INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC - Angelfire · EJERCICIO DE TEORIA DE COLAS 1.- Basado en su...

Investigación de Operaciones II Teoría de Colas

M.C. Hector Martínez Rubin Celis 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC

MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES II

NOTAS DE TEORÍA DE COLAS

Ultima revisión 04-26-06

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ELABORADOS POR: M.C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS



INTRODUCCIÓN Una situación de colas esta básicamente caracterizada por un flujo de clientes arribando a una o mas estaciones de servicio. Las estaciones de servicio son difíciles de programar óptimamente por la presencia del elemento aleatorio en las formas de arribo y servicio. Una teoría matemática que estudia o analiza estas situaciones es la teoría de colas, la cual está basada en la descripción de la forma de arribo o servicios por las apropiadas distribuciones de probabilidad. La teoría de colas no es una técnica de optimización, es una herramienta analítica que provee una información mas efectiva acerca del problema. Un procedimiento para tratar los problemas de teoría de colas es resumido en los cuatro pasos siguientes :

1) Defina y relacione las variables de la situación con el propósito de describir el problema 2) Deriva las distribuciones asociadas usando los datos disponibles y usando las pruebas

estadísticas apropiadas. 3) Use las distribuciones para descubrir las características operativas que describen al sistema

como un todo. 4) Mejora el funcionamiento del sistema a través del uso apropiado de modelos de decisión y

basándose en las características operativas de la situación. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE COLAS Un sistema de colas es especificado completamente por 6 principales características : 1. Insumo o arribo (interarribo, distribución de arribo) constante, no constante. 2. Salida o servicio (distribución de servicio), constante, no constante. 3. Canales de servicio 4. Disciplina de servicio 5. Máximo numero de clientes permitidos en el sistema 6. Tipo de fuente.

A.- CARACTERÍSTICAS DE ENTRADA 1.- Tamaño de la población. --Finita o infinita 2.- Estadística del tiempo entre arribos ( media, variabilidad, y distribución) 3.- Actitud del cliente --paciente, impaciente 4.- Llegada en grupo o individual

B.- CARACTERÍSTICAS DE LA COLA

1.- Tamaño de la cola --finita o infinita-- 2.- Disciplina (P.E.P.S., U.E.P.S., Tiempo de procesamiento menor, Aleatorio,SG, Prioridad, Otro) 3.- Número ( una o más colas)

C.- CARACTERÍSTICAS DEL SERVICIO



1.- Diseño de la facilidad --serie, paralelo, mixta-- Un servidor, una fase, Un servidor, múltiples fases Múltiples servidores, una fase Múltiples servidores, múltiples fases Estadística de la tasa de servicio (media , variabilidad, y distribución)

D.- FUNCIÓN OBJETIVO 1.- Minimizar la combinación de los costos, del tiempo ocioso de los clientes esperando en la línea y de los servidores.

2.- Minimizar la combinación de los costos, del tiempo perdido de los clientes esperando en la línea y los del salario de la gente que provee el servicio. 3.- Criterio Heurístico.- El promedio de clientes que serán servidos en determinado tiempo, ningún cliente requerirá esperar más que cierto periodo especificado de tiempo.

E.- ENFOQUES DE SOLUCIÓN 1.- Matemático.- La tasa de servicio y la tasa de arribo (distribuciones) son aproximadas por distribuciones estándar. 2.- Simulación - Estadísticas concernientes a la tasa de tiempos de arribo y de servicios son iteradas por la simulación de MONTE CARLO de distribuciones históricas o distribuciones asumidas.

Ejemplos de sistemas de Colas Situación

Arribos

Servidores

Proceso de servicio

Inscripción escolar

Estudiantes

Coordinador

Cursos asignados y formas firmadas

Supermercado

Clientes

Caja de pago (cajero)

Nota de compra y pago

Banco

Clientes

Cajero

Deposito, retiro, cambio de cheque, pago de servicios, etc.

Crucero de calles

Automóviles

Semáforo

Paso controlado a trav s de la intersección

Consultorio médico

Pacientes

Doctor y asistentes

Tratamiento

Mantenimiento de equipo

Equipo descompuesto

Mecánico

Equipo reparado

Terminal de

Autobuses

Andenes

Carga y descarga



autobuses Línea de ensamble

Producto

Trabajadores de ensamble

Producto ensamblado

Oficina de correo

Correo a enviar

Oficinista de correo

Proceso y envío del correo

Intercambiador Telefónico

Llamadas

Equipo de intercambio electrónico

Conexión realizada

Caseta de herramientas

Trabajadores

Caseteros

Salida y entrega de herramientas

Terminal aérea

Aviones

Pistas de aterrizaje

Aterrizaje y despegue de aviones

EJERCICIO DE TEORIA DE COLAS 1.- Basado en su comprensión de cada uno de los siguientes sistemas de colas, describa el servidor, el cliente, la organización, la disciplina, abandono y/o cambio en la cola, y el proceso de servicio.

a. Casetas de cobro en una autopista b. Control del tráfico en una intersección por un semáforo. c. El servicio de taxi en un hotel. d. Elevadores de un edificio. e. Servicio de fotocopiado en un negocio de este tipo. f. Clasificación de correspondencia en el servicio postal. g. Servicio médico en un hospital h. Aviones aterrizando en un aeropuerto. i. Líneas telefónicas de emergencia. j. Un restaurante. k.. Un sistema de computo de tiempo compartido.

2.- Describa una situación en la cual la espera o el retraso es peligroso para la productividad. Discuta como la situación puede ser mejorada. 3.- Ejercicio: Viajando por las colas Selecciones cinco sistemas a visitar y observar. Conteste las siguientes preguntas. Sea conciso;

1. Describa los servidores y los procesos del servicio. Cuantos servidores hay? 2. Describa a los clientes. 3. Elabore un diagrama de la configuración del servicio y la organización de la cola. 4. Registre el tiempo de servicio para cinco clientes consecutivos. Describa los factores que influencian el tiempo de servicio. 5. Cuente y registre el número de clientes que arriban sucesivamente en intervalos de 1



minuto. Describa los factores que influencian los arribos al sistema. 6. Si usted observa abandono y/o cambio de la cola describa el proceso. 7. Registre la fecha y la hora.

ESTADO TRANSITORIO Y ESTADO ESTACIONARIO Un análisis de teoría de colas requiere el estudio del comportamiento del sistema a través del tiempo. Un sistema en un estado transitorio cuando sus características operativas (comportamiento) varían con el tiempo. Esto suele ocurrir en los estados iniciales de operación del sistema, donde su comportamiento depende todavía de las condiciones iniciales. Nuestro interés es el de la operación a largo plazo, donde el comportamiento del sistema es independiente del tiempo. A estos los llamaremos estado estacionario del sistema, y esto no puede ser alcanzado cuando la tasa de arribo es mayor que la tasa de servicio, aun ni cuando el tiempo transcurrido sea muy grande.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

n= Numero de clientes en el sistema. Pn(t)= Probabilidad en el estado transitorio de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t asumiendo que el sistema inició sus actividades (operaciones) al tiempo cero. Pn= Probabilidad en el estado estacionario que exactamente n clientes estén en el sistema. λ = Tasa promedio de arribo (numero de clientes/unidad de tiempo). μ = Tasa promedio de servicio (numero de clientes/unidad de tiempo). S= Numero de servidores en paralelo. ρ= λ/μ Intensidad de trafico ρ/S= Factor de utilización para s facilidades de servicio w= tiempo esperado de espera por cliente en el sistema. wq= tiempo esperado de espera por cliente en la cola. L = Numero promedio de clientes esperados en el sistema. Lq = Numero promedio de clientes esperados en la cola. ρ = Fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado es definido como unidades esperando o siendo servidas). Considerado como el numero de unidades promedio que están siendo servidas en cualquier punto de tiempo. Relación entre w, wq, L y Lq

μλ

+= qLL ; wL λ= ; wqLq λ=

y además : wq w= −1μ

; w wq= +1μ

1λ=Tiempo de interarribo esperado (unidades de tiempo / unidad)



1μ= Tiempo de servicio esperado (unidad de tiempo/ unidad)

ρλμ

= =s

Factor de utilización = fracción de tiempo en que están ocupados los servidores.

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE La mayoría de los modelos suponen que las llegadas y salidas ocurren de acuerdo a este proceso. Este proceso ocurre completamente al azar y sus tasas de promedio de ocurrencia dependen únicamente del estado del sistema. Postulado de nacimiento Dado que el sistema se encuentra en el estado En para (n=0, 1, 2, . . . .) en el instante t, la probabilidad de que exactamente ocurra un nacimiento durante el intervalo t + Δt es: )(0)( ttn Δ+Δλ μo=0 Postulado de muerte Dado que el sistema se encuentra en el estado En para (n=0, 1, 2, . . . .) en el instante t, la probabilidad de que ocurra exactamente una muerte durante el intervalo t + Δt es :

μ n t t( ) ( )Δ Δ+0 λo=0 Existen cuatro formas de que existan n clientes en el sistema en el tiempo t+Δt (Pn, n≥1): a) Un nacimiento λ μΔ Δt t( )1− b) Una muerte μ λΔ Δt t( )1− c) Ningún nacimiento ni muerte ( )( )1 1− −μ λΔ Δt t d) Un nacimiento, una muerte μ ( )( )Δ Δt tλ Estado en el Suceso de Probabilidad momento t t+Δt En-1 Un nacimiento Pn t t t− −1 1( )( )( )λ μΔ Δ En+1 Una muerte Pn t t t+ −1 1( )( )( )μ λΔ Δ En Ninguno Pn t t t( )( )( )1 1− −λ μΔ Δ En Ambos Pn t t t( )( )( )λ μΔ Δ Ahora la probabilidad de que haya n clientes en el sistema será la suma de las cuatro probabilidades. P t t P t t t P t t t P t t t P t t tn n n n n( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )+ = − − + − + − +− +Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ1 1 1 11 1λ μ λ μ λ μ λ μ



Descartando la infinitesimal del orden Δt2 y dividiendo todo por Δt. P t t P t

tP t P t P tn n

n n n( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+ −

= − − + +− +

ΔΔ

λ μ λ μ1 1

y cuando Δt tiende a cero

limΔt →0

Pn t t Pn tt

dPn tdt

( ) ( ) ( )+ −=

ΔΔ

dPn t

dtP t P t P tn n n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + + +− +λ μ λ μ1 1

Este desarrollo se aplico para el caso n≥1 Para determinar el caso especial donde n=0, simplemente

vemos que cuando n=0, Pn-1 (t) es igual a cero. Además .....P Pn nλμ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −1 si n=0 el sistema está vacío y

no se puede hablar de muertes. Nuestra ecuación diferencial para este caso donde n=0 se convierte en :

λP tn− =1 0( ) μPo t( )=0 dPo tdt

P t P t( ) ( ) ( )= − + =λ μ0 1 0

Entonces la probabilidad de n clientes en el sistema es cero y nuestra expresión se convierte en λ μP t P t0 1( ) ( )= , Así;

P P1 0=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λμ

, ,12 PP ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μλ ,23 PP ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡μλ ….., 1−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡nn PP

μλ

Substituyendo valores de Po, en lugar de P P P Pn1 2 3 1, , ..... −

P P1 0=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λμ

, ,0

2

2 PP ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μλ

0

3

3 , PP ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μλ .....P Pn

nλμ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 0

De acuerdo a los conocimientos de probabilidad P P P P Pn n0 1 2 1 1+ + + + + =−...... Substituyendo valores de P P P Pn1 2 3 1, , ..... −

P P P P0 0

2

0

3

0 1+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

λμ

λμ

λμ

....



Sustituyendo valores λμ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ por ρ y sacando Po como factor común tenemos

P n0

2 31 1*( ..... )+ + + + + =ρ ρ ρ ρ Aplicando a la serie geométrica

1 11

2 3+ + + + + =−

ρ ρ ρ ρρ

... n , cuando n > 0 y ρ < 1

entonces tenemos

Po =−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

11

1ρ

, Po =−

=−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

11

1

11ρ

λμ

ρ Po =−μ λμ

Pn

n

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λμ

μ λμ

P Pn

n

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λμ 0

Este modelo ha sido desarrollado con un sistema de colas de un servidor y una fase, en el estado estacionario. El Proceso de Arribo Función de probabilidad Poisson, Media λt La función de distribución de probabilidad, F(x) especifica la probabilidad de que una variable aleatoria ocurra en o abajo de un conjunto de valores x.

p(X≥t) = 1 - F(t) = e-λt = P[N(t)=0] Propiedad 1 :

La distribución para el número de eventos en cualquier intervalo de tiempo t tiene una distribución Poisson con media λt

Ejemplo: De experiencias anteriores, se sabe que los clientes arriban a una estación de servicio a una tasa de λ= 15 clientes por hora. A el propietario le gustaría conocer la probabilidad que más de un cliente arribará durante el descanso del empleado para el café de 5 minutos. Solución:

El número esperado de clientes que arriban durante 5 minutos es λt, o 15 clientes por hora X (5/60) horas = 1.25 clientes. Las probabilidades de cero clientes arribando y 1 cliente arribando son

calculadas de;

.0,1,2,....=x et-

x!

)x

t(=f(t) λλ

0.29 = 0!251.=f(0)

0



La probabilidad de que 1 o menos clientes arriben, F(1), es igual a f(0) + f(1) =.65. Por lo tanto la probabilidad de que existe más de un arribo es igual a 1- F(1)=.35. Dado que el número de arribos en un intervalo de tiempo tiene una distribución Poisson, el proceso Poisson puede ser definido en la siguiente forma: El Proceso Poisson es un proceso de conteo con las propiedades siguientes.

1) El proceso tiene incrementos independientes. 2) El número de eventos en cualquier intervalo de tiempo de longitud t tiene una distribución Poisson con media λt.

El proceso Poisson esta estrechamente relacionado con la distribución de probabilidad Exponencial. La función de densidad, f(x), no iguala la probabilidad de que una variable aleatoria iguala x. En su lugar, f(x), multiplicada por un diferencial dx, iguala la probabilidad de que una variable aleatoria este contenida en un intervalo de ancho dx centrada alrededor del punto x. Características de la distribución Exponencial:

1. La distribución Exponencial es continua y definida sobre un conjunto de números reales no negativos. 2. La función de distribución de probabilidad, f(x), es

3. La función de distribución de probabilidad, F(x), es

4. E(X)= 1/λ 5. V(X)= 1/λ2 = E2(X)

Ejemplo Calcule la probabilidad de que una variable aleatoria exponencial, con media .5 esta contenida en [ 0.95, 1.05]. Solución aproximada: λ=1/.5 = 2, y dx = 1.05 - .95 = .1 . La probabilidad deseada es aproximadamente f(1)dx = 2e-2x1(.1) = .027 Solución exacta: El resultado aproximado esta confirmado en la función de distribución de probabilidad. La probabilidad que X≤1.05 es igual a F(1.05) = .878 y la probabilidad que X≤.95 iguala a F(.95)=.85. La diferencia se redondea a .027 La relación entre la distribución de probabilidad Exponencial y el proceso Poisson es revelado en la característica de la distribución Exponencial:

P(X≤t) = 1 - F(t) = e-λt = P[N(t)=0] Así, la probabilidad de que la variable aleatoria X sea mayor o igual a algún valor t es idéntica a la probabilidad de que ningún evento ocurra sobre un intervalo de longitud t. debería ser aparente que estos son dos formas de decir la misma cosa. Además, la propiedad de incrementos independientes

0.36 = 1!251.=f(1)

1

0 x e = f(x) x- ≥λλ

0 x e - 1 = dt e = f(x) t- x-t ≥∫ λλλ



garantiza que los tiempos de interarribo son mutuamente independientes. Por lo tanto, tenemos otra propiedad del proceso Poisson: Propiedad 2 :

Los tiempos de interarribo para un proceso Poisson con tasa λ son variables aleatorias exponenciales independientes con media 1/λ

Ejemplo: Los clientes arriban a una clínica médica a una tasa de 8 por hora. La recepcionista es retirada de su escritorio a las 10:00, inmediatamente después de que un cliente arriba. Cuánto tiempo puede estar alejado de su escritorio si esta de acuerdo en tomar 50% de posibilidad de estar alejada cuando el próximo cliente arribe? Solución: El tiempo hasta el próximo arribo tiene una distribución Exponencial con media 1/8 de hora. La recepcionista le gustaría determinar el valor de x para el cual:

F(x) = 1- e- (1/8)x = 0.5

Invirtiendo F(x), esto equivale a encontrar el valor de x para el cual

x = (-1/8) ln(.5) = .087 hr. = 5.2 min. Por lo tanto, si la recepcionista esta alejada por 5.2 minutos, existe un porcentaje de 50% de posibilidad de que un cliente arribe antes de que regrese. Notación de Kendall De las relaciones expuestas en el apartado anterior se desprende que si conocemos las series:

{ } { }t sk k

y el número de canales S tenemos toda la información necesaria para describir la cola. Por eso, para describir un sistema de colas se emplea la notación de Kendall, que consiste en un grupo de letras y números de la forma:

A/B/S/m/d donde cada uno de los dígitos tiene el siguiente significado:

A designa el proceso de llegadas; más concretamente, describe el tipo de distribución del tiempo entre llegadas. Si este proceso es markoviano de tipo Poisson-exponencial, en este lugar se colocará la letra M. Si el proceso es determinístico, se colocará la letra D y la letra G si las llegadas son de otro tipo.

B designa el proceso de servicio; es decir, describe la distribución del tiempo de servicio y,

por tanto, de las salidas del sistema. Se colocará la letra M si este proceso es markoviano, D si es determinístico y G si es de otro tipo. En todos los casos supondremos que la duración del tiempo de servicio es independiente de la distribución de las llegadas.



S número de canales de servicio ó número de servidores.

m número máximo de usuarios simultáneos que se admiten en el sistema. Si esta capacidad

es infinita, se omite.

d disciplina de la cola, es decir, proceso de decisión de cuál de los usuarios en espera va a pasar a recibir servicio, tal y como se describió en la página 3. Por omisión se considera una cola tipo FIFO.

CASOS : CASO 1 Un solo servidor

a) Llegadas Poisson y tiempo de servicio Exponencial En este modelo los clientes serán atendidos por orden de llegada PEPS (FIFO). Además no existirán limitaciones en cuanto a la cantidad de clientes que el sistema soporta (pueden ser atendidos infinitos clientes). Definiremos el trabajo en el sistema a la legada de un cliente en un instante t como la suma de los tiempos remanentes de servicio de todos los clientes en el sistema en ese instante.

λ ≤ μ λ λ λ λ

PoP1 P2 Pn-1 Pn

- - - - - - - -

μ μ μ μ



λ μλμ

λ μλμ

λμ

λ μλμ

λμ

Po P P Po

P P P P Po

P P P P Pon n n n

n

= → =

= → = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= → = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

1 1

1 2 2 1

2

1 1

.

.

.

Po = −1 ρ y ( )Pn n= −1 ρ ρ 0,1,2,.....n = Solución para el estado estacionario NUMERO ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA (L)

∑=

=n

iiipL

0= + + + +oPo P P nPn1 21 2 ...

Sabemos que

P P P1 0 0= =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ρ λ

μ

∑=

n

i 0 PonPoPoiP n

i ρρρ +++= ...2 2

)...321( 12 −++++= nnPo ρρρρ donde

)...1()...(...321 323212 nnnn ρρρρρρρρρρρρ ρρ +++++=++++=++++ ∂∂

∂∂−

de la serie geométrica 1 1 12 3+ + + + = −ρ ρ ρ... / Obtenemos

22 )1(1

)1())(1()1(

)1

1(

ρρρρ

ρρ

ρ

−=

−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

d

d

y sustituyendo en Po = − =−1 ρ

μ λμ

220 )1(

1)1()1(

1ρ

ρρρ

ρ−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=∑=

Poipn

ii



L=−

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=−

ρρ

λμλμ

λμ λ1

1; así;

L =−

=−

λμ λ

ρρ1

de esto obtenemos

Lc L= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

−λμ

λμ λ

λμ

, Lc =−λ

μ μ λ

2

( )

λμλ −

==1LW wc =

−λ

μ μ λ( )

La probabilidad de que un cliente pase determinado tiempo en el sistema se calcula de la manera siguiente:

{ } ( )1 tP Wq t e μ ρρ − −> = , para t≥0

{ } ( )1 tP W t e μ ρ− −> = , para t≥0

Ejemplo: La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. Los clientes llegan a la ventanilla con una tasa de 20 clientes por hora. Si se supone que las llegadas son de Poisson y los servicios exponenciales, se pide:

a) Porcentaje de tiempo en que el cajero está ocioso. b) Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola. c) Fracción de clientes que deben esperar.

Si la atención a los clientes dura un promedio de 2 minutos, podemos decir que la tasa de servicio es de μ = 30 clientes por hora. Como

ρ λ

μ= = <

23

1

podemos afirmar que el sistema es estacionario. En esta situación, el porcentaje de tiempo que el cajero está ocioso es igual a la probabilidad de que no haya ningún usuario en el sistema:

P0 1 0 3333= − =ρ .



luego el cajero estará ocioso un 33.33% del tiempo. El tiempo medio que un usuario pasa en la cola es:

( )Wq =

−=

⋅=

λμ μ λ

2030 10

0 0667. horas

es decir, 4 minutos. Por último, la fracción de clientes que deben esperar es:

2

213

1

qLL

ρρ ρρρ

−= = =

−

Ejemplo: Una tienda de alimentación es atendida por una persona. La llegada de clientes los sábados es un proceso de Poisson con una tasa de 10 personas por hora y los clientes son atendidos según una política FIFO con un tiempo medio de servicio de 4 minutos. Se pide:

a) Probabilidad de que haya cola. b) Longitud media de la cola. c) Tiempo promedio de espera en cola. d) Probabilidad de que el cliente esté menos de 12 minutos en la tienda.

La tasa de servicio es de μ = 15 clientes por hora. Como λ μ< , el sistema es estable con ρ = 2

3 . La probabilidad de que haya cola es:

[ ]P n t P P P Po( ) ( ) .> = − − = − − = − + − − =1 1 1 1 1 1 0 44440 1 0λμ

ρ ρ ρ

La longitud media de la cola será:

24

49 1.333311 33

qL ρρ

= = = =−

El tiempo promedio de espera en cola:

( )Wq =

−=

⋅=

λμ μ λ

1015 5

01333. horas

es decir, de 8 minutos.



Por último, la probabilidad de que un cliente está menos de 12 minutos en la tienda es la probabilidad de que el tiempo de espera más el de servicio sean menores que 12, lo cual tiene una distribución exponencial con parámetros ( )[ ]μ ρ, 1− . Por tanto:

( )P T e et< = − = − =− − − ⋅ ⋅12 1 1 0 63211 15

13

1260μ ρ( ) .

CASO 2 SERVIDORES MÚLTIPLES En este caso, un modelo con servidores paralelos (s ≥ 1) es considerado, tal es el caso que s clientes puedan estar siendo servidos simultáneamente. Es asumido que todos los canales tienen la misma distribución de servicio (EXPONENCIAL) con tasa de promedio μ y por unidad de tiempo. La tasa de arribo tiene una distribución de Poisson λ .

La derivación de las ecuaciones diferenciales para este modelo es la misma que para el modelo de un servidor excepto que la probabilidad de servicio durante un instante Δt es aproximadamente para n < s y sμΔt para n ≥ s por esto cuanto Δt tiende a 0 en el caso estacionario tenemos : -λPo + μP1 = 0, n = 0 λPn-1 - (λ + nμ)Pn + (n+1)μ Pn +1 = 0, 0 < n < s λPn-1 - (λ + sμ)Pn + sμPn+1 = 0, n ≥ s λ λ λ λ λ λ λ

Pn-1 PnPs-1 Ps Ps+ 1

μ 2μ (s-1)μ sμ sμ sμ sμ Consideremos el comportamiento del sistema



P P1 0=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

λμ

!2221 0

2

012PPPP ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

μλ

μλ

μλ

μλ

!3............

31 0

3

33PPP ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

μλ

μλ ; para n<s P

nPn

n

=ρ

! 0

Ps

Ps s s

P Pss s

s

− −

−

=−

=− − −

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −1 2 0

1

0

1 1 2 3 3 2 1λ

μλ

μλ

μλ

μλμ

λμλμ

λμ( ) ( )

.( )

.( )

........ . .( )!

!)1(. 0

21 SPP

ssP

sP

S

sss ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−== −− μ

λμ

λμλ

μλ

Ps

Ps s

Ps s s+ −= =1 1λμ

λμ

λμ

.!

..2

..3

......)2(

.)1(

..1

0 SSPoP

ssss

S +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−=

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλ

Entonces para cuando :

02

2*

2 !P

SSPo

SP

S

S

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

==+

μλ

μλ así; P

S SPn

n

n s=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

λμ

! 0

En el caso de servidores múltiples ρ λ

μ=

s existirá este cuando n>s y 1

sλμ< entonces

( ) nn sLq n s Pα

== −∑ donde 0!

PSS

Pn sn

n

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=μλ

si hacemos n-s = j, tendremos que

0,s jj

Lq jP∞

+==∑ donde P

SPs j

sj

+ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λμ

ρ

! 0 =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+λμ

λμ

λμ

s j s j

jsPS

PS S

0 0

! !

00 !

sj

j

jLq P

S

λ ρμ∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦=∑

!

0

S

Ps

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=μλ

( )∑∞

=0jjjρ , parcialmente obtenemos



( ){ }0

0!

s

j

j

PLq

S

α

λμ δρ ρ

δρ=

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ..)(....3.21(........2.1.0 3222100

+++=+++=++++=∑∞

=ρρρ

ρρρρρρρρρρ

ddjj j

jj

( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−

=−

=++=∑∞

= 22

0 11)

11(......)1(

ρρ

ρρ

ρρρρρ

ρρρ

dd

ddj

jj y sustituyendo, tenemos;

ya que la serie geométrica converge cuando 1ρ < entonces; Desglose de lo anterior

Entonces 0

2!(1 )

s

PLq

S

λ ρμρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=−

sabemos que Lq = λ Wq entonces 0

2!(1 )

s

PWq

S

λ ρμ

λ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

− ; donde ρ λ

μ=

s

sabiendo que 1 ,w wqμ

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ y que L Lq λ

μ⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

se pueden obtener W y L Como ;

ρ i∑ =1; ;1....210 =++++ nPPPP entonces ;

1

1

00 !!

−

≤

−

−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ∑∑α μ

λμλ

μλ

sn

sns

s

n

n

Ss

nP

2 3

0

1 1 ......(1 )

n

nar

α

ρ ρ ρρ =

= = + + + +− ∑

)1(1

1 2ρρρ

δρδ

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

0!

s

j

j

PLq

S

α

λμ δρ ρ ρ

δρ =

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

0

;! 1

s

PLq

S

λμ δ ρρ

δρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎝ ⎠= ⎨ ⎬⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭



1

1

00 !!

−

−

= =

−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ∑ ∑s

n sn

sn

Sn

snP

α

ρμλ

μλ

aplicando nuevamente la serie geométrica tenemos que; 1

1

00 1

1!!

−

−

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= ∑ ρμλ

μλ

SnP

S

s

n

n

A medida que crecen los cálculos se dificultan

1

1

00

1! ! 1

n S

s

n

Pn s

λ λμ μ

ρ

−

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

La probabilidad de que un cliente pase determinado tiempo en el sistema se calcula de la manera siguiente:

{ }( )

( )

11

1! 1 1

t SSPo e

tP W t

S Se

λμλ μμ

μ

λρμ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥−⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠

⎪ ⎪− ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦> = +⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪− − −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

, para t≥0

{ } { } ( )11 0 S tP Wq t P Wq e μ ρ− −> = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ , para t≥0

{ } ( )1( ) S tP Wq t P j S e μ ρ− −> = ≥ , para t≥0

donde ( )( )

( )! 1

SS PoP J S

Sρ

ρ≥ =

−es la probabilidad de que todos los servidores estén ocupados

2 3

0

1 1 ......(1 )

n

nar

α

ρ ρ ρρ =

= = + + + +− ∑



Así;

{ } ( )( )

( )1! 1

SS Po S tP Wq tS

eρ μ ρρ

− −> =

−, para t≥0

Donde Sλρμ

=

1 S-1- 0, 1 debe reemplazarce por t

t SCuando e

λμμλ μ

μ

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

Ejemplo : En un banco existen cuatro líneas de servicio y los clientes que arriban al sistema se unen a la cola más corta. Los clientes llegan aleatoriamente a una tasa de 16 por hora. Cada servidor puede atender las transacciones a una tasa de 8 por hora. El servicio tiene disciplina FIFO y existe espacio suficiente en el estacionamiento del banco para dar cabida a los carros. Debido a que existen normalmente 4 líneas de servicio en paralelo que trabajan independientemente uno del otro se puede dividir la tasa de llegada equitativamente entre las cuatro líneas. Se tienen 4 líneas cada una con λ= 4 y μ = 8. ρ

λμ

= =12

1 1

L carro en el sistemaρρ

= =−

Se desea investigar un nuevo arreglo para reducir el tiempo de espera para los clientes en el servicio de las cajas. Normalmente los clientes se unen a aquella línea más corta. Este procedimiento no siempre trabaja bien, debido a las diferencias en los tiempos de servicio, algunas líneas tienden a moverse más rápido que otras. Muy seguido entonces, un cliente que selecciona una línea corta debe esperar un periodo grande de tiempo si el cliente de adelante tiene que realizar largas transacciones. Se ha investigado las formas en que el banco podría manejar el problema. Una forma sería tener una sola línea de espera. Cada cliente entonces se mueve (acude a la caja) a la primera caja que se desocupe y el siguiente cliente de él pasa a ser el primer cliente en la línea. Comparando el actual con el propuesto procedimiento el criterio de decisión será el tiempo promedio que un cliente pase en la cola. Arreglo Actual Arreglo propuesto



w hora linea= =λμ

14

15, min/

1 112 2

Lq L carro en la lineaρ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 7.5minutos8

Lqwq hora en la lineaλ

= = =

Si se analizara el caso de canales múltiples donde existe una sola línea para los cuatro servidores tendríamos

s = 4 ρλμ

= De las tablas con s=4 y 2λμ= , Po = .1304

0

!

n

nPPn

λμ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, Para n<s, y ( )

0

!

n

n n s

PPS S

λμ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ,Para n≥s

P (sistema este ocupado) ( )( ) 0 .173866

!s

Ps s

sρ μμ λ

= =−

P (sistema este ocupado) 0 1 2 31 1 0.826134 0.173866P P P P= − − − − = − = 2( )* .173866* .173866

4 2qL P Sistema ocupadosρρ

= = =− −

; donde ρ λμ

=

21

==μλρs

( )

40

2

1.1304(2)2 .1739

1! 1 4!4

P sLq carros en la linea

s

λμ ρ

ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; dondesλρμ

=

L Lc carros en el sistema= + = + =λμ

2 1739 21739. .

.1739 0.0109 0.654 min16

Lqwq horas o utosμ

= = =

utosohorasLw min152.81359.0161739.2

===λ

Si comparamos Wq de 7.5. min. para 4 líneas individuales con Wq de .054 minutos para una línea, tenemos un drástico mejoramiento en el servicio.

1304.0!

1

1

0

0

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

∑∑=

−

−

=

α μλ

μλ

snsn

n

s

n

n

ss

P

1

1

00

1 .1304! ! 1

n S

s

n

Pn s

λ λμ μ

ρ

−

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= + =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑



Costos de un Sistema de Líneas de Espera La obtención de L, Lq, W y Wq a través de los modelos de nacimiento y muerte permite tomar decisiones de sistemas de líneas de espera. Estas decisiones suelen expresarse en términos de minimización de los costos asociados a la espera. Para cualquier sistema de espera tendremos dos tipos de costos: Costos de servicio y costos de espera. Si el tamaño de la cola está limitado, tendremos también costos de abandono. Costos de servicio Serán directamente proporcionales al número de servidores en paralelo que establezcamos en el sistema. Suelen caracterizarse con el parámetro Cs, que expresa los costos de servicio por servidor para un determinado periodo de tiempo: De este modo, tenderemos: Costos de servicio = Cs S um/período Al expresar los costos de servicio de este modo, suponemos que incurrimos en costos de servicio por el hecho de disponer del servidor, independientemente de que efectivamente esté en servicio o no. Si incurrimos en estos costos el servidor está ocupado, tenderemos: Costos de servicio = Tasa de utilización del servidor = Cs S um/periodo Dicha tasa de utilización será igual a ρ para los modelos de universo finito y cola no limitada. Para el resto de los modelos, deberá calcularse en cada caso. Costos de Espera La preocupación por el diseño de un sistema de líneas de espera supone la existencia de ciertos costos de espera, asociados al número medio de unidades en el sistema. Dichos costos pueden interpretarse en términos de pérdida de calidad de servicio, posibles reducciones de ventas futuras debido al largo tiempo de espera en experiencias anteriores, etc. Se caracterizan por el parámetro Ce, que no es más que el costo de servicio por unidad en el sistema para un determinado periodo de tiempo. Dichos costos de espera valdrán: Costos de espera = Ce L um/periodo Los costos de espera también dependen del número de servidores, pero de manera indirecta: un aumento del número de servidores inducirá una reducción del número promedio de unidades en el sistema L, en función del sistema que estemos tratando. Costos de Abandono Entre otras utilidades, de los modelos de cola finita permiten representar un comportamiento de abandono del sistema por parte de las unidades, si el tamaño de la cola es demasiado grande. Mas concretamente, se supone que las unidades que abandonarán el sistema si, cuando éstas llegan al sistema, el tamaño de la cola es k – s. Se trata de unos costos de naturaleza parecida a los de espera, aunque en ocasiones pueden interpretarse como reducciones de ventas actuales (por abandono). Se caracterizan por Ca que es el costo de abandono por unidad para un periodo de tiempo determinado. Para un determinado periodo de tiempo, las unidades que abandonan el sistema valdrán: Unidades que abandonan = λ Pk Donde λ representa la tasa de llegadas al sistema referida al periodo considerado. La tasa de entradas al sistema será, entonces:



Costos de abandono = Ca λ Pk M/M/1 Ejemplo: Un operario que trabaja en una fábrica, debe obtener sus herramientas de un almacén. Un promedio de 10 operadores por hora arriban al almacén en busca de de partes. En la actualidad el almacén es atendido por un dependiente a quién se le paga $60 por hora y a quién le toma un promedio de 5 minutos atender la demanda de un operario. Debido a que al operador se le pagan $100 por hora, cada hora que el operario pasa en el almacén le cuesta a la fábrica $100. La fábrica esta decidiendo entre contratar o no ( a $40 por hora) a un ayudante. Si se contrata un ayudante, al dependiente le tomará un promedio de 4 minutos procesar la demanda de los operarios. Considere que los tiempos de servicio entre arribos son exponenciales. Se deberá contratar al ayudante? Costo esperado Costo del servicio Costo de espera

Hora Hora Hora= +

Costo de espera Costo de espera No. promedio de clientes*Hora Cliente Hora

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Horas promedio que elCosto promedio de espera $100 *cliente pasa en el sistemaHora Operario-Hora

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Así; Costo promedio de espera Costo promedio de espera100 y 100

Cliente HoraW Wλ= =

Como λ=10 y µ=12 clientes por hora y 1 1 0.512 10

W horasμ λ

= = =− −

, tenemos que:

Costo del servicio/hora =$60 y Costo promedio de espera = 100(0.5)10 = $500 Por lo que sin ayudante, el costo esperado por hora es 60+500 = $560. Con el ayudante λ=10 y µ=15

clientes por hora y 1 1 0.215 10

W horasμ λ

= = =− −

Ahora el costo del servicio/hora =60 + 40 = $100 y Costo promedio de espera = 100(0.2)10 = $200. Por lo que con ayudante, el costo esperado por hora es 100+200 = $300. Por lo anterior el ayudante deberá ser contratado, debido a que se ahorran 500-200 = $300 por hora, que es mas de $40 por hora de salario que cuesta el ayudante. M/M/S Ejemplo: El gerente de un banco debe determinar cuantos cajeros deberán trabajar los viernes. El gerente cree que por cada minuto que un cliente pase en espera, se incurre en un costo de espera de $0.5. Un promedio de 2 clientes por minuto arriban al banco.. En promedio le toma a un cajero 2 minutos atender la transacción de un cliente. Le cuesta al banco $90 por hora contratar a un cajero. El tiempo entre arribo y de servicio son exponenciales. Para minimizar la suma de los costos de servicio y espera, cuantos cajeros deberá contratar el banco para que trabajen los viernes? λ=120 y µ=30 clientes por hora y S>1.

Como 120 4 1*30S S S

λρμ

= = = < S debe ser mayor a 4



Costo esperado de eservicio Costo de esperaMinuto Minuto

+

Debido a que a cada cajero se le paga 90/60 = $1.5 por minuto, Costo esperado de eservicio $1.5

MinutoS=

Como en el ejemplo anterior, Costo de espera No. esperado de clientes Costo de espera

Minuto Minuto Minuto= +

Pero

Costo de espera/cliente = $0.5 Wq Debido a que 2 clientes arriban por minuto, Costo de espera/minuto = 2(0.5Wq)= $1*Wq

Para S=5, 7 0.800.5*5

ρ = = Wq = 1.1 minutos

Costo de espera/minuto = 1.0(1.1)=$1.1 Y para S=5 Costo total esperado = =1.5*5 + 1.1 = $8.6 Debido a que S=6 tiene un costo de servicio de 6*1.5 = $9, con 6 cajeros no se tiene un costo total menor que con 5 cajeros. Teniendo 5 cajeros atendiendo es óptimo. Diciéndolo de otra manera, poniendo otro cajero adicional puede ahorrar al banco a lo máximo $1.1 por minuto en costo de espera. Como el costo de un cajero adicional de de $1.5 por minuto, no puede ser óptimo contratar mas de 5 cajeros. Además del tiempo esperado de un cliente en el sistema, es de interés la distribución de tiempo de espera de un cliente. Por ejemplo, si todos los clientes que tienen que esperar mas de 5 minutos en la caja de un supermercado deciden cambiar a otra tienda, la probabilidad que un dado cliente se cambie a otra tienda iguala a P(W>5). Para determinar esta probabilidad, es necesario conocer la distribución del tiempo de espera de un cliente. Para un sistema M/M/S se puede mostrar que;

( )11( ) 1 ( )1

S St eP w t e P j S

S S

μ ρμ

ρ

− − −⎡ ⎤⎣ ⎦−

⎧ ⎫−⎪ ⎪> = + >⎨ ⎬− − ⎪⎪ ⎭⎩

( )1( ) ( ) S t

qP W t P j S e μ ρ− −⎡ ⎤⎣ ⎦> = ≥ Para ilustrar esto considere en ejemplo anterior en que S=5, ρ=0.80, Po=0.012897, y µ=0.5 clientes por minuto

como ( )( )

( )! 1

SS PoP J S

Sρ

ρ≥ =

−, entonces ( )

( )

55*.8 *.012897( 5) 0.550272

5! 1 .8P J ≥ = =

−



( )5*0.5 1 0.80 10 5( 10) ( 5) 0.55* 0.004qP W P j e e− −⎡ ⎤ −⎣ ⎦> = ≥ = =

Por lo que el banco el gerente puede estar seguro que la probabilidad de que un cliente tenga que esperar más de 10 minutos es muy pequeña. Ejemplo : La CIA de transportes “Maíz-Trigo” carga barcos con trigo arroz, maíz y otros granos, para ser enviados a altamar. La compañía no es propietaria de los barcos que carga, ya que sólo carga de granos a los barcos cuándo quiera que alguno llegue para solicitarlo. No existe un calendario fijo para las llegadas de los barcos porque las llegadas difieren de los costos de los granos, condiciones internacionales etc. Por esto se asume que los barcos llegan aleatoriamente, a una tasa promedio de uno por día. Debido a la restricción en la capacidad y a la configuración de la carga, la compañía no puede asegurar exactamente cuanto tiempo llevara cargar un barco. Esta restricción significa que mientras el barco esté esperando y mientras esté siendo cargado la tripulación del barco esta ociosa. Ya que las ganancias del propietario del barco dependen del tiempo que el barco pase en el muelle (sistema) y además que la compañía vende grano debido al exceso de grano, la compañía ha acordado pagar a cada propietario de barco $ 1000/dia que el barco pase en el sistema (en espera de carga o siendo cargado). Este pago es para compensar al propietario del barco por la pérdida de ganancias mientras el barco esta siendo cargado en el muelle de la compañía. De acuerdo a los archivos un equipo de carga de 3 hombres puede cargar a razón de ¼ de barco/día. Los equipos pueden trabajar juntos sin interferencia entre los equipos, tal que la resultante tasa de carga es: Barcos cargados/día = (num. de equipos)(1/4 barco/día/equipo) se desea determinar cuantos equipos son necesarios para cargar los barcos tal que el costo total sea minimizado. Costo total = Σ pago/día + pago a los equipos de carga Los trabajadores por equipo cuestan a la compañía $10/trab/hr (8 horas/día) por jornada. M = No. De equipos Costo Total = 240M + 1000L Como λ=1 y ( )μ = M 1

4

y como : λμ< 1 entonces

5;14;1

41

1><<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

MasiMM



Numero de Equipos λ= 1 μ=M(1/4) 5 6 7 8 9 10 λ 1 1 1 1 1 1 1/M(1/4)<1 μ 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4 10/4 entonces ρ 4/5 4/6 4/7 4/8 4/9 4/10 M > 4 Po 1/5 1/3 3/7 1/2 5/9 6/10 L 4 2 4/3 1 4/5 2/3 Lq 16/5 4/3 16/21 1/2 16/45 4/15 w 4 2 4/3 1 4/5 2/3 wq 16/5 4/3 16/21 1/2 16/45 4/15 Costo de empleado 1200 1440 1680 1920 2160 2400 Costo de espera 4000 2000 1333.3 1000 800 666.7 Costo total 5200 3440 3013.3 2920 2960 3066.7

La compañía minimizará costos utilizando 8 equipos.

Ejemplo: Supóngase el caso en que la compañía Maíz y Trigo, tiene la oportunidad de rentar una instalación de servicio adicional (muelle) a un costo de $500/dia. Esta instalación tiene las mismas características que la instalación de la compañía y la eficiencia de los empleados será la misma. La compañía desea determinar si seria mas barato rentar la instalación o permanecer únicamente con la propia.

S = 2 2;2;1

412

1;1 amayorserdebemms

<<⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

<μλ

λ= 1 ,μ = m ( ¼ ) Costo total = costo de empleado + pago a barcos + pago renta CT = 2(m)(240) + 1000 L + 500 No. De equipos por instalación

Numero de Equipos por instalación 3 4 5 6 λ 1 1 1 1 η 3/4 1 5/4 6/4 ρ 4/3 ½ 2/5 2/6 Po .2013 .3333 .4286 .5050 P(Sist. Ocupado) .5315 .3333 .2286 .1683 Lq 1.0630 .3333 .1524 .0842 L 2.3963 1.3333 .9524 .7509 Wq 1.7031 .3333 .1524 .0842 W 2.4069 1.3333 .9524 .7509 Costo de empleado 1440 1920 2400 2880



Pago de barcos 2396 1333 952 751 Pago renta 500 500 500 500 Costo total 4336 3753 3852 4131

El costo menor para 2 instalaciones es de $3753 y utiliza 4 equipos/instalación. Este costo es mayor que el de utilizar una instalación $3753 > $2920 Entonces no es conveniente rentar otra instalación.



MODELO DE FUENTE FINITA

Modelo de fuente finita para un servidor En este modelo se considera que el tamaño de la población es finito, por ejemplo; en el caso del servicio a un grupo de maquinas de una fabrica. Denotamos a M como el numero de unidades en la población (tamaño de la población). Los resultados siguientes son para el estado estacionario, con tiempo de llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial para un servidor.

( )

1

00 !

!−

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= ∑M

n

n

nMMP ρ ( ) 0!

! PnM

MP nn ρ

−= n=1,2,3. . .

0 01(1 ) (1 )(1 )Lq M P M Pλ μ

λ ρ+⎛ ⎞= − − = − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ effL=Lq+ λ

μ

0 01(1 ) (1 ) (1 )L M P M P Lq poμ

λ ρ= − − = − − = + − Lamda Efectiva )( LMeff −= λλ

Modelo de fuente finita para S servidores Este modelo es también conocido como “MODELO DE SERVICIO PARA MAQUINARIA”. Este sistema tiene un total de M maquinarias y se les da servicio con s mecánicos (s ≤ M ) con tiempo de llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial.

1

100 !

!−

+=−

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

M

snsn

nM

n

s

n

nM

n ssnP ρρ eff

S qL Lλμ

= + ∑=

−=M

nneff PnM

0)( λλ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

− MnsPoSS

n

snPo

P

sn

nM

n

nM

nn

!!

0

ρ

ρ

donde ( )M

nn s

Lq n s P=

= −∑ )()(0

LMPjMM

jjeff −=−= ∑

=

λλλ

∑=

=M

nnnPL

0 es el numero esperado de servidores ociosos

para calcular W y Wq Las medidas W y Wq se pueden derivar del L usando las fórmulas obtenidas anteriormente.

W = L / λeff , Wq = Lq / λeff donde λeff = λ(M-L) Ejemplo: Diez maquinas están siendo atendidas por una grúa aérea: Cuando una maquina termina su carga, la grúa es llamada para descargar la maquina y para instalarle una nueva carga de una aérea adyacente



de almacenamiento. El tiempo maquina de carga se asume ser Exponencial con una media de 30 minutos. El tiempo desde el momento que la grúa se mueve a servir a la maquina hasta que la nueva carga es instalada es también Exponencial con media de 10 minutos. a) Encuentre el porcentaje del tiempo que la grúa esta ociosa. b) Cuál es el número esperado de maquinas en espera del servicio de la grúa? a).- λ=60/30=2; μ=60/10=6; ρ=0.33333 % tiempo que la grúa esta ociosa = 100Po = (100)(0.00081)=0.081%

b).- ( )011 1Lq M Pρ

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− = ≈10 1 10 333

1 0 00081 6 0003 6.

. .

( ) ( )1 110

10 2 3 10

0

10! 10! 10! 10! 10!0.33 0.33 (.33) (0.33) .... (0.33) 0.00081610 ! 9! 8! 7! 0!

n

nPo

nρ

− −

=

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫= = + + + + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭∑

( ) ( )1! 10! , entonces, P1 .333 (.000816) 0.002717( )! 10 1)!

nMComo Pn PoM n

ρ= = =− −

Así; P2=0.0081 P3=0.02161 1.001 , 1.168 7 0.3333 6qWq W L Lρ= = = = = λeff = λ(M-L)=2(10-7)=6, W=L/λeff =7/6=1.167, Wc=Lc/λeff = 6/6=1

L=Lq +(1-p0)=6+(1-0.000816)=7 ; effL=Lq+ λμ

=6+1=7

Ejemplo: 2 mecánicos están atendiendo 5 maquinas en un taller. Cada maquina se descompone de acuerdo a una distribución Poisson con una media de 3 por hora. El tiempo de reparación por maquina es exponencial con media de 15 minutos. a).- Encuentre la probabilidad de que los 2 mecánicos estén ociosos. Que un mecánico este ocioso. b).- Cual es el numero esperado de maquinas ociosas que no están siendo servidas ? ρ=3/4 = 0.75 a).-

( ) ( ) ( )( )Po

n n nn

n

n

nn

=−

+−

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=−

=

−

∑ ∑55

0 75 55

0 752 20

2

23

51

!! !

. !!

.!

=0.0435

( ) 1614375.0)0403050.0)(75.0(!1!4

!5)043050.0(75.0 15

11 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=P

( )5 2 2

22

5!0.75 (0.043050) (0.75) (0.0403050) 0.043053!2!

P ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠



P{2 mecánicos ociosos} = Po = 0.04305 P{1 mecánicos ociosos} = Po = 0. 16144 b).-

∑=

−+−+−+−=−=5

25432 )25()24()23()22()2(

nn PPPPPnLq

( ) 5432

5

332102 PPPPPnnLq

n+++=−= ∑

=

( )3

3 1

5 3! (.75) 0.04305 .27243 2! 2

P ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2043.2

)75(.!2!4

45

2

4

4 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=P

( )5

5 3

5 5! (.75) 0.04305 .076625 2! 2

P ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 91086.)07662(.3)2043(.2)2724(.132102 543

5

2=++=+++=−= ∑

=

PPPPnnLqn

0( ) 5 4 1 3 2 2 3 1 4 15 12 1 9 2 6 3 3 4 7.0166

M

eff nn

M n P Po P P P P Po P P P Pλ λ λ λ λ λ λ=

= − = + + + + = + + + + =∑

L=Lq+ eff λμ

=.91+7/4=2.66 Wq=Lq/λeff =.91/7=0.1298 W=L/λeff=2.66/7=0.38

Nota: Winston usa la formula de Pn igual para s=1 y s>1 cuando 0≤ n≤ S

MODELO DE COLA FINITA

Resultados en el estado estacionario para un servidor Con tiempo de llegada Poisson y tiempo de servicio exponencial, no se permite que el sistema exceda de un número (M-S) de clientes y todos los clientes que llegan mientras la cola está llena salen y no vuelven. (Capacidad total de clientes en el sistema; los que están siendo atendidos más los que están esperando ser atendidos)

⎩⎨⎧

≥−=

=Mnsi

Mnsin 0

1,...2,1,0λλ ρ λ

μ=

Para un modelo M/M/1/GD/M/∞, el estado estacionario existirá aún sí λ≥μ. Esto se debe a que si λ≥μ, la capacidad finita del sistema previene que el numero de clientes en el sistema crezca infinitamente. Para S=1



P dondeM0 11 1=

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =+

ρρ

ρλμ

; Pn P n= 0ρ

MnparaPn nM ..,3,2,1,0;

11

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= + ρρρ

( ) 1

010

1; 1 ; (1 )

1 1

MM

n Mn

ML nP cuando s Lq L P

ρρρ ρ

+

+=

+= = − = = − −

− −∑

Pn=0 ; para n=M+1, M+2,+…….. Estos resultados son validos para λ < μ; si μ tiende a ∞ los resultados coinciden con el original.

( ){ }( )( )1

1

1111

+

+

−−++−

= M

MM MMLρρ

ρρρ L=2M , cuando λ=μ y

11

PnM

=+

λPM = Número de arribos por unidad de tiempo que encuentran el sistema ocupado y se van y no entran λeff = λ(1-PM) = Numero de arribos promedio por unidad de tiempo que actualmente entran

al sistema (1 )eff MPλ λ= −

Donde MM

M

nnneff PPPPPP 0)..( 1210

0+++++== −

=∑ λλλ y Seff es el numero de servidores

ociosos, y effeff qS L L

λμ

= − = effLq Lλμ

= −

Las medidas de Lq, W y Wq se pueden derivar del L usando las fórmulas obtenidas anteriormente.

( )M

L LW = = 1-Peffλ λ

( )

q qq

M

L LW = =

1-Peffλ λdonde Lq=L-(1-p0)

Resultados en el estado estacionario para S servidores (S>1) Estos son una extensión directa del modelo de un servidor con los siguientes parámetros.

⎩⎨⎧

≥−≤≤

=Mnsi

Mnsin 0

10λλ

⎩⎨⎧

≥≤≤

snsissnsin

n μμ

μ0



1..)1(!

))(1(

!

1

1

0

1

0 ≠

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−+=

−

−

=

+−

∑ Spara

Ss

Sn

PS

n

SMSn ρ

ρ

ρρρ

1..!

)1(!

11

00 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

+=−−

=∑ S

paras

SMn

PS

n

Sn ρρρ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤

=

= −

Mnsi

MnSsiPSS

SnsiPn

Pn sn

n

n

0!

,....,2,1!

0

0

ρ

ρ

0=≤ LcentoncesSMsi

y L nPn

n

==∑

0

α

entoncesSMsi >

( )( )0

2 1 ( ) ( ) 1( 1)!

SM s M SPLq M S

S S Ss Sρ ρ ρ ρ

ρ− −⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠− − ⎣ ⎦ para ρ/S ≠ 1

( )0 ( 1)2 !

SPLq M S M SSρ

= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦ para ρ/S = 1

( ) effq eff qL L S S L

λμ

= + − = +

eff

s

n eff

s

n

LqwqyLwPnSLqnPnLλλ

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++= ∑ ∑

−

=

−

=

1

0

1

0;1

Ejemplo: Se están haciendo planes para abrir una pequeña estación para lavar automóviles y debe decidirse cuánto espacio dejar para los automóviles que esperan. Se estima que los clientes llegarían aleatoriamente ( es decir, de acuerdo con un proceso de entrada Poisson ) con una tasa media de uno



cada 4 minutos, a menos que el área de espera este llena, en cuyo caso el cliente se llevaría su automóvil a otra parte. El tiempo que puede atribuirse al lavado de un automóvil tiene una distribución Exponencial con una media de 3 minutos. Compárese la fracción esperada de clientes potenciales que se perderían, debido a un espacio de espera inadecuado, si se tuvieran a) cero, b) dos, o c) cuatro espacios ( sin incluir el del automóvil que se está lavando). λ=15 c/hora; μ=20 c/hora; s=1;

75.0==μλρ

a).- M=1 (Cero espacios)

( )21 0.75 0.5714; 1 0.4286

1 0.75Po Po fraccion declientes potenciales que se pierden

⎛ ⎞−= = − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

42.86% de los clientes se pierden. b).- M=3 ( Dos espacios )

( )Po =

−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1 0 751 0 75

0 36574..

.

( )

274275.0)75.0(75.0175.01

41=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=p

( )( )P2 0 3657 05625 0 2057= =. . . Po + P1 + P2 = 0.365+0.274275+0.2057=0.8456 1- Po - P1 - P2 = 1 - 0.8456 = 0.1543 15.43% de los clientes se pierden c).- M=5 (Cuatro espacios)

( )

072.09248289.0119278289.00962262.0)3164.0)(3041.0(41282813.0)4218.0)(3041.0(31710722.0)5625.0)(3041.0(2

2280962.0)75.0)(3041.0(1

3041283.075.0175.01

43210 =−=−−−−−

======

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

PPPPP

PPPP

Po

7.2% de los clientes se pierden



Ejemplos Ejemplo: Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de atender un promedio de 60 operaciones por hora con tiempos reales de servicio que se observan exponenciales. Los clientes llegan con una tasa de 100 por hora. Determinar:

a) Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el banco. b) Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso. c) Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la cola.

Tenemos un sistema con λ =100 usuarios por hora, μ =60 servicios por hora y 2S = . Como se verifica que Sλ μ< , podemos afirmar que el sistema es estacionario. Entonces, la probabilidad de que haya más de tres usuarios es:

( )P n P P P P> = − − − −3 1 0 1 2 3

donde sabemos que:

1

1

00

1 1! !

n SS

n

SPn S S

λ λ μμ μ μ λ

−−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= + + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −

1 12

22

1 10060

12

10060

120120 100

0 09092 1

2 1λμ

λμ

μμ λ!

.

1 0 0

2 2

2 0 0

1 100 0.0909 0.1515! 60

1 1 1 100 0.0909 0.1263! 2 2 60

n

n

n S

P P Pn

P P PS S

λ λμ μ

λ λμ μ−

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3

3 0 01 1 1 100 0.0909 0.1052

! 2 2! 4 60

n

n SP P PS S

λ λμ μ−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de forma que:

( )P n P P P P> = − − − − =3 1 0 52610 1 2 3 .

La probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso es:

( )P n P P< = + = + =2 0 0909 01515 0 24240 1 . . . La función de distribución del tiempo de espera en cola es



( )

( )

( ) ( )

0

0

0 0

( ) 1 0!

1(0) 0

1 !

q

q

S

T q

SS t

T

si t

SF t P T t P si t

s s

eP F si t

S S

μ λ

λμλμ

λμμ

μ λ

− −

⎧⎪⎪⎪ <⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠= ≤ = − =⎨

⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎪ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ + >⎪ − −⎩

donde deberemos expresar la tasa de llegadas y la de servicio en unidades por minuto:

λ = =10060

16667. usuarios por minuto

μ = =6060

1 usuarios por minuto

Por tanto, la probabilidad de que un cliente permanezca más de tres minutos en la cola es:

( ) ( )( )

( ) ( )

3

0

13 1 3 1 (0)

1 ! q

SS

q q T

eP T P T P F

S S

μ λλμμ

μ λ

− −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎝ ⎠> = − ≤ = − +⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

donde

2

0

100260(0) 1 1 0.0909 0.2425

1002 2!60

q

S

T

SF P

S S

λμ

λμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

y entonces, la probabilidad pedida es:

( )( )[ ]

P Te

> = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−+

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

=

− −

3 1

10060

1

2 166670 0909 0 2425 0 2786

23 2 1 6667.

.. . .



Ejemplo: Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos de investigación de seguridad vial cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de las carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los equipos son igualmente eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente exponencial. El número de accidentes mortales en carretera sigue una distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes por año. Determínese:

a) Número promedio de accidentes cuya investigación no ha comenzado. b) Tiempo promedio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar. c) Tiempo promedio desde que se produce un accidente hasta que finaliza la investigación. d) Número promedio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado.

Estamos ante un sistema de colas con tasa de llegadas λ = 300 accidentes por año o, lo que es lo mismo, λ = 082. accidentes por día, con tasa de servicio μ = 05. investigaciones por día y con

3S = canales de servicio. El número medio de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es el número medio de usuarios en cola:

( ) ( ) ( )

3

0 0 02 2

0.82 0.82 0.50.5 1.9555

1 ! 2 1.5 0.82

S

qL P P PS S

λ λμμ

μ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

donde

1

1

00

1 1! !

n SS

n

SPn S S

λ λ μμ μ μ λ

−−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

= + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

= + + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

−

1 12

16

33

1 08205

12

08205

16

0 8205

1515 082

01784

2 3 1

2 3 1

λμ

λμ

λμ

μμ λ

..

..

..

.. .

.

Así pues, el número promedio de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado es:

L Pq = =19555 0 34890. . El tiempo promedio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar es el tiempo medio de espera:

WL

qq= = =λ

0 3489082

0 4255..

. dias



El tiempo promedio desde que se produce el accidente hasta que finaliza la investigación es el tiempo medio de permanencia en el sistema:

W Wq= + =1 2 4255μ

. dias

Por otra parte, el número promedio de accidentes cuya investigación aún no ha finalizado es el número medio de usuarios en el sistema:

L W= =λ 19889. Ejemplo: Una clínica canina tiene 3 veterinarios para vacunar perros. El número de perros que llegan a la clínica sigue una distribución de Poisson con una tasa media de 12 por hora. El tiempo medio empleado en vacunar a cada perro es de 2 minutos. Determinar:

a) Porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía. b) Tiempo promedio de espera. c) Tiempo promedio de permanencia de los perros en la clínica. d) Número promedio de perros en la clínica. e) Probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos para ser vacunado.

Estamos ante un sistema de colas con una tasa de llegadas de λ = 12 usuarios por hora, una tasa de servicio de μ = 30 servicios por hora y con 3S = canales de servicio. Como se cumple que

Sλ μ<

podemos afirmar que el sistema es estacionario. El porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía es:

11

00

1 1! !

n SS

n

SPn S S

λ λ μμ μ μ λ

−−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

1 12

16

33

2 3 1λμ

λμ

λμ

μμ λ

= + + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

1 1230

12

1230

16

1230

9090 12

0 67012 3 1

.

Es decir, el porcentaje de tiempo con la cola vacía es:

P0 67 01%= . El tiempo promedio de espera es:



WL

qq=λ

donde

( ) ( ) ( )

3

30 2 2

12 12 30300.6701 1.27 10

1 ! 2 90 12

S

qL PS S

λ λμμ

μ λ−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

luego el tiempo promedio de espera será de:

Wq = ⋅ =−106 10 0 38164. horas . segundos

El tiempo promedio de permanencia en la clínica es:

W Wq= + = + ⋅ = =−1 130

106 10 0 0334 2 00644

μ. . horas . minutos

El número promedio de perros en la clínica es:

L W= = ⋅ ⋅ =−λ 12 106 10 0 00134. . Y, por último, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:

( ) ( )P T P T P T>⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= > = − < =

1060

01667 1 01667. .

( ) ( )( )

( ) ( )

0.1667

0

110 0.1667 1 0.667 1 (0)60 1 ! q

SS

T

eP T P T P T P F

S S

μ λλμμ

μ λ

− −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎝ ⎠> = > = − < = − +⎨ ⎬⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

donde es necesario expresar las tasas de llegadas y de servicio en unidades por minuto:

λ = =1260

0 2. perros por minuto

μ = =

3060

0 5. perros por minuto

Entonces:



3

0

0.230.5(0) 1 1 0.6701 0.9918

0.26 3!0.5

q

S

T

SF P

S S

λμ

λμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = − ⋅ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

y, entonces, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:

( )[ ]( )

P Te

>⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⋅ −+

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

=

− −

1060

105 0 2

051

2 15 0 20 6701 0 9918 0 0009

30 1667 1 5 0 2. .

.. .

. . .

. . .

Ejemplo: En un taller caben cuatro máquinas que son reparadas por dos mecánicos. Las máquinas llegan al taller como promedio una vez cada tres horas y el tiempo medio de reparación es de 45 minutos. ¿Cuál es el número medio de máquinas estropeadas en el taller? Es evidente que se trata de un sistema con

0.3333 1.3333 2 4S Kλ μ= = = = Se sigue verificando que, como

0.125 1Sλρμ

= = <

el sistema es estacionario tenemos:

1

1

00

1

11! ! 1

S K S

nS

n

SP

n SS

λ λμ μλ

μ λμ

− +

−

=

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎪ ⎪⎣ ⎦= + =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎪ ⎪−⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

= + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

−

= + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=1

12

2 12

1

1 0 333313333

0 333313333

1 0 33332 6667

2 1 0 33332 6667

0 7778

2 3 2 3

λμ

λμ

λμ

λμ

..

.

...

.

.

.



1 0

2 2

2 00

3 3

3 0

4 4

4 02

0.3333 0.7778 0.19441.3333

1 1 0.3333 0.7778 0.0243! 2 1.3333

1 1 0.3333 0.7778 0.0030! 4 1.3333

1 1 0.3333 0.7778 0.0004! 8 1.3333

P P

P PS S

P PS S

P PS S

λμ

λμ

λμ

λμ

= = ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Entonces, el número medio de máquinas estropeadas en el taller es:

[ ]L E n nPnn

= = = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ==∑

0

401944 2 0 0243 3 0 003 4 0 0004 0 2536. . . . .

Cuadro resumen Es evidente que la cola tipo M/M/1 es un caso particular de la cola M/M/C y ésta, a su vez, de la M/M/C/K, de forma que de las expresiones obtenidas para el caso M/M/C/K, haciendo C=1 y K=∞, obtenemos las expresiones correspondientes a la M/M/1. En el siguiente cuadro se presentan las expresiones correspondientes a los tres tipos de colas vistos hasta ahora:

M/M/1 M/M/C M/M/C/K P0 1− ρ

( )( )

111

0 ! ! 1

n S SS

n

S Sn Sρ ρ

ρ

−+−

=

⎡ ⎤+⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( ) ( ) ( )( )

11

0

1! ! 1

Sn k SS

n

SSn S

ρ ρρρ

− +−

=

⎡ −⎢ +

−⎢⎣∑

Pn

P Pnn= ρ 0

( )0

0

!

!

n

S n

SP n S

nS P n S

S

ρ

ρ

⎧<⎪⎪

⎨⎪ ≥⎪⎩

( )

( )0

0!

!

n

o

n

n S

SP n S

nS

P S n KS S

ρ

ρ−

⎧≤ <⎪

⎪⎨⎪

≤ <⎪⎩

L ρρ1−

( ) 211

SPSS

ρρ

⎡ ⎤+⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )K

nn C

S n S Pρ=

+ −∑

Lq ρρ

2

1−

( )21SPρ

ρ− ( )

K

nn S

n S P=

−∑

Wq ( )ρ

μ ρ1−

( )21

1SP

Sμ ρ− ( )1 K

nn C

n S Pλ =

−∑

W ( )

11μ ρ−

( ) 2

1 11

SPSμ ρ

⎡ ⎤+⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )1 1 K

nn C

n S Pμ λ =

+ −∑



Tabla de Valores de Po dado λ/µ y el numero de servidores S Modelo M/M/S Numero de servidores S

λ/µ 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0.900000 0.904762 0.904836 0.904837 0.904837 0.904837 0.904837

0.15 0.850000 0.860465 0.860702 0.860708 0.860708 0.860708 0.860708 0.2 0.800000 0.818182 0.818713 0.818730 0.818731 0.818731 0.818731

0.25 0.750000 0.777778 0.778761 0.778799 0.778801 0.778801 0.778801 0.3 0.700000 0.739130 0.740741 0.740815 0.740818 0.740818 0.740818

0.35 0.650000 0.702128 0.704553 0.704681 0.704688 0.704688 0.704688 0.4 0.600000 0.666667 0.670103 0.670308 0.670319 0.670320 0.670320

0.45 0.550000 0.632653 0.637301 0.637608 0.637627 0.637628 0.637628 0.5 0.500000 0.600000 0.606061 0.606498 0.606529 0.606531 0.606531

0.55 0.450000 0.568627 0.576301 0.576901 0.576946 0.576950 0.576950 0.6 0.400000 0.538462 0.547945 0.548741 0.548806 0.548811 0.548812

0.65 0.350000 0.509434 0.520920 0.521947 0.522038 0.522045 0.522046 0.7 0.300000 0.481481 0.495156 0.496452 0.496574 0.496584 0.496585

0.75 0.250000 0.454545 0.470588 0.472191 0.472350 0.472365 0.472366 0.8 0.200000 0.428571 0.447154 0.449102 0.449307 0.449327 0.449329

0.85 0.150000 0.403509 0.424796 0.427127 0.427385 0.427412 0.427415 0.9 0.100000 0.379310 0.403458 0.406211 0.406531 0.406566 0.406569

0.95 0.050000 0.355932 0.383088 0.386301 0.386691 0.386736 0.386741 1 0.000000 0.333333 0.363636 0.367347 0.367816 0.367872 0.367879

1.05 0.311475 0.345056 0.349301 0.349859 0.349929 0.349937 1.1 0.290323 0.327304 0.332118 0.332774 0.332859 0.332870

1.15 0.269841 0.310338 0.315755 0.316519 0.316622 0.316635 1.2 0.250000 0.294118 0.300172 0.301052 0.301176 0.301192

1.25 0.230769 0.278607 0.285328 0.286336 0.286482 0.286502 1.3 0.212121 0.263770 0.271189 0.272332 0.272504 0.272528

1.35 0.194030 0.249575 0.257718 0.259007 0.259207 0.259236 1.4 0.176471 0.235988 0.244883 0.246327 0.246557 0.246591

1.45 0.159420 0.222981 0.232651 0.234259 0.234523 0.234564 1.5 0.142857 0.210526 0.220994 0.222775 0.223074 0.223122

1.55 0.126761 0.198596 0.209883 0.211844 0.212183 0.212238 1.6 0.111111 0.187166 0.199291 0.201441 0.201821 0.201885

1.65 0.095890 0.176211 0.189193 0.191538 0.191963 0.192036 1.7 0.081081 0.165711 0.179564 0.182112 0.182584 0.182667

1.75 0.066667 0.155642 0.170381 0.173139 0.173660 0.173755 1.8 0.052632 0.145985 0.161622 0.164597 0.165171 0.165277

1.85 0.038961 0.136722 0.153267 0.156465 0.157093 0.157212 1.9 0.025641 0.127833 0.145297 0.148721 0.149407 0.149539

1.95 0.012658 0.119301 0.137692 0.141349 0.142094 0.142241 2 0.000000 0.111111 0.130435 0.134328 0.135135 0.135298

2.05 0.103247 0.123509 0.127643 0.128514 0.128692 2.1 0.095694 0.116898 0.121276 0.122213 0.122409

2.15 0.088438 0.110587 0.115213 0.116217 0.116431 2.2 0.081466 0.104562 0.109437 0.110511 0.110744

2.25 0.074766 0.098809 0.103936 0.105081 0.105333 2.3 0.068326 0.093315 0.098696 0.099914 0.100186

2.35 0.062134 0.088068 0.093704 0.094996 0.095289 2.4 0.056180 0.083056 0.088948 0.090315 0.090630

2.45 0.050453 0.078269 0.084417 0.085860 0.086198



2.5 0.044944 0.073695 0.080100 0.081620 0.081980 2.55 0.039643 0.069325 0.075986 0.077584 0.077968

2.6 0.034542 0.065149 0.072066 0.073743 0.074150 2.65 0.029633 0.061158 0.068330 0.070086 0.070518

2.7 0.024907 0.057343 0.064770 0.066605 0.067062 2.75 0.020356 0.053697 0.061376 0.063291 0.063774

2.8 0.015974 0.050212 0.058142 0.060136 0.060645 2.85 0.011754 0.046880 0.055059 0.057133 0.057668

2.9 0.007689 0.043694 0.052120 0.054274 0.054835 2.95 0.003773 0.040648 0.049318 0.051552 0.052139

3 0.000000 0.037736 0.046647 0.048960 0.049574 3.05 0.034951 0.044101 0.046492 0.047133

3.1 0.032287 0.041673 0.044142 0.044810 3.15 0.029739 0.039358 0.041904 0.042600

3.2 0.027303 0.037150 0.039774 0.040496 3.25 0.024972 0.035046 0.037745 0.038494

3.3 0.022742 0.033038 0.035813 0.036589 3.35 0.020610 0.031124 0.033973 0.034776

3.4 0.018570 0.029299 0.032220 0.033050 3.45 0.016618 0.027558 0.030552 0.031408

3.5 0.014751 0.025898 0.028962 0.029845 3.55 0.012965 0.024315 0.027448 0.028357

3.6 0.011256 0.022805 0.026007 0.026941 3.65 0.009621 0.021365 0.024634 0.025594

3.7 0.008058 0.019991 0.023326 0.024311 3.75 0.006561 0.018681 0.022080 0.023090

3.8 0.005130 0.017432 0.020894 0.021928 3.85 0.003761 0.016241 0.019764 0.020822

3.9 0.002451 0.015104 0.018687 0.019769 3.95 0.001198 0.014021 0.017662 0.018766

4 0.000000 0.012987 0.016685 0.017812 4.05 0.012001 0.015755 0.016904

4.1 0.011062 0.014869 0.016040 4.15 0.010165 0.014025 0.015217

4.2 0.009311 0.013221 0.014433 4.25 0.008496 0.012455 0.013688

4.3 0.007719 0.011726 0.012978 4.35 0.006979 0.011032 0.012302

4.4 0.006273 0.010370 0.011659 4.45 0.005600 0.009740 0.011047

4.5 0.004959 0.009140 0.010464 4.55 0.004347 0.008569 0.009909

4.6 0.003765 0.008025 0.009381 4.65 0.003210 0.007506 0.008878

4.7 0.002682 0.007013 0.008399 4.75 0.002178 0.006543 0.007944

4.8 0.001699 0.006096 0.007510 4.85 0.001242 0.005670 0.007097

4.9 0.000807 0.005265 0.006705 4.95 0.000394 0.004879 0.006331

5 0.000000 0.004512 0.005975



Formulario de Teoría de Colas

Variable Canal Simple Canal Múltiple Intensidad de tráfico Porcentaje del tiempo que el servidor esta ocioso

λρμ

= sλρμ

=

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema

0 (1 )n nnP Pρ ρ ρ= = −

Para n<s 0

!

n

nPPn

λμ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para n≥s ( )

0

!

n

n n s

PPS S

λμ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Numero esperado de clientes en el sistema

( )1L ρ λ

ρ μ λ= =

− −

( ) ( )

0

21 !

S

PL

S S

λ λμμλ

μ μ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= +− −

si λρμ

=

( Ocupado)*S-

L P Sistema ρ ρρ

= +

Numero esperado de clientes en la cola

(2 2

1qL ρ λρ μ μ λ

= =− −

( ) ( )

0

21 !

S

q

PL

S S

λ λμμ

μ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=− −

si λρμ

=

( Ocupado)*S-qL P Sistema ρρ

=

( )

0

2! 1

S

q

PL

S

λ ρμ

ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

−si

sλρμ

=

Tiempo promedio que pasa un clientes en el sistema

1LWλ μ λ

= =−

( ) ( )

0

21

1 !

S

PW

S S

λ μμ

μ μ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= +− −

( ) ( )

0

21 !

S

PW

S S

λ μμ

μ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=− −

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola

( )q

q

LW λ

λ μ μ λ= =

−

( ) ( )

0

21 !

S

qP

LW

S S

λ μμ

λ μ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =− −



( )

0

2! 1

S

q

PW

S

λ ρμ

λ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

−si

sλρμ

=

Probabilidad de que haya cero clientes en el sistema

0 1P ρ= − 11

00

1 1! !

n SS

n

SPn S S

λ λ μμ μ μ λ

−−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

1

1

00

1! ! 1

n S

s

n

Pn s

λ λμ μ

ρ

−

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

Probabilidad d que un cliente tenga que esperar en la cola mas de t minutos

{ } ( )1 tP Wq t e μ ρρ − −> =

{ } ( )( )

( )1! 1

SS Po S tP Wq tS

eρ μ ρρ

− −> =

−

Probabilidad d que un cliente tenga que esperar en el sistema mas de t minutos

{ } ( )1 tP W t e μ ρ− −> =

{ }( )

( )

11

1! 1 1

t SSPo e

tP W t

S Se

λμλ μμ

μ

λρμ

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠

⎪− ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦> = +⎨⎛ ⎞⎪ − − −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠

⎪⎪⎪⎩

( ) ( )0( Ocupado)= *S! S-

S

P Sistema P P n Sρμ λ

= ≥ si λρμ

=

( ) ( )0

( Ocupado)=S! 1

S

PP Sistema P n S

λμ

ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ≥

− si

sλρμ

=

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC - Angelfire · EJERCICIO DE TEORIA DE COLAS 1.- Basado en su...

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