Sistema de Colas

TEORIA DE COLAS

Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASLas LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,Vehculos esperando pagar ante una estacin de peaje o continuar su camino, ante un semforo en rojo, Mquinas daadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

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Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASLos Modelos de Lneas de Espera son de gran utilidad tanto en las reas de Manufactura como en las de Servicio.

Los Anlisis de Colas relacionan:

la longitud de la lnea de espera,el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Anlisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atencin de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparacin de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASDesde la perspectiva de la Investigacin de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontlogo o las prensas daadas esperando reparacin, tienen mucho en comn. Ambos (gente y mquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCostos de Servicio y Costos de EsperaLos Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la mquina que deben ser atendidos.Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen ms.Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASEquilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Nivel ptimo de ServicioNivel de ServicioCosto por TIEMPO DE ESPERACosto por proporcionar el SERVICIOCostoCosto Total MnimoCOSTO TOTAL ESPERADO


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCostos de Servicio vs Nivel de ServicioLos COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o mquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atencin cuando crecen excesivamente los clientes.

En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas pocas del da o del ao.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las lneas de espera. Este costo puede reflejar prdida de productividad de los operarios que estn esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulacin) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


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COLAS MAS COMUNESSITIOARRIBOS EN COLASERVICIOSupermercadoCompradoresPago en cajas PeajeVehculosPago de peajeConsultorioPacientesConsultaSistema de CmputoProgramas a ser corridosProceso de datosCompaa de telfonosLlamadasEfectuar comunicacinBancoClientesDepsitos y CobrosMantenimientoMquinas daadasReparacinMuelleBarcosCarga y descarga


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCaractersticas de una LINEA DE ESPERAUna cola de espera est compuesta de tres elementos:Arribos o ingresos al sistemaDisciplina en la colaServicio

Estos tres componentes tienen ciertas caractersticas que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemtico de los modelos de cola.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCaractersticas de una LINEA DE ESPERA1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres caractersticas principales:Tamao de la poblacin que arribaPatrn de llegada a la colaComportamiento de las llegadas.

1.a.Tamao de la Poblacin:El tamao de la poblacin puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito).


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLAS Caractersticas de una LINEA DE ESPERA1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamao de la Poblacin:Infinito (ilimitado): Cuando el nmero de clientes o arribosen un momento dado es una pequea parte de los arribos potenciales. Para propsitos prcticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehculos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Ftbol, clientes en un supermercado.LA MAYORA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.Poblacin de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio mdico



1.b. Patrn de arribo al sistema:Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.Se consideran que los arribos son aleatorios cuando stos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. Frecuentemente en problemas de colas, el nmero de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribucin de Poisson que es una distribucin discreta de probabilidad.



DISTRIBUCION DE POISSON:

P(x) = Probabilidad de x arribos.x= nmero de arribos por unidad de tiempo = rata promedio de arribo.e = 2.71828


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON



1.c. Comportamiento de los arribos:La mayora de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transaccin.Esta situacin sirve para acentuar el estudio de la teora de colas y el anlisis de las lneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLAS 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser tambin LIMITADA o ILIMITADA.Cola LIMITADA es aquella que por aspectos fsicos no puede incrementarse a tamaos infinitos. Puede ser el caso de una peluquera que tiene pocos barberos y sillas para atender.

Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamao no tiene restriccin como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehculos que arriban.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLAS 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

Una segunda caracterstica de las lneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayora de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina tambin FIFS (First In First Served). En las reas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio mdico.En supermercados, personas con menos de 10 artculos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la poltica PEPS.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3. Caractersticas del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En l son importantes dos propiedades bsicas:La configuracin del sistema de servicio.El patrn de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en funcin del numero de canales (servidores) y el nmero de fases (nmero de paradas que deben hacerse durante el servicio).Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rpida.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3.1. Configuraciones bsicas para el ServicioSistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estacin y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rpida en el cual la persona que toma la orden tambin le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase

Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estacin, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLAS Configuraciones Bsicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones bsicas para el ServicioSERVIDORCOLASERVICIOFASE 2COLAARRIBOSSERVICIOFASE 1SALIDASSISTEMA UN CANAL, UNA FASEARRIBOSUN SOLO CANAL, MULTIFASESALIDAS


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLAS Configuraciones Bsicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones bsicas para el ServicioSISTEMA MULTICANAL UNA FASEARRIBOSCOLACANAL 1CANAL 2CANAL 3SALIDAS


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*SISTEMA MULTICANAL MULTIFASEARRIBOSCOLAFASE 2CANAL 1FASE 1CANAL 2FASE 2CANAL 2SALIDASFASE 1CANAL 1TEORIA DE COLASConfiguraciones Bsicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones bsicas para el Servicio


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASConfiguraciones Bsicas de Sistemas de Colas 3.2. Distribucin del Tiempo de ServicioLos patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comn con servicios dados por medio de mquinas (Lavadora automtica de carros).Si el tiempo de servicio es distribudo aleatoriamente que es el caso ms comn se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-x para x 0. Esta es una hiptesis matemtica muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribucin de Poisson.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASMedicin del Rendimiento de las ColasLos modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la lnea.Los principales factores que se evalan en estos modelos son:Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la colaLongitud de cola promedioTiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).Nmero de clientes promedio en el sistema.Probabilidad de que el servicio se quede vacoFactor de utilizacin del sistemaProbabilidad de la presencia de un especfico nmero de clientes en el sistema.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASNotacin de los Modelos de ColasReconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notacin para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.Una versin resumida de esta convencin est basada en el formato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes caractersticas del sistema:A = Distribucin de tiempo entre arribos.B = Distribucin del tiempo de servicio.Los siguientes son smbolos comunes para A y B:M = exponencial o Markov (1)D = constante o determinstica


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASNotacin de los Modelos de ColasEk = Erlang de orden kP H = Tipo faseH = HiperexponencialG = Arbitrario o generalGI = General independiente.c = nmero de servidores paralelosN = Capacidad del sistemaK = Tamao de la poblacin.Nota(1): A causa de las suposiciones de distribucin exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASNotacin de los Modelos de ColasPor ejemplo: M/M/1// significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y poblacin infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribudos exponencialmente. Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notacin. M/M/1// es reducido a M/M/1.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASVariedad de Modelos de ColasExiste una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos ms usados. Modelos ms complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulacin y se los encuentra en textos especializados sobre el tema.Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:Arribos segn la Distribucin de PoissonDisciplina PEPSUna sola fase de servicio.Modelo A: Un canal, Arribos segn la Distribucin de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASVariedad de Modelos de ColasModelo B: MulticanalModelo C: Tiempo de Servicio constanteModelo D: Poblacin Limitada

Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribucin de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1)Los casos ms comunes de problemas de colas incluyen la lnea de espera de canal nico o servidor nico. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estacin.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASModelo A: M/M/1Asumimos que existen las siguientes condiciones: Los clientes son servidos con una poltica PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la lnea o cola.Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.Los arribos son descritos mediante la distribucin de probabilidad de Poisson y proceden de una poblacin muy grande o infinita.Los tiempos de servicio varan de cliente a cliente y son independientes entre s, pero su rata promedio es conocida.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASModelo A: (M/M/1) Modelo B: (M/M/S)Los tiempos de servicio se representan mediante la distribucin de probabilidad exponencial negativa.La rata de servicio es ms rpida que la rata de arribo.Tabla 5.3 Render Pg. 192Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)Dos o ms servidores o canales estn disponibles para atender a los clientes que arriban. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre. Asumimos que los arribos siguen la distribucin de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribudos exponencialmente.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASModelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)Los servicios se los hace de acuerdo a la poltica primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata. Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribudos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*TEORIA DE COLASModelo D: Poblacin limitadaModelo D: Modelo de Poblacin limitada.-Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando reparaciones de equipo en una fbrica que tiene 5 mquinas. Este modelo permite cualquier nmero de reparadores a ser considerados.La razn por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relacin de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo. La situacin extrema sera si en la fbrica tenemos 5 mquinas, todas se han daado y necesitan reparacin; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En general, si la lnea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

MODELONOMBREN DE CANALESN DE FASESPATRN DE ARRIBOPATRN DE SERVICIOTAMAO DE LA POBLACINDISCIPLINA DE COLA

ASIMPLEM/M/1UNOUNAPOISSONEXPONENCIALINFINITAPEPSBMULTI-CANALM/M/SMULTICANALUNAPOISSON

EXPONENCIALINFINITAPEPSCSERVICIOCONSTANTE (M/D/1)UNOUNAPOISSONCONSTANTEINFINITAPEPSDPOBLACIONLIMITADAUNOUNAPOISSONEXPONENCIALFINITAPEPS


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*FRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*FRMULAS PARA COLASMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*FRMULAS PARA COLASMODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*FORMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIN LIMITADA


Ing. Gloria Chvez G. MSc.UAE - PROGRAMA EL TRIUNFO*FORMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIN LIMITADA


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