Solucionario 2009 -I Matemátcloud.vallejo.com.pe/MATEWWAodV09CwE1.pdf · Matemát Solucionario...

Matemát

Solucionario

2009 -IExamen de admisión

Matemática

1

TEMA P

Pregunta N.º 1Un fabricante vende un artículo al mayorista

ganando p%, éste vende al minorista ganando q%

y el minorista al público obteniendo una ganancia

de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716

veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma

de las cifras de (p+q+t).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

SoluciónTema

Tanto por ciento

Referencias

Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto

por ciento es el aumento sucesivo y las operaciones

comerciales, donde se cumple la siguiente relación;

Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)

Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento

del precio de costo.

Análisis y procedimiento

Al final (3.er caso), tenemos:

(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C

100 100 100

100 10 0 10017161000

+( ) +( ) +( )× ×

=t q p

(100+t)(100+q)(100+p)=1716000

Buscando factores enteros en el segundo miembro,

mayores de 100, tenemos:

(100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130

Entonces

p+q+t=60

cuya suma de cifras es 6.

Nota

Buscando factores enteros en el segundo miembro,

mayores de 100 también, tenemos:

(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132

Entonces

p+q+t=61

cuya suma de cifras es 7.

En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.

2

unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO

Respuesta

La suma de cifras de p+q+t es 6.

Alternativa A

Pregunta N.º 2

Tres números enteros m, n y p tienen una media

aritmética de 10 y una media geométrica de MA = suma de datoscantidad de datos

Halle aproximadamente la media armónica de

estos números, si n · p=120.

A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73

D) 9,93 E) 9,98

Solución

Tema

Promedio

Referencias

El promedio es un valor representativo de un

conjunto de datos; dependiendo de la forma de

cálculo tenermos:

• Mediaaritmética(MA)

MA = suma de datoscantidad de datos

• Mediageométrica(MG)

MG n= Producto de datos

n: cantidad de datos

• Mediaarmónica(MH)

MH = cantidad de datossuma de las inversas

de los datos


De los datos tenemos

MA (m, n, p)=m n p+ + =

310

→ m+n+p=30

MG (m, n, p)= m n p× × =3 3 960

→ m×n×p=960

Además, por dato tenemos que n×p=120, como

m n p× × =120

960

, entonces, m=8.

Nos queda que

n+p=22

n×p=120

de donde se obtiene

n=12 y p=10.

Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).

MH m n p( , , ) , ...=+ +

=318

110

112

9 7297

∴ MH (m, n, p)=9,73

Respuesta

Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.

Alternativa C

Pregunta N.º 3

Las normas académicas de una institución educa-

tiva establecen las calificaciones siguientes:

Aprobado: nota ≥ 14;

Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y

Reprobado: nota < 9

3

unI 2009 -ISolucionario de Matemática

En el curso de Química, las calificaciones finales

fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:

16 puntos; nota promedio de los desaprobados:

11 puntos; y nota promedio de los reprobados:

6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso

fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-

nos reprobados es

A) 10% B) 20% C) 30%

D) 40% E) 50%

Solución

Tema

Promedios

Referencias

El promedio más empleado es la media aritmética;

para su cálculo se utilizan todos los datos y se

calcula así:

MA = suma de datostotal de datos

Luego, tenemos que

Suma de datos=MA×(Total de datos)


total dealumnos

apro-bados

desapro-bados

repro-bados

cantidad 100% 40% (60 – x)% x%

MA 11 16 11 6

Luego se tiene lo siguiente:

11×100%=16×40%+11(60 – x)%+6×x%

1100%=640%+660% – 5x%

1100%=1300% – 5x%

5x%=200%

x%=40%

Respuesta

Los alumnos reprobados representan el 40%.

Alternativa D

Pregunta N.º 4

De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI,

uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno

deloscualesesmujer,y3sondelaUNMSM,todos

varones. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar

ternas constituidas por un profesor de cada univer-

sidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?

A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18

D) 0,20 E) 0,24

SoluciónTema

Probabilidades

Referencias

Cuando se requiere hallar el número de formas en

que se puede seleccionar r objetos de un total de

n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el

siguiente cálculo:

Cn

r n rrn =

−!

!( )!

Además, el cálculo de la probabilidad de un

evento se calcula:

P =

cantidad de casosfavorables

cantidad de casostotales

4



Ahora seleccionaremos ternas de profesores:

Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas

seleccionadas estén constituidas por un profesor de

cada universidad y que no pueda haya una mujer

de la UNA, entonces:

P

C C C

C= × × = =1

513

13

312

944

0 2045,

Respuesta

La probabilidad es 0,20 aproximadamente.

Alternativa D

Pregunta N.º 5

Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle

la suma (expresada en base diez) de las cifras del

número N2, que está expresada en base 8.

A) 640 B) 700 C) 740

D) 780 E) 800

SoluciónTema

Cuatro operaciones

Referencias

En problemas de multiplicación, cuando se

multiplica un número por otro cuyas cifras son

máximas, el producto se puede expresar como

una sustracción.

Ejemplo

abc×99=abc(100 – 1)=abc00 – abc

mnp8×7778=mnp8(10008 – 1)=

mnp0008 – mnp8


Por dato

N = 777 77100

8...cifras

��

Entonces

N 2

1008

1008

777 77 777 77= ×... ...cifras cifras

��

Pero

N

N

2

1008

1008

2

777 77 1 00 0 1

7

= −

=

... ...cifras cifras

��

777 77 00 0 777 77100 100

8100

... ... ...cifras cifras cifra

�� −ss

�� 8

N

N

2

1008

1008

2

777 77 1 00 0 1

7

= −

=

... ...cifras cifras

��

777 77 00 0 777 77100 100

8100

... ... ...cifras cifras cifra

�� −ss

�� 8

Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos

N 2

100877 600 01= ... ...

cifras100 cifras��

77...700...008 – 77...778

Entonces, la suma de cifras de N 2 es

7×99+6+1=700

Respuesta

La suma de cifras de N2 es 700.

Alternativa B

5


Pregunta N.º 6

Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una

de las siguientes afirmaciones:

1. ∀ a, b números enteros, tansencos

xxx

= es un número

racional.

2. ∀ a, b números enteros, cotcossen

xxx

= es un número

racional.

3. Si k ∈ Z y k2 es par, entonces k es par.

A) FVV B) FFV C) VFV

D) VFF E) FFF

Solución

Tema

Números racionales

Referencias

El conjunto de los números racionales se define:

Q Z Z= ∈ ∧ ∈ −{ }

ab

a b 0

Si mn∈Q, se debe cumplir que m ∈Z ∧ n ∈Z – {0}.

Además, se dice que un número es par si es un

múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K,

(K ∈ Z).


I. Por dato: ∀ a; b números enteros se debe

concluir que ab

es un número racional, pero

esto no se cumple cuando b=0.

Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).

II. Por dato: ∀a; b números enteros se debe

cumplir que a b

a

++1 2

es un número racional.

• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue

siendo entero.

• Además,a ∈ Z.

Entonces, 0 ≤ a2 ∈ Z → 1 ≤ a2+1 ∈ Z.

a b

a

++1 2

es un número racional, pues 1+a2 es

entero y diferente de cero.

Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).

III. Por dato:

Si K ∈ Z y K2 es par, entonces, K es par.

Por dato K2 es par; entonces, K2=2n; (n ∈ Z).

Pero, por ser K2 un cuadrado perfecto y K n2 2= ,

entonces, n=2p2, de donde K2=4p2 → K=2p;

por lo tanto, K es par.

Esta proposición es verdadera (V).

Respuesta

Los valores veritativos de las proposiciones son

FVV, respectivamente.

Alternativa A

Pregunta N.º 7

Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;

f xx xx x

x K( )sen tancos cot

= ++

≠ π2

.

Halle la siguiente suma 3c+2a+b.

A) 24 B) 26 C) 28

D) 30 E) 32

Solución

Tema

Divisibilidad

6


Referencias

En los criterios de divisibilidad hay algunos casos

particulares en donde se puede intercambiar el

orden de las cifras; por ejemplo:

Si mnp=9o ↔ m+n+p=9

o, al intercambiar el orden

de las cifras también se genera números múltiplos

de 9; así, mpn=9o; pnm=9

o; ...

Si mnp+ − +

=11o

↔ p – n+m=11o

, al intercambiar las

cifras de orden impar también se genera múltiplo

de 11; así, pnm=11o

.


De los datos tenemos

abc=7o

cba =+ − +

11o

→ cba =+ − +

11o

cab abc= → =9 9o o

abc= → abc=MCMo

( , , )7 9 11

7o

11o9o

De donde

abc K= =693 693o

1(único valor)

Luego,

a=6, b=9 y c=3.

Entonces,

3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.

Respuesta

La suma de 3c+2a+b es 30.

Alternativa D

Pregunta N.º 8

Si la fracción f x

xxx

xxx

( )sen

sencos

coscossen

=+

+

es equivalente a 5/17, determine

b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.

A) 1 B) 2 C) 4

D) 6 E) 8

Solución

Tema

Números racionales

Referencias

Una fracción será equivalente a otra si resulta de

multiplicar los términos de la fracción irreductible

de esta última por una misma cantidad entera.

Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes

a 1220

35

<> irreductible.

Entonces, dichas fracciones serán de la forma ab

nn

= 35

, donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).


Por dato, la fracción abccba

es equivalente a 5

17.

Entonces, se cumple que

abccba

nn

= 517

→ abc=5n= 5o

∧ cba=17n

De lo anterior se concluye que c=5

además, se tiene que

cba abc nc a

− = =−99

12 4( )

� �� o

→ 99 12 44

( )c a nc a

− = =− =

o

o

pero c=5

∴ a=1 ∧ n=33

7


Como

abc=5n=5(33)=165

entonces,

b=6.

Respuesta

El valor de b es 6.

Alternativa D

Pregunta N.º 9

Sea la igualdad

f xx

xx

xx

x

( )sen

coscos

cossen

sen

=

+

+

1

1

(*)

entonces, la proposición verdadera es:

A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2

B) (*) si y solo si x=a=b

C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=b

D) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b

E) (*) si y solo si x=a= – b

Solución

Tema

Valor absoluto

Referencias

Para la resolución del problema utilizaremos el

siguiente teorema.

|x|=|y | ↔ x=y ∨ x= – y


Plan de resolución

I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.

Ejecución del plan

I. |x – a+b|=|x+a – b|

↔ x – a+b=x+a – b ∨ x – a+b= – (x+a – b)

II. 2b=2a ∨ x – a+b= – x – a+b

↔ b=a ∨ 2x=0

↔ b=a ∨ x=0

∴ x=0 ∨ a=b

Respuesta

La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.

Alternativa D

Pregunta N.º10

Si cab abc= → =9 9o o

, x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,

halle el valor de p2

A) – 2 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 2

Solución

Tema

Sistema de ecuaciones

Referencias

Para resolver el problema necesitamos conocer

lo siguiente:

• Ecuacionescuadráticas.

• Valorabsoluto.


Plan de resolución

I. Hallar el equivalente de la primera ecuación del

sistema.

II. Dicho equivalente lo relacionamos con la se-

gunda ecuación.

III. Restringimos algunos valores por la condición

del problema.

8


Plan de ejecución

Tenemos el sistema

x

y

y

x

x y

x y y x

2

2

2

2

2 2

136

5

0

+ = ( )

+ = ( )< < <

α

β;

De (α) se tiene

6x4 – 13x2y2+6y4=0

Factorizamos

(3x2 – 2y2)(2x2 – 3y2)=0

→ 3x2=2y2 ∨ 2x2=3y2

→ x

y

x

y

2

2

2

223

32

= ∨ = (λ)

De (b) y (λ)

tenemos

(x2=2 ∧ y2=3) ∨ (x2=3 ∧ y2=2)

como |y| < |x|

entonces, solo es posible

x2=3 ∧ y2=2

↔ x y± ∧ = ±3 2

y como x < 0< y, se tiene finalmente

x y= − ∧ =3 2

∴ S y x= + = ( ) + ( ) −( ) = −2 3 2 2 3 3 1

Respuesta

El valor de S y x= +2 3 es – 1.

Alternativa B

Pregunta N.º 11

En la figura se muestra la gráfica del polinomio

cúbico p(x).

Sabiendo que p(a)=20, halle p a−( )3

A) 4 B) 5 C) 8

D) 10 E) 12

Solución

Tema

Gráfica de funciones

Referencias

Para la resolución del problema se necesita conocer

lo siguiente:

•Gráficadefuncionescúbicas.

•Raícesrealesdefuncionespolinomiales.

•Característicasdelasfuncionescúbicas.

•Teoremadelfactor.


Plan de ejecución:

I. Identificar las raíces reales de la gráfica.

II. Aplicar el teorema del factor.

III. Hallar el coeficiente principal de P(x)

9


Ejecución del plan:I. Del siguiente gráfico

las raíces son –2a; 0; 2a

II. P(x)=b(x+2a)x(x – 2a).

III. Evaluamos x=a

P(a)=b(3a)a(– a)=20

→ =b

a

20

3 3

Luego,

P

ax a x x ax( ) ( ) ( ).= − + −20

32 2

3

Similarmente, para x = – 3a

P

aa a aa( ) ( )( )( )− = − − − −3 3

20

33 5

P(– 3a)=100

P a( )− =3 100

∴ =−P a( )3 10

Respuesta

El valor de P a( )−3 es 10.

Alternativa D

Pregunta N.º 12La gráfica de la función f se muestra a continuación

Determine aproximadamente la gráfica de la inversa de la función

g(x)=|f(x – 2)+1|;

– 1 ≤ x ≤ 1

10


Solución

Tema

Gráfica de funciones

Referencias

Para la resolución del problema se necesita conocer

lo siguiente:

• Propiedadesdelasgráficasdefunciones.

• Gráficadelafuncióninversa.


Plan de resolución

I. Identificar la gráfica de f en el dominio indicado.

II. Usar las propiedades de gráficas de funciones

para construir g(x).

III. Graficar la función inversa.

Ejecución del plan

I. Como nos interesa la gráfica de

f(x –2),para–1≤x ≤1→–3≤x–2≤–1

es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el

intervalo [– 3; – 1] ⊂ Domf.

II.

– 1

1

– 1

Y

X

– 2

– 3 – 1

1

– 1

Y

X

1

f x( ) f x( – 2)

2

– 1

Y

X

1

f x( – 2)+1

– 1

1

– 1

Y

X

– 2

– 3 – 1

1

– 1

Y

X

1

f x( ) f x( – 2)

2

– 1

Y

X

1

f x( – 2)+1

como

f(x – 2)+1≥0∀ x ∈[– 1; 1]

→ |f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1

luego,

g(x)=|f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1;

–1≤x≤1

III. Por lo tanto, la gráfica de g–1(x) será

– 1

Y

X2– 1

2

g–1

g

1

Respuesta

La gráfica de g– 1 se muestra en la alternativa C.

Alternativa C

Pregunta N.º 13Si a, b y c son constantes positivas y

1 1 1 10 0

0 00 0

0x ax bx c

=

Determine el valor de x.

A) abc

a b c+ +

B) abc

ab ac bc+ +

C) bca

acb

abc

+ +

11


D) a b cabc+ +

E) abc

bac

cab

+ +

Solución

Tema

Determinantes

Referencias

Para el cálculo del determinante de una matriz de

orden (4×4), se utilizará el método de menores

complementarios, y es necesario también el

método de Sarrus para una matriz de orden (3×3).


Plan de resolución

I. Identificar la fila o columna que contenga más

ceros.

II. Aplicar el método de menores complementarios.

III. Aplicar el método de Sarrus.

Ejecución del plan

I. 1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

II. 1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

=– x1 1 1

0 b 0

0 0 c

+a ( )�1 1 1

x b 0

x 0 c

III. 1 1 1

0 b 0

0 0 c

1 1

0 b

0 0

=bc

+ + +– – –

1 1 1

x b 0

x 0 c

1 1

x b

x 0

= –( + )bc bx cx

+ + +– – –

Reemplazamos en (α)

1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

=– xbc+a(bc – (bx+cx))=0

→ – xbc+abc – abx – acx=0

→ =

+ +x

abcab bc ac

Respuesta

El valor de x es abc

ab bc ac+ +

Alternativa B

Pregunta N.º 14

El sistema de inecuaciones

x – 3y ≤ 6

2x+y ≥ 4

x+y ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0

determina en el plano una región R. Podemos

afirmar que

A) R es una región triangular.

B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.

C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.

D) R es vacía.

E) R es un cuadrante.

12


SoluciónTema

Sistema de inecuaciones lineales

Referencias

Una inecuación con dos variables se puede repre-sentar geométricamente en un plano cartesiano; por ejemplo, para la inecuación x+2y≥12

6

12

Y

X


Plan de resoluciónI. Graficar las desigualdades.II. Intersecar dichas regiones.III. Identificar la figura y su borde.

Ejecución del plan

6

4

2 6

2 + =4x y

x y+ =6

x y–3 =6

–2

Y

X

R

Respuesta

Se puede afirmar qye R es una región cuyo borde es un cuadrilátero.

Altenativa C

Pregunta N.º 15

Si el conjunto solución de la inecuación

(2x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0

es de la forma S=⟨a; b⟩ ∪ ⟨c; +∞⟩ , halle a+b+c.

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 5

Solución

Tema

Inecuación logarítmica y/o exponencial.

Referencias

Para la resolución del problema se debe conocer

lo siguiente:

• Gráficos de las funciones exponenciales y

logarítmicas.

• Criteriodelospuntoscríticos.


I. Graficar las funciones exponenciales y logarít-

micas para compararlas.

II. Simplificar los factores positivos que aparecen

en la inecuación.

III. Usar el criterio de los puntos críticos para

determinar los valores de a, b y c.

Ejecución del plan

I. Debemos recordar los gráficos de las funciones

siguientes:

1

y=2x

y x=

Y

X

→ (2x – x) > 0; ∀x ∈ R

13


→ (3x – log3x) > 0;

∀ x ∈ R+

II. En la inecuación debemos considerar x > 0

para que log3x exista.

2 3 3x xx x−( ) −( )+ +

� �� log (x2 – 9)(3x – 32) > 0

→ (x – 3)(x+3)(3x – 32) > 0

III. Puntos críticos: – 3; 3 y 2

→ CS=⟨0; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩

Comparando con el dato, obtenemos

a=0, b=2 y

c=3

→ a+b+c=5

Respuesta

El valor de a+b+c es 5.

Alternativa E

Pregunta N.º 16

Sea u el número de decenas de sillas y v el número

de decenas de mesas que fabrica una empresa al

día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,

y se tienen las siguientes restricciones:

u+v ≤ 4 2u+3v ≤ 10

40u+20v ≤ 120

encuentre el número de decenas de mesas y sillas,

respectivamente, a fabricar diariamente de modo

que la empresa obtenga la mayor utilidad.

A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2

D) 2 y 3 E) 3 y 2

Solución

Tema

Programación lineal

Referencias

En este tema se requiere determinar la

región factible, la cual se obtiene mediante la

representación geométrica de las restricciones

dadas, para luego calcular las coordenadas de los

vértices de la región y poder evaluar el máximo o

mínimo valor de la función objetivo.


Plan de resolución

I. Identificar la función objetivo.

II. Representación gráfica de las restricciones.

III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la

región factible.

Ejecución del plan

I. La función objetivo es

f(u, v)=200u+300v.

14


II. Vamos a representar geométricamente las

restricciones.

u vu vu v

+ ≤+ ≤+ ≤

42 3 1040 20 120

Como u y v representan el número de decenas de

sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,

por lo que evaluaremos la función objetivo solo

en (2; 2) y (3; 0); así:

III. f(2; 2)=200(2)+300(2)

f(2; 2=1000 (máximo)

f(3; 0)=200(3)+300(0)

f(3; 0)=600

Respuesta

La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando

fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de mesas.

Alternativa C

Pregunta N.º 17

Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...

Determine la suma de los 100 primeros términos

de la sucesión anterior.

A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400

D) 333 300 E) 343 400

Solución

Tema

Series

Referencias

Una serie es la suma de los términos de una suce-

sión y se denota por

tn

n

k

=∑

1

Algunas sumas notables:

• k nn n

k

n= + + + + = +( )

=∑ 1 2 3

121

...

• k nn n n

k

n2

1

2 2 2 21 2 31 2 1

6=∑ = + + + + = +( ) +( )

...

• k k n n

n n n

k

n+( )= × + × + × + + × +( )

= +( ) +( )

=∑ 1 1 2 2 3 3 4 1

1 23

1...


De la sucesión

2 6 12 20 30 42100

; ; ; ; ; ;...términos

� ��

notamos que cada término se expresa como

1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101

Entonces, el término general de la sucesión es

tn=n(n+1)

calculando la suma de los 100 términos de la

sucesión, obtenemos

n n

n+( ) = × × =

=∑ 1

100 101 1023

3434001

100

Respuesta

La suma de los 100 términos de la sucesión es 343 400.

Alternativa E

15


Pregunta N.º 18

Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos

colocando el número 48 en medio del anterior, son

los cuadrados de números enteros. Halle la suma

de los dígitos del sexto número entero.

A) 36 B) 37 C) 38

D) 39 E) 40

Solución

Tema

Sucesión

Referencias

Cuando tenemos una sucesión de números, de-bemos identificar una regla de formación que nos permita encontrar cualquier término de la sucesión.


De los términos de la sucesión

49; 4489; 444889; ...

nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de números enteros; por lo tanto, analicemos cada término.

Números Números enteros elevados al cuadrado

1.er número 49 = 72

2.o número: 4489 = 672

3.er número 444889 = 6672

......

...

6.o número : = 6666672

el sexto número entero elevado al cuadrado es 666667

Piden la suma de los dígitos del sexto número entero; aquí se debe entender que se refieren al sexto número entero que está elevado al cuadrado, esto es

6+6+6+6+6+7=37

Respuesta

La suma de los dígitos del sexto número entero es 37.

Alternativa B

Pregunta N.º 19Determine el conjunto solución del sistema

x2– 4x+y2=64

x3– 6x2+12x+y=8

A) {(0; 8), (2; 1)}

B) {(0; 8), (4; – 8)}

C) {(0; 8), (0, – 8)}

D) {(4; – 8), (2; 8)}

E) {(1; 2), (4; – 8)}

SoluciónTema

Sistema de ecuaciones no lineales

Referencias

Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el

método de Gauss; es decir, eliminar una incógnita.


Plan de resolución

I. Completar cuadrados y cubos.

II. Eliminamos una incógnita.

III. Factorizamos aplicando el método de los

divisores binómicos.

16


Ejecución del plan

I. x2– 4x+y2=64

x2– 4x+4+y2=64+4

(x– 2)2+y2=68 (b)

x3– 6x2+12x+y=8

x3–6x2+12x–8+y=8 – 8

(x – 2)3+y=0 (α)

II. En (α) tenemos:

y=–(x –2)3

Reemplazando en (b) obtenemos (x–2)2+(–(x–2)3)2=68

(x–2)2+(x–2)6=68 (q)

III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.

sea

(x – 2)2=a

Reemplazando en (q) tenemos

a+a3=68

a3+a – 68=0

Se observa que a=4 es raíz → (a – 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.

(a – 4)(a2+4a+17)=0

D<0 (no tiene solución real)

Entonces, a=4.

Reemplazamos

(x–2)2=4 → x yx y= → = −= → =

4 80 8

Respuesta

El conjunto solución es CS={(0; 8), (4; –8)}.

Alternativa B

Pregunta N.º 20Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es el menor posible y cuya gráfica se representa a continuación.

Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x)=x – 3.

A) – 6B) – 4C) – 1D) 1E) 4

SoluciónTema

Gráfica de funciones polinomiales

Referencias

Para la solución del problema se necesita conocer:

17


• Gráficadeunafunciónpolinomial.

• Teoremadelresto.


Plan de resoluciónI. A partir de la gráfica, hallar la regla de

correspondencia de p(x).

II. Aplicar el teorema del resto.

Ejecución del planI.

p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;

a, b ∈ Z+

Como el grado de p(x) es el menor posible,

entonces

a=1 y

b=1

Luego, tenemos

p(x)=k(x – 1)2(x – 2)

De la gráfica

p(0)=2

p(0)=k(–1)2(–2)

p(0)=2

→ k=–1

Luego

p(x)=–(x – 1)2(x – 2)

II. Aplicando el teorema del resto tenemos

p xx

( )− 3

→ R(x)=p(3)

p(3)=–(2)2(1)

∴ p(3)=– 4

Respuesta

El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.

Alternativa B

Pregunta N.º 21En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 2R, además BC es diámetro de la semicir-cunferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es un punto de tangencia entonces mSTOA es

A) 7,5 B) 8C) 10D) 10,5 E) 12,5

SoluciónTema

Circunferencia

18


Referencias

En la pregunta nos piden la medida de un ángulo; entonces, debemos ubicarlo en una figura donde se puede obtener dicha medida; por ejemplo, un triángulo; además, como se observa una semicircunferencia debemos aplicar los teoremas que se cumplen en la circunferencia.


En el gráfico, nos piden x.

Como ABCD es un cuadrado

→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R

Trazamos OD → OD� ��

: Bisectriz del SCDT

Luego, OCD (not 53º/2):

mSCDO=53º/2 y mSODT=53º/2

En TOCD: inscriptible

→ mSBOT=mSCDTt

mSBOT=53º

OBA (not 53º/2)

→ mSBAO=532

º

En OBA

53º+x+532

º=90º

x= 212

º

→ x=10,5º

Respuesta

La medida del ángulo TOA es 10,5º.

Alternativa D

Pregunta N.º 22ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la región triangular PQR (en cm2) es

A) 4 B) 6 C) 8

D) 12 E) 16

SoluciónTema

Área de regiones triangulares

Referencias

Para relacionar las áreas de dos regiones trian-gulares, se busca la relación entre los elementos de ambos triángulos (lados, alturas, medida de ángulos, etc.).


19


Piden APQR: área de la región triangular PQR.

Dato A ABC: área de la región triangular ABC. (A ABC=32)

Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los triángulos BEC y DBC.

QR // DB

→ mSRQC=150º y

RQ=BD2

PQ // EC → mSPQC=120º y PQ=EC2

Luego

mSPQR=90º

En el gráfico, PQR ~ ABC (caso LAL de

razón 1/2)

Por áreas de regiones semejantes

A

APQR

ABC=

razón desemejanza

2

Reemplazamos

A PQR

3212

2

=

→ APQR=8

Respuesta

El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.

Alternativa C

Pregunta N.º 23Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas

diferentes que se intersectan, entonces dichos planos también se intersectan.

II. El lugar geométrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.

III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.

A) VVF B) VFV C) FFVD) VVV E) FFF

SoluciónTema

Geometría del espacio. Rectas y planos

Referencias

En este tipo de preguntas debemos hacer una comparación entre los conceptos teóricos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposición dada.


Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones

relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.

• Enlafig.1,losplanossonparalelossison

perpendiculares a una misma recta. • Enlafig.2,losplanossonsecantessison

perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposición de la pregunta).

Entonces, la proposición es verdadera.

20


II.

• ComoelpuntoQ es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyección ortogonal de Q sobre el plano W.

• En el gráfico, los triángulos rectángulosAQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre sí.

• Luego,m=n=p=… • Además,elpuntoQ' equidista de A, B,

C, D, … Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-

minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.


III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.


Respuesta

La secuencia correcta después de analizar las proposiciones es VVV.

Alternativa D

Pregunta N.º 24En la figura mostrada, ABCD es un trapecio

rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es

perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a

y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP

son iguales, calcule el volumen de la pirámide

Q-BCP.

A) 12

3a B) 38

3a C) 45

3a

D) 78

3a E) 59

3a

SoluciónTema

Geometría del espacio. Pirámide

Referencias

En preguntas donde piden el cálculo o la relación de volúmenes, conviene hacer un análisis de las longitudes de las alturas o de las relaciones de las bases. Generalmente, para el cálculo del área de la base se emplean capítulos anteriores de geometría plana.


Piden volumen de la pirámide Q-BCP:

V Ax BCP PQ= [ ]13

[ ] (I)

21


Del gráfico tenemos PQ=a (II)

Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y

Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las

áreas de sus bases son también iguales.

Entonces, AABP=ACPD=4A.

En el plano de la base

Del dato de áreas iguales → AP=2(PD)

Por relación de áreas, el área de la región trapecial:

18

22

2A = +

a aa( )

→ =A

a2

6

Luego, ABCP=10A=5

3

2a (III)

Reemplazamos (II) y (III) en (I)

→ Vx= 13

53

59

3 3aa

a

=( )

Respuesta

El volumen de la pirámide Q-BCP es 59

3a

Alternativa E

Pregunta N.º 25

La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es

una región limitada por un rombo cuyo lado mide

2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de

la base se traza un plano que interseca al prisma

y está inclinado un ángulo de 60º con respecto

de la base, luego el área de la sección (en u2) que

resulta en el prisma es:

A) 2 3 B) 53

C) 43

D) 33

E) 23

Solución

Tema

Prisma

Referencias

Al trazar planos secantes a un sólido, este determina

secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo

de inclinación y el lugar por donde interseca. Así,

un plano secante en un prisma puede determinar

una sección triangular, cuadrangular, ...

y para poder aprovechar el ángulo de inclinación

es preciso asociarlo con el teorema de las tres

perpendiculares.

22



Graficamos el prisma según las condiciones

planteadas.

donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la

mSABC=30º.

Si trazamos

CH ⊥ AB ... 1.a ⊥

SS' ⊥ CH ... 2.a ⊥

→ S'H ⊥ AB ... 3.a ⊥

Sea S'H=h.

Como la altura del prisma es 1 u

→ S'S=1 u

Luego, en el S'SH:

hsen60º=1 u

→ h = 23

u

Luego, el área de la sección ABMN, que es una

región paralelográmica, se calcula multiplicando

AB y h.

A ABMN= AB h( ) = ( )

223

u u

= 4

32u

Respuesta

El área de la sección en u2 es 43

.

Alternativa C

Pregunta N.º 26

Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns-

crita a una circunferencia, si las longitudes de sus

lados están en progresión geométrica de razón r.

Determine r2+3r.

A) 1 B) 4 C) 10

D) 18 E) 28

Solución

Tema

Polígonos circunscritos a una circunferencia:

Teorema de Pithot generalizado

Referencias

En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible,

se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma

de longitudes de lados opuestos son iguales.

En un polígono circunscrito o circunscriptible se

cumple que la suma de longitudes de lugar par

es igual a la suma de longitudes de lugar impar,

es considerado para un cuadrilátero, hexágono,

octógono, ..., en polígonos cuyo número de

lados es par.

23



Piden r2+3r.

Las longitudes de los lados del polígono convexo de

8 lados están en progresión geométrica de razón r.

además

AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,

FG=6, GH=7 y HA=8,

En el octógono circunscrito por el teorema de

Pithot general, tenemos:

1+3+5+7=2+4+6+8 → a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7

Factorizamos

a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)

→ r=1

Respuesta

El valor de r2+3r es 4.

Alternativa B

Pregunta N.º 27

Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC

miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB

se toma el punto D. Si mSBAC=mSBCD.

Entonces AD es:

A) 3,5 B) 4 C) 4,5

D) 5 E) 5,5

Solución

Tema

Semejanza de triángulos

Referencias

Cuando en un triángulo se desea relacionar las

longitudes de lados y segmentos determinados

por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de

semejanza, y más aún si la medida de un ángulo

es igual al ángulo determinado por dicha ceviana

y un lado; por ejemplo:

Teorema:

En el ABC

mSBAC=mSMBC=q

→ x2=bm

24



Piden AD

Datos:

AB=8, BC=6

mSBAC=mSBCD

ABC: Por teorema de semejanza

tenemos:

(BC)2=(AB)(BD) (I )

también:

BD=8 – AD

Reemplazamos:

62=8(8 – AD)

→ AD=3,5

Respuesta

Entonces, AD es 3,5.

Alternativa A

Pregunta N.º 28

En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-

gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.

A) 2 3 B) 2 2 C) 3

D) 6 E) 3 3

Solución

Tema

Semejanza de triángulos

Referencias

En el problema nos piden calcular el radio de la

semicircunferencia menor, para ello debemos rela-

cionar el dato numérico con la variable, utilizando

los teoremas que se cumplen en circunferencias

tangentes interiores. Luego, para obtener el valor

del radio debemos establecer una operación que

relacione la incógnita con los datos.


25


Trazamos BT

→ mSBTA=90º

Por teorema:

ET=TA=4

Trazamos AD

→ AT��

es bisectriz del SDAC

mSDAT=mSTAC=α

Luego

mSECD=mSDAE=α

En AEC:Teorema de semejanza

(EC)2=(8)(4)

→ EC = 4 2

AEC: Teorema base media

→ TB = 2 2

ATB:

(2r)2=42+ 2 22( )

r = 6

Respuesta

El valor de r es 6.

Alternativa D

Pregunta N.º 29

En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y

AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en

metros, sabiendo que es un número entero y el

ángulo en A es obtuso.

A) 65 B) 66 C) 67

D) 68 E) 69

Solución

Tema

Clasificación de triángulos: Triángulo obstusángulo.

Referencias

Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario

conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.

Como las longitudes de los otros dos lados son

conocidas, podemos restringir a BC mediante el

teorema de existencia; pero como la medida de

un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se

puede realizar la restricción de BC por la naturaleza

del triángulo.


Por dato del problema tenemos

AB=2, AC=32 y mSBAC>90º

Piden

2P ABC=2+32+BC=34+BC.

En el ABC: Existencia de triángulos

32 – 2 < BC < 32+2 (I)

• ComomSBAC>90º

322+22 < BC2

32,06 < BC (II)

• Luego,relacionamoslasrestricciones(I)y(II).

32,06 < BC < 34 (III)

26


• 2P ABC=34+BC Como el perímetro es entero, entonces, BC es

entero.

• Luego,delaexpresión(3)obtenemos BC=33

∴ 2P ABC=67

Respuesta

El perímetro de la región triangular ABC enmetros es 67.

Alternativa C

Pregunta N.º 30

En la figura se tiene una pirámide inscrita en un

cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide

es un triángulo equilátero. El volumen de la

pirámide es 10 2 52 2= −( ) + −( )x y cm3. Calcule el volumen del

cilindro (en cm3).

A) 27p

B) 54p

C) 108p

D) 54 E) 108

SoluciónTemaSólidos geométricos

Referencias

Para calcular el volumen de una pirámide se necesita

conocer el área de su base y la altura de la pirámide,

mientras que para calcular el volumen del cilindro

se requiere conocer el área de su base y su altura.

Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un

círculo, mientras que la base de la pirámide es un

triángulo equilátero.


Del gráfico que nos dan como dato podemos

notar que ambos sólidos tienen la misma altura y

el triángulo de la base de la pirámide está inscrita

en la circunferencia que limita la base del cilindro.

Denotemos los vértices de la base de la pirámide

como A, B y C, y r el radio del círculo de la base

del cilindro.

Graficando el triángulo equilátero inscrito en la

circunferencia tenemos:

27


En el AO'C:

AO=r=OC

mSAOC=120º → AC=r 3=AB=BC

Ahora podemos calcular el volumen de la pirámide.

VO-ABC=13

(Abase)×h=13

r

h3 34

2( )

×

VO-ABC=rh

2 34

27 3⋅ =π

cm3

De aquí podemos despejar las variables y obte-

nemos:

pr 2 · h=108 cm3 (I)

Ahora calculamos el volumen del cilindro

Vcilindro=A base×h=pr 2×h

de I: Vcilindro=108 cm3

Respuesta

El volumen del cilindro en cm3 es 108.

Alternativa E

Pregunta N.º 31

En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se

tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.

A) mL = 1

2 B) 7 C) L

��

D) mL E) 1

2

Solución

Tema

Polígonos

Referencias

Dentro del grupo de los polígonos tenemos al

polígono equiángulo, que se caracteriza por que

sus medidas angulares internas y externas son,

respectivamente, iguales.

Como se conoce que la suma de las medidas

angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2)

y n es el número de lados, entonces, la medida de

un ángulo interior será:

inn

= −( )180 2º


Según el dato del problema, el polígono equián-

gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);

entonces, i 6180 6 2

6120( ) =

−( )=º

º.

Grafiquemos el hexágono con las condiciones del

problema: AB=7, CD=6 y DE=8.

Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de

los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además,

se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la

vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde MB=CN.

28


Como DE=8 → DN=EN=8.

Así también si AF=a → AM=MF=a.

Luego

a+7=6+8

∴ a=7

Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos

Entonces, BF=7 3.

Respuesta

La longitud de BF es 7 3.

Alternativa E

Pregunta N.º 32

El ángulo de desarrollo de un cono circular recto

mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,

entonces el radio (en cm) del cono es:

A) 12

B) 12

7 102

x −( )

= C) 1

4

D) 12

E) 2 3

Solución

Tema

Cono circular recto

Referencias

Al desarrollar la superficie lateral de un cono

circular recto, resulta un sector circular cuyos

elementos se asocian con los del cono dado.

En el gráfico α es la medida del ángulo de desarrollo.

Sea q su medida en radianes.

→ θ πα=180º

Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el

radio de la base del cono.

ABA

=2pr=q×g

∴ θ π= 2 rg


Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces, podemos calcular q y encontrar una relación entre r y g.

→ θ π π=( )

=120180

23

ºº

Luego

rg

= 13

ó g=3r

Como nos piden el radio de la base en cm, recurri-mos al teorema de Pitágoras para relacionar r, g y h.

En el AVO: g 2=r 2+h2

Reemplazamos valores: (3r)2=r 2+(4)2

∴ r= 2

Respuesta

El radio del cono en centímetros es 2.

Alternativa B

29


Pregunta N.º 33En un nuevo sistema de medición angular, un

ángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si

un ángulo de p radianes mide 120 en el nuevo

sistema, halle α – 3.

A) 3 B) 6 C) 9

D) 12 E) 15

SoluciónTema

Sistemas de medición angular

Referencias

La equivalencia entre los grados sexagesimales y el número de radianes de un ángulo es p rad=180º.


• Nuevosistemademediciónangular(X), donde 1X denota un grado en el sistema X.

• Condiciones: αº=(α – 3)X

p rad=120X

Empleamos el método del factor de conversión:

α α π

πº ( )

º= −

3

180XX

rad

120 rad

α αº ( )

º

= −

332

2α=3α – 9

α=9

Se busca calcular (α – 3).

Respuesta

El valor de (α – 3) es 6.

Alternativa B

Pregunta N.º 34

En la figura α α ππ

º ( )º= −

3

180XX

rad

120 rad y el área de la región sombreada

es 5 veces el área del sector circular OPQ.

Determine la relación α αº ( )º

= −

332

.

A) ab

a kb k

===

32

32

B) SR

BA

C) SR

k

= α( )5

D) BA

k

= θ( )3 E)

SR

BA

=

53

αθ

SoluciónTema

Longitud de arco y área del sector circular

Referencias

• Longituddearco()

• Áreadeunsectorcircular(A)

30



Condición 1

ab

a kb k

===

32

32

Incógnita: SR

BA

Pero: SR k

= α( )5

BA

k

= θ( )3

SR

BA

=

53

αθ

(I)

Condición 2El área sombreada es igual a cinco veces el área

del sector OPQ.

12

512

3 532

2 22

θ θ α( ) ( )

( )k k

k− =

162

452

2 2θ αk k=

1645

= αθ

(II)

Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:

SR

BA

=

53

1645

SR

BA

= 1627

Respuesta

La relación SR

BA

es 1627

..

Alternativa B

Pregunta N.º 35

Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),

12

512

3 532

2 22

θ θ α( ) ( )

( )k k

k− =

unidades. La pendiente de la recta que pasa

por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M

de mayor abscisa.

A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)

D) (3; 2) E) (5; 4)

SoluciónTema

Geometría analítica

Referencias

• Distanciaentredospuntos

• Ecuacióndeunarecta


De la condición tenemos

•

Por distancia entre dos puntos se cumple que

10 2 52 2= −( ) + −( )x y

Elevando al cuadrado, tenemos

(x – 2)2+(y – 5)2=10 (I)

• Dato:mL = 1

2

31


Calculamos la ecuación de la recta L��

.

y – 5=mL(x – 7)

y – 5=12

(x – 7) (II)

Reemplazamos (II) en (I)

(x – 2)2+ 12

7 102

x −( )

=

(x – 2)2+14

(x – 7)2=10

Reduciendo, tenemos

x2 – 6x+5=0x – 5x – 1

x=5 ∨ x=1

Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)

y – 5=12

(5 – 7)

y=4

Entonces, M=(5,4).

Respuesta

El punto M de mayor abscisa es (5,4).

Alternativa E

Pregunta N.º 36En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene

162

452

2 2θ αk k= . Entonces el área de la región triangular

ABM es:

A) 1645

= αθ

B) SR

BA

=

53

1645

C) SR

BA

= 1627

D) SR

BA

es 1627

. E) CM DM CM DM = → = =m mπ4

SoluciónTema

Circunferencia trigonométrica (C. T.)

Referencias

• UbicacióndearcosenlaC.T.• Resolucióndetriángulosrectángulos.• Cálculodeláreadeunaregióntriangular.


Dato: CM DM CM DM = → = =m mπ4

además, m mBM BM = + → =π π π2 4

34

.

32


En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,

entonces, AH=HB=2

2.

Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.

MH = 2

238

tanπ

Luego

S

AB MH= ( )( )2

S =

( )

2

22

38

2

tanπ

Por lo tanto, S = 12

38

tanπ

.

Respuesta

El área de la región triangular ABM es igual a

12

38

tanp

.

Alternativa B

Pregunta N.º 37

Simplificando la siguiente expresión

K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,

se obtiene

A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2A

D) 12senA E) 12cos22A

Solución

Tema

Identidades trigonométricas de arcos múltiples

Referencias

• Empleamoslasidentidadesauxiliaresdelarco

triple

sen3q=senq(2cos2q+1)

cos3q=cosq(2cos2q – 1)

• Empleamoslaidentidaddelarcodoblerelacio-

nada con el coseno.

cos2q=2cos2q – 1


K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A

entonces

K

AA

AA

A=

+

+sensen

coscos

cos3 3

2 42 2

Ahora aplicamos las identidades del arco triple.

K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A

Desarrollando los binomios y aplicando la identi-

dad del arco doble, obtenemos

K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1)

→ K=12cos22A

33


Respuesta

Entonces, K es igual a 12cos22A.

Alternativa E

Pregunta N.º 38

Sea KAA

AA

A=

+

+sensen

coscos

cos3 3

2 42 2

Entonces podemos afirmar que

A) f(x) toma valores positivos y negativos.

B) f(x) toma un número finito de valores negativos.

C) f(x) toma solamente valores negativos.

D) f(x) toma solamente valores positivos.

E) f(x) es constante.

Solución

Tema

Funciones trigonométricas

Referencias

Para reducir la expresión aplicaremos identidades

trigonométricas.

tan

sencos

xxx

=

cotcossen

xxx

=


f x

x xx x

x K( )sen tancos cot

= ++

≠ π2

cosx+cotx ≠ 0

cosx(1+1/senx) ≠ 0

cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1 → x ≠ (2n+1) p2

f xx

xx

xxx

( )sen

sencos

coscossen

=+

+

f xx

xx

xx

x

( )sen

coscos

cossen

sen

=

+

+

1

1

f x

x x

x x( ) = +( )

+( )sen cos

cos sen

2

21

1

senx > – 1 → 1+senx > 0

cosx > – 1 → 1+cosx > 0

Entonces, se deduce que f(x) es positivo.

Respuesta

f(x) toma solamente valores positivos.

Alternativa D

Pregunta N.º 39

Dado el sistema

cosα = cateto adyacentehipotenusa

el valor de cos(x – y) es:

A) cosα =+R

R r0 B) R

r=−0

1coscos

αα

C) R r=−

coscosαα1 0

D) cos

cosαα1 0−

r E) 41

2 212

22

12−

−

= − + −

−cos cos

x y x y

SoluciónTema

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

34


Referencias

Transformaciones trigonométricas.

cos cos cos ·cosx y

x y x y+ = +

−

22 2

Identidad de arco doble.

cos2x=2cos2x – 1


De la condición

secx+secy=1

2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy)

2 22 2

×+ −

= + + −

( ) ( )·cos ·cos cos cosx y x y

x y x y

Por dato sabemos que x y+ = 43π

.

4

12 2

12

22

12−

−

= − + −

−cos cos

x y x y

→ 42

42

3 02·cos cosx y x y−

+ −

− =

2

23 2

21 0cos · cos

x y x y−

+

−

−

=

cos cos

x y x y−

= −

= −

212 2

32

o

La ecuación admite para

cos

x y−

=

212

Luego, debido a que

cos cosx y

x y−( ) = −

−2

212

Por lo tanto

cos x y−( ) = − 1

2

Respuesta

El valor de cos(x – y) es − 12

.

Alternativa C

Pregunta N.º 40

En las circunferencias tangentes de la figura, son

datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.

A) − 12

B) cos

cosαα1 0−

r

C) 11 0−+

coscos

αα

r

D) 1

0+

coscos

αα

r

E) 11 0+−

coscos

αα

r

35


Solución

Tema

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Referencias

Definición del coseno de un ángulo agudo.

cosα = cateto adyacente

hipotenusa


�

R

r0

R

Por definición tenemos

cosα =

+R

R r0

Rcosα+r0cosα=R

r0cosα=R(1 – cosα)

R

r=−0

1coscos

αα

R r=

−

coscosαα1 0

Respuesta

Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es

coscosαα1 0−

r

Alternativa B

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