CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DESIGUALDADES EN TRIÁNGULOS Tema 2: Triángulos.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DESIGUALDADES EN TRIÁNGULOS

Tema 2: Triángulos

EL TRIÁNGULO

DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados.

NOTACIÓN: ΔABC

A

C

bc

B a

a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente.

AB,AC,BC

A, B, C Vértices del ΔABC

lados del ΔABC AB,AC,BC

Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo.

2p= a+b+c

EL TRIÁNGULO

DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados.

NOTACIÓN: ΔABC

A

C

bc

γ

B a

, , γ son las medidas de los ángulos interiores correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente.

a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente.

AB,AC,BC

A, B, C Vértices del ΔABC

lados del ΔABC AB,AC,BC

Semi-perímetro:

2

cbap

Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo.

2p= a+b+c

ÁNGULO EXTERIOR A UN TRIÁNGULO

Todo ángulo que sea adyacente a un ángulo interior del triángulo.

B D C

A

DBA es exterior al ABC por ser adyacente al ángulo interior (ABC)

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Según

sus

ángulos

Rectángulo

Oblicuángulos

Tiene un ángulo recto. El lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos. Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 90 Acutángulo: todos sus ángulos son agudos.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Según

sus

lados

Isósceles

Escaleno

Tiene dos lados iguales, se acostumbra a llamar base al tercer lado. Si el triángulo tiene sus tres lados iguales entonces se llama Equilátero Tiene sus tres lados desiguales

ELEMENTOS DE UN TRIANGULO

MEDIANA: es el segmento que parte desde un vértice al punto medio del lado

opuesto.

Todo triángulo tiene tres medianas : ma, mb y mc asociadas a los lados

, respectivamente.

AB,AC,BC

Baricentro: Punto de intersección de las medianas.

Cm

a

mc

m b

ac

b

A

B

L N

M

G

Notación: G

BISECTRIZ interior: Es el segmento de bisectriz cuyo origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices

A

B C

C

A

B

Todo triángulo tiene tres bisectrices , y asociadas a los

ángulos correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente :

A

B

C

Notación: I

I

ALTURA: Es el segmento que va desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas o de sus prolongaciones

C

A

B

h bha

h c

En el caso de un triángulo obtusángulo

La altura de ha y hc son los segmentos perpendiculares a la prolongación de los lados opuestos y que parten desde los vértices A y C

CB AB

A

hch b ha

CB

Notación: H

H

H


DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus

vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de

lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice

que los triángulos son CONGRUENTES.

,'

,'C'BBC

A

B C

A’

C’

’’

B’

,'C'AAC ,'B'AAB

' ' Esto es:

y


DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus

vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de

lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice

que los triángulos son CONGRUENTES.

,'

,'C'BBC

A

B C

A’

C’

’

’’

B’

,'C'AAC ,'B'AAB

'

Esto es:

ABC A’B’C’' y

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados.

Ejemplo:

A

B C

A’

B’ C’

’

,' y 'C'AAC ,'B'AAB


AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados.

Ejemplo:

A

B C

A’

B’ C’

’

,' y 'C'AAC ,'B'AAB ABC A’B’C’


Ejemplo:

A

B C

A’

B’ C’

,','B'AAB

Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.

' y

’

’


Ejemplo:

A

B C

A’

B’ C’

,' ABC A’B’C’,'B'AAB

Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.

' y

’

’

TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes.

Hipótesis: ΔABC es Isósceles.

Tesis: =

A

C

B

2

2'

W

Proposiciones Justificaciones

1. ΔABC es Isósceles Hipótesis

CBAC@2. Definición de Δ Isósceles

CW 3. es bisectriz de C Por construcción

4. ACW BCW Definición de bisectriz

CW5. es común para los s ACW y BCW Propiedad reflexiva

TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes.

Hipótesis: ΔABC es Isósceles.

Tesis: =

A

C

BW

2

2'

6. Δ CWA Δ CWB Por criterio de congruencia de triángulos L.A.L (2, 5 y 4)

7. = Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes

La tesis es verdadera

Luego, el teorema directo es verdadero


Hipótesis: =

Tesis:ΔABC es Isósceles

C

A B

Proposiciones Justificaciones1. = Hipótesis

2. es el lado común para ΔCAB y ΔCBA Propiedad reflexivaAB

3. Δ CAB Δ CBA Por criterio de congruencia de triángulos A.L.A

5. ΔABC es Isósceles Por 4, aplicando definición de Δ Isósceles

La tesis es verdaderaLuego, el teorema recíproco es verdadero

4. Por ser lados correspondientes en la congruencia anterior CBCA

En conclusión el Teorema: Un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes, es verdadero.

COROLARIO: Un Δ ABC es equilátero

A

C

B

= =

TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden.

Tesis:

ha=ma=wa

M

A

CB


1. Δ ABC es Isósceles Hipótesis

BC5. M es punto medio de Por definición de mediana en 3

AM4. es mediana Por construcción

3. Teorema: En un Δ Isósceles los s de la base son congruentes

Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de

AM BC

2. AB=AC Por definición de Δ Isósceles en 1


M

A

CB


7. es lado común para el Δ ABM y Δ ACMAM

8. Δ ABM ΔACM Por criterio de congruencia L.A.L en 2, 3 y 6

9. BAM CAM Por ser s correspondientes en s congruentes


AM BC

Tesis:

ha=ma=wa

6. BM=MC Por definición de punto medio


Tesis:

ha=ma=wa

M

A

CB


11. BMA CMA Por ser s correspondientes en s congruentes en 8

12. mBMC =180 Por definición de llano.

AM10. es bisectriz Por definición de bisectriz en 9

13. mBMC=m BMA +m AMC Axioma: Suma de ángulos

14. m BMA +m AMC =180 Igualando 12 y 13


AM BC

15. m BMA +m BMA =180 Sustitución de 11 en 14


Tesis:

ha=ma=wa

M

A

CB


AM

Proposiciones Justificaciones 16. m BMA =180/2=90 Reducción de términos semejantes

y despeje16. Por definición de rectas

perpendiculares BCAM

17. es altura Por definición de altura. AM

AM Luego, es mediana,


bisectriz

y altura es decir: ha=ma=wa

En conclusión el Teorema: En un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden, es verdadero

'


Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes.

'C'BBC

A

B C

A’

C’B’

,'C'AAC ,'B'AAB

Esto es:

'


Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.)

El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes.

'C'BBC

A

B C

A’

C’B’

,'C'AAC ,'B'AAB

Esto es:

ABC A’B’C’

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.

Hipótesis y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC

Tesis + < 180

1. y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC

Por Hipótesis

2. M es punto medio de BC Por construcción


A

CB

D

M

3. CM = MB Por definición de punto medio

5. D , tal que AM=MD Por construcción AM

4. es mediana Por definición de medianaAM

TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.

Hipótesis y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC

Tesis + < 180


A

CB

D

M

6. AMC BMD Por s opuestos por el vértice7. ΔAMC ΔDMB Por criterio de congruencia de

triángulos L.A.L. ( 3,5 y 6) 8. = m MBD Por ser s correspondientes en

la congruencia de Δs en 79. + m <MBD < 180 Ya que D AB10. + < 180 Sustitución de 8 en 9


Luego, el Teorema: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180, es verdadero

COROLARIO: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos

1. + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menor que 1802. < 180 – 90 Despejando

5. < 180 – 90 Despejando

3. < 90 Reducción de términos semejantes

4. + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menos que 180

6. < 90 Reducción de términos semejantes



90

A

BC

Luego, el Corolario: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos, es verdadero

TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él.

Hipótesis- , y corresponden a los

ángulos interiores del ΔABC

- ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y

Tesis 1. > 2. >α

1.- , y corresponden a los ángulos interiores del ΔABC

Por Hipótesis

3. + < 180 Por teorema: la suma de dos s interiores en un Δ es menor que 180

4. + = 180 Teorema: los ángulos adyacentes son

suplementarios


A

C B

2.- es la medida del ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y

Por Hipótesis

TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él.

Hipótesis- , y corresponden a los ángulos interiores del ΔABC - ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y

Tesis 1. > 2. >α


A

C B

5. = 180 - Despejando6. α + 180 - < 180 Sustitución de 5 en 37. α < Reducción de términos

semejantes y despeje de αLa tesis 1 es verdadera

La tesis 2 se encuentra de forma idéntica a la primera y también es verdadera

Luego, el Teorema: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él, es verdadero

TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.

Tesisγ >

1. AB > AC Hipótesis

2. D , tal que AD=AC Por construcción AB

3. ΔACD es Isósceles Por definición de Δ Isósceles

4.- m ADC > Por ser el ADC exterior al ΔDBCy no adyacente con él.

Hipótesis

AB > AC en el ΔABC

()


A

C

B

D


Tesisγ >

()


A

C

B

D

5.- m ADC = m ACD Por ser s de la base del Δ Isósceles

6.- m ACB = m ACD + m DCB Axioma Suma de ángulos

7.- m ACB = m ADC + m DCB Sustituyendo 5 en 6

8.- m ACB > m ADC Propiedad el todo es mayor que las partes

Hipótesis

AB > AC en el ΔABC


Tesisγ >

()


A

C

B

D

9.- m ACB > Por transitividad en 4 y 8

10.- > m ACB =


γ

Luego, el Teorema directo es verdadero

Hipótesis

AB > AC en el ΔABC

Hipótesis > en el ΔABC

Tesis

AB > AC

()

BC

A

Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades:

Caso 1: AB = AC

2. = Por teorema: los ángulos de la base de un Isósceles son congruentes, lo cual contradice la hipótesis >

1. ABC es Isósceles Por definición de Isósceles (Ya que tiene dos lados iguales)


γ

Luego, AB AC

Hipótesis > en el ΔABC

Tesis

AB > AC

()

BC

A

Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades:

Caso 2: AB < AC


γ

1. < Por el teorema directo, lo cual contradice la hipótesis > .

En conclusión el Teorema: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente, es Verdadero.

Luego, AB ≮ AC

Si AB AC y AB ≮ AC, entonces AB > AC y la proposición recíproca es verdadera

COROLARIO: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos.

a

b

c

2. c a

Proposiciones Justificaciones1.

A

B

C

y c b A mayor ángulo se opone mayor lado


En un triángulo rectángulo el ángulo mayor es el ángulo recto

HipótesisEl ΔABC es rectánguloEl c es hipotenusa a y b son catetos

Tesis1.- c>b2.- c>a

En conclusión, el Corolario: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos, es Verdadero

TEOREMA: Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

Hipótesis a, b, c son lados

del ABCTesis

1. a + b > c2. b + c > a3. a + c > b

BC 1. Se prolonga hasta D una Por construcción cantidad b 2. ACD es Isósceles Definición de Δ Isósceles en 1: (AC=CD)

3. mBAD = + θ Axioma: Suma de ángulos

4. mBAD > θ El todo es mayor que las partes

5. a + b > c Teorema: A mayor ángulo, mayor lado

La tesis 1 es Verdadera


B C

A

cb

a Db

θ

θ

Las tesis 2 y 3 también son verdaderas se encuentran prolongando respectivamente

CBCA y

En conclusión, el Teorema:Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, es Verdadero

COROLARIO: Todo lado de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos.

Despejando del resultado del teorema anterior

1. a + b > c

3.- c + a > b

2. b + c > a

a > c - b

b > a - c

c > b – a

COROLARIO: En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es mayor que la hipotenusa.

a + b > c ya que todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

a

b

c

A

B

C

TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.

CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

a = a’Ejemplo: (ac), y = ’, c = c’

A’

C’B’

A

CB a’a

c c’

CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ΔABC ΔA’B’C’

A’

C’B’

A

CB a’a

c c’

TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.

a = a’Ejemplo: (ac), y = ’, c = c’

TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.

HipótesisP es un Pto y l es una recta

Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l

P l

Existen dos posibilidades

Caso 1: P l

Caso 2: P l P

l


HipótesisP y l


Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene:

Caso 1: P l

P

y

X

l M

Entonces <MPX <MPY = 90

90


Supongamos que existen 2 rectas s a l90

Esto contradice el Axioma de la Construcción de un Ángulo, ya que a partir de una semirrecta dada en uno de sus semiplanos, sólo se puede construir un ángulo de medida 90.

Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P l


HipótesisP y l



Caso 2: P l


Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P

P

l

A B

90 90


HipótesisP y l



Caso 2: P l


P

lA B

90 90

Entonces mPAB = 90 y mPBA= 90

Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.


Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P


HipótesisP y l



Caso 2: P l


P

A B

9090

l

En conclusión, el Teorema: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l, es Verdadero

Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por PEntonces mPAB = 90 y mPBA= 90

Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

l

a

P

b

Definición: Es la longitud del segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta.

Siempre a < b ya que b es la hipotenusa y a mayor ángulo se opone mayor lado.

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