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Matemática 2º medio, Puentes del Saber Solucionario UNIDAD 3

Página 165 1. a) Imagen 1: Largo: aprox. 8 cm; Ancho: aprox. 6 cm b) Imagen 2: Largo: aprox. 6,5 cm; Ancho: aprox. 5 cm 2. a) Ancho: 6/5 = 1,2 (aprox.) b) Largo: 8/6,5 = 1,23 (aprox.)

Página 166

1 2 3 4 5 6 7 C A B D C D A

Página 167

8 9 10 11 B D C D

12. El triángulo EFD es isósceles y cada ángulo basal mide 62°. Los lados AC y FD son iguales y los ángulos basales entre los triángulos también son iguales. Entonces, cada triángulo tiene dos ángulos y el lado común a ellos respectivamente iguales; por lo tanto, según el criterio ángulo-‐lado-‐ángulo (ALA), los triángulos EFD y BCA son congruentes. Página 168 • ÷ La letra dibujada en la opción 2 no es semejante a la letra original. ÷ La letra dibujada en la opción 1 es semejante a la letra original. ÷ La letra dibujada en la opción 2 no es semejante a la letra original. Página 169 1.

a) r = 5 : 15 = 2 : 6 = 1 : 3 = 0,3 c) r = 2,1 : 1,4 = 3 : 2 = 1,5

b) r = 5 : 2,5 = 13 : 6,5 = 7 : 3,5 = 2 : 1 = 2 d) r = 7 : 12 = 0,583 2. a) y = 37°; z = 53°; falta información para determinar el valor de x. b) x = 1,6 cm; y = 70°; z = 6 cm.

3. a) F, ya que la razón se calcula como: r = 12/5 = 2,4 cm; por lo tanto, la razón es mayor que 1. b) V, ya que la razón se calcula como: r = 10/5 = 2 cm; por lo tanto, la razón es mayor que 1. c) F, ya que la razón se calcula como: r = 5/12 = 0,42 cm; por lo tanto, la razón es menor que 1. d) V, ya que la razón se calcula como: r = 5/10 = 0,2 cm; por lo tanto, la razón es menor que 1.

4. La primera fotografía tendrá las dimensiones de 40 cm y 50 cm; mientras que la segunda tendrá como dimensiones 40 cm y 40 cm.

Página 171 5. a)

• AB Æ PQ

• BC Æ QR

• CD Æ RS • DA Æ SP b) • ≮CBA Æ ≮RQP • ≮DCB Æ ≮SRQ • ≮ADC Æ ≮PSR • ≮BAD Æ ≮QPS

c) PQ = 8/3 cm QR = (10/3) cm RS = (14/3) cm SP = 2 cm

6. a) El área del cuadrado es 9 cm2. b) Los lados miden 6 cm y 8 cm. Página 172 • ÷ Los ángulos ECD y BCA son congruentes. X Los lados BC y DE son correspondientes. • r = m(EC )/m(CB ) = 10/5 = 2

r = m(DC )/m(CA ) = 6/3 = 2 r = m( ED )/m( AB ) = 8/4 = 2 • La razón entre lados correspondientes es la misma, los ángulos BCA y ECD son congruentes, al igual que los ángulos BAC y EDC; por lo tanto, los ángulos CBA y CED también son iguales. Como los triángulos tienen todos sus ángulos congruentes y la razón entre sus lados es la misma, se puede afirmar que los triángulos ACB y DCE son semejantes.

Página 173 1. a) Las razones entre los triángulos ABC y A¢B¢C¢ son:

r = m( AB )/m( ´ Á B ) = 4/3 = 1,3 r = m( BC )/m( ´ ´BC ) = 7/6 = 1,16 r = m( AC )/m( ´ ÁC ) = 10/15 = 0,6 Como las razones entre los lados correspondientes no son iguales, entonces los triángulos no son semejantes. b) Al calcular las razones entre los lados se tiene: r = m( a )/m( á ) = 3/12 = 0,25

r = m(b )/m( ´b ) = 4/16 = 0,25

r = m( c )/m( ć ) = 5/21 = 0,238… Como la razón entre c y c¢ es distinta a las razones de los otros lados, entonces los triángulos no son semejantes. c) Las medidas son: a¢ = 9 cm, b¢ = 30 cm y c¢ = 24 cm. d) • 3,6 cm • 6 cm e) El área es (75 55 )/4 cm2.

2. a) V Justificación: al ser triángulos rectángulos y uno de sus ángulos agudos congruentes, necesariamente el otro ángulo deber ser también congruente (la suma de ambos ángulos agudos debe ser 90°); por lo tanto, son dos ángulos agudos congruentes correspondientes; entonces son semejantes por el criterio AA. b) F Justificación: debe cumplirse que todos los lados correspondientes sean proporcionales. c) V Justificación: como sus lados correspondientes son semejantes, entonces las diagonales correspondientes también lo son. d) V Justificación: al tener sus ángulos no basales congruentes y ser triángulos isósceles, necesariamente los ángulos basales correspondientes son congruentes; por lo tanto, son triángulos semejantes según el criterio AA. e) V Justificación: si la recta es paralela a un lado, entonces se forma un triángulo que tiene el ángulo opuesto al lado como ángulo común y al ser la recta paralela con el lado, los valores de los ángulos del triángulo son los mismos. Por lo tanto, tenemos que los ángulos correspondientes son congruentes y según el criterio AA, los triángulos son semejantes. Al ser semejantes, implica que los lados son proporcionales; por lo tanto, la recta paralela ha dividido a los lados proporcionalmente.

f) F Justificación: no todos los triángulos rectángulos tienen los mismos ángulos agudos correspondientes ni sus lados son proporcionales; por lo tanto, no necesariamente son semejantes. g) V Justificación: sus ángulos agudos correspondientes son congruentes, por lo tanto, por el criterio AA, los triángulos rectángulos isósceles con semejantes. 3. a) Las figuras no son semejantes.

Página 175 b) r = 10 : 4 = 2,5

4. a) x = 7,5 cm; y = 8 cm c) x = 24 cm; y = 30 cm b) x = 1,5 cm; y = 1,25 cm d) x = 15 cm; y = 15 cm

Página 176 5. a) Los ángulos ≮ACB y ≮DCE son iguales, ya que es un ángulo común entre ambos triángulos. Al ser los segmentos AB y DE paralelos, los ≮CAB y ≮CDE miden lo mismo, al igual que los ≮CBA y ≮CED. Como tienen dos ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, los triángulos ABC y DEC son semejantes. b) Como ABC es un triángulo rectángulo, entonces ≮CAB y ≮ABC deben sumar 90°, por lo tanto, son ángulos complementarios. Además, el triángulo CDA es rectángulo en D, por lo tanto, ≮DCA es el complemento de ≮DAC; que a su vez es igual ≮ABC. De la misma forma ocurre con el triángulo BDC, donde ≮BCD es el complemento de ≮CBD, que mide lo mismo que ≮BAC. Por criterio AA, los triángulos CDB y ADC son semejantes. 6. Los triángulos tienen como ángulo común a ≮QPO . Al ser los segmentos QO y RS paralelos, ≮PSR y ≮PQO miden lo mismo, al igual que ≮PRS y ≮POQ. Como tienen dos ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, los triángulos OPQ y RPS son semejantes. La razón de semejanza de 5 : 6 y el valor de x es 8 cm. Página 177 7.

Si los triángulos son semejantes, entonces los ≮ABC y ≮ADE son congruentes; al igual que los ≮ACB y ≮AED. Sin los ángulos son congruentes, entonces los segmentos ED y CB tienen la misma inclinación respecto de los lados AB y AC; por lo tanto, necesariamente los lados CB y ED son paralelos.

8. a) Al ser un paralelogramo, los ≮BAD y ≮DCB son iguales y la diagonal segmenta a estos ángulos, formando los ≮EAC, ≮BAC, ≮DCA y ≮FCA que corresponden a ángulos alternos internos; por lo tanto, ≮EAC @ ≮FCA y ≮BAC @ ≮DCA. Además, ≮ENA @ ≮FNC por ser ángulos opuestos por el vértice. Por lo tanto, como los triángulos AEN y FCN tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, son triángulos semejantes. b) Para cualquier cuadrilátero se cumpliría la semejanza de los triángulos AEN y FCN, ya que siempre la suma de sus ángulos internos es 360°, la diagonal segmenta a los ángulos formando ángulos alternos internos y ≮ENA @ ≮FNC por ser ángulos opuestos por el vértice; por lo tanto, los triángulos AEN y FCN que se formen serán semejantes.

• Figura 1 Æ Hexágono irregular Figura 2 Æ Hexágono irregular • ÷ Utilizando el criterio LAL, se obtiene que el triángulo �ABC es semejante con el �A¢B¢C¢. X El �ABC no es semejante con el �A¢B¢C¢, ya que no cumple ningún criterio de semejanza. • Los triángulos que componen la figura 1 son semejantes con los de la figura 2.

Página 179 1. a) b)

2. a) Son figuras semejantes, ya que todos sus lados correspondientes son proporcionales. b) No se puede determinar la semejanza, ya que los triángulos son semejantes por el criterio AA, pero el rectángulo no tiene información sobre sus lados. Por lo tanto, como no se puede determinar si los rectángulos son semejantes, entonces no se puede determinar si la figura es semejante. 3. a) r = 9/4 b) r = 7/4

Página 180 • ÷ La altura del edificio es de 30 metros. X El triángulo formado por el edificio y su sombra y el del tronco y su sombra no son semejantes. • 1 : 6

Página 181 1. a) El ancho del río es de 4,8 m b) La altura de la torre es de 8,11 m c) La profundidad del pozo es de 24,6 m d) Se usó la escala 1 : 6.000

Página 182 e) La parcela tiene 30 m de largo y 20 m de ancho.

f) La distancia real es de 200 km g) 1 : 2.571.429 h) Las dimensiones de la avioneta son: 16 m de largo, 12 m de ancho y 4 m de largo. i) El monumento mide 56 m

Página 183 2.

El problema se puede representar mediante esta figura, donde la distancia desde la persona a la Luna es aproximadamente de 384.400 km y la distancia entre la persona y la moneda es la incógnita que se debe medir. El diámetro de la Luna es de aproximadamente 3.500 km. 3. a) El largo mide 1,3 m; el alto mide 1,2 m y el ancho mide 60 cm. b) Cada puerta tiene 60 cm de largo y 55 cm de alto. c) El volumen de cada cajón es de 108.000 cm3 o 0,108 m3.

Página 184 • ÷ �ABC ~ �A¢B¢C¢, ya que se cumple el criterio LAL. X �ABC ~ �A¢B¢C¢ y el valor de la razón de semejanza es 0,25. • 7 cm

Página 185 1. a) k = 3, corresponde a una dilatación. b) k = 0,2, corresponde a una contracción. 2. a)

b)

Página 186 3. a) k = –2/3 b) k = –1,5 4. a) V Justificación: la figura imagen está orientada en sentido contrario a la figura original, por lo tanto, la razón de homotecia es negativa. b) F Justificación: como la razón de homotecia es negativa, el centro de homotecia se encuentra entre la figura original y la figura imagen. Página 187 5. El perímetro de la figura es 96 cm y el área es 576 cm2. 6. a) El centro de homotecia corresponde a la pupila, ya que en ella se intersectan las rectas que unen a los puntos extremos de la figura, la cual varía el tamaño, pero no su forma, produciendo una homotecia. b) La razón de homotecia es un número negativo, ya que la figura imagen queda al lado opuesto de la figura original, respecto de la pupila, que es el centro de homotecia. 7. Al triángulo ABC se le ha realizado una homotecia con centro O y razón k > 1. Como la razón de homotecia es k, se tiene que: ´ Á B = k ·∙ AB ´ ÁC = k ·∙ AC ´ ´BC = k ·∙ BC

En otras palabras: ´ Á B / AB = k ´ ÁC / AC = k ´ ´BC / BC = k

Por lo tanto: ´ Á B / AB = ´ ÁC / AC = ´ ´BC /BC Por criterio de semejanza LLL, los triángulos ABC y A¢B¢C¢ son semejantes.

• X Al calcular AB/BC se obtiene el mismo resultado que al calcular EF/DE. X Al calcular AB/AC se obtiene el mismo resultado que al calcular DE/EF. ÷ Al calcular AB/AC se obtiene el mismo resultado que al calcular DE/DF. Página 190 1. a) Sí b) Sí c) No d) Sí e) No f) No 2. a) x = 28/5 cm b) x = 15/4 cm c) x = 45/2 cm d) x = 27/20 cm

Página 191 3. a) Sí, L1 es una recta paralela al lado AB (6 : 4,8 = 5 : 4). b) El edificio mide 7,2 m. c) La altura del edificio es de 7,88 m.

Página 192 4. a) 16 cm b) 34 cm c) 8 cm d) 13 cm 5. a) Se obtienen longitudes negativas, lo cual es imposible. b) x = 37,5 m; y = 25 m

Página 193 c) AB = 5 cm; EB = 4 cm d) 18,75 metros. 6. a) 28 cm b) 9 cm

Página 194 • ÷ La razón entre los segmentos PQ y PT es 12 : 4. X La razón entre los segmentos PT y TQ es 4 : 12. ÷ El valor de la razón entre los segmentos PT y TQ es 0,5.

1. a) 4/3 b) 11/4 c) 3/7 d) 7/8 e) 15/7 f) 9 2. a) 12 cm b) 3,5 cm 3. a) b)

Página 196 • ÷ El segmento AP mide 14 cm. ÷ La razón entre los segmentos AP y BP es 14 : 4. X La razón entre los segmentos AP y BP es 10 : 4. X El valor de la razón entre los segmentos AP y PB es 2,5. X El valor de la razón entre los segmentos AP y PB es menor que 1. Página 197 1. a) r = 3,5 b)r = 5/9 2. a) La distancia entre P y A es de 20/3 cm. b) r = 35/21 3. a) b)

Página 198 •

Afirmación Justificación 1. m(≮CDA) = 90° Por hipótesis, hc altura respecto del vértice C. 2. m(≮ACB) = 90° Por hipótesis, �ACB es rectángulo en C. 3. ≮ACB) @ ≮CDA Por afirmaciones 1 y 2. 4. ≮CDA @ ≮CDA Por principio de identidad. 5. �ACB ~ �ADC Por criterio de semejanza AA. 6. AC/AD = AB/AC Æ b/q = c/ b Por afirmación 5. 7. b/q = c/b Æ b2 = c ·∙ q Por afirmación 6. (Queda demostrado)

1. a) Hipótesis: �ABC es rectángulo en C y de altura hc. Tesis: a2 = c ·∙ p

Afirmación Justificación 1. �ABC ~ �CDB Por criterio de semejanza AA. 2. CB/BD = AB/CB Por afirmación 1. 3. a/p = c/a Por afirmación 2. 4. a2 = c ·∙ p Por afirmación 3.

Por lo tanto, se cumple que el cuadrado de uno de sus catetos es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre esta. b) Hipótesis: �ABC es rectángulo en C y de altura hc. Tesis: a ·∙ b = c ·∙ hc

Afirmación Justificación

1. �ABC ~ �CDB Por criterio de semejanza AA. 2. AC/AB = CD/CB Por afirmación 1. 3. b/c = hc/a Por afirmación 2. 4. a ·∙ b = c ·∙ hc Por afirmación 3.

Por lo tanto, se cumple que el producto de los catetos del triángulo ABC es igual al producto de su hipotenusa por su altura trazada desde el ángulo recto.

Página 200 2. a) h = 4,8 cm; p = 6,4 cm; q = 3,6 cm b) c = 25,25 cm; h = 8,1 cm; b = 18,1 cm; q = 16,25 cm c) p = 49/ 113 cm; q = 64/ 113 cm; h = 56/ 113 cm

d) c = 256/9 cm; p = 175/9 cm; hc = 175 3. a) La altura es h = 10 cm. b) El cateto de menor longitud mide (56 10 /3) cm

Página 201 c) La distancia entre A y B es de 76,3 km y entre A y C es de 45 km. d) Los cables miden 15 m y 20 m. e) La longitud del tobogán es de 10 m. f) La altura h mide 4 cm.

• a2 + b2 = c(p + c) • ÷ a2 + b2 = c(p + c) X a2 + b2 = p(c + q) a2 + b2 = c ·∙ c a2 + b2 = p ·∙ p a2 + b2 = c2 a2 + b2 = p2

Página 203 1. a) x = 234 cm c) y = 40 cm b) z = 10 3 cm d) c = 4 30 cm 2. a) Es un trío pitagórico. b) Es un trío pitagórico.

Página 204 3. • Hipótesis: la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor en el triángulo ABC. Tesis: �ABC es rectángulo en el vértice A. Justificación: el teorema recíproco de Pitágoras dice que si las longitudes de los tres lados de un triángulo satisfacen la relación de Pitágoras, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, se debe demostrar que el triángulo es rectángulo (tesis); partiendo de que los lados de un triángulo cumplen la relación pitagórica (hipótesis). 4. a) No es un triángulo rectángulo, ya que los lados no cumplen con la relación de Pitágoras. b) Sí es un triángulo rectángulo, ya que los lados cumplen con la relación de Pitágoras. c) No es un triángulo rectángulo, ya que los lados no cumplen con la relación de Pitágoras. Página 205 5. a) Se encuentra a 18,75 ª 4,3 m del piso. b) El perímetro del cuadrado es de 16 cm. c) El poste mide 80 cm. d) El otro lado de la cancha mide 24 m. e) El área del cuadrado ABCD es (a2 + b2) cm2. Página 208

1 2 3 4 5 6 7 B C B C B B C

8 9 10 11 12 13 14 15 B C C C C B A C

Página 210 • X ÷ X

• La persona dibujó un punto como referencia y puso en él un clavo. Luego, tomó un trozo de cuerda, lo ató al clavo y al lápiz y fue haciendo marcas; de manera que la cuerda estuviera extendida y el lápiz estuviera en paralelo con el clavo. Clavó diversos clavos sobre algunas marcas y midió la distancia entre ellos y el clavo central con el trozo de cuerda. Una vez corroborada que la distancia era igual; amarró el lápiz a la cuerda y al clavo central y comenzó a repasar por sobre todas las marcas, de manera de formar un círculo.

Página 211 1.

a)

c) e)

b)

d) f)

2. a) F b) F c) F d) F e) V

Página 212 • ÷ La medida del ángulo AOB es b. X La medida del ángulo QPR es g. • m(≮ACB)) es menor que m(≮AOB).

1. a) a = 116° d) a = 53°; b = 63,5° b) a = 116°; b = 58° e) a = 45° c) a = 47° f) a = 17°; b = 17°

Página 214 2. a) m(≮COH) = 120° b) m(≮CBA) = 6°; m(≮COA) = 12° c) a = 60° d) x = 22° e) a = 20°; b = 40°

Página 215 3. a) m(≮DCB) = 115° b) m(≮DBC) = 53° c) a + b = 137° d) m(≮BCA) = 75°

Página 216 • ÷ La medida del ángulo DAB es a. X La medida del ángulo BAC es a. • El ≮DAB tiene una parte dentro y una fuera de la circunferencia.

Página 217 1. Hipótesis: ≮DAB es un ángulo semiinscrito y el punto O es el centro de la circunferencia. Suponiendo estas afirmaciones se puede comenzar a desarrollar la demostración.

Tesis: el ≮DAB mide la mitad del arco ªAB comprendido entre sus lados. Se demostró que el ≮DAB mide la mitad del ángulo central ≮AOB y se sabe que este ángulo mide lo mismo que el arco que comprende; por lo tanto, el ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados. 2. a) a = 43° b) b = 100°; g = 40° c) b = 60°

Página 218 d) a = 27° e) a = 43°; b = 86° f) a = 120°

3. a) a = 61,5° b) x = 75,5°

Página 219 c) b = 61,5° d) m(≮BAC) = 58° e) m(≮ACB) = 70° f) m(≮ABD) = 77° (considerando que la medida del ángulo ODB es el suplemento de 318º) Página 220 • ÷ En la figura 1 se tiene que x = a + b. X En la figura 2 se tiene que x = a + b. ÷ En la figura 1 el ángulo x es un ángulo interior de la circunferencia. Página 221 1. a) Falta información. b) m(≮DEC) = 96,5 c) m(≮BEA) = 20° d) m(≮AOD) = 176° e) m( ªBA ) = 100°; m( ªDC ) = 50° Página 222 • ≮APD @ ≮BPC • X �DPB ~ �BOP por criterio AA. ÷ �DPB ~ �APD por criterio AA. • Debido a que �BPC ~ �APD, se cumple que PB/PA = PC/PD fi PC ·∙ PA = PB ·∙ PD.

Página 223 1. a) PC = 17/2 m b) PC = 6 m 2. a) EA = 3 cm b) x = 0,5 cm

c) Hipótesis: RS y TU son cuerdas perpendiculares. Tesis: A = (PT2 ·∙ PU)/(2 ·∙ PS)

Afirmación Justificación 1. ≮RPT @ ≮UPS Hipótesis. 2. PU ·∙ PT = PS ·∙ PR Por hipótesis. 3. PU/PS = PR/PT Por afirmación 2. 4. PC altura de �RPT Por construcción. 5. RT = RC + CT Por afirmación 4. 6. �RCP ~ �PCT Por criterio de semejanza AA. 7. PR2 = RT ·∙ RC fi RC = PR2/RT Teorema de Euclides. 8. PT2 = RT ·∙ CT fi CT = PT2/RT Teorema de Euclides. 9. h2 = (PR2 ·∙ PT2)/RT2 fi h = (PR ·∙ PT)/RT Teorema de Euclides. 10. A = [(PR ·∙ PT/RT) ·∙ RT]/2 Definición área de un triángulo. 11. A = [(PR/PT) ·∙ PT2]/2 Por afirmación 10. 12. A = (PU/PS) ·∙ (PT2/2) Por afirmación 3, queda demostrado.

Página 224 • ≮DAB @ ≮DEB • X �FDB ~ �FDB por criterio AA. ÷ �ECB ~ �ADC por criterio AA. • Debido a que �ECB ~ �ADC, se cumple que DC/BC = AC/EC fi DC ·∙ EC = AC ·∙ BC.

Página 225 1. a) x = 9,5 m b) 9 m 2. a) 8 cm d) 21 cm b) 13 cm e) 6 cm c) 4,1 cm f) 9,6 cm

Página 226 •

÷ m(≮ACB) = m( ªBA)/2, por el teorema del ángulo inscrito. X m(≮BAP) = m( ªBA)/2, por el teorema del ángulo inscrito. • ≮APB @ ≮APC • Por criterio AA, se cumple que �CPA ~ �BPA, se cumple que: AP/CP = BP/AP fi AP2 = CP ·∙ BP.

1. a) El segmento QR mide 9 cm. b) El segmento DE mide aproximadamente 2,75 cm. c) El radio mide 3,9 cm. d) El segmento AD mide 8 2 cm.

Página 228 e) El segmento BP mide ( 199– 7) cm. f) El segmento AP mide 73,5 cm. g) El segmento CP mide 315/8 cm. h) El segmento CD mide 12 cm. i) El segmento AD mide 7,2 cm.

Página 229 2. a) 655.200.000 km ª 25.597 km b) 12 cm 3. Hipótesis: O es centro de la circunferencia, r es el radio, PT es tangente en T y PO es secante a la circunferencia. Tesis: PT elevado al cuadrado equivale al producto entre las medidas de OP y QP.

Afirmación Justificación 1. m(≮PTO) = 90° Por hipótesis. 2. OQ = r Por hipótesis. 3. ≮PTO @ ≮PTQ Ángulo común. 4. ≮TOQ @ ≮PTO Ángulos inscrito y semiinscrito en el mismo arco. 5. �PTO ~ �PTQ Por criterio de semejanza AA. 6. PO/PT = PT/PQ Por afirmación 5. 7. PT2 = PQ ·∙ PO = PQ ·∙ (PQ + OQ) Por afirmación 6. 8. a2 = x(x + r) Por afirmación 7, queda demostrado.

Página 233 1. Para resolver el problema se utiliza principalmente la semejanza de triángulos, proyecciones de segmentos y el teorema de Pitágoras. 2. Para crear este túnel habría que tener conocimiento de su distancia, de la funcionalidad que se le daría, del tiempo de trabajo y de la ruta a seguir por los trabajadores para excavar por ella misma y no desviarse.

3. Para encontrar la solución al problema, se utilizó nociones geométricas referentes a la construcción de polígonos; para luego formar triángulos rectángulos en los cuales se pudiera aplicar la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras. Con estos elementos se podía identificar la ruta en línea recta que se debía seguir para excavar el túnel.

Página 234 1 2 3 4 5 6 A A C D C A

Página 235

7 8 9 10 11 12

D D B A B D Página 236

13 14 15 16 17 18 D D C A C A

Página 237

19 20 21 22 D C B C

23. Las medidas son 8 m y 3,5 m. 24. El área del departamento es de 28 m2. Página 238 1. a) x = 7,5 cm; y = 8 cm b) x = 24 cm; y = 30 cm 2. a) k = 7/2 = 3,5 > 1, por lo tanto, corresponde a una dilatación. b) k = 4/12 = 0,3 < 1, por lo tanto, corresponde a una contracción. 3. a) 14 m b) 15 cm Página 239 4. a) 5 cm b) 3 13 cm 5. a) x = 120° c) 100° b) 32,5 cm d) PC = 9m; PC = 9 m

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