82

Capitulo 4

Teoría de Líneas de Espera

4.1. Antecedentes A principios del siglo XX, a raíz de cierto trabajo publicado en el año de 1909 por A.

Erlang sobre el estudio de la congestión de llamadas telefónicas, surgió la hoy denominada

Teoría de Líneas de Espera ó Teoría de Colas. Después de este trabajo y de otros dos más

publicados también por Erlang, surge en 1951 el desarrollo formal de la Teoría de Colas

bajo un enfoque de procesos estocásticos y se debió al científico Kendall. Mas tarde en el

año de 1953, Kendall y Lee desarrollan la notación hasta el momento utilizada para

simbolizar las líneas de espera, notación que se mostrará y empleará mas adelante en estas

notas.

Observándose el libro de Prabhu1 (1965), a finales de 1960 ya existían amplios desarrollos

matemáticos asociados con el tema, diferenciándose, como hasta hoy en día, las Líneas de

Espera Markovianas, tratadas a través de lo que se conoce como la ecuación de

Kolmogorov (que veremos mas adelante), la cual tiene como fundamento la teoría básica de

Cadenas de Markov en Tiempo Continuo, y las No-Markovianas tratadas con la técnica

denominada Imbedded Markov Chains cuyo desarrollo es y ha sido bastante complejo.

4.2. Introducción a las Líneas de Espera

Hay numerosas situaciones en la vida práctica donde el estudio de líneas de espera goza de

especial interés y aplicación. Un ejemplo de esto es el análisis del tiempo de espera de los

pasajeros en la sala para abordaje en un aeropuerto, ó la cantidad de inventario de producto

en proceso almacenado temporalmente en espera de ser procesado, ó la espera de pacientes

en la recepción de un consultorio, ó la cola de camiones esperando a ser atendidos por

1 PRABHU, Narahari. Queues and Inventories. A study of their Basic Stochastic Processes. John Wiley & Sons. 1965. (Esta disponible en la Biblioteca de la Universidad del Valle)

83

personal especializado en los muelles de cargue y descargue en cierto centro de despachos,

etc. Observe que en general las esperas aquí señaladas no son del todo deseables, siendo en

todo caso ideal que la espera de los clientes sea nula y que por tanto no existan colas. Sin

embargo, el desear que los camiones no esperen, que los pacientes con necesidad de

atención nunca tengan que esperar, etc., es algo que generalmente se queda sólo en deseos,

ya que en la practica es difícil de lograr. Lo que sí se puede hacer es minimizar la espera.

En la mayoría de sistemas empresariales la condición de �no cola� ó �no espera� es algo

que se lograría con muy altos niveles de eficiencia, donde normalmente el costo de lograr

esa eficiencia es mayor que el costo asociado a las citadas esperas. Entonces, dado que toca

lidiar con esperas de productos, de personas, de vehículos, de materias primas, etc., es

bastante pertinente estudiar los indicadores del sistema de espera en cuestión, siempre

tratando de mejorar la eficiencia global.

Todos los sistemas de colas tienen la estructura general que se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1. Componentes de un Sistema de Espera

Detalle la existencia de los Clientes, de los Servidores que prestan atención a esos clientes,

y de la Cola que se forma por la aleatoriedad del funcionamiento del sistema.

C1

C2

Cp

Cola Entrada al Sistema

ServidoresSalida del Sistema

Clientes Potenciales

84

Existen además otros elementos como los siguientes:

• Proceso de Llegada: representa la forma en que la llegada de clientes ocurre. Un dato

importante que se maneja en el proceso de llegada es el Tiempo entre Llegadas de

clientes, el cual puede ser determinístico (constante), ó probabilístico (asociado a cierta

distribución de probabilidad). También se considera si las llegadas de clientes son

individuales ó por grupos (batches), en cuyo se debe tener el dato del tamaño del batch.

• Proceso de Atención: El proceso de atención se representa generalmente por el tiempo

que tarda la atención de un cliente ó Tiempo de Servicio. Este tiempo puede ser

deterministico, es decir, cualquier cliente es atendido en un tiempo exactamente igual, ó

probabilistico, en cuyo caso debe definirse la distribución de probabilidad del tiempo de

atención de un cliente. También se define si la atención se hace individual ó por

batches.

• Numero de Servidores: Un sistema puede tener un solo servidor ó varios en paralelo

como el caso de algunas entidades financieras. Puede observarse aquí la figura 4.2,

donde se muestran además sistemas de servidores en serie, con una común ó en cambio

varias colas.

• Capacidad del Sistema: Un sistema de espera se dice que tiene capacidad infinita

cuando no tiene restricciones respecto al tamaño que pueda alcanzar la cola.

85

Figura 4.2. Estructuras clásicas de sistemas de espera

Generalmente la cola se vuelve de capacidad finita por motivos de restricciones de

espacio. Por ejemplo, la cola de ordenes de compra en un Departamento de Compras

(que se trata de un grupo de documentos a procesar) es de capacidad infinita, ya que

físicamente es posible almacenar un gran numero de ordenes de compra pendientes por

procesar en un archivador ó mejor aún en un archivo electrónico en el computador.

Diferente es el caso de entidades físicas de gran tamaño, como son las personas ó las

máquinas, donde, por ejemplo, en un banco no caben más de 50 personas en fila, ó el

numero de maquinas por reparar en determinado taller no debe exceder de 4, por

restricciones de capacidad.

• Disciplina de Atención: aquí se considera la forma en que se seleccionan los clientes

de la cola con el fin de atenderlos. Lo usual es que se use la disciplina FIFO ó

atención en orden de llegada. Otra estrategia es con el enfoque de prioridad y otra

aleatoria.

El análisis de sistemas de espera a través de la Teoría de Colas se justifica mayormente en

virtud de que los mencionados sistemas operen en forma aleatoria: la llegada de un cliente

y su tiempo de atención no se conocen con anticipación, ó son totalmente

probabilísticos. De conocerse ambos con exactitud podría no ser un problema mayor el

analizar el sistema de espera sin emplear las formulas que veremos aquí.

En éstos estudios se hacen normalmente ciertas preguntas de análisis:

• Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser

atendido?

86

• Cuánto demora el Servidor en atender al cliente o en procesar un producto?

• Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila?

Pero también se suelen hacen ciertas preguntas relacionadas con el diseño del sistema:

• Cuántos recursos o servidores deben emplearse para proporcionar un servicio

aceptable?

• Los clientes esperarán en una fila o en varias filas?

• Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o productos puedan esperar?

4.3. Simbología General

4.3.1. Elementos generales

Servidores

� c = Número de servidores.

� µ = Tasa de servicio ó el número promedio de clientes que se atienden por unidad

de tiempo.

� Disciplina de atención a clientes (FIFO, LIFO, Prioridad, Aleatoria).

� Colocación de los servidores (en Paralelo, en Serie ó en Red).

� Atención individual ó en grupos.

Clientes

� n = Numero de clientes en el sistema (tanto en fila como en los servidores)

� N = Numero máximo permisible de clientes en el sistema

� λ = Tasa de Llegadas ó Numero promedio de llegadas de clientes por unidad de

tiempo

� Población finita o infinita

� Llegadas individuales ó en grupos.

Cola

87

� Lq = Numero promedio de clientes en cola

� L = Numero promedio de clientes en el sistema (en cola y en servicio)

� Tamaño de la Cola (Finita o Infinita)

� Forma de Salir de la Cola.

4.3.2. Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de Colas

Relacionados con el Tiempo :

W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema (tanto en cola como en

servicio)

Wq = Tiempo promedio de espera de un cliente en cola

Relacionados con el Número de Clientes:

L = Número promedio de clientes en el sistema

Lq = Número promedio de clientes en la cola

Pw = Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.

Pn = Probabilidad de que existan �n� clientes en el sistema.

Po = Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema.

Pd = Probabilidad de negación de servicio, o probabilidad de que un cliente que llega

no pueda entrar al sistema debido que la �cola está llena�

Otros Indicadores:

U = utilización de los servidores ó número de clientes promedio atendidos por

servidor por unidad de tiempo

ρ = intensidad de tráfico del sistema

88

4.4. Naturaleza estocástica de los sistemas de espera Cualquier sistema de colas pasa por 2 fases según la figura 4.3: La fase transitoria y la

fase estable.

Figura 4.3. Fases de los sistemas de espera

Si deseamos evaluar un sistema de espera y obtener, por ejemplo, el indicador de tiempo de

espera promedio de un cliente, lo más pertinente es obtener la información estadística de

tiempos de espera de cada cliente (para después promediarlos y sacar el indicador) una vez

el sistema haya evolucionado un poco en el tiempo ó después de que ya hayan llegado

cierto número de clientes. Lo que ocurre es que cuando un sistema de espera recién esta

evolucionando (llegan los primeros clientes) el comportamiento que ocurra con esos

clientes es altamente sensible a las condiciones iniciales del sistema, el sistemas recién se

está acomodando y se encuentra en una Fase Transitoria. Las estadísticas que logremos en

esta primera fase no pueden por tanto considerarse como indicadores globales que

caractericen el desempeño del sistema. A medida que el tiempo pasa, el sistema empieza a

comportarse de una manera estadísticamente estable, y es porque se ha llegado a una Fase

Estable. Es ésta última fase la que se estudia analíticamente y en mayor medida en teoría de

colas.

En la Fase Transitoria se suelen analizar procesos de Nacimiento Puro (sólo se analizan

Llegadas de clientes) ó Muerte Pura (sólo se analizan salidas de clientes del sistema), pero

Tiempo de Espera

Número de Clientes

FASETRANSITORIA

FASE ESTABLE

89

el estudio combinado de llegadas y salidas de clientes (procesos de Nacimiento y Muerte)

en esta fase ha resultado ser bastante complicado y más allá del alcance de muchos

estudiosos en el tema, surgiendo esta dificultad quizás por el hecho del comportamiento

estadísticamente inestable de la información en esta fase.

En la Fase Estable se estudian los procesos de Nacimiento y Muerte, siendo los más

abordados los sistemas de colas con distribución probabilística Poisson y servidores en

paralelo. De hecho, en la siguiente sección explicaré la importancia de la distribución

Poisson en los sistemas de espera.

4.4.1. El Fenómeno Poisson

Figura 4.4. Comportamiento probabilístico común en las Líneas de Espera

La figura 4.4 lo invita a recordar la estrecha relación entre la distribución exponencial y la

poisson. Veamos primeramente ésta relación desde el punto de vista de las ecuaciones de

probabilidad y posteriormente expondremos a manera de discurso la pertinencia de estas

dos distribuciones en los sistemas de espera.

4.4.1.1. Relación analítica entre la Poisson y la Exponencial

Proceso de Llegada de Clientes

Sea la variable aleatoria X igual al número de clientes que llegan al sistema de espera por

unidad de tiempo. Si esta variable discreta se distribuye Poisson, entonces:

f(x)

Distribución exponencial

p(x) Distribución Poisson

90

Donde:

λ = numero medio de llegadas por unidad de tiempo

λT = numero medio de llegadas en un intervalo específico de tiempo T

Ahora, dado que el número de clientes que llegan se comporte Poisson, entonces se cumple

que el tiempo entre dos llegadas consecutivas se distribuye exponencial con media β =1/λ

Sea la variable aleatoria Y el tiempo entre llegadas. Esta variable continua tiene entonces

la siguiente función de probabilidad:

Generalizando:

Proceso de Salida de Clientes

La generalización anterior se puede aplicar al proceso de salidas de clientes de la siguiente

manera:

Si el número de clientes atendidos por unidad de tiempo se distribuye Poisson con media µ

(promedio de clientes servidos por unidad de tiempo), entonces el tiempo entre dos salidas

consecutivas ó el tiempo de servicio se distribuye exponencial con parámetro 1/µ

unidades de tiempo.

{ },...1,0,!

)()( ∈==−

ksik

eTkXPTk λλ

0,)( ≥== − tetYf tλλ

0,)( ≥==−

tetYft

β

β f(x)

Y

p(x)

X

Si el número de eventos (por ejemplo, llegadas) en un momento dado se distribuye Poisson con una tasa media de eventos λ (eventos por unidad de tiempo), entonces el tiempo entre dos eventos consecutivos (tiempo entre llegadas) se distribuye exponencial con media 1/λ unidades de tiempo. (ó al revés).

91

Un supuesto general en sistemas de espera que se considera aceptable desde el punto de

vista lógico y practico, es que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio se

comporten según la función exponencial. ¿Porqué?

4.4.1.2. Pertinencia del Fenómeno Poisson en sistemas de espera

Puede ser lógico iniciar nuestro razonamiento pensando que la teoría analítica de colas

busca estudiar sistemas de espera que tiendan a la congestión. Por un lado, es razonable

que así sea dado que nos interesa estudiar sistemas donde la espera sea un real problema, y

por otro lado, algo interesante de observar es que la tendencia a la congestión es

precisamente lo que nos sugiere el anterior supuesto general asociado al fenómeno Poisson.

Notemos que al considerar el tiempo entre llegadas exponencial, apoyados por la figura

4.5, se asume que es altamente probable que el tiempo entre llegadas tienda a ser bajo con

lo que se permite desde el punto de vista estocástico la existencia de la congestión y la cola.

Figura 4.5. Tiempo entre llegadas exponencial

De otro lado, si consideramos el tiempo de servicio exponencial, apoyados ahora por la

figura 4.6, podemos decir que en sistemas congestionados ó con cola, tiende a agilizarse el

tiempo de servicio, siendo poco probable que ante la necesidad de una rápida atención el

tiempo de servicio sea mucho mayor que la media. En este caso, existe una alta

probabilidad de ganar eficiencia en los sistemas de atención mejorando los tiempos de

servicio respecto al valor medio.

f(x)

Tiempo entre Llegadas

1/λ

92

Figura 4.6. Tiempo de servicio exponencial

Además de lo anterior, los sistemas de espera que tienen este comportamiento exponencial

y que por tanto están inmersos dentro del fenómeno Poisson, se dice que son sistemas

totalmente aleatorios por la propiedad especial de pérdida de memoria de la distribución

exponencial. Veamos con un ejemplo esta importantísima propiedad.

Sean dos segmentos de tiempo consecutivos s y r, siendo �s� un período de tiempo pasado

y �r� un periodo de tiempo futuro.

Se dice que lo que ocurrirá en el tiempo r es independiente probabilísticamente de lo que haya ocurrido en s, simbolizándose esto generalmente como:

P ( t > r+s / t > s) = P ( t > r )

Por ejemplo, responda la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que hayan llegado

12 clientes en 4 horas, si se conoce que en las primeras tres horas llegaron 9 clientes?

Cualquier lector desprevenido podría hacer una simple regla de tres y decir que, dado que

en las primeras tres horas llegaron 9 clientes entonces en las cuatro horas completas la

f(x)

Tiempo de Servicio

1/µ

Segmentos de Tiempo

s r

Situación actual

3 horas 1 hora

9 clientes3 clientes ?

93

probabilidad de que hayan llegado 12 clientes es bastante alta, arriesgándose a decir que es

casi uno. Pero en las llegadas poisson, el pasado carece de importancia. Veamos lo que

ocurre.

P(4 horas !12 clientes / 3 horas ! 9 clientes) = ?

P (1 hora ! 3 clientes) = ?

Asumiendo una tasa de llegada de clientes λ = 3 clientes/hora y un intervalo de tiempo T =

1 hora, calculamos la probabilidad de que hayan 3 llegadas en una hora:

Luego: P(4 horas !12 clientes / 3 horas ! 9 clientes) = 22,4%

Observe que la probabilidad no era tan alta como quizás alguien pensó.

En este ejemplo se observa entonces porqué esta propiedad de pérdida de memoria

convierte a los procesos poisson en procesos totalmente aleatorios.

4.4.2. Empleo de la Poisson en Nacimiento Puro y Muerte Pura

Veamos el siguiente ejemplo tradicional de Nacimiento Puro. Suponga que los nacimientos

en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial,

presentándose un nacimiento cada 8 minutos en promedio.

� ¿Cual es la probabilidad de que no hayan nacimientos en 1 día?

� ¿Cual es la probabilidad de emitir 54 actas de nacimiento en 3 horas si en las

primeras 2 horas se emitieron 38 actas?.

Se omitió el pasado

Equivale a preguntar

%4,22!3

)()3(3

===− tetXP

λλ

94

Como el tiempo entre llegadas (entre nacimientos) es de 8 minutos, entonces la tasa de

nacimiento en el país se calcula como:

==×= diasnacimiento /1808

6024λ 7,5 nacimientos / hora

La probabilidad de que no hayan nacimientos en un día es, siendo T = 1 día:

0!0

)1180()0(11800

1 ≅×==×−

=eXP T

En la segunda pregunta debemos recordar pérdida de memoria de la exponencial:

P(3 horas ! 54 actas / 2 horas ! 38 actas) = P (1 hora ! 16 actas) = ?

%26,0!16

)15,7()16(15,716

1 =×==×−

=eXP T

Como ejemplo de Muerte Pura obsérvese el siguiente ejemplo. Al inicio de cada semana, se

almacenan 15 unidades de un artículo para ser utilizados durante la semana. Los retiros de

productos siguen una distribución Poisson con media 3 unidades/día. Cuando el nivel de

existencias llega a 5 unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades que llegará

iniciando la semana siguiente. Debido a la naturaleza del artículo se desechan todas las

unidades que sobran al final de la semana. Se le pide a usted que intente determinar,

asumiendo la semana de 6 días hábiles, la probabilidad de que al cuarto día de la semana el

nivel de existencias llegue al punto crítico de 5 unidades.

4.5. Los Sistemas de Espera y las Cadenas de Markov

Se habló anteriormente de que las colas que se asociaban a fenómenos estocásticos Poisson

se consideran como procesos totalmente aleatorios. Ahora podemos empezar a recordar

95

que así mismo eran consideradas a las Cadenas de Markov Ergódicas en tiempo discreto

vista anteriormente.

Pero los procesos de �nacimiento y muerte�, como generalmente se les conoce a los

sistemas de colas, vienen a comportarse de mejor manera como un proceso estocástico

enmarcado dentro del concepto de Cadenas de Markov en Tiempo Continuo, el cual asume

que los cambios de estado pueden ocurrir en un tiempo ∆T pequeño.

Un Sistema de Espera puede modelarse como un proceso estocástico markoviano en el cual

la variable aleatoria se define como el número de clientes en el sistema, n, en un momento

dado, donde los distintos valores de n vienen a ser los estados del proceso estocástico

markoviano.

El conjunto de valores que puede tomar la variable n es {0 ,1 , 2 , ��, N} y cada uno de

ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia {P0 , P1 , P2 , ��, PN}. Estas

probabilidades se denominan probabilidades de estado estable del sistema de espera y se

calculan dentro de un proceso markoviano asumiendo ergodicidad tal como se mostrará a

continuación.

4.5.1. Calculo de las probabilidades Pn en Sistemas de Espera

Considerando un proceso markoviano en tiempo continuo, se define un intervalo ∆t muy

pequeño que asegure el cumplimiento del siguiente postulado:

! Solamente puede ocurrir una llegada ó una salida entre un t y t + ∆t

Figura 4.7. Esquema de transición de estados asumiendo un ∆t pequeño

n -1 n n +1

µn µn+1

λ n-1 λn

96

De la figura 4.7 se deduce que, estando en el estado n, sólo se puede pasar al estado n+1

(ocurre una llegada) ó al estado n-1 (ocurre una salida).

Observe también que La Tasa de Llegada λn y la Tasa de Servicio µn dependen del estado

en que se encuentre el sistema en un determinado momento.

Tasa de llegada constante en Colas con capacidad FINITA:

=−=

=Nnsi

Nnsin 0

1....,2,1,0λλ

Tasa de llegada constante en Colas con capacidad INFINITA:

nn ∀= λλ

Tasa de servicio igual para cada uno de los servidores:

+=−=

==

,...1,1....,2,1

00

ccnsiccnsin

nsi

n

µµµ

Distribución de las llegadas

Con el conocimiento anterior, la distribución de probabilidad que define la llegada de un

cliente al sistema está dada por la distribución Poisson expresada como:

!)/(

00

)( 0

xntxXP et tx

n∆−∆=∆=

λλ

Pero como de hecho x0 = 1, entonces, la probabilidad de que ocurra una llegada en ∆t, es

decir, de pasar del estado n al estado n + 1, es por tanto:

1,...,2,1,0)(1,

−=∆≅∆= ∆−

+Nntt n

tnnn ep n λλ λ

Distribución de las Salidas

la distribución de probabilidad que define la salida de un cliente del sistema está dada por

la distribución Poisson expresada como:

La cola ha alcanzado su límite y por lo tanto no pueden llegar más clientes.

Si el número de clientes en el sistema es �mayor o igual a c�, la tasa de atención es entonces cµ.

97

!)/(

00

)( 0

xntxXP et tx

n∆−∆=∆=

µµ

De nuevo se tiene que x0 = 1, y entonces la probabilidad de que ocurra una salida en ∆t, es

decir, de pasar del estado n al estado n - 1, es por tanto:

,...,2,1)(1,

=∆≅∆= ∆−

−ntt n

tnnn ep n µµ µ

Distribución cuando no hay ni llegadas ni salidas en ∆t

En este caso se busca la probabilidad de que partiendo de un estado n el sistema continúe

en este estado después de ∆t.

Puesto que lo que puede ocurrir son tres cosas únicamente: una llegada, una salida ó

ninguna de las dos, estos tres eventos forman un espacio muestral y por lo tanto:

,...,2,11,

=∆−∆−≅ ntt nnnnp µλ

Resumamos los tres resultados anteriores:

1,...,2,1,0)(1,

−=∆≅∆= ∆−

+Nntt n

tnnn ep n λλ λ

,...,2,1)(1,

=∆≅∆= ∆−

−ntt n

tnnn ep n µµ µ

,...,2,11,

=∆−∆−≅ ntt nnnnp µλ

Si consideramos un sistema de espera con capacidad finita N, entonces podemos construir

la siguiente matriz de probabilidades de transición, teniendo en cuenta que solo de un

estado n se puede pasar a n+1 ó a n-1 con cierta probabilidad:

Ecuaciones de Kolmogorov

98

Figura 4.8. Esquema de la matriz de probabilidades de transición de estados en ∆t

No es mayor problema observar que la matriz de la figura 4.8 tiene una sola clase

recurrente aperiódica y que por lo tanto es ergódica, teniendo un único estado estable.

Construyendo las ecuaciones de estado estable de la matriz y reemplazando los valores Pij

por sus equivalentes Pn,n+1 ó Pn,n-1 ó Pn,n según convenga.

Veamos:

P0 = P00P0 + P10P1 = (1-λ0∆t)P0 + (µ1∆t)P1

P1 = P01P0 + P11P1+ P21P2 = (λ0∆t)P0 + (1- λ1∆t - µ1∆t)P1 + (µ2∆t)P2

P2 = P12P1 + P22P2+ P32P3 = (λ1∆t)P1 + (1- λ2∆t - µ2∆t)P2 + (µ3∆t)P3

�

PN-1 =PN-2, N-1PN-2 + P N-1, N-1PN-1+ PN, N-1PN = (λN-2∆t)PN-2+(1-λN-1∆t-µN-1∆t)PN-1 + (µN∆t)PN

PN = PN-1, NPN-1 + P N, NPN = (λN-1∆t)PN-1 + (1-µN∆t)PN

P0 + P1 + P2 + �.+ PN = 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores y despejando las probabilidades Pn se

obtiene:

PP 0

1

01 µ

λ= , PP 0

21

102 µµ

λλ= , PP 0

321

2103 µµµ

λλλ= , y en general so obtiene que:

−

−

−−−

NNNN

NNNN

pppp

ppppp

ppppp

NN

1,

,11,1

3332

232221

121110

0100

...0000

...0000.....................00...0000...000...000...00

1...3210

0 1 2 3 � N-1 N

99

PPn

nn 0

321

1210

....

....

µµµµλλλλ −=

4.5.2. Ejemplo Ilustrativo

Se desea encontrar el número de pacientes promedio en el consultorio de un doctor. Para

ello se realizaron un total de 73 observaciones con intervalos de 5 minutos entre cada

observación, registrando en cada ocasión el número de pacientes en el consultorio. En la

siguiente tabla se clasifica la información según la relación existente entre las

observaciones consecutivas distanciadas en el tiempo cada 5 minutos.

Esta matriz no es una matriz estocástica ó de probabilidades de transición, sino que se trata

de una matriz que contiene el numero de transiciones observadas. Si ponemos un poco

de cuidado, podemos advertir que en un total de 73 observaciones se pueden verificar 72

transiciones. ¿Porqué? Verifique.

La interpretación de la matriz anterior es la siguiente. El numero �3� en la esquina superior

izquierda indica que de las 72 transiciones, en tres de ellas se tuvo el caso que partiendo de

cero pacientes en el consultorio, cinco minutos después también el consultorio permanecía

sin pacientes (es decir, no salieron ni llegaron pacientes en esos cinco minutos). Por su

parte, el valor de �10� significa que al estar en un estado inicial de 3 pacientes, en diez

Este resultado es el usado mundialmente para la deducción de las formulas analíticas de Teoría de Colas.

10001001005555554107800253

Estado Actual

Estado Futuro0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

Estados → {0,1,2,3,4}

Número de pacientes en el consultorio

100

ocasiones se tuvo el caso que cinco minutos después el consultorio tenía 2 pacientes (es

decir, había salido un paciente).

Ahora debemos comprobar si el sistema de espera de pacientes se comporta según una

distribución Poisson. Una forma de comprobarlo es calculando la media y la desviación

estándar tanto de las llegadas como de las salidas. Por ejemplo, si al analizar el número de

llegadas se tiene que la media de llegadas es igual a la desviación entonces puede decirse

que las llegadas se comportan Poisson2. Así mismo se hace con las salidas de clientes,

donde también debe coincidir la media con la desviación para poder afirmar que el sistema

de espera lo cobija un proceso Poisson. Ahora, observando la matriz de transiciones

anterior se obtiene la siguiente información (Verifíquela!):

LLEGADAS

Media de llegadas = λ = 1,02 llegada/5 min

Desviación Estándar = 1,04

Media de llegadas ≈ Desviación Estándar ! Poisson

SALIDAS

Media de salidas = µ =1,06

Desviación Estándar = 1,008

Media de llegadas ≈ Desviación Estándar ! Poisson

Por lo anterior se deduce que: El Proceso de espera de Pacientes es Poisson!!

A partir de aquí hay dos caminos posibles a tomar: el primero es usar cadenas de markov y

hacer algo similar a lo que anteriormente hicimos para hallar Pn, y el segundo método

consiste en aprovechar el resultado general ya obtenido también con cadenas de markov

para Pn. Luego, con las probabilidades ya obtenidas se encuentra el numero promedio de

pacientes L (pregunta que se debe responder) como se mostrará posteriormente.

Método 1: Empleo de cadenas de markov

2 Dado que la Poisson tiene la propiedad de que su media y su desviación estandar tienen el mismo valor.

101

Podemos ahora construir con base en la matriz de transiciones, la Matriz de

Probabilidades de Transición de un paso:

El grafo asociado a la matriz P anterior es el siguiente:

Partiendo de la matriz P, se hallan las probabilidades de estado estable con el método

tradicional, lográndose los siguientes resultados:

Con éstas probabilidades hallamos intuitivamente L de la siguiente manera:

L = 0 x P0 + 1 x P1 + 2 x P2 + 3 x P3 + 4 x P4

L = 0 x 0.355 + 1 x 0.310 + 2 x 0.122 + 3 x 0.041 + 4 x 0.173

L = 1.37 pacientes

10001001005555554107800253

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

01234

5.00005.00066.0033.02.02.02.02.02.02.005.0035.04.0

002.05.03.0

P =

0 1

2

3 4

Esta es una matriz con clase única recurrente aperiódica (verifíquelo!), por tanto ergódica y con un único Estado Estable.

P0 = 0.355, P1 = 0.310, P2 = 0.122, P3 = 0.041, P4 = 0.173

102

Método 2: empleando la formula general para Pn

Dado que el caso es de una cola con Capacidad Finita (caben sólo 4 personas en el

consultorio) y un solo servidor (c = 1):

==

=40

3,2,1,0/02,1nsinsitiempodeunidadllegadas

nλ

==

=00

4,3,2,1/06,1nsinsitiempodeunidadsalidas

nµ

Figura 4.9. Diagrama de Tasas para el ejemplo ilustrativo

Se calculan las probabilidades Pn de acuerdo al diagrama de tasas del problema de la figura

4.9.

PP 0

1

01 µ

λ= , PP 0

21

102 µµ

λλ= , PP 0

321

2103 µµµ

λλλ= �..

PP 01 )06,1()02,1(=

PP 02 )06,1)(06,1()02,1)(02,1(=

PP 03 )06,1)(06,1)(06,1()02,1)(02,1)(02,1(=

PP 04 )06,1)(06,1)(06,1)(06,1()02,1)(02,1)(02,1)(02,1(=

Puesto que ! P0 + P1 + P2 + P3 + P4 = 1, entonces:

1 2 3

µ1 µ3

λ0

0 4

λ1 λ2 λ3

µ2 µ4

P1 = 0.962 P0

P2 = 0.925 P0

P3 = 0.89 P0

P4 = 0.856 P0

103

Con éstas probabilidades hallamos de nuevo intuitivamente L de la siguiente manera:

L = 0 x P0 + 1 x P1 + 2 x P2 + 3 x P3 + 4 x P4

L = 0 x 0.216 + 1 x 0.207 + 2 x 0.198 + 3 x 0.192 + 4 x 0.184

L = 1.915 pacientes

Compare éste resultado con el del anterior método. Piense un poco y diga ¿a qué se deben

las diferencias?. En general, se estima que el método 2 es una adecuada aproximación del

análisis estocástico a un sistema de espera siempre que éste se comporte según un proceso

Poisson.

Ahora supongo que no tiene dudas de la relación existente entre la Teoría de Líneas de

Espera y las Cadenas de Markov.

4.6. Fórmulas de Little Una vez obtenidas las probabilidades Pn de los diferentes estados, se pueden obtener los

siguientes indicadores del sistema de espera.

L ! Promedio de clientes en el sistema Se calcula como la esperanza matemática de los estados del sistema: Lq ! Promedio de clientes en la cola

P0 = 0.216, P1 = 0.207, P2 = 0.198, P3 = 0.192, P4 = 0.184

∑∞

=

=0n

nnPL ∑=

=N

nnnPL

0

Numero posible de estados: Infinito

Numero posible de estados: finito

104

Considerando lógicamente que existirá cola siempre y cuando n > c, dado que si el número

de clientes en el sistema es menor o igual al número c de servidores entonces no habría

cola, se tiene las siguientes ecuaciones mostrándose también el caso infinito y finito:

λ ! Tasa Efectiva de Llegada Promedio ponderado de las tasas de llegada: Fórmulas de Little W ! tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema Wq! tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola Los anteriores resultados suponen el sistema de espera está en estado estable, es decir, se desarrollaron bajo la suposición de que los valores de λn y µn son tales que el sistema de hecho puede alcanzar la condición de estado estable. Realmente, el estado estable se alcanza siempre es dos situaciones: • En todos los sistemas de espera con capacidad finita • En los sistemas de espera con capacidad finita ó infinita cuando λ/(cµ) < 1,

simbolizándose también como ρ = λ/(cµ) < 1. ¿Argumente qué ocurriría con el sistema de espera si ρ ≥1? ¿Cuál es la característica de la inestabilidad? 4.7. Notación de Kendall-Lee

Esta notación es aplicable a servidores en paralelo y fue propuesta en 1951 por Kendall y

mejorada en 1953 por el trabajo de Kendall-Lee.

∑∞

=−=

cnnq PcnL )( ∑

=−=

N

cnnq PcnL )(

∑∞

=

=0n

nnPλλ ∑=

=N

nnnP

0

λλ

λLW =

λLqWq =

105

La simbología A/ B /C : D /E /F, como se verá a continuación, intenta caracterizar plenamente a un sistema de espera con servidores en paralelo, donde:

A = Distribución probabilística de las llegadas: M (Poisson), D (deterministica), Ek

(Erlang), G (General).

B = Distribución del tiempo de servicio: M (Exponencial), D (deterministica), Ek (Erlang),

G (General).

C = Número de servidores en paralelo: c = 1, 2, 3, ..., ∞

D = Disciplina de servicio: FIFO, LIFO, Aleatoria, Prioridad, Disciplina General-DG.

E = Número máximo admitido de clientes en todo el sistema: N, ∞

F = Tamaño de la población de clientes: FINITO (K), ∞

Un ejemplo de la utilidad de la notación anterior, dado que será en lo sucesivo empleada, es

la siguiente:

Sistema de Colas M/ D / 15 : DG / N / ∞

M significa que se tienen llegadas tipo Poisson (markovianas); D, significa que se tienen

tiempo de servicio o de salidas determinístico (constante); se tienen 15 servidores en

paralelo; la disciplina de servicios es general; N significa que el sistema sólo puede alojar a

un máximo de N clientes; ∞ es para indicar se tienen una población de clientes infinita o

fuente de llegada de clientes infinita.

Sistema de Colas M/ M / 4 : DG / ∞ / ∞

1

2FILA

Entrada al Sistema

Servidores

Salida del Sistema

c

SimbologíaA/ B /C : D /E /F

106

Sistema con llegadas y salidas Poisson, 4 servidores en paralelo, disciplina de servicio

general, el sistema tiene capacidad ilimitada para recibir clientes y tiene una población de

clientes infinita.

Sistema de Colas M/M/R : DG/K/K (R<K) corresponde por ejemplo al modelo de

servicio de reparación de máquinas. Se dispone de "R" técnicos en reparaciones para dar

servicio a un total de "K" maquinas. Como una máquina descompuesta no puede generar

nuevas llamadas mientras esta en servicio, el modelo es un ejemplo de fuente de llamadas

finita. Además tanto el proceso de llegadas como el de servicio son probabilísticos y de

markov.

Sistema de Colas G/D/2 : DG/10/∞ corresponde a un sistema de líneas de espera con un

proceso de llegadas arbitrario, con tiempo de atención determinístico (constante), con 2

servidores, una capacidad máxima de recepción de clientes de 10 y fuente de clientes

potenciales infinita.

Los modelos M/M/c, es decir con proceso de llegada y atención de clientes Poisson ó

Markoviano con c servidores, son los que analíticamente permiten un tratamiento no tan

riguroso y serán estudiados a continuación. Para los demás sistemas de colas, con otro

comportamiento probabilistico, es recomendable emplear la simulación para su análisis ya

que los procedimientos analíticos son bastante complejos y algo confusos para un usuario

poco adiestrado en altas matemáticas. Lo bueno de todo es que el estudio analítico de las

colas M/M/c son altamente útiles dado que como se vió en la anterior sección, la mayoría

de los sistemas de espera se comportan según la Distribución Probabilística Poisson.

4.8. Modelos Básicos de Líneas de Espera

107

En la sección 4.6 estudiamos las principales medidas de efectividad de un sistema de

espera, y pudimos notar que previo al cálculo de esos indicadores deben hallarse las

probabilidades Pn.

Dado que muchas de las formulas de sistemas de espera parecen ser bastante complicadas y

en algunas ocasiones asustan a ciertos estudiosos principiantes, observaremos aquí que para

hallar las medidas de efectividad no se requiere de complejas matemáticas, siendo en

general necesario tener en cuenta los siguientes cinco resultados, los dos primeros ya

demostrados y los siguientes tres son teoremas de convergencia de series geométricas:

PPn

nn 0

321

1210

....

....

µµµµλλλλ −=

P0 + P1 + P2 + �. + Pn = 1

1,1

1

1,)1(

1

1,1

1

1

0

21

1

0

≠−

−=

<−

=

<−

=

+

=

∞

=

−

∞

=

∑

∑

∑

xsix

x

xsix

n

xsix

NN

n

n

n

n

n

n

x

x

x

En lo sucesivo se hará referencia a estos cinco resultados, enunciándolo por ejemplo como:

�de acuerdo al resultado A�, etc.

4.8.1. Sistemas de Espera [M/M/1 : DG/∞/∞]

A

B

C

D

E

108

Se discutirán aquí sistemas de espera con un único servidor. Asumamos un proceso de

nacimiento-muerte con una tasa de llegada por unidad de tiempo constante λ (nacimiento)

y una tasa de servicio por unidad de tiempo µ (muerte).

Si λ > µ , la cola crecerá infinitamente. A ρ = λ/µ, se le conoce como intensidad de tráfico

ó factor de utilización del servidor, y concluimos por tanto que para que un sistema de

espera como estos tenga estabilidad y sea viable analizarlo es porque ρ < 1.

Antes de observar un ejemplo representativo, encontremos algebraicamente las medidas de

efectividad del sistema de espera [M/M/1 : DG/∞/∞].

Por el resultado A se tiene que:

P1 = ρP0, P2 = ρ2P0 ���..Pn = ρnP0

Atendiendo al resultado B, obtenemos:

P0 (1 + ρ + ρ2 + �.+ ρn) = 1

! P0 = 1/ (1 + ρ + ρ2 + �.+ ρn) , y por el resultado C se tiene que: P0 = 1 - ρ

Por lo tanto: Pn = ρn(1- ρ)

Cuando las probabilidades de estado estable son conocidas, las otras características pueden

ser calculadas:

Por conveniencia hacemos esta transformación:

Empleando ahora el resultado D, obtenemos: L = ρ/(1-ρ)

1 2 3

µ µ

λ

0

λ λ

µ

��..

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=−=−==

000)1()1(

n

n

n

n

nn nnnPL ρρρρ

∑∑∞

=

−∞

=−=−=

1

1

0)1()1(

n

n

n

n nnL ρρρρρ

ρ−=−−=−=−=−= ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=LPLPnPPnPcnL

nn

nn

nn

nnq )1()1()( 0

1111

W = L/λ

109

Por lo tanto : Lq = ρ2/(1-ρ)

Ejemplo 1:

Considere la operación de prensado mostrada en la figura de abajo. Después de que las

partes son calentadas en el Horno, ellas arrivan a la Prensa con una tasa entre llegadas

exponencialmente distribuida de un décimo de hora. El proceso de prensado toma en

promedio 5 minutos. Encuentre los siguientes valores:

1. El porcentaje de tiempo que la Prensa está ociosa

2. El numero promedio de partes en el sistema

3. La longitud promedio de la cola

4. El tiempo total invertido por una unidad en el sistema (throughput time)

5. El tiempo invertido en la cola

El factor de utilización es ρ = 0,833 (puesto que ρ<1, se continua el análisis para el estado

estable).

1. La probabilidad de que la Prensa esté ociosa, es igual a la probabilidad de que

ningún trabajo esté en servicio ni esté esperando, es decir, P0. Por lo tanto se

calcula P0 = 1- ρ = 0,167. La Prensa estará ociosa el 16,7% del tiempo.

2. El numero promedio de partes en el sistema es L. Por tanto la calculamos asi:

L = ρ/(1- ρ) = 5 partes. En este contexto puede verse a L como el WIP promedio.

3. La longitud promedio de la cola es Lq = L � ρ = 4,167 partes.

4. El throughput time es W = L/λ = 0,5 horas.

5. El tiempo invertido por unidad en la cola es Wq = Lq/λ = 0,4167 horas = 25 min.

Wq = Lq/λ

µ = 12 partes/horaλ = 10 partes/hora

Horno Prensa

110

Observe que en este caso se suponen sistemas de capacidad de cola infinita y clientes

potenciales infinitos.

También en este ejemplo podrían preguntarnos:

6. Cuál es el numero promedio de partes que pasaron por la Prensa?. Aquí nos

preguntan por Ls = L - Lq = ρ = 0,83 partes.

7. Cual es el tiempo promedio que una parte está en el proceso de Prensado?. Aquí

nos preguntan por Ws = Ls/λ = 1/µ = 0,083 horas = 5 minutos

4.8.2. Sistemas de Espera [M/M/c : DG/∞/∞] Recordemos que:

....,2,1,0== nsin λλ

+=−=

==

,...1,1....,2,1

00

ccnsiccnsin

nsi

n

µµµ

Para encontrar las medidas de efectividad del sistema de espera [M/M/c : DG/∞/∞],

encontremos las probabilidades de estado estable Pn.

Para el caso de n < c, obtenemos por el resultado A lo siguiente:

cnparanP

n

n

n PP ,.....,2,1!210

0 =

=⋅⋅⋅⋅=µλ

µλ

µλ

µλ

Similarmente para el caso de n ≥ c, obtenemos por el resultado A lo siguiente: n

cn

cnc

n ccP

ccP

cc PP

=

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −

−

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

µλ

!!2100

0

Por lo anterior y se acuerdo al resultado B, despejamos P0 de la siguiente manera:

1

µ

λ

0 2

2µ

λ

c

cµ

λ

c+2

cµ

λ

c+1 �

cµ

λ

n

cµ

λ

�

n < c n ≥ c

111

∑ ∑−

=

∞

=

−

+

=1

0

0

!)/(

!)/(

1c

n cn

cncn

ccn

P

µλµλµλ

Note que la segunda sumatoria tiene la forma indicada en el resultado C, quedando por

tanto:

∑−

=

−

+=

1

0

0

)/(11

!)/(

!)/(

1c

n

cn

ccn

P

µλµλµλ

Haciendo la sustitución de ρ = λ/cµ se obtiene:

∑−

=

−

+=

1

0

0

11

!)(

!)(

1c

n

cn

cc

nc

P

ρρρ

++=

==

,....2,1!

,.....,2,1!

)(

0

0

ccnparaccP

cnparancP

Pnc

n

n ρ

ρ

Ahora sí podemos hallar todas las medidas de efectividad:

Como la última sumatoria puede asemejarme al resultado D de la siguiente manera:

21

1

1 )1()(

ρρρρρρ

−===− ∑∑∑

∞

=

−∞

=

∞

=

−

n

n

n

n

cn

cn nncn

Entonces se concluye que:

Lq = 20

1

)1(! ρρ−

+

cPc cc

Puede definirse tambien que L = Lq + (λ/µ).

∑∑∑∞

=

−∞

=

∞

=

−=−=−=cn

cncc

cn

nc

cnnq cn

cPc

Pc

ccnPcnL ρρρ )(!!

)()( 00

112

Ejemplo 2:

Una estación de trabajo en una compañía recibe unidades desde dos fuentes: un

subcontratista y un centro de maquinado de la misma compañía. La tasa de llegada desde

cada uno es Poisson con parámetro λ = 3 unid/min. La compañía a comprado otra estación

de trabajo idéntica para incrementar la producción (throughput). Cada estación tiene una

tasa de servicio µ = 7 unid/min. La empresa tiene tres opciones para el diseño del sistema:

a) Que todas las partes que provengan del subcontratista sean procesadas por la

estación de trabajo que actualmente se está utilizando, y que todas las unidades que

provengan del centro de maquinado sean procesadas por la nueva estación que se

va a adquirir.

b) Puesto que las partes que provienen del subcontratista son idénticas a las partes

provenientes del centro de maquinado, es posible combinar las dos estaciones de

trabajo con una tasa de servicio conjunta igual a 2µ, uniendo las partes de las dos

fuentes en una única cola.

c) Combinar las dos llegadas en una única cola pero mantener las dos estaciones de

trabajo separadas.

1. Defina los tres sistemas según la notación de Kendall-Lee

2. Determinar cuál de los tres sistemas ocasiona el tiempo de espera mas largo

para las partes que se procesan. Cual sistema resulta en el tiempo de espera

mas corto.

λ

λ

µ

µ

2λ 2µλλ

µ

µ 2λ

λ λ

113

3. Si la reducción del WIP es un criterio más importante que el tiempo de

espera en el sistema, muestre que el sistema c es preferible al sistema b.

Asuma que el WIP es medido como el numero promedio de unidades en la

cola.

Solución/

1. El sistema a lo conforman dos sistemas M/M/1 cada uno con parámetros λ = 3 y µ =

7, siendo ρ = 0,4285 para cada uno. El sistema b es un M/M/1 con parámetros 2λ =

6 y 2µ = 14, siendo ρ = 0,4285. El sistema c es un M/M/2 con parámetros 2λ = 6 y

µ = 7, siendo ρ = 0,8571.

2. Se hallará para cada sistema el indicador W y se establecerán comparaciones:

Wa = L/λ = ρ/[λ(1-ρ)] = 0,25 min

Wb = L/λ = ρ/[λ(1-ρ)] = 0,125 min

Para sistemas M/M/2, los indicadores resultan así:

P0 = (1-ρ)/ (1+ρ)

Lq = λ3/[µ(4µ2- λ2)]

Wq = Lq/λ = λ2/[µ(4µ2- λ2)]

W = Wq + 1/µ = 4µ/(4µ2- λ2)

Por lo tanto:

Wc = 0,175 min

Se observa entonces que Wa > Wc > Wb, siendo por tanto el sistema a el de mayor

tiempo de espera en el sistema y b el de menor, siendo éste el diseño escogido.

3. Para determinar el WIP comparamos Lq para los tres sistemas:

Lqa = ρ2/(1-ρ) = 0,321

Lqb = ρ2/(1-ρ) = 0,321

Lqc = λ3/[µ(4µ2- λ2)] = 0,193

Observe que cuando el WIP es el criterio de decisión, el diseño c es el más

apropiado.

4.8.3. Modelos con Cola Finita

114

Los modelos con capacidad de cola finita son necesarios en muchas situaciones prácticas.

Por ejemplo, un centro de máquinas en una empresa tiene un área limitada para

almacenamiento temporal de partes que deben esperar a ser procesadas. Suponga que la

cola puede albergar un máximo de N partes.

Se trata de los sistemas [M/M/1 : DG/N/∞] y [M/M/c : DG/N/∞]. Para todos los sistemas

previos asumimos que para que el sistema de espera llegara a un estado estable debía

cumplirse necesariamente que ρ<1. Para sistemas de cola finita no debemos preocuparnos

por esto, ya que independiente del valor de ρ la cola no crecerá indefinidamente ya que

fisicamente está limitada por la capacidad N.

Debido a que la cola finita asegura que la tasa de llegada es cero después que la cola ha

alcanzado su máxima capacidad, la tasa efectiva de llegada (λef) es calculada usando la

fórmula:

==

=Nnsi

nsin 0

....,2,1,0λλ λef = )1(

1

0N

N

nn PP −⋅=⋅∑

−

=λλ

Asi mismo, la tasa promedio de clientes no atendidos (clientes rechazados por el sistema ó

λre) por estar el sistema a plena capacidad es igual a:

λre= λ · PN

Las siguientes son las formulas demostradas cuando ρ ≠ 1:

Indicador M/M/1: DG/N/∞ M/M/1: DG/N/∞

P0 111

+−−

Nρρ

[ ] ( )∑∑+=

−

=

+N

cn

cncN

n

n cnc11

!/!/)(

1

ρρρ

L 1

1

1)1(

1 +

+

−+−

− N

NNρ

ρρ

ρ

+

µλefLq

Lq L + P0 - 1 [ ] [ ]

20

)1(!)1()(1)(

ρρρρρρ

−−−−−⋅ −−

ccNPc cNcNc

W L/λef L/λef

Wq Lq/λef L/λef

115

λ=12

µ = 15 µ = 18 µ = 21

λR

λA

4.9. Software RAQS (Rapid Analysis of Queuing Systems)

RAQS es un software descargable sin costo en la siguiente dirección internet:

http://www.okstate.edu/cocim/raqs/index.html

Es una aplicacion Windows escrita en C++. Permite abordar la enseñanza y la

investigación en sistemas de colas para estudiantes de pregrado como de posgrado. RAQS

fué un proyecto del National Science Foundation Grant bajo el Engineering Research

Deployment Teaching Initiative.

Soluciona problemas relacionados con Redes de Colas (Queuing Networks), estudiando

Redes Abiertas y Cerradas (Open and Closed Networks).

Un ejemplo de Red Abierta se muestra en la siguiente figura:

Observe que en este sistema de maquinas que están dispuestas en serie, los clientes ó partes

pueden llegar de una fuente externa. Esto último es la característica de una red abierta.

En el proceso de inspección hay partes que se rechazan con una tasa λR y una tasa de aceptación λA. Las partes rechazadas pueden volver de nuevo al horno para repetir el procesamiento.

Otro ejemplo de Red Abierta se muestra en la siguiente figura:

Horno Prensa Inspección

Prensa

Horno

Molino

Inspección

116

Redes Cerradas son aquellas que auto-generan los clientes y por tanto estos no son

controlados por una fuente externa. Se utiliza para sistemas de manufactura Justo a Tiempo,

donde el WIP es altamente controlado. La entrada de clientes es controlada y no entrará un

cliente hasta tanto no haya salido uno. Observe por ejemplo la siguiente figura:

Cola 1 Maquina 1 Cola 2 Maquina 2

Consideremos una red de colas cerrada de dos maquinas, en los cuales los dos nodos

(maquinas) estan conectados en serie y cada trabajo pasa primero por la maquina 1 y luego

a la maquina 2. Si asumimos que el transporte de materiales se realiza en pallets ó estibas,

y que existen n pallets en el sistema, cada una con posibilidad de movilizar un lote, se dice

que entrará al sistema un nuevo lote solamente si se ha liberado un pallet al final de la línea.

Esa es la forma de tener una red cerrada de dos nodos que siempre tiene un número fijo (n)

de trabajos procesando.

Para más detalles de redes de colas puede leer el capitulo 10.3 del libro �Facilities Design�

de Sunderesh Heragu.

4.10. Problemas Propuestos Problema 1

117

Problema 2

118

Problema 3

Problema 4 The copy center in the Pontificia Universidad Javeriana has become an increasingly contentious item among the university administrators. The department heads have complained to the associate dean about the long lines and waiting times for their secretaries at the copy center. They claim that it is a waste of scarce resources for the secretaries to wait in line talking when they could be doing more productive work in the office. Andres Jaramillo, the academic dean, says the limited operating budget will not allow the university to purchase a new copier or copiers to relieve the problem. This standoff has been going on for several years. To make his case for improved copying facilities, Alvaro Figueroa, a teacher in Operations Management, assigned students in his class to gather some information about the copy center as a class project. The students were to record the arrivals at the center and the length of time it took to do a copy job once the secretary actually reached a copy machine. In addition, the students were to describe how the copy center system worked. When the students completed the project, they turned in a report to Professor Figueroa. The report described the copy center as containing two machines. When secretaries arrive for a copy job, they join a queue, which looked more like milling around to the students, but they acknowledged that each secretary knew when it was his or her turn, and in effect, the

119

secretaries formed a single queue for the first available copy machine. Also, since copy jobs are assigned tasks, secretaries always stayed to do the job no matter how long the line was or how long they had to wait. They never left the queue. From the data the Ghostbusters students group gathered, Professor Figueroa was able to determine that secretaries arrived every 8 minutes for a copy job and that the arrival tale was Poisson distributed. Further, he was able to determine that the average time it takes to complete a job was 12 minutes, and Ibis is exponentially distributed. Using his department's personnel records and data form the university personnel office, Professor Figueroa determined that a secretary's average salary is $8.50 per hour. From his academic calendar he added up the actual days in the year when the university and departmental office were open and found there were 247. However, as he added up working days, it occurred to his that during the summer included about 70 days, during which he expected the copy center traffic would be about bale of what it is during the normal year, but he speculated that the average time of a copying job would remain about the same. Professor Figueroa next called a local office supply firm to check the prices on copiers. A new copier of the type in the copy center now would cost US$36,OOO. It would also require US$8,OOO per year for maintenance and would have a normal useful life of 6 years. Do you think professor Figueroa will be able to convince the associate dean that a new copy machine will be cost-effective? Problema 5 Un camión debe ser cargado con 70.000 ft3 de un material especial disponible en cierta locación. Debido a que el camión no tiene acceso a esa locación, un dispositivo de carga especialmente construido es utilizado para cargar el material sobre plataformas móviles ó Pallet Jacks, las cuales transportan finalmente el material hasta el camión que se encuentra en un sitio cercano. Mientras que el dispositivo de carga se alquila a un costo de US$ 1.000 por hora, los Pallet Jacks pueden ser alquilados por $US 100 la hora cada uno. No hay límite respecto al numero de Pallet Jacks que deseen alquilarse, y cada uno puede transportar 400 ft3 de material, tomando un promedio de 5 minutos el tranportar el material, descargarlo en el camión y devolverse para iniciar otro envío. Debido a restricciones de espacio, diseño del dispositivo de cargue, y otras razones, la carga del material requiere un promedio de 12 minutos. Haga los apropiados supuestos acerca de la exponencialidad y determine cuántos Pallet Jacks deberían alquilarse para minimizar el costo esperado de llevar material hasta el camión. Problema 6 A la biblioteca de Univalle llegan un promedio de 26 personas/año con distribución Poisson, a pedir prestado el libro Líneas de Espera. Aquella persona que logra encontrarlo,

120

lo mantiene en su poder durante 4 días con distribución exponencial. Las personas que piden el libro y encuentran que está prestado se van y nunca regresan.

a) Si la biblioteca tiene solo una copia del libro, ¿Cuál es el número esperado de personas que podrán leer el libro durante el año?

b) Si cada persona que entra a la biblioteca y no encuentra el libro disponible ocasiona una pérdida de $1 como costo de imagen. Además cada libro cuesta $11. ¿Cuántos libros debe comprar la biblioteca?

Problema 7 En un taller existen dos secciones, cada una cuenta con una maquina que tiene capacidad de producción de 5 piezas/h con distribución Poisson. La entrada de materia prima a cada sección es de 4.5 piezas/h con distribución Poisson. El costo de cada maquina es de $1/hora. El dueño del taller está interesado en cambiar las dos maquinas a una sola sección y hacer que toda la materia prima llegue a ese lugar. Si el costo de tener la materia prima en espera se estima en $0,5 y se consideran los sistemas con capacidad de la cola infinita y clientes potenciales infinitos determine cual de las dos opciones genera menor costo.