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Universidad del Pacífico Matemática IV (2017-1) Profesores: J. Práctica:

Práctica Califica 1 - Solucionario

I. Demostraciones (4 ptos) 1. El regalito: (2 ptos.) Demuestre que el conjunto M, que pertenece a un hiperplano en

ℝ𝑛es un conjunto convexo.

𝑀 = {�⃗�𝜖 ℝ𝑛/ ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 𝑏𝑛

𝑖=1

, 𝑎𝑖 𝑦 𝑏 𝜖 ℝ} .

SOLUCIÓN Sean: 𝑋1𝜖 𝑀 → ∑ 𝑎𝑖𝑥1𝑖 = 𝑏𝑛

𝑖=1 … (1) 𝑋2𝜖 𝑀 → ∑ 𝑎𝑖𝑥2𝑖 = 𝑏𝑛

𝑖=1 … (2) Entonces, ¿ 𝜆𝑋1 + (1 − 𝜆)𝑋2 𝜖 𝑀? 𝜆𝑥11 + (1 − 𝜆)𝑥21 + 𝜆𝑥12 + (1 − 𝜆)𝑥22 + ⋯ + 𝜆𝑥1𝑛 + (1 − 𝜆)𝑥2𝑛

∑ 𝑎𝑖(𝜆𝑥1𝑖

𝑛

𝑖=1

+ (1 − 𝜆)𝑥2𝑖)

𝜆 ∑ 𝑎𝑖𝑥1𝑖 + (1 − 𝜆) ∑ 𝑎2𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑥2𝑖

𝑛

𝑖=1

… (3)

(1)𝑦 (2) 𝑒𝑛 (3) 𝜆𝑏 + (1 − 𝜆)𝑏 = 𝑏 Por tanto 𝜆𝑋1 + (1 − 𝜆)𝑋2 𝜖 𝑀 y el conjunto es convexo.

2. Para los estudiosos: (2 ptos.) Sea 𝑓: 𝐼 → ℝ una función convexa, entonces 𝑓 es

acotada en cualquier intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] ∁ 𝐼. (Hint: usar desigualdad de Jensen).

SOLUCIÓN

Verificar que f es superiormente acotada es sumamente sencillo, ya que si 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], entonces existe 𝜏 ∈ [0,1], tal que 𝑥 = 𝜏𝑎 + (1 − 𝜏) b. Así:

𝑓(𝑥) ≤ 𝜏𝑓(𝑎) + (1 − 𝜏)𝑓(𝑏) ≤ max {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)} → 1 punto hasta hallar lo que se quiere demostrar.

Para esto, todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] se puede escribir como 𝑎+𝑏2

+ 𝜀, para algún 𝜀 ∈ [𝑎−𝑏2

, 𝑏−𝑎2

].

Se puede partir de:

𝑓 (𝑎 + 𝑏

2) = 𝑓 (

12

(𝑎 + 𝑏

2− 𝜀) +

12

(𝑎 + 𝑏

2+ 𝜀))

𝑓 (𝑎 + 𝑏

2) ≤

12

[𝑓 (𝑎 + 𝑏

2− 𝜀) + 𝑓 (

𝑎 + 𝑏2

+ 𝜀)]

2

Resulta que:

𝑓 (𝑎 + 𝑏

2+ 𝜀) ≥ 2𝑓 (

𝑎 + 𝑏2

) − 𝑓 (𝑎 + 𝑏

2− 𝜀)

𝑓(𝑥) ≥ 2𝑓 (𝑎+𝑏2

) − max {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)} 1 punto por la demostración

II. Concavidad – Convexidad (9 ptos)

1. Mariale, su amiga. (4 puntos)

Mariale lo encuentra estudiando (otra vez) el tema de concavidad y convexidad para la PC1. Mariale intenta motivarlo y lo reta a que resuelva un par de ejercicios. Usted, creyendo saber que pregunta le hará Mariale, acepta el reto. Luego de soltar su típica risa malvada, Mariale le hace las siguientes preguntas:

a. El Value at Risk (VaR) es una medida estándar de riesgo para activos y carteras. Si sabemos que la función para el VaR de una cartera en particular es:

𝑉𝑎𝑅(𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙) =𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

3

(𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 1)2

Donde 𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 es el rendimiento total de la cartera. Halle si la función es cóncava o convexa y si es posible encontrar un mínimo para la función (note que 𝑅𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 tiene como dominio ℝ, excepto el 1). (2.5 puntos)

SOLUCIÓN

Sea X=RTotal, entonces

f(X)=X3/(X-1)2

f´(X)=(X3-3X2)/(X-1)3

f´´(X)=6X/(X-1)4

Se observa fácilmente que la segunda derivada puede ser negativa o positiva. En

general se podría decir que, dado que la función no es ni cóncava ni convexa para

todos los casos, no se podría determinar eficientemente un punto en el que se

pueda hablar de una pérdida máxima (mínimo) y por lo tanto no es un indicador

del todo confiable.

b. Mariale al verlo confundido, le propone un ejercicio algo más familiar. Otra medida de riesgo es el CVaR que se define a través de la siguiente función:

CVaR = αAcc

2 Acc + αBon2 Bon +αDer Der

3

Donde el riesgo pende de α que es la proporción de cada instrumento en el portafolio. Se le pide verificar si realmente el CVaR es convexo utilizando la desigualdad de Jensen. (1.5 puntos)

SOLUCIÓN

Se eligen dos puntos cualesquiera del dominio:

𝐶𝑉𝑎𝑅(𝛼1𝐴𝑐𝑐, 𝛼1𝐵𝑜𝑛, 𝛼1𝐷𝑒𝑟) = 𝛼1𝐴𝑐𝑐2𝐴𝑐𝑐 + 𝛼1𝐵𝑜𝑛

2𝐵𝑜𝑛 +𝛼1𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟

𝐶𝑉𝑎𝑅(𝛼2𝐴𝑐𝑐, 𝛼2𝐵𝑜𝑛, 𝛼2𝐷𝑒𝑟) = 𝛼2𝐴𝑐𝑐2𝐴𝑐𝑐 + 𝛼2𝐵𝑜𝑛

2𝐵𝑜𝑛 +𝛼2𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟

Se plantea la combinación lineal convexa: (0.25 ptos)

𝐶𝑉𝑎𝑅(𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐, 𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛, 𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟) = (𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐)2𝐴𝑐𝑐 + (𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛)2𝐵𝑜𝑛

+ (𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟)𝐷𝑒𝑟

Evaluamos la desigualdad de Jensen:

(𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐)2𝐴𝑐𝑐 + (𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛)2𝐵𝑜𝑛+ (𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟)𝐷𝑒𝑟− [𝜃(𝛼1𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 + 𝛼1𝐵𝑜𝑛2𝐵𝑜𝑛 +𝛼1𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟)

+ (1 − 𝜃)(𝛼2𝐴𝑐𝑐2𝐴𝑐𝑐 + 𝛼2𝐵𝑜𝑛

2𝐵𝑜𝑛 +𝛼2𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟)] (𝜃2𝛼1𝐴𝑐𝑐

2 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐴𝑐𝑐2 + 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐴𝑐𝑐𝛼2𝐴𝑐𝑐)𝐴𝑐𝑐

+ (𝜃2𝛼1𝐵𝑜𝑛2 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐵𝑜𝑛

2 + 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐵𝑜𝑛𝛼2𝐵𝑜𝑛)𝐵𝑜𝑛+ (𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟)𝐷𝑒𝑟− [𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 + 𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛2𝐵𝑜𝑛 + 𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐+ (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛

2𝐵𝑜𝑛 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟]

(𝜃2𝛼1𝐴𝑐𝑐2 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐴𝑐𝑐

2 + 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐴𝑐𝑐𝛼2𝐴𝑐𝑐)𝐴𝑐𝑐+ (𝜃2𝛼1𝐵𝑜𝑛

2 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐵𝑜𝑛2 + 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐵𝑜𝑛𝛼2𝐵𝑜𝑛)𝐵𝑜𝑛

+ (𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟)𝐷𝑒𝑟− [𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 + 𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛2𝐵𝑜𝑛 + 𝜃𝛼1𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐+ (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛

2𝐵𝑜𝑛 + (1 − 𝜃)𝛼2𝐷𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑟]

(𝜃2𝛼1𝐴𝑐𝑐2 − 𝜃𝛼1𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐴𝑐𝑐2 − (1 − 𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐+ 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐴𝑐𝑐𝛼2𝐴𝑐𝑐)𝐴𝑐𝑐+ (𝜃2𝛼1𝐵𝑜𝑛

2 − 𝜃𝛼1𝐵𝑜𝑛2 + (1 − 𝜃)2𝛼2𝐵𝑜𝑛

2 − (1 − 𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛2

+ 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐵𝑜𝑛𝛼2𝐵𝑜𝑛)𝐵𝑜𝑛

(𝜃(𝜃 − 1)𝛼1𝐴𝑐𝑐2𝐴𝑐𝑐 + (1 − 𝜃)(−𝜃)𝛼2𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 + 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐴𝑐𝑐𝛼2𝐴𝑐𝑐)𝐴𝑐𝑐+ (𝜃(𝜃 − 1)𝛼1𝐵𝑜𝑛

2 + (1 − 𝜃)(−𝜃)𝛼2𝐵𝑜𝑛2

+ 2𝜃(1 − 𝜃)𝛼1𝐵𝑜𝑛𝛼2𝐵𝑜𝑛)𝐵𝑜𝑛

4

𝜃(𝜃 − 1)[(𝛼1𝐴𝑐𝑐2𝐴𝑐𝑐 + 𝛼2𝐴𝑐𝑐

2𝐴𝑐𝑐 − 2𝛼1𝐴𝑐𝑐𝛼2𝐴𝑐𝑐)𝐴𝑐𝑐+ (𝛼1𝐵𝑜𝑛

2 + 𝛼2𝐵𝑜𝑛2 − 2𝛼1𝐵𝑜𝑛𝛼2𝐵𝑜𝑛)𝐵𝑜𝑛] ≤ 0

Por lo tanto, es convexa. (1.25 puntos)

2. Aplicando a Micro (5 puntos):

Revisando su cuaderno de micro, usted se encuentra con la siguiente función de utilidad CES

que depende de capital K y el trabajo L (note que ambos factores deben ser positivos):

𝑓(𝐾, 𝐿) = 𝐴[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1 𝜌⁄

Donde:

𝐴 > 0 ; 𝜌 ≠ 0

0 ≤ 𝛿 ≤ 1

Su amigo Alejandro, un experto en microeconomía, notando la nostalgia en sus ojos y su

preocupación para estudiar para su calificada de Matemáticas 4; le comenta que esa función

es especial y puede ser cóncava o convexa dependiendo del parámetro “𝜌”. Usted, animado

por utilizar sus nuevos conocimientos, se embarca en la siguiente tarea:

a) Pruebe que 𝑓(𝐾, 𝐿) es cóncava cuando 𝜌 ≥ −1. (2 puntos)

b) Pruebe que 𝑓(𝐾, 𝐿) es convexa cuando 𝜌 ≤ −1. (2 puntos)

SOLUCIÓN

Primero se hallan los componentes del Hessiano:

x La segunda derivada respecto a K:

𝜕𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾

= 𝐴𝛿𝐾−𝜌−1[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1𝜌−1

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾2 = −𝐴(𝜌 + 1)𝛿𝐾−𝜌−2[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1

𝜌−1

+𝐴(𝜌 + 1)𝛿2𝐾−2𝜌−2[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1𝜌−2

Reacomodando:

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾2 = −𝐴(𝜌 + 1)𝛿𝐾−𝜌−2[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1

𝜌−1[1

− 𝛿𝐾−𝜌[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1]

x La derivada cruzada:

𝜕𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾𝜕𝐿

= 𝐴(𝜌 + 1)𝛿(1 − 𝛿)𝐾−𝜌−1𝐿−𝜌−1[𝛿𝐾−𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌]−1𝜌−2

x La segunda derivada respecto a L:

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𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾2 ∗

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐿2 = 𝐴2(𝜌 + 1)2𝛿(1 − 𝛿)𝐾−𝜌−2𝐿−𝜌−2[∗]−2

𝜌−2[𝛿𝐾−𝜌(1 − 𝛿)𝐿−𝜌[∗]−2]

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾2 ∗

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐿2 = 𝐴2(𝜌 + 1)2𝛿2(1 − 𝛿)2𝐾−2𝜌−2𝐿−2𝜌−2[∗]−2

𝜌−4

𝜕𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾𝜕𝐿

∗𝜕𝑓(𝐾, 𝐿)

𝜕𝐾𝜕𝐿= 𝐴2(𝜌 + 1)2𝛿2(1 − 𝛿)2𝐾−2𝜌−2𝐿−2𝜌−2[∗]−2

𝜌−4

Entonces:

|𝐻| = 0

Por lo tanto, es una matriz semidefinida negativa y 𝑓(𝐾, 𝐿) es cóncava.

b) Caso cuando 𝜌 ≤ −1: (1.25 puntos)

Análogamente, cuando 𝜌 + 1 ≤ 0 se evalúa el signo de las derivadas y se tiene:

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾2 ≥ 0

𝜕𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐾𝜕𝐿

≤ 0

𝜕2𝑓(𝐾, 𝐿)𝜕𝐿2 ≥ 0

El Hessiano queda de la siguiente manera:

𝐻 = [(+) (−)(−) (+)]

Como el determinante del primer menor es ≥ 0 y ya se vio en el acápite anterior que |𝐻| = 0, se concluye que el Hessiano es una matriz semidefinida positiva y por lo tanto, 𝑓(𝐾, 𝐿) es convexa.

III. Maximización sin restricciones (7 ptos.)

1. Futuro econometrista. Sea Y un vector columna de n observaciones de un

determinado fenómeno; X una matriz que contiene las n observaciones de cada una de las K variables y 𝛽 es un vector de ponderados de orden. Así, se puede expresar el fenómeno Y de la siguiente manera:

𝑌 = 𝑋 𝛽 + 𝑒

El objetivo de un econometrista será siempre encontrar un modelo que replique la evidencia de la manera más precisa posible. Por tanto, buscará minimizar suma de errores (e) al cuadrado, es decir minimiza la siguiente función:

min ∑ 𝑒𝑖2

𝑛

𝑖=1

= ‖𝑒‖2 = 𝑒′𝑒 = (𝑌 − 𝑋 𝛽)′(𝑌 − 𝑋 𝛽)

a. Obtenga el valor de 𝛽 que minimice la suma de errores al cuadrado. (1.5 pts.) Ojo: llegar al resultado generalizado a través de la derivación matricial. Nota: 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑋′𝑋 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 y el apostrofe indica transpuesta.

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La función a analizar es la siguiente:

Ω = ∑ 𝑒𝑖2

𝑛

𝑖=1

= (𝑌 − 𝑋 𝛽)′(𝑌 − 𝑋 𝛽) = 𝑌′𝑌 − 𝑌′𝑋𝛽 − 𝛽𝑋′𝑌 + 𝛽′𝑋′𝑋𝛽

Considerando que el vector Y y la matriz X vienen dados (observaciones), se debe encontrar el valor de 𝛽 que minimice la función Ω :

δΩδ�̂�

= −2𝑋′𝑌 + 2𝑋′𝑋𝛽 = 0

𝑋′𝑋𝛽 = 𝑋′𝑌 (1 punto)

�̂� = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑌 (0.5 puntos)

b. Demuestre que el valor mínimo encontrado es un mínimo global. (1.5 pts.)

SOLUCION 1: 0.75 puntos por llegar la segunda derivada (matriz semidefinida positiva o definida positiva) y 0.75 puntos por la explicación de que solo existe el caso de la matriz definida positiva y la explicación de que es estrictamente convexa, por tanto mínimo global.

Hallando la segunda derivada

𝜕2Ωδ�̂�δ�̂�´

= 2𝑋′𝑋

La segunda derivada depende de la matriz 𝑋′𝑋 que es una matriz cuadrada, por tanto mayor o igual a cero. Desde que es invertible, esto es no puede ser igual a cero, entonces 𝑋′𝑋 es mayor a cero, por tanto es positiva definida, por tanto tenemos un mínimo.

2. Un adelanto de econometría: (4 ptos.) En econometría, uno de los procesos más usados es el de Máxima Verosimilitud. Este proceso consiste en la maximización de los parámetros del modelo en la función de verosimilitud especificada. En este caso, asumamos una distribución normal:

𝐹(𝜺) = (2𝜋)−𝑵/2(𝜎2)−𝑵/2𝑒(−𝜀′𝜀)/2𝜎2)

Tomando en cuenta el modelo 𝑌 = 𝑋 𝛽 + 𝜀, donde Y es un vector columna de observaciones de orden Nx1; X es una matriz de orden Nxk; 𝛽 es un vector de ponderados de orden kx1.

Lo que se pide es que hallen las variables 𝛽 y 𝜎2 que maximicen la función de verosimilitud. Luego, compruebe las condiciones de segundo orden. Nota: 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑋′𝑋 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 y el apostrofe indica transpuesta.

Hint: Utilice una transformación monotónica. SOLUCIÓN: 2 puntos por las CPO y 2 puntos por la C2O.