Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de Cómputo

Modelos de capacidad: Modelos de capacidad: TeorTeoríía a de Colasde Colas

M. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos FarFarííasas

Objetivos del CapObjetivos del Capíítulotulo

La distribuciLa distribucióón n PoissonPoisson y exponencial.y exponencial.

Cumplimiento de las medidas de seguridad para los Cumplimiento de las medidas de seguridad para los modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.

AnAnáálisis econlisis econóómico de los sistemas de colasmico de los sistemas de colas

Balance de lBalance de lííneas de ensamble neas de ensamble

IntroducciIntroduccióónn

Se estudian las filas de espera o colas.Se estudian las filas de espera o colas.

El objetivo del anEl objetivo del anáálisis de colas es diselisis de colas es diseññar un sistema ar un sistema que permita la organizacique permita la organizacióón n óóptima de acuerdo a ptima de acuerdo a alguno criterios.alguno criterios.

Criterios Posibles:Criterios Posibles:-- Ganancia mGanancia mááximaxima-- Nivel de atenciNivel de atencióón de deseadon de deseado

El anEl anáálisis de los sistemas de colas requiere de una lisis de los sistemas de colas requiere de una comprensicomprensióón de la medida del servicio apropiada.n de la medida del servicio apropiada.

Posibles medidas del servicioPosibles medidas del servicio

-- Tiempo promedio de atenciTiempo promedio de atencióón de clientesn de clientes

-- Largo promedio de la colaLargo promedio de la cola

-- La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la cola para ser atendido.la cola para ser atendido.

Elementos del proceso de colasElementos del proceso de colas

Un sistema de colas consta de tres componentes Un sistema de colas consta de tres componentes bbáásicas:sicas:

-- Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido dQuien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de e acuerdo a un patracuerdo a un patróón de llegada.n de llegada.

--El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en una o muna o máás colas por el servicio.s colas por el servicio.

--Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.

Proceso de llegada a la cola.Proceso de llegada a la cola.

-- Existen 2 tipos de procesos de llegada:Existen 2 tipos de procesos de llegada:* Proceso de llegada * Proceso de llegada deterministicodeterministico..* Proceso de llegada aleatoria.* Proceso de llegada aleatoria.

-- El proceso aleatorio es mEl proceso aleatorio es máás coms comúún en la empresa.n en la empresa.

-- Bajo tres condiciones, una distribuciBajo tres condiciones, una distribucióón n PoissonPoisson puede puede describir el proceso aleatorio.describir el proceso aleatorio.

Las tres condiciones necesarias para la existencia del Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada proceso de llegada PoissonPoisson ::

* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola duranteun intervalo de tiempo.un intervalo de tiempo.

* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la * Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.

* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia * Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.sobre la llegada de otro.

-- Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.en muchas situaciones.

DistribuciDistribucióón de llegada n de llegada PoissonPoisson

P X k ek !

= =λ λt) k t

( ) ( −

Donde:λ = esperanza de llegada de un cliente por

unidad de tiempo

t = intervalo de tiempo.

e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

HARDWARE HANKHARDWARE HANK’’SS

Un problema que ilustra la distribuciUn problema que ilustra la distribucióón n PoissonPoisson..

-- Los clientes llegan a Los clientes llegan a HankHank’’ss de acuerdo a una distribucide acuerdo a una distribucióón n Poisson.Poisson.

-- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes alEntre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes allocal comercial.local comercial.

-- ¿¿CuCuáál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre l es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la malas 8:00 y las 8:30 de la maññana?ana?

0

00 SOLUCIONSOLUCION

P X k ek

( ) (!

= =−λ λt) k t

0

0

0

0

0

00 =

0

0!0.049787

0

11!

1

0.14936122

2!0.2240423

3

3!0.224042

Valores de entrada para la Dist. Valores de entrada para la Dist. PoissonPoissonλλ= 6 clientes por hora.= 6 clientes por hora.t = 0.5 horas.t = 0.5 horas.λλ t = (6)(0.5) = 3.t = (6)(0.5) = 3.

1 2 3 4 5 6 7 8

La fila de espera.La fila de espera.

-- Factores que influyen en el modelo de colas:Factores que influyen en el modelo de colas:

* Configuraci* Configuracióón de la filan de la fila* Tramposos* Tramposos* Contrariedades* Contrariedades* Prioridades* Prioridades* Colas * Colas TendemTendem* Homogeneidad.* Homogeneidad.

-- ConfiguraciConfiguracióón de la filan de la fila* Una sola cola de servicio* Una sola cola de servicio* M* Múúltiples colas de servicio con una sola fila de esperaltiples colas de servicio con una sola fila de espera* M* Múúltiples colas de servicio con mltiples colas de servicio con múúltiples filas de espera.ltiples filas de espera.* Colas * Colas TendemTendem (sistema de servicios m(sistema de servicios múúltiples)ltiples)

-- TrampososTramposos* Corresponden a clientes que se mueven a trav* Corresponden a clientes que se mueven a travéés de la cola sin s de la cola sin seguir los criterios de avance.seguir los criterios de avance.

-- ContrariedadesContrariedades* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque * Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.perciben que esta es demasiada larga.

-- Reglas de prioridadReglas de prioridad* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Estas reglas seleccionan el pr* Estas reglas seleccionan el próóximo cliente en ser atendidoximo cliente en ser atendido* Criterios de selecci* Criterios de seleccióón comn comúúnmente usados:nmente usados:

-- Primero en entrar primero en salir (FCFS).Primero en entrar primero en salir (FCFS).-- Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).-- Tiempo estimado de atenciTiempo estimado de atencióónn-- AtenciAtencióón de clientes aleatoria.n de clientes aleatoria.

-- HomogeneidadHomogeneidad* Una poblaci* Una poblacióón homogn homogéénea de clientes es aquella en la cual nea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.* Una poblaci* Una poblacióón no homogn no homogéénea es aquella en la cual los nea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo :clientes pueden ser ordenados de acuerdo :

+ A los patrones de llegada+ A los patrones de llegada+ Al tipo de servicio requerido.+ Al tipo de servicio requerido.

El proceso de servicioEl proceso de servicio

-- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atenciatencióón fijo.n fijo.

-- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atenciSin embargo, en muchos casos, el tiempo de atencióón varn varíía de a de acuerdo a la cantidad de clientes.acuerdo a la cantidad de clientes.

-- Cuando el tiempo de atenciCuando el tiempo de atencióón varn varíía, este se trata como una a, este se trata como una variable aleatoria.variable aleatoria.

-- La distribuciLa distribucióón exponencial es usada, en algunos casos, para n exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atencimodelar el tiempo de atencióón del cliente.n del cliente.

DistribuciDistribucióón exponencial del tiempo de atencin exponencial del tiempo de atencióónn

f(X) = µe-µX

donde µ = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo.

Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”

P(X t) = 1 - e-µt≤

Ilustración esquemática de la distribución exponencial

Probabilidad de que la atención sea completadadentro de “ t “ unidades de tiempo

X = t

f(X)

Medida del desempeMedida del desempeñño de los o de los sistemas de colassistemas de colas

El desempeEl desempeñño puede ser medido o puede ser medido concentrandoseconcentrandose en:en:

-- Los clientes en la colaLos clientes en la cola-- Los clientes en el sistemaLos clientes en el sistema

Los perLos perííodos transitorios y estodos transitorios y estááticos complican el ticos complican el ananáálisis del tiempo de atencilisis del tiempo de atencióón.n.

Un perUn perííodo transitorio ocurre al inicio de la operaciodo transitorio ocurre al inicio de la operacióón.n.-- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un laUn comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo rgo perperííodo de ejecuciodo de ejecucióón.n.

Un perUn perííodo estacionario sigue al perodo estacionario sigue al perííodo transitorio.odo transitorio.-- En un perEn un perííodo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el odo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.

-- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor quDe acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que e suma de las tasas de atencisuma de las tasas de atencióón efectiva.n efectiva.

λ< µ λ< µλ< µ λ< µ1 1 +µ+µ22++……+µ+µκκ λ< λ< kkµµPara un servidorPara un servidor Para k servidoresPara k servidores Para k servidores Para k servidores

con tasa se con tasa se serv.serv. µµcada unocada uno

Medida del desempeMedida del desempeñño en pero en perííodos estacionarios.odos estacionarios.

PP0 0 = Probabilidad de que no existan clientes en el = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.sist.PPnn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.L = nL = núúmero de clientes promedio en el sistema.mero de clientes promedio en el sistema.LLqq = n= núúmero de clientes promedio en la cola.mero de clientes promedio en la cola.W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en

el sistema.el sistema.WWqq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en

la cola.la cola.PPww = Probabilidad de que un cliente que llega deba = Probabilidad de que un cliente que llega deba

esperar para ser atendido.esperar para ser atendido.ρ ρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo

que cada servidor es ocupado).que cada servidor es ocupado).

FormulasFormulas

-- Las fLas fóórmulas representan las relaciones entre L, rmulas representan las relaciones entre L, LLqq, W, y , W, y WWqq..

-- Estas fEstas fóórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las rmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:siguientes condiciones:* Sistemas de colas simples* Sistemas de colas simples* Los clientes llegan seg* Los clientes llegan segúún una tasa finita de llegadan una tasa finita de llegada* El sistema opera bajo las condiciones de per* El sistema opera bajo las condiciones de perííodos odos

estacionarios. estacionarios.

L =L = λ λ W W LLqq = = λλ WWqq L = L = LLqq + + λ λ // µµ

Para el caso de una poblaciPara el caso de una poblacióón infinita.n infinita.

ClasificaciClasificacióón de las colas.n de las colas.

-- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de atenci+ Proceso de atencióónn+ N+ Núúmero de servidoresmero de servidores+ Tama+ Tamañño (o (lineaslineas de espera finitas/infinitas)de espera finitas/infinitas)+ Tama+ Tamañño de la poblacio de la poblacióónn

-- NotaciNotacióónn+ M (+ M (MarkovianMarkovian)= Proceso de llegada )= Proceso de llegada PoissonPoisson o tiempo de o tiempo de

atenciatencióón exponencial.n exponencial.+D (+D (DeterminDeterminíísticostico) = Tasa constante de llegada o de atenci) = Tasa constante de llegada o de atencióónn+G (General) = Probabilidad general de llegada o de +G (General) = Probabilidad general de llegada o de

atenciatencióónn

Ejempo:

M / M / 6 / 10 / 20

Ejempo:

M / M / 6 / 10 / 20

Sistema de colas M/M/1Sistema de colas M/M/1

CaracterCaracteríísticassticas

-- Proceso de llegada Proceso de llegada PoissonPoisson..-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmenten se distribuye exponencialmente-- Existe un solo servidorExiste un solo servidor-- Cola de capacidad infinitaCola de capacidad infinita-- PoblaciPoblacióón infinita.n infinita.

Medidas del Medidas del PerformancePerformance para la cola para la cola M / M /1 M / M /1

PP00 = 1= 1-- ((λλ // µµ))PPnn = [1 = [1 -- ((λλ // µµ)] ()] (λλ// µµ))nn

L = L = λλ // ((µµ -- λλ))LLqq = = λλ 22 // [[µµ((µµ -- λλ)])]W = 1 W = 1 // ((µµ -- λλ))WWqq = = λλ // [[µµ((µµ -- λλ)])]PPww = = λλ // µµρ ρ = = λλ // µµ

La probabilidad de queun cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-(µ - λ)t

ZapaterZapateríía a MaryMary’’ss

Los clientes que llegan a la zapaterLos clientes que llegan a la zapateríía a MaryMary’’ss son en son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucipromedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucióón n Poisson.Poisson.

El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmente n se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las La gerencia esta interesada en determinar las medidas de medidas de performanceperformance para este servicio.para este servicio.

SOLUCIONSOLUCION

–– Datos de entradaDatos de entradaλλ = 1= 1// 12 clientes por minuto = 6012 clientes por minuto = 60// 12 = 5 por 12 = 5 por hora.hora.µ µ = 1= 1/ / 8 clientes por minuto = 608 clientes por minuto = 60// 8 = 7.5 8 = 7.5

por hora.por hora.

–– Calculo del Calculo del performanceperformanceP0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)n

L = λ / (µ - λ) = 2Lq = λ2/ [µ(µ - λ)] = 1.3333W = 1 / (µ - λ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = λ / [µ(µ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos

P0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)n

L = λ / (µ - λ) = 2Lq = λ2/ [µ(µ - λ)] = 1.3333W = 1 / (µ - λ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = λ / [µ(µ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos

Pw = λ / µ = 0.6667

ρ = λ / µ = 0.6667

Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB

µ

λ

Medidas de performanceMedidas de performanceMedidas de performanceMedidas de performance

Medidas de performanceMedidas de performanceMedidas de performanceMedidas de performance

Medidas de performanceMedidas de performance

Sistema de cola M/M/kSistema de cola M/M/k

CaracterCaracteríísticassticas

-- Clientes llegan de acuerdo a una distribuciClientes llegan de acuerdo a una distribucióón n PoissonPoisson con una con una

esperanza esperanza λ.λ.-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmente.n se distribuye exponencialmente.

-- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de µ µ clientes.clientes.-- Existe una poblaciExiste una poblacióón infinita y la posibilidad de n infinita y la posibilidad de infinitas filas.infinitas filas.

Medidas de Medidas de performanceperformance

P

n kk

k

n k

n

k0

0

1

11 1

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑

=

−

! !λ

µλ

µµ

µ λ

Pn

P

k kP

n

n

n

n k

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

λµ

λµ

!

!

0

0

for n k.

P for n > k.n

Para n<= k

Para n > k

( ) ( )W

k kP

k

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −+

λµ µ

µ λ µ11

2 0!

Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas por las formulas.

Pk

kk

Pw

k

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10!

λµ

µµ λ

ρλµ

=k

OFICINA POSTAL TOWNOFICINA POSTAL TOWN

La oficina postal La oficina postal TownTown atiende patiende púúblico los Sblico los Sáábados bados entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.

DatosDatos-- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este perdurante este perííodo. La oficina tiene tres dependientes.odo. La oficina tiene tres dependientes.

-- Cada atenciCada atencióón dura 1.5 minutos en promedio.n dura 1.5 minutos en promedio.

-- La distribuciLa distribucióón n PoissonPoisson y exponencial describen la llegada de y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atencilos clientes y el proceso de atencióón de estos respectivamente.n de estos respectivamente.

La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:

– La evaluación del nivel de servicio prestado.

– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:

– La evaluación del nivel de servicio prestado.

– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Datos de entradaDatos de entrada

λ = λ = 100 clientes por hora.100 clientes por hora.µ = µ = 40 clientes por hora (60 40 clientes por hora (60 / / 1.5).1.5).

Existe un perExiste un perííodo estacionario (odo estacionario (λ λ < < kkµµ )?)?

λ = λ = 100 < 100 < kkµµ = 3= 3(40) = 120.(40) = 120.

Sistemas de colas M/G/1Sistemas de colas M/G/1

SupuestosSupuestos-- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Los clientes llegan de acuerdo a un proceso PoissonPoisson con con esperanza esperanza λ. λ.

−− El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón tiene una distribucin tiene una distribucióón general con n general con

esperanza esperanza µ.µ.

−− Existe un solo servidor.Existe un solo servidor.

-- Se cuenta con una poblaciSe cuenta con una poblacióón infinita y la posibilidad de n infinita y la posibilidad de infinitas filas.infinitas filas.

Formula para L de Formula para L de PollaczekPollaczek -- KhintchineKhintchine..

-- Nota : No es necesario conocer la distribuciNota : No es necesario conocer la distribucióón particular del n particular del tiempo de atencitiempo de atencióón. Solo la esperanza y la desviacin. Solo la esperanza y la desviacióón estn estáándarndarson necesarias.

( )L =

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

22

2 1

λ σ λµ

λµ

λµ

son necesarias.

TALLER DE REPARACIONES TEDTALLER DE REPARACIONES TED

TedTed repara televisores y repara televisores y videograbadoresvideograbadores..DatosDatos-- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas.2.25 horas.-- La desviaciLa desviacióón estn estáándar del tiempo de reparacindar del tiempo de reparacióón es de 45 n es de 45 minutos.minutos.-- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribuciacuerdo a una distribucióón n PoissonPoisson..-- TedTed trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.-- El compra todos los repuestos necesarios.El compra todos los repuestos necesarios.

+ En promedio, el tiempo de reparaci+ En promedio, el tiempo de reparacióón esperado debern esperado deberíía a ser de 2 horas.ser de 2 horas.+ La desviaci+ La desviacióón estn estáándar esperada deberndar esperada deberíía ser de 40 a ser de 40 minutos.minutos.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para:1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos;2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para:1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos;2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atenciSe trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atencióón n no es exponencial pues no es exponencial pues σσ 11//µµ).).DatosDatos–– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)

λ λ = 1= 1// 2.5 = 0.4 clientes por hora.2.5 = 0.4 clientes por hora.µµ = 1= 1// 2.25 = 0.4444 clientes por hora.2.25 = 0.4444 clientes por hora.σ σ = 45= 45// 60 = 0.75 horas.60 = 0.75 horas.

–– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)µ µ = 1= 1//2 = 0.5 clientes por hora.2 = 0.5 clientes por hora.σ σ = 40= 40/ / 60 = 0.6667 horas.60 = 0.6667 horas.

Sistemas de colas M/M/k/FSistemas de colas M/M/k/F

Se deben asignar muchas colas, cada una de un Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamacierto tamañño lo líímite.mite.

Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, cola infinito entrega un resultado exacto, aunquedeaunquedetodas formas la cola debe ser limitada.todas formas la cola debe ser limitada.

Cuando una cola es demasiado pequeCuando una cola es demasiado pequeñña, se debe a, se debe estimar un lestimar un líímite para la fila en el modelo.mite para la fila en el modelo.

CaracterCaracteríísticas del sistema M/M/k/Fsticas del sistema M/M/k/F

-- La llegada de los clientes obedece a una distribuciLa llegada de los clientes obedece a una distribucióón n PoissonPoissoncon una esperanza con una esperanza λ.λ.

-- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atenciExisten k servidores, para cada uno el tiempo de atencióón se n se distribuye exponencialmente, con esperanza distribuye exponencialmente, con esperanza µ.µ.

−− El nEl núúmero mmero mááximo de clientes que puede estar presente en el ximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es sistema en un tiempo dado es ““FF””..

-- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.completo.

Tasa de llegada efectiva.Tasa de llegada efectiva.

-- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.

-- La probabilidad de que el sistema se complete es La probabilidad de que el sistema se complete es PPFF..

-- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema en el sistema ((λλee).).

λe = λ(1 - PF)

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE TECHADOS RYANA DE TECHADOS RYAN

RyanRyan atiende a sus clientes, los cuales llaman atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio.ordenan su servicio.

DatosDatos

-- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 lUna secretaria recibe las llamadas desde 3 lííneas telefneas telefóónicas.nicas.

-- Cada llamada telefCada llamada telefóónica toma tres minutos en promedionica toma tres minutos en promedio

-- En promedio, diez clientes llaman a la compaEn promedio, diez clientes llaman a la compañíñía cada hora.a cada hora.

Cuando una lCuando una líínea telefnea telefóónica esta disponible, pero la nica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,elllamada,elcliente debe esperar en lcliente debe esperar en líínea hasta que la secretaria nea hasta que la secretaria este disponible. este disponible.

Cuando todas las lCuando todas las lííneas estneas estáán ocupadas los clientes n ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia.optan por llamar a la competencia.

El proceso de llegada de clientes tiene una El proceso de llegada de clientes tiene una distribucidistribucióón n PoissonPoisson, y el proceso de atenci, y el proceso de atencióón se n se distribuye exponencialmente.distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseLa gerencia desea diseññar el siguiente sistema con:ar el siguiente sistema con:

-- La menor cantidad de lLa menor cantidad de lííneas necesarias.neas necesarias.

-- A lo mA lo máás el 2% de las llamadas encuentren las ls el 2% de las llamadas encuentren las lííneas ocupadas.neas ocupadas.

La gerencia esta interesada en la siguiente informaciLa gerencia esta interesada en la siguiente informacióón:n:

El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.

EL nEL núúmero promedio de clientes que estmero promedio de clientes que estáán es espera.n es espera.

El tiempo promedio que los clientes permanecen en lEl tiempo promedio que los clientes permanecen en líínea esperando ser atendidos.nea esperando ser atendidos.

El porcentaje actual de llamadas que encuentran las lEl porcentaje actual de llamadas que encuentran las lííneas ocupadas.neas ocupadas.

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 Datos de entradaDatos de entrada

λλ = 10 por hora.= 10 por hora.µµ = 20 por hora (1= 20 por hora (1// 3 por minuto).3 por minuto).

–– WINQSB entrega: WINQSB entrega: PP0 0 = 0.533, P= 0.533, P11 = 0.133, P= 0.133, P33 = 0.06= 0.06

6.7% de los clientes encuentran las l6.7% de los clientes encuentran las lííneas neas ocupadas.ocupadas.

Esto es alrededor de la meta del 2%.Esto es alrededor de la meta del 2%.

sistema M / M / 1 / 4

P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032

3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadasAún se puede alcanzar la meta del 2%

sistema M / M / 1 / 5

P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032P5 = 0.016

1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadasLa meta del 2% puede ser alcanzada.

Datos de entrada para WINQSB Datos de entrada para WINQSB

Otros resultados de WINQSBOtros resultados de WINQSB

Con 5 líneas telefónicas 4 clientes pueden esperar en línea

Sistemas de colas M/M/1//mSistemas de colas M/M/1//mEn este sistema el nEn este sistema el núúmero de clientes potenciales es mero de clientes potenciales es finito y relativamente pequefinito y relativamente pequeñño.o.

Como resultado, el nComo resultado, el núúmero de clientes que se mero de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes.llegada de clientes.

CaracterCaracteríísticassticas-- Un solo servidorUn solo servidor-- Tiempo de atenciTiempo de atencióón exponencial y proceso de llegada n exponencial y proceso de llegada PoissonPoisson..-- El tamaEl tamañño de la poblacio de la poblacióón es de m clientes (m finito).n es de m clientes (m finito).

CASAS PACESETTERCASAS PACESETTER

Casas Casas PacesetterPacesetter se encuentra desarrollando cuatro se encuentra desarrollando cuatro proyectos.proyectos.DatosDatos-- Una obstrucciUna obstruccióón en las obras ocurre en promedio cada 20 n en las obras ocurre en promedio cada 20 ddíías de trabajo en cada sitio.as de trabajo en cada sitio.-- Esto toma 2 dEsto toma 2 díías en promedio para resolver el problema.as en promedio para resolver el problema.-- Cada problema es resuelto por le Cada problema es resuelto por le V.PV.P. para construcci. para construccióónn

¿¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo?operativo?--Con 2 dCon 2 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón actual)n actual)--Con 1.875 dCon 1.875 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón nueva).n nueva).

SOLUCIONSOLUCION

Se trata de un sistema M/M/1//4Se trata de un sistema M/M/1//4Los cuatro sitios son los cuatro clientesLos cuatro sitios son los cuatro clientesEl El V.PV.P. para construcci. para construccióón puede ser considerado n puede ser considerado como el servidor.como el servidor.Datos de entradaDatos de entrada

λλ = 0.05 (1= 0.05 (1// 20)20)µ µ = 0.5 (1= 0.5 (1// 2 2 usiandousiando el actual el actual V.PV.P).).µ µ = 0.533 (1= 0.533 (1//1.875 usando el nuevo 1.875 usando el nuevo V.PV.P).).

Resultados obtenidos por WINQSBResultados obtenidos por WINQSB

Medidas del V.P V.PPerformance Actual Nuevo

Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334

Medidas del V.P V.PPerformance Actual Nuevo

Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334

AnAnáálisis econlisis econóómico de los sistemas mico de los sistemas de colasde colas

Las medidas de Las medidas de performanceperformance anteriores son usadas anteriores son usadas para determinar los costos mpara determinar los costos míínimos del sistema de nimos del sistema de colas.colas.

El procedimiento requiere estimar los costos tales El procedimiento requiere estimar los costos tales como:como:-- Costo de horas de trabajo por servidorCosto de horas de trabajo por servidor-- Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón del cliente que espera en la n del cliente que espera en la cola.cola.--Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendido.n de un cliente que es atendido.

SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODSSERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS

Wilson Wilson FoodsFoods tiene un ltiene un líínea 800 para responder las nea 800 para responder las consultas de sus clientesconsultas de sus clientesDatosDatos-- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.En promedio se reciben 225 llamadas por hora.-- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.-- Un cliente debe esperar en lUn cliente debe esperar en líínea a lo mnea a lo máás 3 minutos.s 3 minutos.--A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 por hora.por hora.--Wilson paga a la compaWilson paga a la compañíñía telefa telefóónica $0.18 por minuto cuando nica $0.18 por minuto cuando el cliente espera en lel cliente espera en líínea o esta siendo atendido.nea o esta siendo atendido.-- El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que espera en n de un cliente que espera en llíínea es de $20 por minuto.nea es de $20 por minuto.--El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendido n de un cliente que es atendido es de $0.05.es de $0.05.

Que cantidad de representantes para la atención de los clientesdeben ser usados para minimizarel costo de las horas de operación?

Que cantidad de representantes para la atención de los clientesdeben ser usados para minimizarel costo de las horas de operación?

SOLUCIONSOLUCION

Costo total del modeloCosto total del modelo

Costo total por horas detrabajo de “k”

representantes para la atención de clientes

CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)

Total horas para sueldo

Costo total de lasllamadas telefónicas

Costo total del grado de satisfacciónde los clientes que permanecen en línea

Costo total del grado de satisfacción de los clientes que son atendidos

CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq

Datos de entradaDatos de entradaCCww= $16= $16CCtt = $10.80 por hora [0.18(60)]= $10.80 por hora [0.18(60)]ggww= $12 por hora [0.20(60)]= $12 por hora [0.20(60)]ggss = $0.05 por hora= $0.05 por hora [0.05(60)][0.05(60)]

Costo total del promedio de horasCosto total del promedio de horasTC(KTC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 ) = 16K + (10.8+3)L + (12 -- 3)3)LLqq

= 16K + 13.8L + 9L= 16K + 13.8L + 9Lqq

Asumiendo una distribuciAsumiendo una distribucióón de llegada de los clientes n de llegada de los clientes PoissonPoisson y una distribuciy una distribucióón exponencial del tiempo de n exponencial del tiempo de atenciatencióón, se tiene un sistema M/M/Kn, se tiene un sistema M/M/Kλλ = 225 llamadas por hora.= 225 llamadas por hora.µµ = 40 por hora (60= 40 por hora (60// 1.5).1.5).

El valor mEl valor míínimo posible para k es 6 de forma de nimo posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un perasegurar que exista un perííodo estacionario (odo estacionario (λλ<K<Kµµ).).

WINQSB puede ser usado para generar los resultados WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, de L, LLqq, y , y WWqq..

En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.

K L Lq Wq CT(K)6 18,1249 12,5 0,05556 458,627 7,6437 2,0187 0,00897 235,628 6,2777 0,6527 0,0029 220,509 5,8661 0,2411 0,00107 227,1210 5,7166 0,916 0,00041 239,70

K L Lq Wq CT(K)6 18,1249 12,5 0,05556 458,627 7,6437 2,0187 0,00897 235,628 6,2777 0,6527 0,0029 220,509 5,8661 0,2411 0,00107 227,1210 5,7166 0,916 0,00041 239,70

Conclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientesConclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientes

Sistemas de colas Sistemas de colas TandemTandem

En un sistema de colas En un sistema de colas TandemTandem un cliente debe un cliente debe visitar diversos servidores antes de completar el visitar diversos servidores antes de completar el servicio requeridoservicio requerido

Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de acuerdo al proceso acuerdo al proceso PoissonPoisson y el tiempo de atenciy el tiempo de atencióón n se distribuye exponencialmente en cada estacise distribuye exponencialmente en cada estacióón.n.

Tiempo promedio total en el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones

individuales

Tiempo promedio total en el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones

individuales

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE SONIDO BIG BOYSA DE SONIDO BIG BOYS

BigBig BoysBoys vende productos de audio.vende productos de audio.

El proceso de venta es el siguiente:El proceso de venta es el siguiente:

-- Un cliente realiza su orden con el vendedor.Un cliente realiza su orden con el vendedor.

-- El cliente se dirige a la caja para El cliente se dirige a la caja para vv¡¡cancelarcancelar su pedido.su pedido.

-- DespuDespuéés de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para s de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.obtener su producto.

Datos de la venta de un SDatos de la venta de un Sáábado normalbado normal-- PersonalPersonal

+ 8 vendedores contando el jefe+ 8 vendedores contando el jefe+ 3 cajeras+ 3 cajeras+ 2 trabajadores de empaque.+ 2 trabajadores de empaque.

-- Tiempo promedio de atenciTiempo promedio de atencióónn

+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un + El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es de 10 minutos.cliente es de 10 minutos.

+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago + El tiempo promedio requerido para el proceso de pago de 3 minutos.de 3 minutos.

+ El tiempo promedio en el + El tiempo promedio en el áárea de empaque es de 2 rea de empaque es de 2 minutos.minutos.--DistribuciDistribucióónn

+ El tiempo de atenci+ El tiempo de atencióón en cada estacin en cada estacióón se distribuye n se distribuye exponencialmente.exponencialmente.

+ La tasa de llegada tiene una distribuci+ La tasa de llegada tiene una distribucióón n PoissonPoisson de 40 de 40 clientes por hora.clientes por hora.

Solomante 75% de los clientes que lleganhacen una compra

Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,que un cliente que viene a comprardemora en el local?

CuCuáál es la cantidad promedio de tiempo ,l es la cantidad promedio de tiempo ,que un cliente que viene a comprarque un cliente que viene a comprardemora en el local?demora en el local?

SOLUCIONSOLUCION

Estas son las tres estaciones del sistema de Estas son las tres estaciones del sistema de colas colas TandemTandem

M / M / 2

M / M / 8 M / M / 3

λ = 40

λ = 30

λ = 30

W1 = 14 minutosW2 = 3.47 minutos

2.67 minutos

Total = 20.14 minutos.

Balance de lBalance de lííneas de ensambleneas de ensamble

Una lUna líínea de ensamble puede ser vista como una cola nea de ensamble puede ser vista como una cola TandeTande, porque los productos deben visitar diversas , porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada.estaciones de trabajo de una secuencia dada.

En una lEn una líínea de ensamble balanceada el tiempo nea de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo.trabajo es el mismo.

El objetivo es maximizar la producciEl objetivo es maximizar la produccióónn

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE MAQUINAS A DE MAQUINAS McMc MURRAYMURRAY

McMc MurrayMurray fabrica cortadoras de cfabrica cortadoras de céésped y barredoras sped y barredoras de nieve.de nieve.La operaciLa operacióón de ensamble de una cortadora consta n de ensamble de una cortadora consta de 4 estaciones de trabajo.de 4 estaciones de trabajo.El tiempo mEl tiempo mááximo en cada estaciximo en cada estacióón de trabajo es de n de trabajo es de 4 minutos. De este modo, el n4 minutos. De este modo, el núúmero mmero mááximo de ximo de cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por hora.hora.La gerencia desea incrementar la productividad La gerencia desea incrementar la productividad mejorando el balance de las lmejorando el balance de las lííneas de ensamble.neas de ensamble.

DatosDatos

La operaciLa operacióón completa toma 12 minutosn completa toma 12 minutos

La estaciLa estacióón 2 es una n 2 es una

TiempoEstacion Operaciones Prom. (min)

1 Montar cuerpo y mango de la cort; Colocar barra de ctrol en el mango 22 Ensamblar motor en el cuerpo;colocar interruptor;cuchillas;etc; …. 43 Fijar mango, barra de control, cables, lubricar 34 Conectar barra de control; montar luz;inspección de calidad; embalar 3

TiempoEstacion Operaciones Prom. (min)

1 Montar cuerpo y mango de la cort; Colocar barra de ctrol en el mango 22 Ensamblar motor en el cuerpo;colocar interruptor;cuchillas;etc; …. 43 Fijar mango, barra de control, cables, lubricar 34 Conectar barra de control; montar luz;inspección de calidad; embalar 3

SOLUCIONSOLUCION

Existen diversas opciones de balance para las lExisten diversas opciones de balance para las lííneas neas de ensamble.de ensamble.

-- Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de los 3 minutos asignados a cada estacilos 3 minutos asignados a cada estacióón de trabajo.n de trabajo.

-- Asignar trabajadores ala estaciAsignar trabajadores ala estacióón de trabajo de manera tal de n de trabajo de manera tal de balancear la salidas de la estacibalancear la salidas de la estacióónn

-- Asignar mAsignar múúltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada una ltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada una de las operaciones.de las operaciones.

--Usar tUsar téécnicas de optimizacicnicas de optimizacióón, para minimizar la cantidad de n, para minimizar la cantidad de tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.

-- Usar heurUsar heuríísticas tales como sticas tales como ““TTéécnica de clasificacicnica de clasificacióón de n de posiciones segposiciones segúún el peson el peso”” para encontrar el menor npara encontrar el menor núúmero de mero de estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las especificaciones del ciclo de tiempo.especificaciones del ciclo de tiempo.

TTéécnica de clasificacicnica de clasificacióón de posiciones segn de posiciones segúún el peso.n el peso.

1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las 1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las tareas de las cuales esta es un predecesor.tareas de las cuales esta es un predecesor.2. Clasifique las tareas en orden descendiente seg2. Clasifique las tareas en orden descendiente segúún el tiempo n el tiempo total.total.3. Considere la estaci3. Considere la estacióón de trabajo 1 como la estacin de trabajo 1 como la estacióón actual.n actual.4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la 4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la clasificaciclasificacióón si cumplen con las siguientes condiciones:n si cumplen con las siguientes condiciones:

+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.+ El tiempo de la estaci+ El tiempo de la estacióón actual no excede el tiempo n actual no excede el tiempo deseado para el ciclo.deseado para el ciclo.

5. Si la segunda condici5. Si la segunda condicióón del paso 4 no se cumple, designe una n del paso 4 no se cumple, designe una nueva estacinueva estacióón como la estacin como la estacióón actual, y asigne tareas a esta.n actual, y asigne tareas a esta.6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido 6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido asignadas a alguna estaciasignadas a alguna estacióón de trabajo.n de trabajo.

McMc MurrayMurray -- ContinuaciContinuacióónn

La demanda por las cortadoras de cLa demanda por las cortadoras de céésped ha subido, sped ha subido, y como consecuencia el ciclo de tiempo programado y como consecuencia el ciclo de tiempo programado debe ser menor que los 3 minutos programados.debe ser menor que los 3 minutos programados.

McMc MurrayMurray desea balancear la ldesea balancear la líínea usando la menor nea usando la menor cantidad de estaciones de trabajo.cantidad de estaciones de trabajo.

DatosDatosTareas que se requieren para fabricar una cortadora de cTareas que se requieren para fabricar una cortadora de cééspedsped

Tareas Siguente tarea Tiempo estimA--Colocar el cuerpo de la cortadora ***** 40B--Colocar el mango de la cortadora ***** 50C--Ensamblar el motor al cuerpo de la cortad A 55D--Colocar el interruptor A 30E--Colocar rueda izquierda y asgurarla C 65F--Colocar rueda derecha y asegurarla C 65G--Lubricar cortadora E 30H--Colocar cuchillas C 25I--Colocar cables conectores del motor F, G 35J--Colocar cable que une barra de control con I 50K--Montar luces H 20L--Colocar barra de control en el mango B 30M--Colocar mango L 20N--Colocar cales conectores del mango M 500--Colocar cables conectores de la barra de c ****** 45P--Probar cortadora D, J, K, O 50Q--Embalar cortadora P 60

Tareas Siguente tarea Tiempo estimA--Colocar el cuerpo de la cortadora ***** 40B--Colocar el mango de la cortadora ***** 50C--Ensamblar el motor al cuerpo de la cortad A 55D--Colocar el interruptor A 30E--Colocar rueda izquierda y asgurarla C 65F--Colocar rueda derecha y asegurarla C 65G--Lubricar cortadora E 30H--Colocar cuchillas C 25I--Colocar cables conectores del motor F, G 35J--Colocar cable que une barra de control con I 50K--Montar luces H 20L--Colocar barra de control en el mango B 30M--Colocar mango L 20N--Colocar cales conectores del mango M 500--Colocar cables conectores de la barra de c ****** 45P--Probar cortadora D, J, K, O 50Q--Embalar cortadora P 60

SOLUCIONSOLUCIONTareas Tiempo Tareas predecesoras TiempoTotal ClasificA 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 3C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 2D 30 P,Q 140 14E 65 G,I,J,P,Q 290 4F 65 I,J,P,Q 260 5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 12,5I 35 J,P,Q 195 10J 50 P,Q 160 11K 20 P,Q 130 15L 30 M,N,P,O,Q 255 6,5M 20 N,O,P,Q 225 8N 50 O,P,Q 205 9O 45 P,Q 155 12,5P 50 Q 110 16Q 60 ********* 60 17

Tareas Tiempo Tareas predecesoras TiempoTotal ClasificA 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 3C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 2D 30 P,Q 140 14E 65 G,I,J,P,Q 290 4F 65 I,J,P,Q 260 5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 12,5I 35 J,P,Q 195 10J 50 P,Q 160 11K 20 P,Q 130 15L 30 M,N,P,O,Q 255 6,5M 20 N,O,P,Q 225 8N 50 O,P,Q 205 9O 45 P,Q 155 12,5P 50 Q 110 16Q 60 ********* 60 17

Pasos 1 y 2Pasos 1 y 2Tareas seleccionadas segTareas seleccionadas segúún clasificacin clasificacióónn

Tareas Tiempo Tareas predecesoras Tiempo Total Clasific.A 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 2C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 3D 30 P,Q 140 4E 65 G,I,J,P,Q 290 5F 65 I,J,P,Q 260 6,5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 8I 35 J,P,Q 195 9J 50 P,Q 160 10K 20 P,Q 130 11L 30 M,N,P,O,Q 255 12,5M 20 N,O,P,Q 225 12,5N 50 O,P,Q 205 14O 45 P,Q 155 15P 50 Q 110 16Q 60 **** 60 17

Tareas Tiempo Tareas predecesoras Tiempo Total Clasific.A 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 2C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 3D 30 P,Q 140 4E 65 G,I,J,P,Q 290 5F 65 I,J,P,Q 260 6,5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 8I 35 J,P,Q 195 9J 50 P,Q 160 10K 20 P,Q 130 11L 30 M,N,P,O,Q 255 12,5M 20 N,O,P,Q 225 12,5N 50 O,P,Q 205 14O 45 P,Q 155 15P 50 Q 110 16Q 60 **** 60 17

Paso 3 y 4Paso 3 y 4

DiseDiseññado por Rubado por Rubéén Soto T. Diciembre de 1998.n Soto T. Diciembre de 1998.

Estación Clasific Tarea Tiempo Tiempo Total Tiempo Ocios1 1 A 40 40 1401 2 C 55 95 851 3 B 50 145 351 4 E 65 210 Negativo2 4 E 65 65 115

Asignción de Estaciones de trabajo para la producción de Cortadoras

Estación Tareas Tiempo TotalTiempo Ocios.1 A,B,C 145 352 E,F,G 160 203 I,L,M,N 135 454 D,H,J,K 170 105 P,Q 110 70

Estación Clasific Tarea Tiempo Tiempo Total Tiempo Ocios1 1 A 40 40 1401 2 C 55 95 851 3 B 50 145 351 4 E 65 210 Negativo2 4 E 65 65 115

Asignción de Estaciones de trabajo para la producción de Cortadoras

Estación Tareas Tiempo TotalTiempo Ocios.1 A,B,C 145 352 E,F,G 160 203 I,L,M,N 135 454 D,H,J,K 170 105 P,Q 110 70

Ciclo de tiempo actual = 170.Este se debe reducir a 160,moviendo “K” de la estac. 4a la estación 5.