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$: Matemática - cloud.vallejo.com.pecloud.vallejo.com.pe/Miercoles-webEj606EipXjGG.pdf · Solucionario de Matemática UNI 2017-1 3 PREGUNTA N.o 4 Sea la fracción a 3 (a y 3 primos$
1

SOLUCIONAIO

UNIMatemática

Examen deadmisión

2017-1

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 1

Sean los conjuntos

A abcdefa

= ( )12

las cifras son consecutivas

y crecientes, > 0

B abcdef=

( )12


y decrecientes

Halle el número de elementos de A ∪ B.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN

Tema: Conjuntos numeración

Análisis y procedimiento

• A abcdefa

= ( )12


y crecientes, > 0

se debe cumplir que 0 < a < b < c < d < e < f < 12

Por extensión, tenemos que A= ( )( ) ( ) ( ) ( )123456 234567 6789 10 1112 12 12; ,...,

→ n(A)=6

• B abcdef=

( )12


y decrecientes

se debe cumplir que 12 > a > b > c > d > e > f ≥ 0

Por extensión, tenemos que

B= ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

11 10 9876 10 98765

654321 543210

12 12

12 12

, ,...,

, )) → n(B)=7

Se observa que A y B son disjuntos.

Nos piden n(A ∪ B)=n(A)+n(B) n(A ∪ B)=6+7

∴ n(A ∪ B)=13

Respuesta: 13

PREGUNTA N.o 2

La suma de las cifras de los cuatro últimos dígitos de

E = + + + + + + +2 22 22 2 3 33 33 3

51 51

... ... ... ...

dígitos dígitos

es

A) 11 B) 13 C) 16 D) 17 E) 19

RESOLUCIÓN

Tema: Operaciones básicas en Z+


Piden la suma de los cuatro últimos dígitos de E.

Por dato E = + + + + + +2 22 22 2 3 33

51

51

... ... ...

dígitos

sumandos

++ 33 3

51

51

...

dígitos

sumandos

CESAR

VALLEJO

ACADEMIA

CREEMOS EN LA EXIGENCIA

UNI 2017-1 Academia CÉSAR VALLEJO

2

Entonces E = + + + +5 55 555 55 5

51

51

... ...

dígitos

sumandos

Ordenamos los sumandos en vertical.

5

5 5

5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5 5

7 2 5 5

51

25

27

27

...

...

+

sumandos

En las unidades: 5×51= 255lleva queda

En las decenas: 5×50+25= 275lleva queda

En las centenas: 5×49+27= 272lleva queda

En las unidades de millar: 5×48+27= 267

lleva queda

Por lo tanto, la suma (S) pedida es

S=7+2+5+5=19

Respuesta: 19

PREGUNTA N.o 3

Sea r el residuo de dividir

E=33n+32n+3n+3 entre 8.

Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.I. r=6, si n es par.II. r=6, si n es impar.III. r=2, si n es impar.

A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I y III

RESOLUCIÓN

Tema: Teoría de divisibilidad


Sabemos que

E rn n n= + + + = +3 3 3 3 83 2o

residuo

Analizamos cada caso: par e impar.• Sin es par Recuerde que

impar

paro

( ) = +( )

8 1

→ E=33n+32n+3n+3

E = +( ) + +( ) + +( ) + = +8 1 8 1 8 1 3 8 6o o o o

∴ r=6

• Sin es impar → n = 2k+1; k ∈Z+

E = 33(2k+1)+32n+32k+1+3

E = 36k · 33+32n+32k · 3+3

E = +( ) +( ) + +( ) + +( ) +8 1 8 3 8 1 8 1 3 3o o o o

E = + + + + + + o o o

8 3 8 1 8 3 3

E = +8 2o

∴ r=2

LuegoI. Verdadera

Por lo analizado r=6 si n es par.

II. Falsa

Por lo analizado no cumple que r=6 si n es impar.

III. Verdadera

Por lo analizado r=2 si n es impar.

Respuesta: I y III

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UNI 2017-1Solucionario de Matemática

3

PREGUNTA N.o 4

Sea la fracción a

3 (a y 3 primos entre sí), con a > 0.

Al numerador le agregamos el número A ∈N

y al denominador 2A, se obtiene una fracción equivalente que es la mitad de la fracción original, entonces la suma de todos los valores posibles de a es:

A) 4 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

RESOLUCIÓN

Tema: Números racionales


Dada la fracción a

3

por condición

a A

A

aA

++

= × ∈3 2

1

2 3; N

a A

A

a+

+=

3 2 6

6a+6A=3a+2Aa

6A=a(2A – 3)

aA

A=

−

6

2 3

aA

A=

− +

−

6 9 9

2 3

aA

= +−

39

2 3 Es divisor entero positivo de 9.

→ 1, 3 o 9

EvaluamosSi 2A – 3=1 → A=2 → a=12Si 2A – 3=3 → A=3 → a=6Si 2A – 3=9 → A=6 → a=4

Como a es PESI con 3, el único valor de a es 4.

Respuesta: 4

PREGUNTA N.o 5

Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:I. Entre dos números racionales existe al menos

un número irracional.II. El número p se puede expresar exactamente

como un número racional r =22

7.

III. La suma de dos números irracionales es un número irracional.

A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Racionales


SeanQ: el conjunto de los números racionalesQ’: el conjunto de los números irracionalesR: el conjunto de los números reales

+∞–∞R

∈Q

∈Q'

2

–1 0 14

–0,5 1 2 3

e p

4

I. Verdadera

Porque • Q no es continuo en R. • LaunióndisjuntadeQ y Q' da R, es decir, Q ∩ Q'=f Q ∪ Q'=R

II. Falsa

Porque p∈Q' y r = ∈

22

7Q

III. Falsa

Contra ejemplo a a= + ∈2 5; 'Q ; b b= − ∈5 2; 'Q

Luego, a+b=10 ∧ 10 ∈QNotaLa adición no cumple la ley de clausura o cerradura en Q'.

Respuesta: VFF

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4

PREGUNTA N.o 6

Se dispone de tres recipientes cúbicos cuyos lados de longitud L1, L2, L3 cumplen con la siguiente condición:L L L1 2 3

1 2 3= =

Se pretende distribuir 434 litros de agua entre los tres recipientes de modo que alcancen el mismo nivel o altura. Determine los litros de agua que recibe el recipiente de longitud L2.

A) 112 B) 120 C) 124 D) 136 E) 146

RESOLUCIÓN

Tema: Razones - proporciones - SRGE


Por condición

434

L1 L2 L3

H V 1V 1 H V 2V 2 H V 3V 3

Donde

V L H V L H V L H1 12

2 22

3 32= × = × = ×; ; (I)

Por dato

L L L L L L

L H L H L

1 2 3 12

22

32

12

22

1 2 3 1 4 9

1 4

= = → = =

→×

=×

= 332

9

× H (II)

Entonces de (I) y (II), se tiene

V V V1 2 3

1 4 9

434

1431= = = =

+

+

∴ V2=4×31=124

Respuesta: 124

PREGUNTA N.o 7

Se elige aleatoriamente un número entero de cinco cifras. Calcule la probabilidad que dicho número sea par y la suma de sus cifras sea 42.

A) 7

910 4× − B)

11

910 4× − C)

13

910 4× −

D) 11

910 3× − E)

13

910 3× −

RESOLUCIÓN

Tema: Teoría de probabilidades


Recuerde que para un evento A contenido en un espacio muestral W, la probabilidad (definición clásica) de que ocurra el evento A, se calcula así

P AA n A

( ) = =( )N.º de casos favorables de

N.º de casos totales nn Ω( )

Casos favorables

abcde

suman 42 0

suman 40 2suman 38 4suman 36 6suman 34 8

es par e es par o cero.

Observación

En la base 10, la suma de 4 dígitos es como máximo 36.

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5

Entoncessi e=6 → a=b=c=d=9

∴ hay un caso

si e=8 → abcd8

7999 → P 4 1 3

4

1 34; ;

!

! !( ) = ×= casos

8899 → P 4 2 2

4

2 26; ;

!

! !( ) = ×= casos

∴ (N.º de casos favorables)=1+4+6=11

Casos totales

abcde : ; ; ; ...;10 000 10 001 10 002 99 999

90 000 numerales

Por lo tanto, la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 cifras, dicho número sea par y sus cifras sumen 42 es

P = = × −11

90 000

11

910 4

Respuesta: 11

910 4× −

PREGUNTA N.o 8

Sean a, b, a, b ∈N, N=aabb, M=aa+1bb+1, con a y b primos diferentes. Si N es un cubo perfecto y M es un cuadrado perfecto. Entonces indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. El número de divisores de N M3 ⋅ es impar.II. El producto ab(a+1)(b+1) es múltiplo de 36.III. El número de divisores de N M3 ⋅ es par.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Números primos y compuestos


Del enunciado se tiene• N=aa×bb (D.C.) Como N es un cubo perfecto, entonces

α β= ∧ =3 3o o

.

• M=aa+1×bb+1 (D.C.) Como M es un cuadrado perfecto, entonces

α β+ = ∧ + =1 2 1 2o o

→ αα

α=

+

− +

→ = +

= + ∈ +

o

o

o3 3

2 1 4

6 3

6 3 0k k; Z

Análogamente con b se tiene

β

β

= +

= + ∈ +

6 3

6 3 0

o

n n; Z

De donde se tiene que

N=a6k+3×b6n+3 (D.C.)

M=a6k+4×b6n+4 (D.C.)

y sea P N M= ⋅3

P = a2k+1×b2n+1×a3k+2×b3n+2

→ P = a5k+3×b5n+3 (D.C.)

Evaluando las proposiciones, tenemos

I. Falsa

CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los

valores que tomen k y n.

II. Verdadera

ab(a+1)(b+1)

→ (6k+3)(6n+3)(6k+4)(6n+4)

→ 3(2k+1)3(2n+1)2(3k+2)2(3n+2)

→ 36(2k+1)(2n+1)(3k+2)(3n+2)=36o

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6

III. Falsa

CD(P)=(5k+4)(5n+4) Puede ser par o impar, dependiendo de los

valores que tomen k y n.

Respuesta: FVF

PREGUNTA N.o 9

Sean las ecuacionesy=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3Determine los valores reales de m para que nunca se intersequen.

A) ⟨– 5; –1⟩ B) ⟨– 5; 1⟩ C) ⟨1; 5⟩ D) R\ [– 5; –1] E) R\ ⟨– 5; –1⟩

RESOLUCIÓN

Tema: Gráfica de funciones


A partir de las funciones y=x2 – 3x+4 ∧ y=mx+3

Se tiene la representación

X

Y

34

3/2

1/4

Como se piden los valores reales de m para que nunca se intersequen.

igualamos las expresiones

x2 – 3x+4=mx+3

→ x2 – (m+3)x+1=0

Se cumple que su discriminante es negativa.

→ (m+3)2 – 4(1)(1) < 0

→ (m+3)2 < 4

→ – 2 < m+3 < 2

→ – 5 < m < –1

∴ m ∈⟨– 5; –1⟩

Respuesta: ⟨– 5; –1⟩

PREGUNTA N.o 10

Si E=⟨– ∞; 2] es el conjunto solución de la inecuación |x – a| ≤ |x – b|, 0 < a < b, entonces el menor valor de (a+b)2 es:

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

RESOLUCIÓN

Tema: Valor absoluto


Se tiene la inecuación |x – a| ≤ |x – b|; 0 < a < b

→ (x – a)2 ≤ (x – b)2

→ (x – a)2 – (x – b)2 ≤ 0

→ (x – a+x – b)(x – a – x+b) ≤ 0

→ 2 0x a b b a− −( ) −( ) ≤+( )

→ 2x – a – b ≤ 0

→ xa b

xa b

≤+

→ ∈ −∞+

2 2;

Como el conjunto solución es E=⟨ – ∞; 2], tenemos

→ a b+

=2

2

→ a+b=4

∴ (a+b)2=16

Observación

El valor de (a+b) es único.

Respuesta: 16

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7

PREGUNTA N.o 11

Sea A z z z z= ∈ −( ) −( ) = + C : 4 3 3 152

Halle z0 ∈A tal que |z0| sea mínimo.

A) –1 B) 1 C) i

D) – 7i E) 7

RESOLUCIÓN

Tema: Números complejos


Tenemos

A z z z z= ∈ −( ) −( ) = + ( )

C : 4 3 3 152

I

Graficamos ADe (I)

4 3 9 152 2

z z z z− +( ) +( ) = +

3 12 21 02

z z z− +( ) + =

z z z2

4 7 0− +( ) + = (II)

Ahora, sea z=x+yi en (II)

x2+y2 – 8x+7=0

(x – 4)2+y2=32

Im

Re

A

3

1 4

En la gráfica, z0 ∈A.

Entonces, z0 mínimo es z0=1.

Respuesta: 1

PREGUNTA N.o 12

Dados a; b ∈R y los problemas de programación lineal

mín ax+by (1) máx ax+by (2)sa (x; y) ∈ D sa (x; y) ∈ D

Sea (x0; y0) solución del problema (1). Señale la alternativa correcta después de determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:I. ( – x0; – y0) es solución del problema (2).II. Si D ≠ f, entonces la solución de los problemas

(1) y (2) son distintas.III. Si las soluciones de los problemas (1) y (2)

coinciden, entonces D x y= ( ) 0 0; .

A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Programación lineal


Analizamos las proposiciones.I. Falso

Si (x0; y0) es solución de (1) y (x0; y0) ∈IC,

entonces, (– x0; – y0) ∈IIIC.

∴ (– x0; – y0) no es solución del problema (2).

II. Falso

Si D x y= ( ) '; ' , entonces

mín ax+by=máx ax+by.

III. Falso

Si tenemos que

D

x y

x y

x

y

z x y=

+ ≤

+ ≥

≥

≥

= +

5

5

0

0

4 4;

al resolver tenemos que

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8

Y

X5

D

5

→ máx z=20 ∧ mín z=20. Las soluciones de

(1) y (2) coinciden, pero D x y≠ ( ) 0 0;

(D es segmento)

Respuesta: FFF

PREGUNTA N.o 13

Sean f: [2; 4] → A, f(x)=1– 2x biyectiva y

g: A → B, gxx( ) = +

7

1 biyectiva.

Determine B.

A) − −

7

2

7

6;

B) − −[ ]7 3;

C) − −

21

2

25

6;

D) − −

2125

3;

E) 2 4;[ ]

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones


Tenemos

• f: [2; 4] → A; f(x)=1 – 2x

Como f es biyectiva, A=Ran( f ).

De 2 ≤ x ≤ 4

– 7 ≤ 1 – 2x ≤ – 3

Luego,

Ran( f )=A=[– 7; – 3]

• g: A → B, g xx

( ) =+7

1

Como g es biyectiva

A=Dom(g) ∧ B=Ran(g)

→ A=[– 7; – 3]

→ – 7 ≤ x ≤ – 3 +1

– 6 ≤ x+1 ≤ – 2 invertimos

− ≥+

≥ −1

6

1

1

1

2x

×(7)

− ≥+

≥ −7

6

7

1

7

2x

− ≤+

≤ −7

2

7

1

7

6x

− ≤ ≤ −7

2

7

6g x( )

∴ B = − −

7

2

7

6;

Respuesta: − −

7

2

7

6;

PREGUNTA N.o 14

Al efectuar la división

x n x n

x

n+ − +( ) +

−

1 11

el término independiente del cociente que resulta es

A) – 2n B) – n C) 0 D) n E) 2n

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9

RESOLUCIÓN

Tema: División algebraica


En la división indicada

x n x n

x

n+ − +( ) +

−

1 11

Aplicamos la regla de Ruffini.

x=1 1 1 1 1 –n. . .

11 1 1 –n 0. . .

01 0 0 –(n+1) n. . .

(n+2) términos

→ q(x)=xn+xn –1+xn – 2+...+x – n

Por lo tanto, el término independiente de q(x) es – n.

Respuesta: – n

PREGUNTA N.o 15

Sean a; b; c ∈R tales que 0 < a < b < c y x1 < x2. Siendo (x1; y1) y (x2; y2) soluciones del sistema de ecuaciones

y=ax2+bx+c

y=cx2+bx+a

entonces podemos afirmar que

A) x1, x2, y1, y2 > 0

B) x1, x2 < 0; y1, y2 > 0

C) x1, x2 > 0; y1, y2 > 0

D) x1 < 0; x2, y1, y2 > 0

E) x1 > 0; y1, y2 < 0

RESOLUCIÓN

Tema: Sistema de ecuaciones no lineales


Se tiene 0 < a < b < c → c – b > 0

(x1; y1) y (x2; y2) son soluciones del sistema.

y=ax2+bx+c

y=cx2+bx+a

De

ax2+bx+c=cx2+bx+a

(a – c)x2=a – c; a – c ≠ 0

x2=1

Si

x=1 → y=a+b+c

x= –1 → y=a – b+c

Luego, las soluciones son

( – 1; a – b+c) y (1; a+b+c)

Como x1 < x2

→ x1= – 1; y1=a – b+c > 0 (c – b > 0 ∧ a > 0)

→ x2=1; y2=a+b+c > 0 (c > b > a > 0)

∴ x1 < 0; x2, y1, y2 > 0

Respuesta: x1 < 0; x2, y1, y2 > 0

PREGUNTA N.o 16

Determine los puntos de intersección de la gráfica

de la función definida por f x xx( ) = − +2 2

con la recta 3x – 2y= – 11.

A) ( – 1; 2), (3; 9) B) (1; – 4), (3; 10) C) (–1; 4), (3; 10) D) ( – 1; 1), (4; 9) E) (1; – 4), (3; 12)

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10

RESOLUCIÓN

Tema: Gráfica de funciones


Tenemos

y=f(x)=|x – 2|+x2

3x – 2y= – 11 → y x= +3

2

11

2

Igualando ordenadas

x x x x x x− + = + → − = − + +23

2

11

22 4 2 3 112 2

→ 2x – 4= – 2x2+3x+11 ∨ 2x – 4=2x2 – 3x – 11

0=2x2 – x – 15 ∨ 0=2x2 – 5x – 7

(2x +5) (2x – 7)

(x – 3) (x +1)

0=(2x+5)(x – 3) ∨ 0=(2x – 7)(x+1)

x x= − ∨ =

( )( )

5

23

no cumplesí cumple

x x= − ∨ = −

( )( )

7

21

no cumplesí cumple

Luego

si x=3 → f(3)=10=y → (x; y)=(3; 10)

si x= – 1 → f( – 1)=4=y → (x; y)=( –1; 4)

Por lo tanto, los puntos de intersección son(3; 10), ( –1; 4).

Respuesta: ( –1; 4), (3; 10)

PREGUNTA N.o 17

Halle el valor de x silog log log logx y

x y

= − −

=

−

1024 3 2

2 256

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24

RESOLUCIÓN

Tema: Logaritmos


Tenemos

log x=log 1024 – 3 log 2 – log y

log x+log y = log 1024 – log 8

log xy = log 128 → xy=128

Además

2x – y = 256=28 → x – y=8

Se forma el sistema

xy x y

x y

= > ∧ >

− =

128 0 0

8

;

Entonces x=16; y=8

Por lo tanto, el valor de x es 16.

Respuesta: 16

PREGUNTA N.o 18

Determine la traza de A, si se cumple que

A I A I+( ) =

−( ) = −

2 21 2

0 1

1 0

0 1y

A) 1 B) 5/4 C) 2

D) 2 E) 4

RESOLUCIÓN

Tema: Matrices


A I A I+( ) − −( ) =

− −

=

2 2 1 2

0 1

1 0

0 1

2 2

0 2

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11

42 2

0 2

1 2 1 2

0 1 2A A=

→ =

/ /

/

∴ ( ) = + =traza A1

2

1

21

Respuesta: 1

PREGUNTA N.o 19

Considere la progresión aritmética

3a(n); 43(n+1); 4a(n+2); ...

donde la suma de los tres primeros términos es mayor que 170. Si n es el menor posible, calcule la suma de los primeros 12 términos de esta progresión.

A) 1150 B) 1330 C) 1340

D) 1350 E) 1650

RESOLUCIÓN

Tema: Sucesiones


Se tiene la progresión aritmética (PA).

3an; 43(n+1); 4a(n+2); ...

(3n+a); (4n+7); (4n+8+a); ...

r r

r r

La suma de los 3 términos en función del término

central y la razón (r).

(4n+7 – r)+(4n+7)+(4n+7+r)=12n+21

3(4n+7)=12n+21

Por dato se sabe que

12n+21 > 170

12n > 149

n > 12,4...

En toda PA se cumple

2×(2.º término)=(1.er término)+(3.er término)

2×(4n+7)=(3n+a)+(4n+8+a)

8n+14=7n+2a+8

n a14 10

6 2 + =

Por dato nes mínimo

Luego, la PA inicial sería

41 ; 52 ; 63 ; 74 ; ... ; a12; ...

11 11 11

Su término general es an=11n+41

Entonces el término doce es

a12=11×12+41

a12=173

Nos piden, la suma de los 12 primeros términos de la PA.

Sa a

121 12

212=

+( )×

S12

52 173

212=

+( )×

∴ S12=1350

Respuesta: 1350

CESAR

VALLEJO

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12

PREGUNTA N.o 21

En un cuadrilátero convexo ABCD se verifica

que AB ≅ BC ≅ CD. Si m ABD=13m DBC y

m ADB=6m DBC, halle m DBC.

A) 2º B) 3º C) 4º

D) 5º E) 6º

RESOLUCIÓN

Tema: Congruencia de triángulos


30º

90º – 7a

bb

a

a

ab

b

H

C

A

B

D

S

6a 6a a a

a

90º – 7a90º – 7a

7a7a7a

13a13a

Piden

m DBC=a.

ABC isósceles

→ m BAS=90º – 7a

AS=SC=b

ASB ≅ CHD (ALA)

→ AS=CH=b

AHC notable

→ m CAH=30º

ABD (S m i=180º)

∴ a=5º

Respuesta: 5º

PREGUNTA N.o 20

Considere para cada n ∈N el conjunto

S x x nn = ∈ − = + R : 2 1 1 y

A x x= ∈ < R : 3

Determine la suma de los valores de n, de tal forma que se cumpla Sn ⊆ A.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Tema: Valor absoluto


Tenemos que

• Sn=x ∈ R: |2x –1|=n+1; n ∈ N

→ 2x –1=n+1 ∨ 2x –1=– n –1

xn

=+ 22

∨ xn

=−

2

→ Sn n

n =+ − 2

2 2;

• A x x= ∈ < = −R : ;3 3 3

Como Sn ⊆ A

→ n n+ − ⊆ −

2

2 23 3; ;

Esto es

− <+

< → − − < < −32

23 2 3 2 2 3 2

nn (I)

− <−

< → − < <32

3 2 3 2 3n

n (II)

(I) ∩ (II)

− < < −2 3 2 3 2n como n ∈ N → n=1

Por lo tanto, la suma de valores de n es 1.

Respuesta: 1

CESAR

VALLEJO

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13

PREGUNTA N.o 22

Determine la longitud (en cm) del lado de un

polígono regular inscrito en una circunferencia C de

radio R cm si la longitud del lado de un polígono

de doble número de lados inscrito en C es igual

a R

2 cm.

A) 15

2R

B) 15

3R

C) 15

4R

D) 15

5R

E) 15

6R

RESOLUCIÓN

Tema: Polígonos regulares


x2

R4

R4

x2

15R4R

R

O

CS

H BA qq

qq

Piden AB=x.

Tenemos como condición que BCR

=2

.

AB=longitud del lado de un polígono regular

CB=longitud del lado de un polígono regular

de doble número de lados.

CSO: teorema de Pitágoras

OSR

=15

4

OSC ∼ BHC

HB

OS

CB

CO

x

R

R

R= → =2

15

4

2

∴ x R=15

4

Respuesta: 15

4R

PREGUNTA N.o 23

En un triángulo ABC, se traza BM M AC∈( ) tal que

AM MC=3

4, por M se traza MH ⊥ BC H BC∈( ) y

por A se traza AE ⊥ BM E BM∈( ). Si MH=8 u,

AE = 6 3 u y m MBC=30º, calcule el área del

triángulo MHC (en u2).

A) 30 3

B) 32 3

C) 34 3

D) 36 3

E) 38 3

CESAR

VALLEJO

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14

RESOLUCIÓN

Tema: Áreas de regiones triangulares


Recuerde

nB

m

A

C

A( ABC) =

⋅m n

2

3

8

4qq

38

36 3a=8

38

B

E

H

A M C

P

30º

Piden A( MHC)=S

Sa

S a=⋅

→ =8

24

MHB: BH = 8 3

CP BM⊥

→ AEM ∼ CPM

CP = 8 3

CPB: CB = 16 3

→ a = 8 3

∴ S = 32 3

Respuesta: 32 3

PREGUNTA N.o 24

La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule

el área (en cm2) de la circunferencia que pasa por

los puntos P, Q, R, S, T, U; teniendo en cuenta que

son puntos medios de las aristas.

R

QP

U

S

T

A) pa2 B) pa2

2 C)

22

2pa

D) 2

4

2pa E) 3

4

2pa

RESOLUCIÓN

Tema: Poliedros regulares


2a

22a

2

2a

22a

2

2a

2

2a

2

2a

2

2a

22a

2a

2

a

2

a

2Q

R

P

U

T

S

CESAR

VALLEJO

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15

Sea r el radio de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R, S, T y U.

Nos piden A =pr 2 (*)

Como P, Q, R, S, T y U son puntos medios, entonces, el hexágono PQRSTU es regular.

→ PQ ra

= = =62

2

Reemplazamos en (*)

A =πa2

2

Respuesta: pa2

2

PREGUNTA N.o 25

En la figura se tiene una plataforma rígida ABCD en forma de trapecio tal que AB=DC=2BC=20 cm y una cuerda AP, calcule (en cm) la longitud recorrida por el extremo P, hasta que haga contacto con DC, sabiendo que AP=40 cm.

A) 14p B) 15p C) 16p

P

B

C

54º

54º

AA

DD

D) 17p E) 18p

RESOLUCIÓN

Tema: Circunferencia


Piden la longitud recorrida por el extremo P.(1+2+3)

1

23

3p10

3p10

54º

54º10

10

10

10 20

20

40

C

B

Q

PA

D

P'

T

p5

Como

m DAQ=54º →m QAP=36º

→ mQAP =π

5

→ 15

40= ⋅π

→ 1=8p

Como

BC // AD → m QBC=54º

→ mQBC =3

10

π

→ 23

1020= ⋅

π → 2=6p

Además

mDCT =3

10

π → 3

3

1010= ⋅

π

→ 3=3p

∴ 1+2+3=17p

Respuesta: 17p

CESAR

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16

PREGUNTA N.o 26

En un triángulo ABC, en AC se ubica un punto H, por dicho punto se traza la perpendicular PH a AC, la cual interseca a AB en Q. Si m PAB=53º, m ACB=143º, AP=AB y AH=12 m. Calcule HC (en m).

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN

Tema: Congruencia de triángulos


Piden HC=x.

Dato: AP=AB; AH=12

53º 143º

37º53º 12

12

H xqqq

A

R

C

B

P

Q

Trazamos AR ⊥ BC.

m PAH =m BAR = 53º + q

→ AHP ≅ ARB

→ AH=AR=12

Además

ARC: not 37º y 53º

→ 12+x=20

∴ x=8

Respuesta: 8

PREGUNTA N.o 27

En el paralelogramo ABCD mostrado en la figura, BD ⊥ DC. Se ubica un punto P, en el interior del triángulo ABD, de modo que (AP)2+(PC)2=55 y (PB)2+2(CD)2=30. Calcule PD.

A D

B C

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

RESOLUCIÓN

Tema: Relaciones métricas


Datos

(AP)2+(PC)2=55

(PB)2+2(CD)2=30

CESAR

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17

Nos piden calcular PD.

b

n

n

n m

a xP

A

B

D

C

Q

Del dato

a2+b2=55

m2+2n2=30

APQ (teorema de la mediana)

a2+2=2m2+2n2 (I)

BQCD (teorema de Marlen)

2+x2=m2+b2 (II)

De (I) y (II)

a2 – x2=m2+2n2 – b2

→ x2=25

∴ x=5

Respuesta: 5

PREGUNTA N.o 28

Desde el punto de vista P, se trazan rectas secantes L 1 y L 2 a una circunferencia C. L 1 corta a C en A y

B (AP > BP), L 2 corta a C en E y D (EP > DP). Si AB=10 cm, ED=8 cm y BP+DP=6 cm, determine la longitud (en cm) de BP.

A) 2,8 B) 2,9 C) 3,0 D) 3,1 E) 3,2

RESOLUCIÓN

Tema: Relaciones métricas en la circunferencia


Nos piden BP=a.

Por dato tenemos que a+b=6.

L 1

L 2

E

AB

P

D

b

a10

8

Recuerde que

mn

t

m · n=t

En el problema

(10+a)a=(8+b)b

10 8 2 2

6

a b b a b a b a− = − = +( ) −( )

→ 8a=7b → a=7k; b=8k

15k=6 k=0,4

a = 7×(0,4)

∴ a=2,8

Respuesta: 2,8

CESAR

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18

PREGUNTA N.o 29

En el ángulo triedro trirrectángulo O - ABC; si las áreas de las caras OAB, OBC y OAC miden respectivamente S, 2S y 3S. Entonces el área de la región que determina un plano secante a las aristas y que pasa A, B y C es

A) 2 2S B) 3 2S C) S 14

D) 2 3S E) S 15

RESOLUCIÓN

Tema: Ángulo triedro


Tenemos los siguientes datos:

AOAB=S

AOBC=2S

AOAC=3S

Nos piden AABC.

SS

3S3S

2S2S

A

B

C

O

Como el triedro es trirrectángulo

→ A A A AABC OAB OBC OAC2 2 2 2= + +

→ A S S SABC2 2 2 2

2 3= ( ) + ( ) + ( )

∴ A SABC = 14

Respuesta: S 14

PREGUNTA N.o 30

La figura mostrada es un dodecaedro regular. Calcule la medida del ángulo entre AB y CD.

A) 30º B) 36º C) 45º

C

B

A

D

D) 60º E) 72º

RESOLUCIÓN

Tema: Poliedros regulares


Nos piden calcular x.x: medida del ángulo determinado por AB y CD.

N

C

BAx

36º36º

Q

M

D

En el gráfico, tenemos que

DMNC es un trapecio isósceles.

→ MN // DC

Además, AQNBM es un pentágono regular.

∴ x=72º

Respuesta: 72

CESAR

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19

PREGUNTA N.o 31

La superficie lateral de un prisma recto regular triangular es un rectángulo cuya diagonal mide 12 m y su altura 6 3 m. Calcule el área total del sólido (en m2). A) 38 3 B) 39 3 C) 40 3

D) 41 3 E) 42 3

RESOLUCIÓN

Tema: Prisma


Nos piden AST.

AST: área de la superficie total del prisma regular.

36

6B

C2

2222

2222

A

12

El prisma es regular, por lo tanto, su base es un triángulo equilátero.

AST=ASL+2Abase

A base = =2 3

43

2

ASL = × =6 6 3 36 3

AST = +36 3 2 3

∴ AST = 38 3

Respuesta: 38 3

PREGUNTA N.o 32

En el gráfico AB//FG y ϕ – q=38º. Determine la medida del ángulo formado por L

1 y L

2.

L 2

L 1

B

A G

F

8º

E

C

D

bb

ϕq

aa

A) 15º B) 30º C) 37º

D) 53º E) 60º

RESOLUCIÓN

Tema: Ángulos determinados por dos rectas paralelas con una secante


Piden x.

x: medida del ángulo entre L 1

y L 2

.

Dato: f – q=38º

bb

a

a

x+a

af

q

L 2L 1

F

ED

Qx

B

GA C

8º

CESAR

VALLEJO

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20

AB GF

// entonces

m QEF=b=x+a+8º

→ b – a=x+8º (I)

AB GF

// entonces

2a+f+8º=q+2b

→ f – q+8º=2(b – a) (II)

Como f – q=38º (dato)

De (I)

b – a=x+8

Reemplazamos en (II)

38º+8º=2(x+8º)

∴ x=15º

Respuesta: 15º

PREGUNTA N.o 33

Al eliminar a y b de las igualdades

p sen2(a)+q cos2(a)=a

q sen2(b)+p cos2(b)=b

p tan(a)=q tan(b)

donde p ≠ q, obtenemos

A) 1 1 1 1p q a b− = −

B) p+q=a+b

C) p – q=a – b

D) 1 1 1 1p q a b+ = +

E) a+p=q+b

RESOLUCIÓN

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales


Nos piden eliminar a y b de las igualdades dadas.

• p · sen2a+q · cos2a=a; p ≠ q

(p – a) · tan2a=a – q

tan2 α =−−

a q

p a (I)

• q · sen2b+p · cos2b=b; p ≠ q

(q – b) · tan2b=b – p

tan2 β =−−

b p

q b (II)

• p · tana=q · tanb; p ≠ q

p2 · tan2a=q2 · tan2b (III)

(I) y (II) en (III)

pa q

p aq

b p

q b

2 2⋅−−

= ⋅

−−

Operando

abpqa b p q

⋅ + − −

=

1 1 1 10

∴ 1 1 1 1p q a b+ = +

Respuesta: 1 1 1 1p q a b+ = +

PREGUNTA N.o 34

Sea f: [– p; p] → R la función definida por

f(x)=cos4(x)+sen2(x) – 1

¿En cuántos puntos el gráfico de esta función inter-seca al eje de las abscisas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

CESAR

VALLEJO

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21

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas directas


f(x) intersecta al eje x → f(x)=0

cos4x+sen2x – 1=0

cos4x – cos2x=0

cos cos2 2 1 0x x −( ) =

cos2x(cosx+1)(cosx –1)=0

cos ;x x= → = −02 2

π π

cosx+1=0 → cosx= –1 → x= – p; p

cosx –1=0 → cosx=1 → x=0

Cinco soluciones para x ∈ [ – p; p].

Por lo tanto, f(x) interseca al eje x en 5 puntos.

Respuesta: 5

PREGUNTA N.o 35

Las funciones arc cos y arc tan se intersecan en el punto P. Calcule la abscisa de P.

A) 2 5 2

2

−

B) 2 5 2

2

+

C) 5 1

2

−

D) 5 1

4

−

E) 2 5 7

2

+

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas inversas


Y

Y=arctanx

Y=arccosx

X–1 1

– p/2

p/2

p

0P

En el punto P

arccos arctanx x

α α

=

→ cosa=x ∧ tana=x

secα =1

x

Como

sec2a=1+tan2a

1

12

2

xx= +

1=x2+x4

Completando cuadrados.

x 22

1

2

5

4+

=

x 2 1

2

5

2+ = ±

Como x2 ≥ 0

→ =−

x 2 5 1

2

CESAR

VALLEJO

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22

Como la abscisa de P es positiva, tenemos

x =−5 1

2

∴ =−

x2 5 2

2

Respuesta: 2 5 2

2

−

PREGUNTA N.o 36

En el intervalo π π

2

5

2;

, determine todos los valores

de a donde se cumple csc(a) > cot(a).

A) p p2

;

B) 25

2p p;

C) π π π π

2

3

4

9

4

5

2; ;∪

D) π π

ππ

2

5

62

9

4; ;∪

E) π

π ππ

22

5

2; ;∪

RESOLUCIÓN

Tema: Inecuaciones trigonométricas


Nos piden los valores de a partir de la inecuación dada.Analizamos la inecuación en el intervalo

π π

2

5

2;

→ csc a > cot a

csc cot

tan

α α

α

−

>

>

20

0

Luego

02 2 2

3

2< < ∨ < <α π

πα π

0 < a < p ∨ 2p < a < 3p (I)

Debido a que

π

απ

2

5

2≤ < (II)

De (I) y (II) obtenemos

π

α π π απ

22

5

2≤ < ∨ < <

Por lo tanto, los valores de a son

π

π ππ

22

5

2; ;

∪

Observación

En la clave E se debe considerar cerrado en p2

.

Respuesta: π

π ππ

22

5

2; ;

∪

PREGUNTA N.o 37

Dada la figura

q45º

37º

calcule 37tan(q).

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

CESAR

VALLEJO

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23

RESOLUCIÓN

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo


Tenemos el siguiente gráfico.

q

25k25k

20k

12k16k

45º

37º37º

E

B A

C

D

53º

Se traza BE ⊥ a la prolongación de DA.

En ABC: AB=4a

En AEB: AB=5b

→ AB=20k, BE=16k, AE=12k

AC=25k, AD=25k

BED: tanθ =16

37

k

k

∴ 37tanq=16

Respuesta: 16

PREGUNTA N.o 38

En el gráfico mostrado si AB // CD, entonces el valor de tan(q) es

q

X

C

D

Y

A(0; –4)

B(–6; –8)

A) − 3

2 B) − 1

2 C) − 1

3

D) 1

2 E)

3

2

RESOLUCIÓN

Tema: Reducción al primer cuadrante


Como AB // CD, entonces los ángulos formados por el eje de ordenadas y los segmentos AB y CD son de igual medida.

a

qA(0; –4)

B(–6; –8) 6

4

4

8

X

Y

CESAR

VALLEJO

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24

Como

q+a=180º

→ tanq=– tana

tanθ = −6

4

∴ = −tanθ3

2

Respuesta: −3

2

PREGUNTA N.o 39

Dadas las funciones f y g definidas por

fx

xx( ) arctan=

+

2

1 2, g

x

xx( ) arc sen=

+

2 1

Determine Ran( f ) ∩ Dom(g).

A) 04

;π

B) R

C) ⟨– ∞; 1]

D) [1; +∞⟩ E) [0; 1]

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas inversas


fx

xx( ) =

+

arctan2

1 2; g

x

xx( ) =

+

arcsen2 1

•2

1

2

1

2

12 2

x

x x

xx

x+

=+

=+

xx

xx

xx

+ ≥ → <

+

≤ → <

+

≤1

2 01

1

1

20

2

11

02

1 4<

+

≤arctan

xx

π;

Para x=0,

arctan2

10

2

x

x+

=

luego,

Ran f =

04

;π

•x

x x

xx

x

2 21

1

1

1

1+=

+=

+

xx

xx

+ ≥ ∨ + ≤ −1

21

2

→ 01 1

2

1

2

10< + ≤ ∨ − ≤ + <x

xx

x

− ≤ + ≤ − 1

2

1 1

20x

x

para x=0, g está definida.

→ − ≤ + ≤ ⊂ −[ ]1

2

1 1

21 1x

x;

luego Domg=R

∴ Ran Domf g∩ =

04

;π

Respuesta: 04

;π

CESAR

VALLEJO

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25

PREGUNTA N.o 40

Dada la ecuación general de la cónica C: Ax2+By2+Cx+Dy+F=0 con A, B, C, D, F constantes arbitrarias, se tiene que:I. Si A=B ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecua-

ción de una circunferencia.II. Si B=0 y A ≠ 0, entonces siempre tenemos la

ecuación de una parábola.III. Si A · B < 0 y D2 – 4B2F > 0, entonces siempre

tenemos la ecuación de una hipérbola.Luego son verdaderas:

A) solo I B) II y III C) solo II D) solo III E) I y III

RESOLUCIÓN

Tema: Cónicas


I. Como A=B ≠ 0, entonces, la ecuación sería:

Ax2+Ay2+Cx+Dy+F=0

Completando cuadrados obtenemos

xC

Ay

D

A

C D

A

F

A+

+ +

=

+−

2 2 4

2 2 2 2

2

si C D

A

F

A

2 2

240

+− > Circunferencia

si C D

A

F

A

2 2

240

+− ≤ Caso degenerado

(punto o conjunto vacío)

Por lo tanto, no siempre es una circunferencia.

II. En forma general, la ecuación puede expresarse como sigue:

Ax2+0xy+By2+Cx+Dy+F=0

Pero B=0

→ Ax2+0xy+0y2+Cx+Dy+F=0

Por la teoría de ecuación cuadrática general, tenemos que

02 – 4A(0)=0

La ecuación puede ser una parábola o dos rectas paralelas, o una recta o un conjunto vacío.

III. AB < 0 y D2 – 4BF > 0 (Corrección)

Completando cuadrados en la ecuación obte-nemos

tienen ≠ signo A ≠ 0

B ≠ 0

A +B =

2

x+BC

2+AD

2 – 4ABF

4AB

C

2A

2

Y+D

2B

=BC

2+A(D2 – 4BF)

4AB

Como el segundo miembro es diferente de cero, entonces, la ecuación es una hipérbola.

Respuesta: solo III

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