Sistemas de Colas

Optimización de Sistemas II Facultad de Ingeniería Industrial y Sistemas

Universidad Tecnológica del Perú 1

Tiempoentre

Arribos (t)

Cola

Servicio

Población

SISTEMA DE COLASSISTEMA DE COLAS

Arribos

Tiempo deServicio

Politica deservicio

Un sistema de colas puede ser analizado en función de sus tasas de arribo y de servicio, variables cuyo comportamiento puede ser aleatorio.

Para nuestro estudio consideraremos que los arribos se ajustan a una distribución de Poisson con tasa media o tiempo entre arribos Exponenencial con tasa media 1/.

Los tiempos de servicio son Exponenciales con tasa media μ.





CONDICIONESINICIALES

LC = LC + 1

GENERAR TA

SUMTA = SUMTA + TA

SERVICIODISPONIBLE ?

COLA =0 ? COLA =0 ?

TOT = TOT + 1 LC = LC - 1TET = TET + LC

GENERAR TS

SE OCUPASERVICIO

SI NO

NOSI

NO

SI

A

C

B

Para t=0arriba el 1er Cliente

Tiempo deArribo

Tiempo deServicio

Longitud dela Cola

Tiempo EsperaTotal

Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento FijoIncremento Fijo

RELOJ = RELOJ + 1

VERIFICARTS

TS =TS - 1 TS = TS - 1

COMPARARRELOJ::SUMTA

TS > 1 TS = 1

SEDESOCUPASERVICIO

TS = 0

A

B C

RELOJ < SUMTA RELOJ = SUMTA



TS1

TS2

TS3

TS4

TO1

TE3

TE4

TE5

c1

c2

c3

c4

c5

0

TA2 TA3 TA4 TA5 TA6

TS5

TE6

SUMTA2

SUMTA3

SUMTA4

c6

SUMTA1



Mecanismo de Control de Mecanismo de Control de Incremento VariableIncremento Variable

CONDICIONESINICIALES

GENERAR TA

TA = TA - TE

GENERAR TS

TS = TA ?

TS < TA ?TE = 0

TO = 0TE = 0

TO = TA - TS

TOT = TOT + TO

TO = 0

TE = TS - TA

TET = TET + TE

SI NO

SI NO

Tiempode Arribo

Tiempo deServicio

Tiempo deEspera

TiempoOcioso

TiempoOcioso Total

Tiempo deEspera Total

Para t=0arriba el 1er Cliente



TS1

TS2

TS3

TS4

TO2=TA2-TS1TE2=0 TE3

TE4

TE5

c1

c2

c3

c4

c5

0

TA2 TA3 TA4 TA5 TA6

TS5

TE6

TA2 =TA2 – TE1

TA3 =TA3 – TE1

TA5=TA5 –TE4

c6

TE3=TS2-TA3T03=0

TA4 =TA4 – TE3

TE4=TS3-TA4T04=0

TE5=TS4-TA5T05=0

Una Compañía de carga recepciona sus camiones que llegan en forma aleatoria en una terminal para descarga. Después de analizar los datos históricos se ha concluído que el número de llegadas diarias de camiones se comporta de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 3 camiones por día. El peso de la carga de cada camión es un factor importante en lo referente al tiempo de descarga. Se ha comprobado con los registros pasados que los pesos de la carga estan distribuídos normalmente con media 30 mil lbs. Y una desviación estándar de 5 mil lbs. Para la descarga se cuenta con cuadrillas cuya capacidad de descarga en lbs por hora es variable y función del tipo de carga.

La frecuencia de cada tipo de carga y la velocidad de descarga de las cuadrillas se muestran en la tabla siguiente :



Una cuadrilla consta de 3 personas: 1operador de elevador de carga a quien se le paga 4$/Hr y dos obreros a quienes se les paga 2.50 $/Hr. La política de la Cia. es descargar en el día todos los camiones que arribaron el día anterior sin importar los costos de tiempo extra implícitos. El contrato del sindicato demanda una bonificación del 50% por horas extras fuera de la jornada de trabajo de 8 Hr diarias.◦ Con base a una simulación de 10 días determine

cuantas cuadrillas se requieren para reducir al mínimo los costos totales de descarga.

◦ Si aplicaramos la política de que los camiones deben descargarse el mismo día de su llegada en lugar del día siguiente, y que la tasa media de llegadas sube a 4 Cam/Día Cuántas cuadrillas se requerirán para reducir al mínimo los costos totales de descarga.



0 51 152 223 224 175 116 57 3

100

Nro Camiones

Frec

A 40 8000B 35 7000C 25 5000

Veloc.Descarga Lb/hr x Cuadrilla

Tipo Carga

Frec



Generar NroCamiones (NCM)

Arriban x Día

Generar TipoCarga x Camión

Generar PesoCarga x Camión

Calcular Costo Descarga (CD)

Asignar Nro Cuadrillas (NCD)

NDias=NDias + 1

Ndias=10 ?NO

TotCD=TotCD+CD

Imprimir x DíaValores Generadosy Costo Descarga

Imprimir Ndias,Nro Cuadrillasy Costo Total Descarga

SI

Definir Plan Trabajo

TotCDTotCD

NCDNCD

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

C1C1

C2C2

C3C3

C5C5

C6C6

Nro arribos ~ Poisson () oTiempo entre arribos ~ Exponencial (1/)

Tiempo de servicio ~ Exponencial (1/ μ) Por lo tanto :

◦ Tasa de arribo y tasa de servicio μ◦ Factor de ocupación del Sistema = (/μ)◦ Probabilidad que el Sistema esté vacio P0 = 1–

(/μ)◦ Porcentaje de Tiempo Ocioso del Servicio 100 P0

(%)



1cola/1servidor/Población No Finita

1cola/1servidor/Población Finita(k)

1cola/Múltiples Serv.(s)Paralelo/Pobl.No Finita

1cola/MúltiplesServ.(s)Paralelo/Pobl.Finita(k)

1cola/MúltiplesServ.(s)Serie/Pobl.NoFinita



kk

s1

kk

s2

s1

s2

s1 s2

s

s

s

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ1 μ2 μs

s1

s1

Sea Pn la probabilidad de que existan n usuarios en el sistema al final del tiempo t, uno de ellos siendo atendido y los otros esperando en cola.

La probabilidad de que llegue un (1) usuario en el tiempo t es igual a t

La probabilidad de que un (1) usuario termine de ser atendido en t es igual a μt

Para determinar la probabilidad de que existan n usuarios en el tiempo t+ t, consideramos lo siguiente:◦ Que existan n usuarios al final del tiempo t. que no llegue ni se

vaya nadie en t Pn(t)[1- t][1- μt] ........ (1)◦ Que existan n usuarios al final del tiempo t, que llegue y se vaya

1 en t Pn(t)[t][μt] ..................(2)◦ Que existan n-1 usuarios al final del tiempo t, que llegue 1 y no

se vaya nadie en t Pn-1(t)[t][1- μt] ...........(3)◦ Que existan n+1 usuarios al final del tiempo t, que no llegue

nadie y se vaya 1 en t Pn+1(t)[1- t][μt] ...........(4)



Luego sumando (1)+(2)+(3)+(4) tenemos: Pn (t+t) = Pn(t)[1- t][1- μt] + Pn(t)[t][μt] +

Pn-1(t)[t][1- μt] . . . . . + Pn+1(t)[1- t][μt] Agrupando términos y eliminando los factores (t)2,

tenemos : Pn (t+t) - Pn (t) = Pn-1(t) – (+μ) Pn(t) + μPn+1(t)

t Pero como el tiempo transcurrido desde la ocurrencia

del último evento no tiene efecto en el tiempo restante hasta que ocurre el evento siguiente (propiedad “del olvido” de la func. exponencial):

Pn (t+t) - Pn (t) = 0 entonces Pn-1 – (+μ) Pn + μPn+1 = 0 Finalmente, agrupando términos obtenemos : Pn+1 = (- /μ)Pn-1 + [ (+μ)/μ ]Pn .................... (β)



Similarmente para determinar la probabilidad de que exista un usuario en el sistema :◦ No existen usuarios al final del tiempo t y llega uno en t P0 (t)[t](1- μt)◦ Existe 1 usuario al final del tiempo t, no llega nadie y no se

va nadie en t P1 (t)[1- t][1-μt]◦ Existe un usario al final del tiempo t, llega uno y se va uno en

t P1 (t)[t][μt]

Agrupando términos, eliminando los factores (t)2 y aplicando la propiedad “del olvido” tenemos que :◦ P0 + μP1 = 0 entonces P1 = (/μ)P0 ...... (δ)

De (β) y (δ) :◦ para n=1 P2 = (/μ)2 P0

◦ Para n=2 P3 = (/μ)3 P0

◦ Para n=3 P4 = (/μ)4 P0

◦ generalizando Pn = (/μ)n P0



Probabilidad de que en el stma. existan más de N usuarios:

P(n>N) = PN+1 +PN+2 +PN+3 +PN+4 .......

= (/μ)N+1P0 + (/μ)N+2P0 + (/μ)N+3P0 + ........

= P0 [(/μ)N+1+ (/μ)N+2+ (/μ)N+3+ ........ ]

= P0 [ (/μ)N+1/ [1- (/μ)] ] luego

P(n>N) =(/μ)N+1

Probabilidad de que existan n usuarios en cola :

Pn Cola = Pn+1 Stma entonces Pn cola = (/μ) n+1P0

Probabilidad de que la cola este vacía :

P~ Cola = P0 + P1 entonces P~ Cola = 1 - (/μ)2



Número esperado de usuarios en el sistema (NEUS):

NEUS = Σ i.Pi = 0P0 +1P1+ 2P2+ 3P3+ 4P4+

5P5+ ....

s.q.

Número esperado de usuarios en la cola (NEUC):

NEUC = 0P0 +1P2+ 2P3+ 3P4+ 4P5+ 5P6+ ....

s.q.

NEUS

2

( )NEUC



<

<

Tiempo esperado de paso de un usuario en cola (TEPUC): TEPUC = (1/ μ)NEUS

Tiempo esperado de paso de un usuario en el sistema (TEPUS):

TEPUS = TEPUC + Tpo.Servicio = /μ(μ-) + 1/ μ

( )TEPUC

1TEPUS



Costo Total de Paralización :CTP = (TasaArribo)(TpoTurno)(TpoEsperPasoUsuarioStma)

(CostoParalizxUnidTpo)

CTP = ( λ ) . ( Tpo ) . ( TEPUS ) . ( CPu ) (cl/ut) ( ut ) ( ut/cl ) ( $/ut )

Costo Total de Servicio :CTS = (TasaServicio) (TpoTurno)(CostoServicioxUsuario) (cl/ut) (ut) ($/cl)CTS = (TpoTurno)(CostoServxUnidTpo) (ut) ($/ut)

Costo Total de Atención del Sistema

CTAS = CTP + CTS



CTAS

CTS

CTP

μμ

CTCT

μμ0

CC00



Problema de Colas• Fotografías tomadas desde 1 helicóptero mostraron

que en promedio había 80 autos circulando en el carril de alta velocidad sobre un tramo de 1 milla de una vía rápida urbana. En meses recientes habían ocurrido cierto número de accidentes en ese tramo y que han sido atribuidos al manejo a corta distancia del auto delantero. Si para plena seguridad la distancia entre los autos recomendable debería ser de cuando menos 30 pies, en ese tramo y sobre ese carril, que % de los autos corre a una distancia demasiado corta del delantero. Considere que la cantidad de autos sobre el tramo de la vía en cuestión se ajusta a una distribución de Poisson.



dd11

dd22

= 80 autos/milla 1 milla = 5280 pies

ddi i 30 pies

n ~ Poisson ()

d ~ Expon (1/)P(d < 30) = 0

30(80/5280)e- (80/5280)d dd

= 1 - e- 30/66 = 0.37Ptto. el 37% de los autos van a una distancia no recomendable.

El departamento para caballeros de un gran almacén tiene un sastre para ajustar los trajes adquiridos por los clientes. Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 24 cli/hora. Los ajustes se realizan del tipo primero en llegar primero en ser atendido. Los clientes siempre desean esperar, ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que se tarda en realizar un ajuste se distribuye exponencialmente con media 2 minutos entre clientes. Calcular:

Número promedio de clientes en la sala de ajustes. Cuanto tiempo tiene que esperar un cliente en la sala de

ajustes. Porcentaje de tiempo que permanece ocioso el sastre. Cual es la probabilidad de que un cliente espere los servicios

del sastre más de 10 minutos. Cuanto tiempo deben esperar los clientes por los servicios del

sastre.



Tiempo medio entre llegadas: Tiempo medio de servicio: Factor de utilización u ocupación:

◦ Número medio de clientes en la sala:

◦ Tiempo medio de espera en el sistema:

◦ Factor de ocio = 1 – Factor de utilización = 0,2

2

12

1

min



8,05

4

5

22

p

4

4

541

51

p

p

10

52

21

11

5224 cli

hora

◦ El 80 % del tiempo, el sastre está ocupado, y el 20% está ocioso.

◦ probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10 minutos.

◦ Tiempo medio de espera en cola:



29,05

4)10(

)5

2

2

1(10

)(10

eeptP espera

8

21)

541(54

)1(

p

p

Una carnicería es atendida por el propietario de la misma. Aparentemente el patrón de llegada de los clientes durante los sábados se comporta siguiendo una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo una política FIFO, y debido al prestigio de la tienda, los clientes siempre están dispuestos a esperar su turno. Se estima que el tiempo que se invierte en atender a un cliente se distribuye exponencialmente con un tiempo de servicio medio de 4 minutos entre clientes. Obtener:

Probabilidad de que se cree una cola de espera. Longitud media de la cola. Tiempo esperado de permanencia en cola por cliente. Probabilidad de que un cliente permanezca menos de 12

minutos en la tienda.



Tiempo medio entre llegadas:

Tiempo medio de servicio: Factor de utilización:

◦ Existirá cola cuando en el sistema haya más de 1 cliente.

◦ Probabilidad de 0 clientes en el

sistema:

◦ Probabilidad de 1 cliente en el sistema:

◦ Probabilidad de más de 1 cliente en el sistema:

6

1

6

110

min

persona

hora

personas

4

14

1

min



)(1)1( 10 PPNP

3

1)1(0

0 ppP

9

2

3

1

3

2)1(1

1 ppP

9

4)

9

2

3

1(1)1( NP

3

2

416

1

p

Longitud media de la cola: NEUC

Tiempo medio de espera en cola: TEPUC

Probabilidad de que un cliente

permanezca menos de 12 minutos en la tienda:



)12(1)12( esperaespera tPtP

34

321

)32(

1

22

pp

8

41)

321(32

)1(

p

p

1)

6

1

4

1(12

)(12

32

32

)12( eepetP espera

El empleado de una ventanilla observa que de cada 100 veces que cuenta los clientes frente a el, en 64 de las veces hay dos o mas clientes. El tiempo promedio que cada cliente permanece desde que se ubica en la cola hasta que es atendido es de aproximadamente 30 minutos. Calcular la probabilidad de que :◦ Lleguen dos (2) clientes en media hora.◦ Lleguen entre dos(2) y cinco(5) clientes en media hora.◦ Transcurra mas de una (1) hora entre el arribo de un

cliente y el siguiente.



Ventanilla



p(n>n0) = 64/100 = (/μ)/μ)nn0+1 +1 , entonces

p(n> 1) = 64/100 = (/μ)2 , entonces

/μ = 8/10 = 4/5 ….… (1)

Luego TEPUS = 1/ (μ- ) = ½ ½ hora/cliente, entonces

1/ (μ-) = 1 media hora/cliente, entonces

μ- = 1 …….... (2)

Resolviendo (1) y (2) : μ- (8/10) μ = 1 , entonces

μ = 5 cl/hor y = 4 cl/horFinalmente :

a. p(x=2) = (4)2e-4/2! = 8e-4

b. p(2<x<5) = p(x=3) + p(x=4) = (4)3e-4/3! + (4)4e-4/4!

c. p(t>2) = 1 - 0

2

(4)e- 4t dt = 1 - [1- e-8] = e-8

El inventario de un almacén se agota y se vuelve a surtir según una distribución de Poisson. Los tiempos medios entre vaciados y resurtidos son iguales a 1/μ y 1/ respectivamente. Suponga que por cada unidad de tiempo que el inventario esta vacío se incurre en un costo de escasez (Ce), y en un costo de almacenamiento (Ca) por cada unidad de tiempo que en el almacén se mantiene un determinado inventario. Si Ce > Ca, determine:◦ Una expresión para el costo total esperado por

unidad de tiempo◦ El valor óptimo de = /μ



tpo. surtir inventario = 1/ ~ Exp

tpo. agotar inventario = 1/μ ~ Exp

CT inventario = Costo escasez + Costo almacenamiento

= P0 * Ce + Inventario*Ca

= (1- /μ)(Ce) + (NEUS)(Ca)

= (1-)Ce + [ /(μ- )]Ca

= (1- )Ce + [ /(1- )]Ca

= [(1- )2Ce + Ca]/(1- )dCTi = [2(1- )(Ce)(-1)+Ca](1- ) - (-1)[(1- )2Ce+ Ca]

d (1- )2

dCTi = [-2(1- )2(Ce)+Ca(1- ) +(1- )2Ce+ Ca

d (1- )2

dCTi = Ca - (1- )2Ce = Ca - Ce para determinar el óptimo hacemos

d (1- )2 (1- )2

dCTi = 0 entonces Ca - Ce = 0 luego (1- )2 = Ce/Ca = 1 - Ca

d (1-)2 Ce



En un consultorio médico los pacientes toman asiento en la sala de espera hasta que les corresponda su turno de atención. En promedio llegan 4 pacientes por hora según una distribución de Poisson, y entre cada atención transcurre un tiempo promedio de 12 minutos, según una distribución Exponencial. Cuantas sillas como mínimo serán necesarias en la sala de espera para que se tenga un 90% de probabilidad o más de que todos los pacientes esperen sentados.



A un cajero automático llegan 3 tipos diferentes de clientes. Clientes de retiro, de deposito y de consulta. Los de retiro se ha determinado llegan 12 cli/hora promedio y son atendidos a razón de 2 min/cli promedio; los clientes de deposito arriban en un tiempo promedio de 5 cli/hora y demoran 3 min/cli en realizar su operación como tiempo promedio. Los clientes de consulta llegan en promedio 8 cli/hora y la realizan en un promedio de 1 min/cli . Si todas las llegadas se ajustan a una distribución de Poisson y todos los tiempos entre servicios a una distribución exponencial, hallar la probabilidad de que no existan usuarios en cola.



Los automóviles llegan a una caseta de peaje según una distribución de Poisson con media de 90 autos/hora. El tiempo promedio de atención en la caseta es de 38 segundos. Los choferes se quejan por el tiempo de espera y los cobradores están dispuestos a disminuir a 30 segundos el tiempo de atención introduciendo un nuevo mecanismo automático. Los responsables consideran que la introducción de este mecanismo se justificaría si con el sistema anterior el número promedio de autos que esperan excede a 5 y además el tiempo ocioso de la caseta no deberá ser 10% mayor. ¿Se justifica esta mejora?





PROBLEMA 9Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas. Se debe contratar al ayudante?



Preguntas sobre elsistemas de colas …

Sistemas de Colas

Documents

Transcript of Sistemas de Colas