Solucionario UNI- 2014-2 - Matemática

11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO

2

MATRICES

1. Efectuando operaciones y despejando x

5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A

( ) ( )1 3

8 4A 12 B C A B C2 2

x x= − + → = − +

1 8 1 2 4 141 13

7 3 3 1 2 62 2x

− − = − = − −

2 7

1 3x

= −

∴ det(x) = 13

Respuesta

13

SISTEMA DE ECUACIONES

2. Mediante la regla de Cramer

2 2

1 1sα β

∆ = = α + α − β + ββ − α +

11 3

3 1x− β

∆ = = −α − − βα +

13 1

1 3yα −

∆ = = α + β −α −

Luego: 1; 1yx

sx x y

s

∆∆= = − = =

∆ ∆

CS = (– 1; 1)

Respuesta

– 1; 1

SERIES

3. 0 0

1 1S

2 2

k k

k k

∞ ∞

= =

= − + ∑ ∑

1 1S

11 1122

= + −− −

2 8S 2

3 3= + =

Respuesta

S = 83

SERIES

4. Sea

3 3 3 31 1 1 1

S 1 ...8 162 4

= + + + + +

Podemos escribir

3

3 30

3

1 1 2S

12 2 112

k

k

∞

=

= = = − −∑

Respuesta3

32

2 1−

TEORÍA DE ECUACIONES

5. 1 1 1 1a b x a b x

+ = −+ +

a b+ a bab

− +=

( )( )x x a b+ +

x2+(a+b)x+ab = 0

(x+a)(x+b) = 0

x1 = – a (menor)

x2 = – b (mayor)

1

2

x ax b

=

Respuestaab

MATEMÁTICA (PARTE 1)

3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA

3

DESIGUALDADES

6. 2 1 11 2 1 3 1

1 3 3x

x x xx

−< → − < − ∧ ≠

−

|2x – 1|2 < |3x – 1|2

(5x – 2)x > 0 ∧ x ≠ 13

2 1

05 3

x x x< ∨ > ∧ ≠

2; 0 ;

5x ∈ −∞ ∪ + ∞

2S ; 0 ;

5= −∞ ∪ + ∞

[ ]C 2

S 0; ;5

a b = =

∴ 3a+5b = 2

Respuesta

2

FUNCIONES

7. y2+2y = x+1

(y+1)2 = x+2

Como y > 0

y+1>1

(y+1)2>1

x+2 > 1

x >–1

Dom (f)= ⟨–1; +∞⟩

Respuesta

⟨1; +∞⟩

8.

(1; 2)(3; 4)

y=x+1Y

X

y=x–1

(3; 2)

(3; 0)(1; 0)

a+b+c+d+e+f+g+h=16

Respuesta

16

9. f(ax+by) = af(x)+bf(y)

a=0; y=1→ f(b) = bf(1)

Como f(1) = 1

Entonces f(b) = b, ∀b ∈

Tenemos y2+6y+9=n2

(y+3–n)(y+3+n) = 0

y1=n – 3 ∨ y2= –n–3

Respuesta

n–3

10. R1=(x, y) ∈2 / y ≥(x+1)log(x+1)(x)

y ≥x; x>0

Y

X

R2=(x, y) ∈2 / y ≤1+log(x+2)

Y

X

Tenemos R1 ∩R2

Y

X

Respuesta

C


4

FUNCIONES

11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x

I. Es creciente:

f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x(–0,001)

f ‘(x) > 0

II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0)

f(x) = 2000 – 1000 = 1000

III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x) x→+∞ x→ +∞

= 2000

Entonces: VVV

Respuesta

VVV

FUNCIONES

12.

I. Sea A= 0

0 0

a b c

d e

f

→ AT=

0 0

0

a

b d

c e f

A=AT → b=0 y c=0 ∧ e=0 (F)

II. A=

0 0

0

a

b c

d e f

→ AT= 0

0 0

a b d

c e

f

A=–AT → A=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

(V)

III. (V)

Respuesta

FVV

MATRICES

13. N = 111111(3)

Expresándolo en base 9 con cambio de base especial

N = 444(9)

Piden multiplicar N consigo mismo

4 4 4(9) ×

4 4 4(9)

1 8 8 7(9)

1 8 8 7(9)

1 8 8 7(9)

2 2 1 6 6 7(9)

Ahora: N × N = 221667(9)

Expresando dicho producto en base 3 con cambio de base especial

N × N = 20201202021(3)

Suma de digitos:

2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3)

Respuesta

110(3)

IRRACIONALES

14.

I. Si y ∈ \0 y x ∈ , entonces por propiedad de clausura

yx ∈. (V)

II. Si a y b son irracionales, entonces a+b y a × b son racionales.

→ si tomamos, a= 2 y b= 2, no se cumple. (F)

III. Si a ∈ y b es irracional, entonces

a × b es irracional.

→ si tomamos, a=0, a × b=0, no se cumple. (F)

Respuesta

VFF



5

RADICACIÓN EN N

15. Dato:

1 7 a b c d 9 1 3 3 11 2 3 × 3 = 6 9– 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9

6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1– 8 b c

7 8 9– 2 6 d 9

2 6 6 1– – – e

Observe:

8+69=77=7a → a=7

26+789=815=8bc → b=1 y c=5

e+2661=26d9 → e=8 y d=6

Piden

E = e+d – c+b – a

E = 8+6 – 5+1 – 7

∴ E = 3

Respuesta

3

MAGNITUDES PROPORCIONALES

16. Dato: (y – 4) IP (x2 – 4)

Respecto a sus valores se cumple:

(y – 4)(x2 – 4)=k’

Para el par ordenado: (–1; –2) →x=–1 ∧y=–2

Reemplazando

2

–6 –3

(–2 – 4)((–1) – 4) 18k k′ ′= → =

Ahora: (y – 4)(x2 – 4)=18

218

– 4– 4

yx

=

∴ 218

4– 4

yx

= +

Respuesta

218

4– 4

yx

= +

PROMEDIOS

17. Dato: a ∈ ∧b ∈,a>b

Además: 2

2

MA( ; ) – MH( ; ) 1a b ab

a b

a b a b+

+

=

–

(a+b)2 – 4ab=2(a+b)

a2 +b2 + 2ab – 4ab=2(a+b)

a2 +b2 – 2ab=2(a+b)

2

4 8( – ) 2( )a b a b= +

(a – b)2 es cuadrado perfecto y piden el menor valor de

2 2a b+

8

– 4

a b

a b

+ = =

a=6

b=2

∴ 2 2 2 26 2 40 2 10a b+ = + = =

Respuesta

2 10

REGLA DE INTERÉS

18. Tenemos

C=S/. N

r %=6 %

I=S/. 825

t= años

C=S/. (N+7125)

r%=10 %

I=S/. 1850

t= años

donde 1850=(N+7125)10 %· t

8250=N·6 % · t

Dividimosysimplificamos

37 N 712555 2N

+=


6

74N=55N+55×7125

19N=55×7125

N=55×375=20 625

Piden suma de montos

M1=20 625+825=21 450

M2=27 750+1850=29 600

∴M1+ M2=51 050

Respuesta

51 050

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

19.

N.º de hijos N.º de familias

0-2 1200

3-6 400

7-9 150

10-12 30

13-15 15

Distribución uniforme

4-6 →300 familias

7-9 →150 familias

10-11 →20 familias

∴De 4 a 11 hijos → 470 familias

Respuesta

470

PROBABILIDADES

20. I. Sean A, B y C eventos (F)

P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –

P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+

P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)

Sabemos que por el principio inclusión y exclusión

P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –

P(A ∩ B) – P(B ∩ C) –

P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)

II. Sean (F)

S = (x; y) / x, y ∈ 1; 2; 3; 4; 5; 6

B = (x; y) ∈ S / 1+y < x

→ P(B) = 512

1

123456

Y

2 3 54 6 X

B

P(B) = 1036

= 518

III. Si B ⊂ A, entonces (V)

P(A\B) = P(A) – P(B)–

( )

( )( )A\ B

P A\ Bnn

=Ω

( ) ( )( ) ( )A B

pues B An n

n−

= ⊂Ω

( )( )

( )( )

A Bn nn n

= −Ω Ω

= P(A) – P(B)

Respuesta

F F V

COORDENADAS POLARES

21. Tenemos la ecuación polar de la cónica r = 8

4 + 3cos q

que es equivalente a

r = 2

1 + 34

cos q =

ρe1 + e cos q

de donde determinamos que la excentrici-

dad (e) de la cónica es 34

.



7

Entonces, la ecuación polar dada repre-senta a una elipse.

Respuesta

Elipse

R.T. POSICIÓN NORMAL

22. (cot q)2tan q = 23

2 32

cot q = 23

para x = 2 y = –3 r = 13

E = 3 – 2

13 + 2 – 3

13

E = – 12

13

Respuesta

– 12

13

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

23. cos2x – cos x – 1 = 0

cos x = 1 – 52

≅ –0,61

p22p

3

5p6

–0,5

–0,61

p0

X

Y

x

p2

<x<5p6

Respuesta

p2

<x<5p6

LONGITUD DE ARCO

24.

A

B C

x

y

D

r

1 – r

E

F

p4

rad

p4

rad

x = pr4

y = p4

(1 – r)

y = p4

– pr4

Luego x + y = p4

Respuesta

p4

RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

25. M = sen4 p2

+ sen42p7

+ sen43p7

Como

sen4q = 38

– 12

cos 2q + 18

cos 4q

Nos piden

M = 98

– 12

cos 2p7

+ cos 4p7

+ cos 8p7

+

cos6p7


8

18

cos 4p7

+ cos 8p7

+ cos 12p7

cos6p7

cos2p7

M = 98

– 12

cos 2p7

+ cos 4p7

+ cos 6p7

+

18

cos 2p7

+ cos 4p7

+ cos 6p7

M = 98

– 38

cos 2p7

+ cos 4p7

+ cos 6p7

Pues

cos 2p7

+ cos 4p7

+ cos 6p7

= –12

M = 98

– 38

–12

→ M = 2116

Respuesta

2116

NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA

26.

5,5 cmr = 0,5 cm6 cm

A B

O

60°

Como se sabe, el número de vueltas (n) que gira una rueda, está dado así

2n

r=

πl

donde

l: longitud de la trayectoria descrita por

el centro de la rueda

r: radio de la rueda

para el problema: (5,5)

32 (5,5)

n

π×

=π

n = 611

No hay clave

Nota:

Siconsideramoselgráficoque

r = 0,5 cm

r = 6 cm

A B

O

60°

Tendremos que

6

32 (0,5)

n

π×

=π

→ n = 2

De esa manera la clave correcta sería la B.

Respuesta

2

RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

27.

α

αα

A

C

B

a

Qatanα

atanαatanα

M

P

1

1

a x

θ

AQM ~ MCP: AQ = CP = a



9

AQB: tan2 tan cot

aa a

θ =α + α

→ 1

tan2 tan cot

θ =α + α

PCB: cotα = x

Así: 1

tan2

xx

θ =+

Si θ es máximo, entonces tanθ también es máximo, y esto se da cuando

22x x

x= → =

Respuesta:

2

POLÍGONO REGULAR

28.

R

60º

α

A C

B

Sea O: centro

Piden: α

Dato: l = R

Si AC = l = R, entonces: AC = L6

AC 60ºm =

Por teorema

60º30º

2α = =

Respuesta:

30º

POLIEDRO REGULAR

29.

x

PS

Q

B C

D

d

d

d

R

A

Piden: m entre

CS y

BD

QS//BD

→ m entre CS y BD= m entre QS y CS=x

∆ QSC: equilátero

∴ x=60º

Respuesta

60º

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO)

30.

9

Base de la pirámide inscrita en la base del cono

1A

B

O

C

D

12

2

4 5

Pide E=Vcono–Vpirámide


10

= π ⋅ − ⋅221 1

E 1 4 5 2 4 53 3

( )= π −

4 5E 2

3

Respuesta

( )= π −4 5

E 23

m3

RECTAS Y PLANOS

31. D

B

A

CH

60º

30º

363

572536

5

De los datos, el DBH es notable de 30º y 60º.

Enelgráfico

∆ = ×ADC

72 ACS

5 2

∆ = ×ABC

36 ACS

5 2

∴ ∆

∆=ADC

ABC

S2

S

Respuesta

2

32.

Vx6

6

22

2 2a

a

b

b

O

Piden: Vx máximo

Vx=6ab

+ = =2 2 24 16a b Empleando medias

≥MA MG

+≥

2 22 2

2a b

a b

+≤

2 2

2a b

ab

≤ 8ab

≤6 48ab

→ ≤V 48x

∴ Vx máximo =48

Respuesta

48

TRIÁNGULOS CONGRUENTES

33.

θ

θ

2θ

x

θθ

30º30º

A

B

E

a

a

H

l

l

l

C a B

Piden: x

Dato:∆ABCD:equilátero



11

Se deduce: BE=EC (T. mediatriz)

∆BEC ≅ ∆ECO

(L-L-L)

En “C”: 3θ=60º θ=20º

∆AED:medidadel<)exterior

= + θ

=20º

30º

50º

x

x

Respuesta

50º

CUADRILÁTERO

34.

A

B

C

D

L

θθ

w w

β

α

x

Piden: x

Dato: α – β=24º

ABCL: θ + β + w + x=360º

Propiedad

x=θ+β+w

Sumando

2x + α = 360º + β

2x + α – β = 360º

2x + 24º = 360º

∴ x=168º

Respuesta

168º

TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS

35.

A

B

T

h

l tl + t

l + t

M C

K2r

K1r

r

Teorema de Poncelet

ATB: l+h=K1r+2r

BTM: t+h=l+ +2K2r

Sumando

2h=K1r+2r+2K2r

ATB: h<K1r

2h < 2K1r

Reemplazando

K1r+2r+2K2r<2K1r

2r+2K2r<2K1r

2(1+K2)<K1

2

1

K 1 1K 2

+∴ <

Respuesta

2

1

K 1 1K 2

+∴ <

RELACIONES METRICAS

36.

A

P

O

B

RR R /2

R /2

R /2R /2

O'R 2

4 2


12

Piden: R

O’ P O: T. de Pitágoras

(O’P)2=(3R/2)2 – (R/2)2 O’ P= R 2

Por teorema

R 2 4 2R 4

==

Respuesta

4

CIRCUNFERENCIA

37.

B E

C

DFA

x

t

a

b

l

mn

Piden: EF=x

Datos:

AB+CD=30 → a+b=30

BC+AD=50 → m+n+l+t=50

Teorema de Pitot

ABEF: a+b=m+l

FECD: x+b=n+t

Sumando

a+b+2x=m+n+t+l

→ 30+2x=50

∴ x=10

Respuesta

10

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

38.

A

B

C

D

E

2α

α

α

2α5k

3k

3

5

x

T

Piden: AB=x

Dato: BD // AE

Teorema: CD // BE

∆ BTE: TD=5k y DE=3k

∆ ATE: Corolario

= → =

8 54,8

3k

xx k

Respuesta

4,8

ÁNGULO DIEDRO

39.

D

C B

A

H6

12

1260º

x

T

66 3

Piden: d (C; ∆ ABD)=x

∆ ABC: equilátero

AH=BH=6 y CH=6 3

CTH (notable de 30º y 60º)

∴ x=9

Respuesta

9



13

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA

40.

=AC

L ?

R=2r

2r 2rαα

r

r

O′CA

O

Delgráfico

= α → = αAC AC

L (2 )(2 ) L 4 ..... (1)r r

En el ∆ OAO′: por el teorema de cosenos

+ −α = =

2 2 2(2 ) (2 ) 7cos

2(2 )(2 ) 8r r r

r r

También

α = → α =

15 15

sen arcsen8 8

Reemplazando en (1)

=

AC

15L 4 arcsen

8r

Respuesta

154 arcsen

8r

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