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Matemát
Solucionario
2010 -IExamen de admisión
Matemática
1
TEMA P
Pregunta N.º 1En una biblioteca municipal existen en total 72
libros de matemática y literatura, los que están
en relación de 5 a 3 respectivamente. El número
de libros de literatura que deben agregarse para
que la relación sea de 9 a 10 es:
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución
TemaRazones
Análisis y procedimiento
N.º de libros de
matemática
N.º de libros de literatura
Total de libros
Lo que se tiene
5×(9) 3×(9) 8×(9)=72(Dato)
Se observa que hay lo siguiente:
• 45librosdematemáticay
• 27librosdeliteratura
Luego, si agregamos x libros de literatura, ten-
dríamos:
• 45librosdematemática
• 27+x libros de literatura
Por condición del problema, tenemos
459
2710
= + x
→ x=23
RespuestaEl número de libros de literatura que deben agregarse es 23.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 2Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?
A) 100
100 +( )r
B) rr
+ 100100
C) 100 +( )r
r
D) 1
0 011
, +
r
E) 1
0 011
, −
r
2
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
TemaTanto por ciento
Análisis y procedimientoSea
PC: Precio de costo
PF: Precio fijado
Según el enunciado tenemos
Si el vendedor no ganó ni perdió, entonces
(Precio de costo) = (Precio de venta)
Reemplazando, tenemos:
P p r PC C= − +( )%( )%·100 100
1
100100
100100
= − +( ) ( )p r
p
rr
=+
100100
Equivale a
p
r
=+
1
0 011
,
Observación
En el problema piden cuánto le rebajaron al estudiante,
es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo cual
se necesita conocer el precio de costo, y no habría
alternativa. Sin embargo, el problema sólo debe pedir
el valor de p. Considerando eso, habría clave.
RespuestaEl valor de p es
1
0 011
, +r
.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 3Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/.200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/.400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante.
A) 70 días B) 71 días C) 72 díasD) 73 días E) 74 días
Resolución
TemaRegla de descuento
Análisis y procedimientoDe los datos se tiene
Como el valor nominal de la única letra es igual a la suma de los valores nominales de las tres letras anteriores y todas son descontadas a la misma tasa, aplicamos tiempo de vencimiento común y obtenemos
x =
( )+ ( )+ ( )30 80000 60 200000 90 400000680000
∴ x=74,11...
Observación
Como el problema pide el tiempo en días se considerará 74 días.
3
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
RespuestaLa única letra que debe pagarse es dentro de
74 días.
AlternAtivA e
Pregunta N.º 4¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras?
A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27
Resolución
TemaNumeración
Análisis y procedimientoSi el número 1234 se escribe con tres cifras en el sistema de numeración de base n, entonces, tenemos
100(n) ≤ 1234 < 1000(n)
→ n2 ≤ 1234 < n3
→ 10 1234 1234 353,... ,...= < ≤ =n
Luego, los valores de n son
11 12 13 35
35 10 25
; ; ; ...;− = números� ��� ���
RespuestaHay 25 sistemas de numeración, en los cuales el número 1234 se escribe con tres cifras.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 5Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. La suma de un número natural y un número
entero es un número natural.II. Sean a y b dos números enteros, entonces
existe un número c entero tal que a=bc.III. La cantidad de elementos del conjunto de
los números enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales.
A) VVV B) VFF C) FVVD) FFV E) FFF
Resolución
TemaConjuntos
Análisis y procedimientoI. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo • 4:esunnúmeronatural. • –7:esunnúmeroentero. Entonces
4 7 3+ − = −( )suma��� �� (no es un número natural)
II. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo Si a=3 y b=6 entonces, reemplazamos en a=b × c. 3=6 × c ∴ c=0,5 (no es entero)
III. Verdadera Como los dos conjuntos son infinitos y
se puede establecer una relación de uno a uno (bionívoca) entre los elementos de ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual cantidad de elementos.
RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es FFV.
AlternAtivA D
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unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 6Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si m y n son números enteros no divisibles por
3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un
múltiplo de tres.
II. Si m y n son múltiplos de 3 con m > n > 0
entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres.
III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0
entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFF
Resolución
TemaDivisibilidad
Análisis y procedimiento
I. Como m y n no son divisibles por 3, entonces
(m= 3o +1óm=3
o +2)y(n=3o +1ón=3
o +2)
Analizamos dos casos
(*) Si los residuos son iguales
→ m+n ≠ 3o y m – n=3
o
(*) Si los residuos son diferentes
→ m+n = 3o y m – n≠3
o
Entonces, la suma o diferencia de m y n es un
múltiplo de 3; por lo tanto, la proposición (I)
es verdadera (V).
II. Como m y n son múltiplos de 3 y m > n >0,
tomaremos un ejemplo para analizar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
Sean m=42 y n=21 ambos múltiplos de 3
(m > n).
→ = ≠m
n2 3
o
Como se puede observar, el cociente no
resultó 3o.
Por lo tanto, la proposición (II) es falsa (F).
III. Como m y n son múltiplos de tres con m,
n > 0.
→ m=3k y n=3p; (k > p).
Luego, tenemos
MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3×MCD(k, p)= 3o
por propiedad
→ MCD(m, n)= 3o
Por lo tanto, la proposición (III) es verda
dera (V).
Respuesta
La secuencia correcta de las proposiciones es VFV.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 7
Sean los números
N1=63a+1×8a, N2=8a×33a+1
donde la cantidad de los divisores de N1 es igual
a la cantidad de los divisores de N2 aumentado
en 20. Entonces el valor de 2a–1es
A) 1. B) 3. C) 5.
D) 7. E) 9.
Resolución
TemaNúmeros primos y compuestos
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Análisis y procedimientoPor dato tenemos los números
N1=63a+1×8a y N2=8a×33a+1
Cuyas descomposiciones canónicas son
N1=26a+1×33a+1
N2=23a×33a+1
Además, por condición se tiene que
CD(N1)=CD(N2)+20
→ (6a+2)×(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ 2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ (3a+1)(3a+2)=20=4×5
4 5
→ 3a+1=4
∴ a=1
Luego, 2a–1=2(1)–1=1.
Respuesta
Por lo tanto, el valor de (2a–1)es1.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 8
Determine el valor de a+b–c si se tiene que
(ab)3=1c8ab.
A)–1 B)–2 C)1
D) 2 E) 3
Resolución
TemaPotenciación
Análisis y procedimiento
Por dato
1c8ab=ab 3
Luego, por terminación de cifra,
b ∈ {1; 4; 5; 6; 9} (I)
Tenga en cuenta que si b=0, el numeral termi-
naría en tres ceros.
Además
203 < 1c8ab < 303
→ a=2
Luego
1c82b=2b 3
1c800=2b 3–2b
1c800=(2b–1)×2b×(2b+1)=8
25
o
o
De (I): b=4 → c=3
∴ a+b–c=3
Respuesta
El valor de (a+b–c) es 3.
AlternAtivA e
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unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 9Dada la siguiente relación:
y–|y|=x–|x|;
diga cuál de las siguientes gráficas es la que le
corresponde:
A) B)
C)
D) E)
Resolución
TemaGráfica de relaciones
Análisis y procedimientoEn la resolución del problema, aplicamos la
definición de valor absoluto.
xx x
x x=
≥− <
;;si
si0
0
En el problema nos piden la gráfica de
y–|y|=x–|x| (1)
Caso 1: y ≥ 0
Reemplazamos en 1
y–y=x–|x|→ x=|x|→ x ≥ 0
cuya gráfica será
Caso 2: y < 0
Reemplazamos en 1
y+y=x–|x|→ yx x= −
2
yx
x x=
≥<
0 00
;;
sisi
pero como y < 0 → y=x; x < 0
Luego, la gráfica pedida es la unión del gráfico 1
con el gráfico 2.
Respuesta
La gráfica de la relación es
AlternAtivA D
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 10Si las raíces de la ecuación
x2–(a+d)x+ad–bc=0
son x1=3, x2=5; y las raíces de la ecuación
y2–(a3+d3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0
son y1, y2. Entonces el valor de y21 y2+y1y2
2 es:
A) 213 000
B) 313 000
C) 413 000
D) 513 000
E) 613 000
Resolución
Tema
Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
En la ecuación
x2–(a+d)x+ad –bc=0, de raíces x1=3 y x2=5
aplicamos el teorema de Cardano
x1+x2=8=a+d (α)
x1x2=15=ad –bc
En la ecuación
y2–(a3+d 3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0, de
raíces y1, y2
aplicamos el teorema de Cardano:
y1 · y2=(ad –bc)3=153=3375
y1+y2=a3+d 3+3abc+3bcd (b)
De (α):
a+d=8, elevamos al cubo
a3+d 3+3ad(a+d)=83
a3+d 3=83–3ad(a+d)
Reemplazamos en (b).
y1+y2=83–3ad(a+d)+3bc(a+d)
= − +( ) −[ ]8 33
8 15
a d ad bc������ ��
y1+y2=83–3(8)(15)=152
Nos piden
y y y y y y y y1
22 1 2
21 2 1 2+ = +( )
y y y y1
22 1 2
2 3375 152 513 000+ = ( ) =
Respuesta
El valor de y y y y12
2 1 22+ es 513 000.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 11Sean A, B conjuntos no-vacíos.
Señale la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la proposición
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si
(x, y); (x, z) ∈ f={(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} ⊂ A×B
implica que y=z, entonces podemos decir
que f es un función de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyec-
tiva.
III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyec-
tiva.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FFF
Resolución
TemaFunciones
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Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara determinar el valor de verdad recordemos la definición de función.
f es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x; y) ∈ f
I. Verdadero Pues si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f implica y=z.
Significa que dos pares ordenados diferentes de f no tienen la misma primera componente. Por lo tanto, f es una función.
II. Falso Pues tenemos la siguiente función constante f : R → {k}, para f(x)=k f es sobreyectiva, pero no es inyectiva.
III. Falso Pues si tenemos la función lineal f : [0; 5] → [0; 6] tal que f(x)=x f es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva,
pues el Ranf=[0; 5] es diferente al conjunto de llegada B=[0; 6].
RespuestaLa secuencia correcta es VFF.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 12Dadas las siguientes proposiciones:I. Las raíces de ein–1=0, pertenecen a un
polígono regular de n lados, ∀ n ∈ N
II. Si eiθ =a+bi y θ ∈ π π4
34
; , entonces
a ∈ − 22
22
; y b ∈ 2
21; .
III. Dados α, b ∈ ⟨0; 2π⟩, tales que b > α, si cos(a)=cos(b), entonces ei(a+b)=1.
Indique cuáles son correctas.
A) solo IB) solo IIC) solo IIID) I y IIE) II y III
Resolución
TemaNúmeros complejos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoEn el problema aplicaremos la definición de exponencial compleja.
Veamos cada una de las afirmaciones:I. Falso Resolvemos ein–1=0 (considerandoe=2,718281... ein=e2kπi y i = −1 ) → n=2kπ; k ∈ Z
Las soluciones de la ecuación no forman un polígono de n lados.
II. Falso Veamos un contraejemplo:
De θ ∈ π π4
34
; tomamos θ π=2
entonces, a=0 y b=1 ∉ 2
21;
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
III. Verdadero
Como a, b ∈ ⟨0; 2π⟩; b > a además, cosa=cosb; entonces, a+b=2π de donde ei(a+b)=ei(2π)=1
RespuestaLa proposición verdadera es solo III.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 13Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R,
x x x
x
3 27 15 91
35
− + − =
log.
Halle la cantidad de elementos de S.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Resolución
TemaEcuación logarítmica
Análisis y procedimientoPara determinar el número de soluciones reales usaremos gráficas de funciones. Para ello reduci-mos las expresiones; así:
x x x
x
3 27 15 91
35
− + − =
log ∧ x > 0; x ≠ 1
→ −( ) −( ) =
x x x1 3 235
log
f(x) g(x)=
∧ x > 0; x ≠ 1
Graficamos
Se observa que las gráficas se cortan sólo en un punto; entonces, solo tiene una solución real.
RespuestaLa cantidad de elementos de S es 0.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 14
Si A =− − −
1 1 10 0 00 0 1
. Calcule S=A42+A55.
A) A =
0 0 10 0 00 0 2
B) A =−
0 0 10 0 00 0 2
C) A =−
0 0 10 0 00 0 2
D) A =−
−
0 0 10 0 00 0 2
E) A =
0 0 10 0 00 0 3
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Resolución
TemaMatrices
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara determinar potencias de una matriz, una de las formas es mediante el polinomio característico:
P(x).
Si A ∈ Rn×n: P(x)=det(A–xI)
Hallemos el polinomio característico de A.
P(x)=det(A–xI)
Px
xx
x( ) =− − −
−
1 1 10 0 00 0 1
0 00 00 0
Px
xx
x( ) =− −( ) − −
−−( )
1 1 10 00 0 1
P(x)=x–x3
Entonces, P(A)=A–A3=f(f:matriz nula)
↔ A3=A ↔ A3k=A; ∀ k ∈ Z+
Reemplazamos en A42+A55=(A3)14+(A3)18A
=A+(A)A=A+A2
Determinamos
A21 1 1
0 0 00 0 1
1 1 10 0 00 0 1
1 1 00 0 00 0 1
=− − −
− − −
=
→ A A21 1 10 0 00 0 1
1 1 10 0 00 0 1
+ =
+
− − −
=−
0 0 10 0 00 0 2
Respuesta
La matriz A42+A55 es
0 0 10 0 00 0 2
−
AlternAtivA B
Pregunta N.º 15Dado el sistema 2x –y+z=1x+4y+2z=–1¿Cuál de las siguientes ecuacionesI. x–5y –z=2,II. 3x+3y+3z=2,III. 5x+2y+4z=1,puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varíe?
A) solo I B) I y II C) I y IIID) solo II E) solo III
Resolución
TemaSistema de ecuaciones lineales
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoUna característica de los sistemas es que si sumamos o restamos las ecuaciones en una cantidad finita no se altera el conjunto solución.
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Del dato: 2x –y+z=1 x+4y+2z=–1
• Alrestarlasecuaciones
2x –y +z=1 x+4y+2z=–1
–
se obtiene x –5y –z = 2. (*)
• Alsumarlasecuaciones
2x –y +z=1 x+4y+2z=–1
+
se obtiene 3x+3y+3z=0. (**)
• Multiplicamospor2alaprimeraecuaciónysumamos con la segunda ecuación.
4x –2y +2z=2 x +4y +2z=–1
+
Se obtiene 5x +2y+4z=1. (***)
Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***) son equivalentes a las primeras.
Entonces, podemos indicar que las proposiciones I y III del problema coinciden con (*) y (***); en cambio, II no coincide con (**); entonces, no podemos agregarlo al sistema.
RespuestaPodemos agregar las ecuaciones I y III.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 16En relación a un programa lineal, indique la se- cuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.
A) VFV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFF
Resolución
TemaProgramación lineal
Análisis y procedimientoEn el problema debemos recordar las definiciones
básicas de programación lineal.
I. Falso
Si x, y son variables de decisión, entonces por
la condición de no negatividad se cumple que
x ≥ 0; y ≥ 0
II. Verdadero
Pues el número de vértices de toda región
factible es finito.
III. Verdadero
Pues dada la región factible S y la función
objetivo f(x; y)=ax+by+c. Supongamos
que (x1; y1) ∈ S es la solución óptima del
problema, entonces puede ser también
solución óptima de g(x; y)=cx+dy+k.
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Respuesta
La secuencia correcta es FVV.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 17Sea la sucesión a1=0, a2=1, a a a3 4 5
12
34
58
= = =, , ;
a a a6 7 81116
2132
4364
= = =; ; ;..., entonces la
sucesión {an} converge a:
A) 712
B) 58 C)
23
D) 1 E) ∞
Resolución
TemaSucesiones reales
Análisis y procedimientoPor dato se tiene a1; a2; a3; a4; a5; a6
0 ; 1; 12
34
58
1116
; ...
Múltipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada término.v
13
0 332
94
158
3316
; ; ; ; ; ; ...
13
02 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
1 2
1
3
2
4
3
5
6; ; ; ; ; ; ...
º+ − + − +
Entonces, tenemos la regla de formación
a nn
n
= + −
≥−1
32
12
22
;
Tomando límite:0
213
21
223
lím límn
nn
N
a→+∞ →+∞
−= + −
=
Es decir, {an} converge a 0
23
.
Respuesta
[an] converge a 0
23
AlternAtivA C
Pregunta N.º 18En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcule el número de alumnos del colegio.
A) 340 B) 350 C) 360D) 370 E) 380
Resolución
TemaConjuntos
Análisis y procedimientoLos datos del problema representaremos gráfica-mente mediante los conjuntos.
Por dato 42=60%(8%N+42)∴ N=350
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
RespuestaLa cantidad de alumnos del colegio es 350.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 19Dadas las funcionesf={(3;1),(2;–3),(5;0),(4;–4),(1;1)},g={(–4;3),(–2;7),(0;0),(1;5),(2;1)}yh={(1;–4),(3;–2),(5;0),(7;2)}.Determine la función compuesta f o g o h.
A) {(1; 0), (5; 1)}
B){(3;–3),(5;–4)}
C) {(1; 1), (7; 1)}
D){(1;1),(2;–3)}
E){(3;–1),(7;1)}
Resolución
TemaComposición de funciones
Análisis y procedimientoPara la resolución del problema haremos uso del diagrama sagital.
De la figura se deduce que la función
f g ho o = ( ) ( ){ }1 1 7 1; , ;
RespuestaLa función compuesta f o g o h es 1 1 7 1; , ; .( ) ( ){ }
AlternAtivA C
Pregunta N.º 20Considere la ecuación matricial
X1 32 7
4 01 2
= −
, donde X es una matriz.
Calcule det(X).
A) 6 B) 7 C) 8D) 11 E) 19
Resolución
TemaDeterminantes
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara la resolución del problema aplicamos la siguiente propiedad:Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A| · |B|.
Por dato se tiene que
X
1 32 7
4 01 2
= −
→
=
−
X
1 32 7
4 01 2
X
1 32 7
4 01 2
=−
|X|·1=8
\ |X|=8
RespuestaEl determinante de la matriz X es 8.
AlternAtivA C
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unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Pregunta N.º 21Halle la medida del ángulo b indicado en la figura
mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas.
A) 51º B) 53º C) 55º
D) 57º E) 59º
Resolución
Tema
Ángulos determinados entre rectas paralelas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para calcular la medida del ángulo determinado
entre rectas paralelas, podemos citar los siguientes
teoremas:
L L�� ��
1 2// → = +x α β
L L�� ��
1 2 180// º→ + + + =α β θ γ
Dato:
L L�� ��
1 2//
Indicando las medidas de los ángulos en A y B,
aplicamos el teorema:
70º+b+35º+22º=180º
\ b=53º
Respuesta
La medida b es 53º.
AlternAtivA B
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unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 22En un triángulo ABC, denote por I al incentro y
por O a la intersección de la bisectriz interior del
ángulo A con la bisectriz exterior del ángulo C. Si
mAIC+mCOA=150º, halle mCOA.
A) 20º B) 25º C) 30º
D) 35º E) 40º
Resolución
Tema
Triángulos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoMedidas angulares determinadas por bisectrices
A C
��
�a
2b
b
�
I
O
B
Dato:
m +m���� �� �� �� ��AIC COA
a b
= 150º+ =150º I
En el IOC:
b+90º=a II
DeI+II
2b=60º
∴ b=30º
→ mCOA=b=30º
RespuestaLa medida del ángulo COA es 30º.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 23En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones de los lados BA y CD se intersecan en M (A ∈ BM) y las prolongaciones de los lados AD y BC se intersecan en N (C ∈ BN). Si los ángulos BAD y BCD miden 70º y 80º respectivamente, determine el ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos AMC y ANC.
A) 90º B) 100º C) 105ºD) 110º E) 115º
Resolución
TemaCuadriláteros y medidas angulares determinadas por bisectrices.
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
x
ab
� �� �
Según el siguiente gráfico podemos recordar el siguiente teorema para el cálculo de x:
x
a b= +2
16
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Piden x
Datos mBAD=70º
mBCD=80º
QM y NQ: líneas bisectrices
��
��
A
QC
N
D
B
x
110º
80º
M
100º
Indicando las medidas de los ángulos en A y C,
aplicamos el teorema:
x = +110 100
2º º
∴ x=105º
RespuestaLa medida del ángulo entre las líneas bisectrices
es 105º.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 24En la figura mostrada calcule BF (en cm), si el
lado del cuadrado mide 2 3+( ) cm.
A) 12
B) 22
C) 32
A
CB
D
R R
F
D) 1
E) 2
Resolución
TemaCircunferencia
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoEn los problemas, cuando se tiene una circunfe-rencia, se debe tener en cuenta que la distancia del centro a cualquier punto de esta es constante e igual al radio.
Triángulo notable de 15º y 75º.
15º
75º
(2+ )a3
a
2a a 330º
60º
2a a15º
Piden x.Del gráfico tenemos lo siguiente:
• ASD es equilátero mSDA=60º
• SDC es isósceles mSCD=75º
• FBC: notable de 15º y 75º
A D
B C
S
F
R R
R R
32+
75º
15º
x
30º60ºR
R
∴ x=1
RespuestaEl valor de BF (en cm) es 1.
AlternAtivA D
17
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 25
En el triángulo isósceles ABC (AB=BC=10 cm),
la ceviana AN (N ∈ BC) corta a la altura
BM (M ∈ AC) en el punto P. Si AC=16 cm
y BN=2 cm, determine el área de la región
triangular APB (en cm2).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución
TemaÁreas de regiones triangulares
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Por relaciones de áreas de regiones triangulares,
al trazar una ceviana en un triángulo:
AA
1
2= mn
m n
A 1 A 2
A
B
CP
y al trazar una bisectriz interior:
Teorema de la bisectriz interior mn
ca
=
Entonces
AA
1
2= =mn
ca
m n
A 1 A 2
A
B
C
� �
c a
En el problema se pide calcular el área de la
región APB.
Como ABC es isósceles, AM=MC=8 y ABM
(notable 53º): BM=6
�
5S S
24S5k
k
�
A C
B
M
8
6
N
8
2
810
P
Por relación de áreas en ABN tenemos
A
AABP
PBN
ABBN
= = 51
Sea
A PBN=S.
Entonces,
A ABP=5S.
Se observa NC=4BN, entonces
A ANC=4A ABN=24S y
A ABC=30S=16 6
2×
Entonces,
S = 85
.
Se pide A ABP=5S=8 cm2.
Respuesta
El área de la región triangular ABP es 8 cm2.
AlternAtivA C
18
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Pregunta N.º 26
En un triángulo ABC, sobre la prolongación
de AC se toma el punto D de tal forma que
4mBAC=mCDB.
Si 5mBAC=mACB, BD = 103
cm y
CD = −
203
10 cm, halle AC (en cm).
A) 10 3 B) 20 C) 12 3
D) 22 E) 13 3
Resolución
Tema
Semejanza de triángulos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Se emplea la propiedad de las antiparalelas
��
�b
a
=ab2
De los datos:
mCBD=a
También BD = 103
CD = −203
10
Piden AC.
Empleamos la propiedad en ABD.
103
203
102
= −
� 5�
�
A
B
C D
4�
103
203
–10
�
Pero
103
203
1020
310
2
= +
−
Luego, = + = + −203
1020
310AC .
Entonces, AC=20.
Respuesta
Por lo tanto, AC en centímetros es 20.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 27
Halle el perímetro de la sección que determina
un plano secante a un tetraedro regular ABCD,
sabiendo que pasa por los puntos medios de AD
y CD y es paralelo a BD (a: longitud de la arista
del tetraedro regular).
A) a/2 B) a C) 3/2a
D) 2a E) 5/2a
Resolución
Tema
Poliedros regulares
19
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para poder determinar secciones planas, es ne-
cesario conocer los teoremas para determinar un
plano, y uno de los criterios es la determinación
de un plano por 2 rectas paralelas.
Datos
• a: longitud de la arista
• M y N: puntos medios de AD y CD.
60º
60º
60º
A
B
C
D
a/2
a/2
a/2a/2
a/2
a/2
N
M
R
S
a/2
a/2a/2
a/2
a/2
60º
60ºa/2
60º
60º60º
60º60º
60º60º
Se trazan MR y NS paralelos a BD.
Luego, se observa que las regiones ARM, RBS,
CNS y MND son equiláteras, entonces
MR=RS=SN=MN=a2
Por lo tanto, el perímetro de la región plana
determinada en el tetraedro regular es 2a.
Respuesta
El perímetro de la región plana es 2a.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 28
En una circunferencia de radio 6 cm, se tiene
que la longitud de arco de un ángulo central a
es 1 y la longitud de arco de un ángulo central
b es 2. Si 1 2 3− = π
y los ángulos a y b son
complementarios, halle el valor del mayor ángulo.
A) 50º B) 55º C) 60º
D) 65º E) 70º
Resolución
Tema
Longitud de la circunferencia
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Usamos el resultado de Arquímedes para calcular
la longitud de la circunferencia.
⊙=2 π r
Datos:
• 1 2 3− = π
• α β π+ =2
Piden α
6
�
�1
�2
6
6�
Por longitud de arco, se tiene
1=6α y 2=6b
20
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Reemplazamos del dato
6 6
3α β π− = ,
α β π− =
18
Luego, del dato inicial tenemos
α β π+ =
2y
α β π− =
18
Operamos
2
1018
α π=
∴ α=50º
RespuestaLa medida del mayor ángulo es 50º.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 29En un triángulo, el área de la región circular deter-
minada por la circunferencia inscrita es 9πu2. Si
el área de la región triangular es 9 2 22
22+( )
u ,
determine el perímetro del triángulo.
A) 6 1 2+( )uB) 6 1 2 2+( )uC) 6 2 2+( )uD) 6 2 2 2+( )uE) 6 3 2 2+( )u
Resolución
TemaÁreas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoUsamos el teorema de Euler para calcular el área de una región triangular en función del inradio y el semiperímetro.
r
B
CA
Sea 2p: perímetro de la región triangular ABC.
Dato:
πr2=9π; luego r=3.
Dato:
A ABC = 92
2 292
6 4 22 2 2+( ) = +( )u u
Como A ABC=p · r, entonces
3
92
6 4 2p = +( ) u
∴ 2 6 3 2 2p = +( ) u
Respuesta
El perímetro es 2 6 3 2 2p = +( ) u.
AlternAtivA e
Pregunta N.º 30
Considere un embudo compuesto por un tronco
de cono de altura 12 cm y radios de sus bases
5R cm y R cm y un cilindro de radio R cm y altura
5 cm. Si el embudo puede contener 129 πcm3 de
agua, halle R (en cm).
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 2 E) 2,5
21
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Resolución
Tema
Sólidos geométricos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para el cálculo de volúmenes de sólidos geomé-
tricos se deben conocer las longitudes de algunos
elementos; por ejemplo:
V = πR g2
R
g
V = + +[ ]πhR r Rr
32 2
h
R
r
12 cm
5 cm
R
R
5R
Piden R.
Del gráfico tenemos
Vembudo=129πcm3
Vtronco de cono+Vcilindro=129π
π π π123
5 5 5 1292 2 2R R R R R( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) =
124R2+5R2=129
129R2=129
R2=1
\ R=1
Respuesta
El valor de R en centímetros es 1.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 31
Sobre un rectángulo ABCD, desde un punto
exterior P, se traza el segmento PB perpendicular
al plano ABC, M y N son los puntos medios de los
segmentos AD y DC respectivamente.
Si AB=PB, BC=4 y AB=2, entonces la medida
del diedro P–MN–B es:
A) arctan 5( )
B) arctan52
C) arctan5
3
D) arctan5
4
E) arctan5
5
22
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
ResoluciónTemaÁngulo diedro
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoHaremos uso del teorema de las tres perpendi-culares.
1
D
C
A
B
P
1
T
S �
�
M
�
�
2
2
N1
1
2
DatosPB ⊥ ABCDM y N: puntos mediosDel gráfico en el punto T, podemos indicar la medida del ángulo diedro.
→ =tanθ 2BT
(I)
Del gráfico tanºβ β= =
12
532
ABS y STM:
not532
º
: de donde AS=1 y SM=1
Luego, BT = 6 55
en (I): tanθ = 53
∴ θ =
arctan
53
RespuestaLa medida del ángulo diedro es arctan
53
.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 32La base de un asta de bandera es de concreto y está formada por dos prismas hexagonales regulares concéntricos puestos uno sobre otro. El primero tiene 1,20 m y el segundo 0,80 m de lado; la altura de cada uno de ellos es 0,30 m. Si ambos prismas tienen un hueco central cilíndrico de radio de 8 cm, entonces la cantidad de con-creto utilizado para construir esta base (en m3) es aproximadamente
A) 1,55 B) 1,57 C) 1,59D) 1,61 E) 1,63
Resolución
TemaPrisma regular y cilindro de revolución
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoRecordemos que el volumen tanto del prisma re-gular y cilindro de revolución se calculan como el producto del área de la base y su respectiva altura.
Dato:El radio de la base del hueco cilíndrico es 8 cm que equivale a 0,08 m.Sea VT: volumen total
VT=VP(1)+VP(2) –Vcilindro
0,080,8
0,3
1,2
0,6
0,3
P2
P1
0,08
23
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Entonces
VT = ( )
× +
×1 2 3
46 0 3
0 8 34
62 2,
,( , )
×0,3–π(0,08)2×0,6
Consideramos
3 1 73 3 14= =, ,y π
VT=1,12104+0,49824–0,0120576
VT=1,6072
Aproximamos, VT=1,61
RespuestaLa cantidad de concreto utilizado en m3, aproxi-madamente, es 1,61.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 33En un triángulo ABC, a=sen27º; c=cos26º,
m(A+C)=153º30’ y sen º17
400= . Calcule
el área aproximada de la región limitada por el triángulo ABC (en u2).
A) 97 54000
B) 107 54000
C) 117 54000
D) 227 54000
E) 327 54000
ResoluciónTemaTransformaciones trigonométricas
Análisis y procedimientoReferencia y/o contexto
A C
B
c a
�
S: Área de la región triangular ABC
→ S = ac2
senβ
En el problema tenemos
A C
B
26º 30’
sen 27ºcos 26º
S = 1
227 26 26 30sen º cos º sen º '
S = ( )1
42 27 26 26 30sen º·cos º sen º '
S = +( )1
453 1 26 30sen º sen º sen º '
Dato: sen º17
400=
S = +
14
45
7400
55
S = 327
80005
RespuestaEl área aproximada es
3278000
5 .
AlternAtivA nC
Pregunta N.º 34Determine la suma de todas las soluciones que se encuentran en el intervalo [0; 2π] de la ecuación 2sen3x+sen2x –2senx –1=0.
A) 5π B) 52π
C) 3π
D) 32π
E) 34π
24
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
TemaEcuaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto• Factorización• Circunferenciatrigonométrica
Factorizamos la ecuación:
2 2 1 03 2sen sen senx x x+ − − =� ���� ���� ; 0 ≤ x ≤ 2π
sen2x(2senx+1)–(2senx+1)=0
(2senx+1)(sen2x –1)=0
I. sen ;x x= − → =12
76
116
π π
II. sen x x= → =12π
III. sen x x= − → =132π
Entonces, x1+x2+x3+x4=5π.
RespuestaLa suma de soluciones es 5π.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 35Calcule el valor de:
E = −
( ) arc sen cos2335
π
A) π
13 B)
π11
C) π9
D) π7
E) π5
Resolución
TemaFunciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimientoSe aplicará la propiedad
arc sen(senθ)=θ
∀ ∈ −
θ π π2 2
;
Piden
E=–2arcsen cos335
π
E=–2arcsen cos35π
E=–2arcsensen −
π10
E=210π
E=π5
Respuesta
El valor de E es π5
.
AlternAtivA e
Pregunta N.º 36Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 60º, un poste inclinado en 15º desde la vertical proyecta una sombra de 20 m. Determine la longitud del poste.
A) 26,1 B) 25,5 C) 24,5D) 23,2 E) 22,5
ResoluciónTemaTeorema de senos y cosenosAnálisis y procedimiento
Referencia y/o contexto• Ángulos verticales• Triángulos notables
25
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Consideramos el siguiente caso:
45º
60º 75º
20
15º
líneavertical
F
P A
x
En el triángulo AFP, mediante el teorema de senos tenemos
xsen sen60
2045º º
= → =x
20 6045
sensen
ºº
∴ x=24,5 m
RespuestaLa longitud del poste es 24,5 m.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 37Después de una rotación de ejes, la ecuación 5x2–8xy+5y2–9=0representaunaelipsecuyosfocos tienen como coordenadas F1(a; b), F2(c; d). Calcule ac+bd.
A)–2 B)–3 C)–4D)–6 E)–8
Resolución
TemaTraslación y rotación de ejes
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoCálculo del ángulo de giro (θ):
Si Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
→ cot 2θ = −A CB
Ecuaciones de rotación de ejes:
x=x'cosθ–y'senθ y=x'senθ+y'cosθ
Datos: 5x2–8xy+5y2–9=0 (I)
Focos:
F1(a; b); F2(c; d)
De la ecuación tenemos A=5; B=–8yC=5
Calculamos el ángulo de giro (θ):
cot cot2 2
5 58
0θ θ= − → = −−
=A CB
Establecemos que 2θ=90º → θ=45º
Aplicamos las ecuaciones de rotación
x=x’ · cosθ–y’senθ
→ x=2
2⋅ −( )x y' ' (II)
y=x’ · senθ+y’cosθ
→ y=2
2⋅ +( )x y' ' (III)
Reemplazando (II) y (III) en (I) obtenemos
(x’)2+9(y’)2=9
→ x y' '( )
+ ( ) =2
2
2
23 11
Se tiene que a’=3 y b’=1
26
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
debido
(a’)2=(b’)2+(c’)2 → c’= 2 2
Graficamos la elipse ξ
xy
''
( )+ ( ) =
2
22
31
Los focos se denotan F1(–c'; 0) y F2(c'; 0)
X
Y
�
�=45º
F c d2( ; )
F a b1( ; )
X 'Y '
Se observa que
F1(a; b)=F1(–c'; 0) → a=–c'; b=0
F2(c; d)=F2( c'; 0) → c=–c'; d=0
Piden ac+bd.
ac+bd= −( )( )2 2 2 2 +(0)·(0)
\ ac+bd=–8
RespuestaEl valor de ac+bdes–8.
AlternAtivA e
Pregunta N.º 38Si A, B y C son los ángulos agudos de un triángulo, calcule el valor de la siguiente expresión:
FA B CA B C
= + +sen sen sensen sen sen2 2 2
A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 8
Resolución
TemaTransformaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
• sen sen 2sen2 2
θ α θ α θ α+ = +
−
cos
• cos cos 2sen2
sen2
θ α θ α θ α− = − +
−
• sen2θ=2senθcosθ
• Si A+B+C=180º
→ sen(A+B)=senC y
cos(A+B)=– cosC
Piden
F
A B CA B C
= + +sen sen sensen sen sen2 2 2
F
A B A B CA B C
= + − +2 2sen( )cos( ) sensen sen sen
F
C A B C CA B C
= − +2 2sen cos( ) sen cossen sen sen
Factorizando obtenemos
F
C A B CA B C
= − +[ ]2sen cos( ) cossen sen sen
Por reducción al primer cuadrante se tiene
F
C A B A BA B C
= − − +[ ]2sen cos( ) cos( )sen sen sen
27
unI 2010 -ISolucionario de Matemática
Transformamos
F
C A BA B C
= − −[ ]2 2sen sen sen( )sen sen sen
F
A B CA B C
= 4 sen sen sensen sen sen
\ F=4
RespuestaPor lo tanto, el valor de F es 4.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 39De un círculo de papel de radio 10 cm se corta un sector circular POQ y pegando los bordes OP y OQ se obtiene un envase cónico.Calcule el ángulo θ del sector POQ para que el envase tenga una profundidad de 8 cm.
A) 23π
B) 56π
C) 65π
D) 43π
E) 85π
Resolución
TemaLongitud de arcoAnálisis y procedimiento
Referencia y/o contextoDado un sector circular, generamos un cono de altura de 8 cm.
10 cm
10 cm�
P
Q
L O
8 cm
6 cm 6 cm P
O
10 cm10 cm
L
Q
Al desarrollar el cono L=2π(6 cm). L=12 π cm
Del primer gráfico L=θ×10 cm
Reemplazando obtenemos
12 10π θcm cm= ×
θ π= 6
5
RespuestaLa medida del ángulo expresado en radianes
es 65π
.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 40Simplificando la expresión siguiente:
K = − −+
tan º tan ºtan º tan º
tan º343 107197 73
163
se obtiene:
A)–tan17ºB) cot 17º C) tan 34ºD) tan 51º E) cot 34º
28
unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Resolución
TemaReducción al primer cuadrante
Análisis y procedimientoPiden
K = − −+
tan º tan ºtan º tan º
tan º343 107197 73
163
K = − − − −+ +
×
×
tan( º º ) tan( º º )tan( º º ) tan º360 17 180 73
180 17 73
((tan( º º ))180 17−
K = ++
−tan º tan º
tan º tan º( tan º)
17 7317 73
17
\ K=–tan17º
Respuesta
Simplificando la expresión K se obtiene –tan17º.
AlternAtivA A