciplina (se puede omitir si es FIFO).

V Numero de estados del servicio (omitir si es 1).

F Fuente

Clasificación de los Modelos de Colas

Para especificar la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo se servicio se usa la siguiente convención:

•M = M = Distribución exponencial

•G = G = Distribución general

•Ek = Ek = Distribución de Erlang

••D = D = Distribución constante

A veces la clasificación es simplemente A/B/C, y si es del caso se especifica con palabras alguna otra propiedad del sistema.

Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞) Ejemplo: M/M/5: (FIFO/∞/∞)

Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞) Ejemplo: M/M/1: (FIFO/10/∞)

Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M) Ejemplo: M/M/s: (FIFO/M/M)

Ejemplo: M/G/1 Ejemplo: M/G/1

Parámetros y Variables

Los principales parámetros usados en los modelos de colas son los siguientes

•S = S = Número de servidores o estaciones de servicio, en paralelo

••λ= λ= Tasa media de llegada de clientes al sistema

••μ= μ= Tasa media de servicio por estación

••m = m = Tamaño de la fuente (número máximo de clientes que pueden llegar al sistema)

••N = N = Capacidad del sistema (número máximo

de clientes que pueden haber en el sistema

en cualquier instante).

Variables de estado

Las principales variables de estados usadas son:

•X(t) = n = X(t) = n = Número de clientes que hay en el sistema en cualquier instante

Variables y Medidas de Congestión

••v v = Número de clientes que hay en la cola en cualquier instante. Se supone que existe una cola que alimenta todas las estaciones de servicio

••a a = Número de clientes que están recibiendo

servicio en cualquier instante. También es equivalente al número de servidores ocupados

••r r = Número de servidores inactivos

•Pn(t) Pn(t) = Probabilidad de que haya nn personas en el sistema en el tiempo t

Medidas de congestiónMedidas de congestión

Se denominan medidas de congestión aquellas medias o indicadores que reflejan el comportamiento general del sistema a largo plazo, o en régimen permanente.

Medidas de Congestión

••Pn= Pn= Probabilidad, a largo plazo, de que haya n personas en el sistema

••L = L = Número esperado de clientes en el sistema

•Lq = Lq = Número esperado de clientes en la cola

••W = W = Tiempo esperado de permanencia de un cliente en el sistema

••Wq= Wq= Tiempo medio de espera de un cliente antes de ser atendido (tiempo de permanencia en la cola)

••Wq/Wq>0 = Wq/Wq>0 = Tiempo medio de espera de un cliente en la cola, cuando tiene que esperar.

••a = a = Número medio de clientes que reciben servicio

••r = r = Número de servidores inactivos

••P(Wq>0) = P(Wq>0) = Probabilidad de que un cliente tenga que esperar

Relaciones Básicas

• La variable de estado más importante es el número de clientes que hay en el sistema (n), ya que a partir de ésta se pueden derivar todas las demás, como se muestra a continuación.

Número de clientes en la cola (V)

Número de clientes que está recibiendo el servicio (a)

Relaciones Básicas

• Numero de estaciones o servidores inactivos (r).

Además dado que el numero de clientes en el sistema debe estar recibiendo el servicio o esperando a ser atendidos se debe cumplir que:

n = v + an = v + a

Se tienen las siguientes expresiones:

Costos

Como ya se mencionó, el objetivo que se persigue al estudiar un sistema de colas puede ser muy variado. Generalmente se pretende definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se minimice el costo de operación del sistemacosto de operación del sistema, cual puede ser el costo de operación para una configuración dada.

Por lo tanto, al realizar el análisis de los fenómenos de espera, es necesario considerarlos diferentes costos involucrados en estos sistema, los cuales se resumen en:

→Costos de Prestación o Servicio

Costo ocasionado por cada servidor por unidad de tiempo (Co) o al costo marginal de incrementar la tasa de servicio por unidad de tiempo (Cu). En el primer caso para encontrar costo total el Co se multiplica por el numero de servidores (s). En el segundo caso se multiplica por la tasa de servicio μ.μ.

Costos

Co= Costo por servido r/tiempo

Cu=Costo de incrementar la tasa de servicio .

→Costo de Espera o Inactividad por cliente.Costo de Espera o Inactividad por cliente.

Este costo se refiere a lo que le cuesta a un cliente esperar mientras se lo atiende. En algunos casos este costo lo sufre directamente el sistema (tiempo de inactividad delas máquinas, tiempo ocioso de los empleados esperando las herramientas de trabajo), y en otros casos el sistema no asume directamente este costo, sino que lo sufre directamente el cliente, pero a la larga, su efecto se notará sobre el sistema, ya que si el sistema no reduce estos costos de inactividad de los clientes, estos preferirán otros sitios.

Ci= Costo de inactividad por cliente / por unidad de tiempo.

Costos

→ Costo total por unidad de tiempo

Corresponde a la suma de los costos de operación de operación e inactividad. Se podría formular como:

CT(s) = sCo + Ci L CT(s) = sCo + Ci L

CT(μ) = uCu +Ci L CT(μ) = uCu +Ci L