Solucionario 2012 -I Matemátcloud.vallejo.com.pe/MATEMATICAFzhRX7HiC3oW.pdf · para la cifra a....

Matemát

Solucionario

2012 -IExamen de admisión

Matemática

1

TEMA P

PREGUNTA N.o 1Al multiplicar un número de cinco cifras por 101 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 8513. Se sabe también que el número inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición descrita.

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

R

Tema: Cuatro operaciones

Análisis y procedimiento

Sea abcde un numeral de 5 cifras diferentes.

Entonces por dato

abcde×101=...8513

Expresemos en forma vertical.

a b c d e ×

1 0 1

a b c d e

0 0 0 0 0

a b c d e

. . . . 8 5 1 3

Observemos que• e=3; d=1• c+e=...5 y b+d=...8

2 3 7 1

Luego tenemos que

abcde=a7213

4

5

6

8

9

existen 5 valores para la cifra a.

Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.

R5

Alternativa C

PREGUNTA N.o 2

En una proporción geométrica de razón 54

, la

suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción.

A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición


4

5

6

8

9

existen 5

Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.

R5

2

unI 2012 -I Academia CÉSAR VALLEJO

R

Tema: Proporciones

Análisis y procedimientoSea la proporción

ab

cd

= = 54

razón

La proposición anterior se puede escribir como

54

54

54

mm

nn

= =

Por dato

• 5 4 5 4 45m m n n+ + + =

suma de términos

→ m+n=5 (I)

• 4 4 4m n− =

diferencia deconsecuentes

→ m – n=1 (II)

De (I) y (II) se obtiene que

m=3

n=2

Finalmente, el mayor de los términos es 5m=15.

R

15

Alternativa B

PREGUNTA N.o 3Determine los litros de agua que contiene un recipiente de 17 litros de leche adulterada con agua y que pesa 17,32 kg, si un litro de leche pura pesa 1,032 kg y un litro de agua pesa 1 kg.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

R

Tema: Regla de mezcla

Análisis y procedimientoPor dato tenemos

c/litro pesa 1 kg

c/litro pesa 1,032 kg

volumentotal =17 litros

agua

leche

a litrosa litros

(17 – a) litros(17 – a) litros

Luego en la mezcla tenemos a(1)+(17 – a)(1,032)=17,32 → a=7

R7

Alternativa C

PREGUNTA N.o 4Mi padre que nació en la primera mitad del siglo 20

afirma que en el año x2 cumplió x4

años. Determine

la edad que tuvo en el año 2008.

A) 83 B) 86 C) 88 D) 90 E) 92

=5 (I)

Por dato tenemos

volumentotal =17 litros

agua

leche

aaaaaa litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros litros

(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17(17–aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros) litros

Luego en la mezcla tenemosa(1)+(17 – a)(1,032)=17,32

→ a=7

3

unI 2012 -ISolucionario de Matemática

R

Tema: Potenciación

Tenga en cuenta que

año de nacimiento+edad=año actual

Análisis y procedimientoSea 19ab el año de nacimiento.

Por dato tenemos lo siguiente:

• El año de nacimiento se encuentra en la primera mitad del siglo 20.

→ 1900 < 19ab < 1950 (I)

• 194

2abx

x+ =

→ = −194

2ab xx

(II)

Reemplazando (II) en (I) tenemos

19004

19502< − <

∈

xx

Observe que x = 4o, entonces, el único valor de x que

verifica la desigualdad es 44.

Luego, en (II) se tiene que

19 444411

19252ab = − = (año de nacimiento)

Por lo tanto, la edad que tuvo en el 2008 es 2008 – 1925=83 años.

R83

Alternativa A

PREGUNTA N.o 5Determine cuántos de los siguientes números

racionales 157125

786625

253200

25192000

, , , pertenecen al

intervalo 503400

23; .

A) Ningún número B) Solo un número C) Solo dos números D) Solo tres números E) Todos los números

R

Tema: Números racionales

Análisis y procedimientoSe tienen los siguientes números racionales.

• 157125

=1,256 (I)

• 786625

=1,2576 (II)

• 253200

=1,265 (III)

• 25192000

=1,2595 (IV)

Además, el intervalo es

503400

3 2;

1,2575 1,2599...

Observe que (II) y (IV) pertenecen al intervalo dado.

RSolo dos números

Alternativa C

< 1950 (I)

(II)

Reemplazando (II) en (I) tenemos

, entonces, el único valor de

R

Tema: Números racionales

Análisis y procedimientoSe tienen los siguientes números racionales.

• 157125

=1,256 (I)

• 786625

=1,2576 (II)

• 253200

=1,265 (III)

4


PREGUNTA N.o 06El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición entran sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición. ¿Cuántos autos le quedan por vender?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

R

Tema: Análisis combinatorio

Análisis y procedimientoSupongamos que son n autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).

n (n – 1) (n – 2) =210

7 6× ×

× ×

5

maneras de ordenar la exhibición

Dato:

Luego:

∴ n =7

R7

Alternativa D

PREGUNTA N.o 07La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos 3 trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno.

Calcule la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad de Lince para este trabajo.

A) 320 B) 330 C) 345 D) 365 E) 380

R

Tema: MCD - MCM

Análisis y procedimientoSea d la distancia que existe entre dos murales.Gráficamente se tendría

avenida A avenida B

d d d d d d d d

2520 m 2000 m

... ...

Para colocar un muralse necesita 3 trabajadorescomo mínimo.

Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000.Entonces d=MCD(2520; 2000) d=40 mLuego

cantidad demurales

cantidad detrabajadores

Avenida A: 252040

+1=64 → 64×3=192

Avenida B: 200040

+1=51 → 51×3=153

Por tanto, el total de trabajadores es 192+153=345.

R345

Alternativa C

autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).

(n–2) =210

5

maneras de ordenar la exhibición

avenida A

d d d d d

2520 m

...

Para colocar un muralse necesita 3 trabajadorescomo mínimo.

Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000.Entonces

d=MCD(2520; 2000)d=40 m

5


PREGUNTA N.o 08Determine la cantidad de números abc=12

o tal que

a+b+c=12.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 17

R

Tema: Divisibilidad

Análisis y procedimientoBuscamos números que cumplan las condiciones

abc=12 o

∧ a+b+c=12

Entonces

abc = 4o

bc = 4o

∧ a+b+c=12 ↓ ↓ ↓ ↓ par: 0; 2; 4; 6; 8 8 4 0

∴ abc toma 17 valores

6 6 4 8 9 1 2 7 3 5 5 3 7 1 9 8 0 4 6 2 4 4 2 6 5 1 6 3 3 1 5 4 0 8 2 2

R17

Alternativa E

PREGUNTA N.o 09Dada la sucesión definida por

an

n

nn

n

n

=

−+

+

( ),

,

1

1

1

1

2

3

impar

par

Entonces podemos afirmar que

A) La sucesión no converge.

B) La sucesión converge a cero.

C) La sucesión tiene dos puntos límites.

D) La sucesión tiene tres puntos límites.

E) No podemos afirmar nada acerca de su

convergencia.

R

Tema: Sucesiones numéricas reales

Recuerde que una sucesión an es convergente si

límn→∞

an existe, es único y es finito.

Análisis y procedimientoComo

an

n

nn

n

n( );

;

−+

+

1

1

1

1

2

3

impar

par

Entonces

• Para n impar

lím límn

nn

na

n→∞ →∞= −

+=( )1

102

=12

a+b+c=12↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓

par: 0; 2; 4; 6; 8 8 4 0

abc

6 6 4 8

9 1 2 7 3 5 5 3 7 1 9

B) La sucesión converge a cero.

C) La sucesión tiene dos puntos límites.

D) La sucesión tiene tres puntos límites.

E) No podemos afirmar nada acerca de su

convergencia.

R

Tema: Sucesiones numéricas reales

Recuerde que una sucesión

límn→∞

an existe, es único y es finito.


6


• Para n par

lím límn

nn

an→∞ →∞

=+

=1

103

Por lo tanto, límn

na→∞= 0.

RLa sucesión converge a cero.

Alternativa B

PREGUNTA N.o 10Dada la matriz

Aa b cd e fg h i

=

determine la matriz P; tal que PAPa c bg i hd f e

=

A) −

−−

ab

c

1 00 11 0

B) 1 0 00 0 10 1 0

C) −

−

1 1 01 1 00 0 1

D) 0 1 00 1 01 0 1

−

E) 1 0 00 0 11 1 0

R

Tema: Matrices

Recuerde qué son matrices elementales.


Se tiene la matriz Aa b cd e fg h i

=

Para obtener la matriz PAPa c bg i hd f e

=

se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas)

1.a operaciónSe ha intercambiado la fila 2 y la fila 3.

F Aa b cd e fg h i

a b cg h id e f

B1

1 0 00 0 10 1 0

=

=

=

matriz elemental

2.a operaciónSe ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.

BCa b cg h id e f

a c bg i hd f e

1

1 0 00 0 10 1 0

=

=

matriz elemental

Es decir, PAP=F1AC1

=

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 0 10 1 0

P P

A

R1 0 00 0 10 1 0

Alternativa B

; tal que PAPa c bg i hd f e

=

se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas)

1.a operaciónSe ha intercambiado la fila 2 y la fila 3.

F Aa bd eg h

1F A1F A1 0 00 0 10 1 0

=

matriz elemental

2.a operaciónSe ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.

BCa b cg h id e f

1

1 0 00 0 10 1 0

=

7


PREGUNTA N.o 11La solución del problema de minimizarZ=5x+6y

sujeto a

2 3 1250

x yx yx y

+ ≤+ ≤

≥

,

es el punto (xº; yº). Si se añade la nueva restricción x – y ≤ 3, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?I. La solución (xº, yº) es solución del nuevo

problema.II. El nuevo problema no tiene solución.III. La nueva región admisible contiene a la anterior.

A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III

R

Tema: Programación lineal

En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.

Análisis y procedimientoSea el problema inicial (P1) mín Z = 5x + 6y

sujeto a 2 3 12

50

x yx yx y

+ ≤+ ≤

≥

;

cuya gráfica de su región admisible (Ω1) es

L 2: 2x – 3y=12

L 1: x+y=5

(3; 2)

(5; 0)

(0; 4)

(0; 0)X

Y

Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0)=0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4)=24 Z(5; 0) = 5(5)+6(0)=25 Z(3; 2) = 5(3)+6(2)=27

Luego, la solución del problema (P1) es (0; 0)

Por otro lado, sea el problema nuevo (P2)→ mín Z = 5x + 6y

sujeto a

2 3 12530

x yx yx yx y

+ ≤+ ≤− ≤

≥

;

(nueva restricción)

La gráfica de la nueva región admisible (Ω2) es

L 3: x – y=3

L 2: 2x – 3y=12

L 1: x+y=5

(3; 2)

(3; 0)

(4; 1)

(0; 4)

(0; 0)X

Y

Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0) = 0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4) = 24 Z(3; 0) = 5(3)+6(0) = 15 Z(3; 2) = 5(3)+6(2) = 27 Z(4; 1) = 5(4)+6(1) = 26

La solución del problema (P2) es (0; 0).

LuegoI. Verdadera La solución (x0; y0) es solución del nuevo

problema. (x0; y0) = (0; 0) es solución de (P1) y (P2).II. Falsa El nuevo problema no tiene solución. La solución del nuevo problema (P2) es (0; 0).

III. La nueva región admisible contiene a la anterior.

A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III

En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.


0x y ≥ x y;x y

La gráfica de la nueva región admisible (

(3;2)

(3;0)

(4;

(0;4)

(0;0)

Y

Evaluamos los vértices en la función objetivo.

8


III. Falsa La nueva región admisible contiene a la anterior. Pues Ω2 ⊂ Ω1.

La única proposición correcta es I.

Rsolo I

Alternativa A

PREGUNTA N.o 12

Si c c cb a b

b c b d b c

25 3

5 34

+ + += −

Halle c ca bd c b

00

donde a, c, d ∈ ⟨0; ∞⟩ y b ∈ ⟨– ∞; 0⟩

A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 6

R

Tema: Determinantes

Propiedades de determinantes1. Si en una matriz, a una columna cualquiera se le

suma otra columna multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz no se altera.

2. Si en una matriz se intercambian dos columnas consecutivas, el determinante cambia de signo.


Nos piden: c ca bd c b

00

del dato tenemos

c c cb a b

b c b d b c

25 3

5 34

+ + += −

C C

C C

cb a b bc d b c b

1 3

2 3

1

2

0 02 6 32 6 3

+ −

+ −−

− − +

( )

( ) cc

= −4

C C cb a bc d b b c

2 132

0 03

34

+

− += −

( )·

C C cb ac d b b

3 13 0 00 2

+ −

−= −

( )

C C c cb ac d b

2 31 00 2

+= −

( )

Intercambiando C2 con C1, tenemos

− = −c ca bd c b

00 2

∴ =c ca bd c b

00 2

R2

Alternativa C

4= −

∈ ⟨– ∞; 0⟩

A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 6

c d b b− +b b− +b b

C C

b ac d b b

3 1C C3 1C C 0 0C C+ −C CC C3 1C C+ −C C3 1C C

−

( )C C( )C C3 1( )3 1C C3 1C C( )C C3 1C CC C3C C( )C C3C CC C3 1C C3C C3 1C C( )C C3 1C C3C C3 1C CC C+ −C C( )C C+ −C CC C3 1C C+ −C C3 1C C( )C C3 1C C+ −C C3 1C C

C C c cb ac d b

2 3C C2 3C C 00 20 2

C C+C CC C2 3C C+C C2 3C C0 2= −0 2

( )C C( )C C2 3( )2 3C C2 3C C( )C C2 3C CC C1C C( )C C1C CC C2 3C C1C C2 3C C( )C C2 3C C1C C2 3C C

Intercambiando C2 con C1

9


PREGUNTA N.o 13Sea la inecuación:

xx

xx

+−

≤11

2

Si S es el conjunto solución, se puede afirmar:

A) ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S B) S \ [– 1; 4] ≠ ∅ C) S \ ⟨– 1; 1⟩=∅ D) [0; 2] ⊂ S E) ⟨– 2; 0⟩ ⊂ S

R

Tema: Inecuación con valor absoluto

Recuerde que: |f(x)| ≥ g(x) ↔ f(x) ≥ g(x) ∨ f(x) ≤ – g(x)


xx

xx

+−

≤11

2

Dando sentido lógico: x>0, además x ≠ 1.Luego en la ecuación se obtiene que

xx+−

≤11

2

|2x – 2|≥ x+1

2x – 2 ≥ x+1 ∨ 2x – 2 ≤ – x –1

x ≥ 3 ∨ x ≤13

Luego

0+∞ +∞1/3 3

→ CS=S= 013

3; ; ∪ + ∞[

RS\[–1; 4] ≠ φ

Alternativa B

PREGUNTA N.o 14Sea f(x)=|5 – logx|+|1+logx|, halle el rango de f.

A) [6; ∞⟩

B) [8; ∞⟩

C) ⟨0; ∞⟩

D) [0; ∞⟩

E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩

R

Tema: Valor absoluto

Desigualdad triangular

|a+b| ≤ |a|+|b|; ∀ a; b ∈ R


En el problema, f(x)=|5 – logx|+|1+logx|

Calculamos

Domf=x ∈ R / x > 0=⟨0; +∞⟩.

5 1 5 1−( )+ +( ) ≤ − + +log log log logx x x x ; ∀ x ∈ R+

6 ≤ f(x)

∴ Ranf=[6; +∞⟩

R[6; ∞⟩

Alternativa A

Inecuación con valor absoluto

↔ f(f(f x) ≥ g(x) ∨ f(f(f x) ≤ – g(x)


>0, además x≠ 1.Luego en la ecuación se obtiene que

B) [8; ∞⟩

C) ⟨0; ∞⟩

D) [0; ∞⟩

E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩

R

Tema: Valor absoluto


|a+b| ≤ |a|+|b|; ∀


En el problema, f =|5 – log

10


PREGUNTA N.o 15Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión:

1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

R

Tema: Matrices

Para resolver este problema vamos a transformar la ecuación matricial

1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ

es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.


1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ con x1x2 ≠0

→ x1+2x 2=λx12x1+x2=λx2

→ (1 – λ)x1+2x2=02x1+(1 – λ)x2=0

Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas

de la solución trivial (0; 0). Luego, tiene infinitas

soluciones, para ello debe cumplirse que 1

22

1− =

−λ

λ

→ (1 – λ)2=4 → 1 – 2λ+λ2=4

→ λ2 – 2λ – 3=0 (Nótese que T=16 > 0)

Raíces reales: λ1; λ2 → λ1+λ2=2

La suma de los valores de λ es 2.

R2

Alternativa D

PREGUNTA N.o 16Si x1=2 y x2=– 1 son raíces de x4 – ax2+b=0, halle

a – b.

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

R

Tema: Ecuaciones

Para resolver el problema usaremos y aplicaremos

el concepto de solución o raíz de una ecuación

polinomial.


Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones)

de la ecuación bicuadrada x4 – ax2+b=0,

entonces verifican la ecuación.

En particular, para x2=– 1 tenemos

(– 1)4 – a(– 1)2+b=0

→ 1 – a+b=0

→ a – b=1

R1

Alternativa C

PREGUNTA N.o 17Sea

Ei i i

i i

=+( ) − +

( )

−

+

12

262

2

22

62

22

62

Indique cuál de las siguientes proposiciones es

verdadera.

es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.

con x1x2 ≠0

Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas

polinomial.


Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones)

de la ecuación bicuadrada

entonces verifican la ecuación.

En particular, para x2=– 1 tenemos

(– 1)4 – a(– 1)2+b=0

→ 1 – a+b=0

→ a – b=1

R1

11


I. Re E( ) = −1 32

II. lm E( ) = +1 32

III. E ei

=−

2712

π

A) solo I B) solo II C) solo III

D) I y III E) I, II y III

R

Tema: Números complejos

Recuerde que

θ

a

z=a+bi

Re

Im

z| |

z=a+bi

=|z|· eθi


Ei i i

i i=

+ − +

( )

−

+

( )·12

262

2

22

62

22

62

diferencia de cuadrados

Ei i= +( ) − −( )1 3

2 (*)

Efectuando tenemos

E i= −( )

− +

1 32

3 12

→ Re( )E = −1 32

Im( )E = − +

3 12

Expresando (*) en su forma polar.

E

e e

ee

i i

i

i= =

+ −

2 2

22

476

24

76

2π π

π

π π π·

··

∴ E ei

=−

2712·

π

RI y III

Alternativa D

PREGUNTA N.o 18Calcule

S = + + + +7

1225

14491

1728337

20736...

A) 13

B) 12

C) 711

D) 56

E) 1112

θ

Re

Ee ee e

e i= == =2 2e e2 2e ee e2 2e e

22

6

2π·

∴ E eE ei

E e=E e−

2E e2E e712E e·E e

π

RI y III

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1818

12


R

Tema: Series numéricas reales

Recuerde que si r ∈ ⟨– 1; 1⟩, entonces

r+r2+r3+r4+...=r

r1−


S = + + + +7

1225

14491

1728337

20736...

= +

+ +

+ +

+ +

+

13

14

19

116

127

164

181

2256

...

= + + + +

+ + + + +

13

19

127

181

14

116

164

1256

... ...

=−

+−

13

113

14

114

= +1

213

= 5

6

R56

Alternativa D

PREGUNTA N.o 19Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2n

subconjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P×Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q P es:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

R

Tema: Conjuntos

Tenga en cuenta que

• A – B=A \ B=x / x ∈ A ∧ x ∉ B

• n(A×B)=n(A)×n(B)


Por dato tenemos:

• Nº subconjuntos de (P ∩ Q)=2n(P ∩ Q)=128=27

→ n(P ∩ Q)=7

• Nº subconjuntos de (P Q)=2n(P \ Q)=64=26 →

n(P \ Q)=6

• n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182

Gráficamente

6 7

P Q

x

Del gráfico se observa que n( )=13.

Como n P n Q n Qx

( )· ( )13 7

182 14

= → ( ) =+

→ x=7

∴ n(Q \ P)=7

R7

Alternativa C

+ ++ + + ++ + + 1

161

641

256... Análisis y procedimiento

Por dato tenemos:

• Nº subconjuntos de (P

→ n(P ∩ Q)=7

• Nº subconjuntos de (P

n(P \ P \ P Q)=6

• n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182

Gráficamente

P

13


PREGUNTA N.o 20Sea f(x)=|x – 1| y g(x)=|x+1|, halle la expresión de F(x)=f(x)+g(x).

A) F(x)= 2x, x ≥ 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

B) F(x)= – 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1 2x, x ≤ – 1

C) F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

D) F(x)= 2x, x ≤ – 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≥ 1

E) F(x)= x, x ≤ – 1 2, – 1 < x < 1–x, x ≥ 1

R

Tema: Álgebra de funciones

Recuerde que Dom(f+g)=Domf ∩ Domg.


f(x)=|x – 1|=

x – 1; si x ≥ 1– x+1; si x < 1

g(x)=|x+1|=

x+1; si x ≥ – 1– x – 1; si x < – 1

Piden F(x)=f(x)+g(x)

F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

R

F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

Alternativa C

< 1≤ – 1

≤ – 1 < 1≥ 1

– 1 < 1 1

F(x) f(f(f x)+g(x)

F(x)= 2x, x ≥ 2, – 1 < x < 1x < 1x–2x, x ≤

R

F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1x < 1x–2x, x ≤ – 1

14


PREGUNTA N.o 21En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado de lado

L y BAD es un sector circular con centro en A. Calcule

el área de la región sombreada (en u2).

A

B C

D

A) L2

44 −( )π

B) L2

44 +( )π

C) L2

82+( )π

D) L2

86 −( )π

E) L2

86 +( )π

R

Tema: Áreas de regiones triangulares y circulares

Análisis y procedimientoPiden el área de la región sombreada: A+B.

A

B C

D

O

BB

AA

45º L 22

L 22

L

L

Del cuadrado ABCD

AOB: notable 45º

A = =L L L2

22

212 4

2· ·

Se observa que

B=A ABC – a sector 45º

b = −L L2 2

2 8π

Entonces

A b+ = + −L L L2 2 2

4 2 8π

∴ + = −( )A bL2

86 π

RL2

86 −( )π

Alternativa D

PREGUNTA N.o 22Determine la diferencia en cm entre el mayor y menor valor entero que puede tomar la suma de las bases de un trapecio, si se sabe que la suma de sus diagonales es 15 cm.

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

A bA b+A b = += + −L L L2 2L L2 2L L4 2 8

π

∴ + = −= −( )= −( )= −A b∴ +A b∴ + L2L2L8( )6( )= −( )= −6= −( )= −( )π( )

RL2L2L8( )6( )6 −( )−( )π( )

15


R

Tema: Trapecio

Observación


q – p < x < q+p

x

p q


Sea

BC // AD y BC=a;

AD=b; AC=m; BD=n.

Dato

m+n=15 cm

Nos piden

(a+b)mayor entero – (a+b)menor entero

b a

a

nn

A ED

CB

m n

Se traza CE // BD

→ DE=a y CE=n

En ACE: desigualdad triangular

(a+b) < m+n

(a+b) < 15 cm

→ (a+b)mayor entero=14 cm

En un trapecio, las bases tienen que ser mayores que cero.

0 < a0 < b0 < (a+b)

sumando

→ (a+b)menor entero=1 cm

Luego

(a+b)mayor entero – (a+b)menor entero=13 cm

R

13

Alternativa B

PREGUNTA N.o 23La figura mostrada ABCD es un rectángulo. Si CP=8 m, DP=4 m, EF=6 m, entonces el valor de AD es:

4 m

8 m

QA

6 m

E

D

F

P

CB

A) 463

m B) 15 m C) 433

m

D) 14 m E) 493

m


)menor entero

R

13

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2323La figura mostrada ABCDSi CP=8 m, DP=4 m, EFde AD es:

16


R

Tema: Semejanza de triángulos

Análisis y procedimientoNos piden AD.

E

F

P

A

B C

DQ37º53º

8

12

4

6

15 2m

3m

9 163

• Se nota: ABE ∼ CEP

812

= EPBE

→ EP=2 m; BE=3 m

• Como EFP ∼ BQP, si

EF=6 → BQ=15

• Además BAQ es notable de 37º y 53º

→ AQ=9

• También QDP es notable de 37º y 53º

→ =QD

163

• Del gráfico se tiene que

AD = +9

163

∴ =AD433

R433

m

Alternativa C

PREGUNTA N.o 24En la figura mostrada O es punto medio de AB, AO=R. Calcule el valor del perímetro del trián-gulo ADE.

A O B

CE

D

A) πR3

B) πR2

C) 3

2πR

D) πR

E) 2πR

F

P

DQ37º

4

6

163

CEP

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2424En la figura mostrada O es punto medio de AO=R. Calcule el valor del perímetro del trián-gulo ADE.

E

17


R

Tema: Circunferencia

Recuerde

a b

c

Se cumple que

2P =a+b+c


A R R

RR

O B

CE

D

53º/2 37º

127º/2

127º/2

53º/253º/2

2

5

Nos piden 2P ADE

• CBA: not. 53º/2

→ m CAB=53º/2

• EDA: not. 53º/2

2P ADE=2 2 5+ +

2P ADE= 3 5+( ) (I)

• ABE: not. 37º y 53º

2=2R×cos53º

→ = 35R

(II)

• De (II) en (I) tenemos

2P ADE= 35

3 5+( )R

2P ADE ≈ 3,14R

∴ 2P ADE ≈ πR

R

πR

Alternativa D

PREGUNTA N.o 25

En la figura mostrada, O1, O2 y O3 son centros de semicircunferencias con radios de longitud r1, r2 y r3 respectivamente. Si AB=3 cm y BC=4 cm, entonces el área (en cm2) de la región sombreada es:

B

A O3

O1 O2

r3

r1

r2

C

A) 4

B) 5

C) 6

D) 4π

E) 5π

R

RR

B

C

37º

127º/2

127º/2127º/2

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2525

En la figura mostrada, Osemicircunferencias con radios de longitud respectivamente. Si AB=3 cm y el área (en cm2) de la región sombreada es:

B

18


R

Tema: Áreas de regiones circulares

Teorema

AA

SS

BB

A C

B

Se cumple

S=A+B


AA

SS

BB

A C

B

O1O1r1r1

r2r2

r3r3

O2O2

O3O3

53º53º 37º37º

Datos AB=3; BC=4Piden A+BPor teorema s=A+BPero

s =

( )=3 4

26

∴ A+B=6

R6

Alternativa C

PREGUNTA N.o 26

Sean P1, P2, P3 planos paralelos. La recta L1 corta al

plano P1 en A, al plano P2 en B y al plano P3 en C,

de tal manera que AB BC= +13

1. Otra recta L2 corta

al plano P1 en F, al plano P2 en E y al plano P3 en D.

Si FE ED= 12

, halle BC.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

R

Tema: Geometría del espacio

Recordemos que tres o más planos paralelos entre sí

determinan segmentos proporcionales en dos rectas

secantes.


Nos piden BC.

A

L1 L2

B

C D

E

F

2 m

m

x

+1x3

BBBBBBBBBB

C

rrrrrrr2222222222222222rr2rrrrr2rr2rr2rrrr2rrrr2rrrrr2rr2rr2rrrr2rrr2r

OOOOOO222222

37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º37º

D) 6 E) 8

R

Tema: Geometría del espacio

Recordemos que tres o más planos paralelos entre sí

determinan segmentos proporcionales en dos rectas

secantes.


Nos piden BC.

19


Sea BC=x

Por dato tenemos

AB

BC= +3

1

→ = +AB

x3

1

FE

ED=2

Si EF=m → ED=2m

Luego se tiene que

x

xmm

31

2

+=

23

2x

x+ =

∴ x=6

R6

Alternativa D

PREGUNTA N.o 27En un triedro O-ABC, las caras, BOC , AOB y AOC

miden 90º, 60º y 60º respectivamente. Entonces la

tangente del ángulo que determina OA con el plano

OBC es:

A) 13

B) 12

C) 1

D) 2 E) 3

R

Tema: Ángulo triedro

Teorema

Recuerde que en el triedro isósceles, la proyección

de la arista OA

sobre la cara BOC es la bisectriz de

dicha cara.

θ

ββ

A

B

MC

O θθ

Por lo tanto, OM

es bisectriz de la cara BOC.


Piden tanα.

α: ángulo entre OA y el plano OBC.

Datos

m AOB=m AOC=60º

m BOC=90º

45º45º

30º30º

QQ

MM

BBαα45º45º aa 22

C

S

a

O

2a

P

A

DD

ββ

Por lo tanto, OM

es bisectriz de la cara


Piden tanα.

α: ángulo entre OA y el plano

Datos

AOB AOC=60º

20


Teorema

• OM

: bisectriz de la cara OBC.

• PS ⊥ OC

(teorema de las 3 perpendiculares)

• OSQ y OSP: notables 45º, 30º y 60º

→ OQP: not 45º

• Luego, α=45º

∴ tan45º=1

R1

Alternativa C

PREGUNTA N.o 28Si en un exaedro regular, la distancia de un vértice a

una de las diagonales que no contenga a este vértice

es 2 m, entonces la longitud de esta diagonal es:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

R

Tema: Exaedro regular

El exaedro regular o cubo es aquel poliedro regular

limitado por 6 caras cuadradas congruentes entre sí.

Se cumple d=a 3

a

aa

d


A

B C

D

E

FG

H

a

a

a

2

3a2a

D

Piden BF=d.

Se sabe que AB ⊥ de la cara ADHE

→ AB ⊥ AH

En el BAH: Por relaciones métricas

a a a2 2 3( ) = ( )( )

a = 3

Sabemos que

d a= 3

d = 3 3

∴ 9

R

9

Alternativa E

Alternativa CC

dro regular, la distancia de un vértice a

una de las diagonales que no contenga a este vértice

, entonces la longitud de esta diagonal es:

C) 7 E) 9

E

Piden BF=d.

Se sabe que AB ⊥ de la cara

→ AB ⊥ AH

En el BAH: Por relaciones métri

a a 2 2( )( )a a( )a a 2 2( )2 22 2=2 2( )( )2 2( )2 22 2( )2 2 ( )( )a( )a3( )3

a = 3

21


PREGUNTA N.o 29Un prisma oblicuo de volumen 150 m3 tiene área de

superficie lateral 50 m2. Determine el área del círculo

inscrito a la sección recta en m2.

A) 9π B) 4π C) 25π D) 30π E) 36π

R

Tema: Prisma


Piden Acírculo=Ax

Ax=πr2 (I)

Datos

volumen (V)=150

área de la superficie lateral (AS. L.)=50

rra

S. R.

S. R.: sección rectaAS. R.: área de la sección recta

Del primer dato

V=AS. R.(a)=150

Pero AS. R.=PS. R.(r).

Reemplazamos en V.

V=pS. R.(r)(a)=150 (II)

Del segundo dato

AS. L.=50=(2pS. R.)a

→ pS. R.(a)=25

Reemplazando en (II)

25r=150

r=6

Finalmente en (I)

Ax=π62

∴ Ax=36π

R36π

Alternativa E

PREGUNTA N.o 30

La razón entre los volúmenes de dos esferas es 827

.

Calcule el volumen de la cuña esférica del ángulo

diedro 15º de la esfera mayor.

A) 3,5π

B) 3π

C) 2,5π

D) 2π

E) 1,5π


(I)

área de la superficie lateral (AS. L.AS. L.A )=50

R.

Finalmente en (I)

Ax Ax A =π62

∴ AxAxA =36π

R36π

22


R

Tema: Esfera

Cuña esférica

V

RC.E. =

π θ3

270º

R

R

θ

Análisis y procedimientoNos piden VC.E.VC.E.: Volumen de la cuña esférica

2V1

3

θ

V2

Dato

VV

1

2

827

=

Entonces los radios están en la razón de 2K y 3K, pero, para el problema, K = 1.

V

RC.E. =

π θ3

270º

R = 1 y θ = 15º

VC.E. = 1,5π

R1,5π

Alternativa E

PREGUNTA N.o 31En un cono recto de 6 cm de radio y 8 cm de altura, se traza un plano paralelo a su base de modo que el área del círculo que se determina en el plano sea igual al área lateral del tronco de cono determinado. Calcule la altura del tronco de cono (en cm).

A) 8 2 11− B) 8 2 10− C) 8 2 9− D) 8 2 8− E) 8 2 7−

R

Tema: Cono de revolución

En un tronco de cono de revolución tenemos que

AS.L.=π(R+r)g

g

rr

RR


Nos piden OH.

BH

M

V

P

SS

37º

37º37º

53º

8 – 4r

4r

3r3rOO

3r

8 – 4r

37º37º

6

: Volumen de la cuña esférica

3

θ

V2V2V

En un tronco de cono de revolución tenemos que

AS.L.AS.L.A =π

RRRRRR


Nos piden OH.

23


Del dato se tiene que AS.L.(tronco de cono)=S

π(3r+6)=π(3r)2

→ =+

32

2rr

(I)

MPB: Notable de 37º y 53º MP=8 – 4r → =10 – 5r (II)

De (I) y (II) se tiene que

r OH r= = −

102

8 4;

∴ OH = −8 2 10

R8 2 10−

Alternativa B

PREGUNTA N.o 32Una servilleta de papel cuadrada ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de longitud, se dobla por las líneas punteadas tal como se muestra en la figura, donde M y N son puntos medios de BC y CD, respectivamente; luego se juntan los bordes MB con MC, NC con ND y AB con AD formándose una pirámide. Calcule la altura de esta pirámide (en cm).

A

B C

D

M

N

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

R

Tema: Pirámide

Recuerde

a b

cH

Se cumple

1 1 1 12 2 2 2H a b c= + +


A 24 D

N24

12 12

12

12

B CM

Piden x.

24

A

M

N

12

12x

B, D, C

Alternativa BB

Una servilleta de papel cuadrada ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de longitud, se dobla por las líneas punteadas tal como se muestra en la figura, donde M

BC y CD, respectivamente;

Se cumple

1 1 1 12 2 2 2H a b2 2a b2 2 c= += +2 2= +2 2 +


24

12B M

24


Se cumple

1 1

24

1

12

1

122 2 2 2x= + +

( ) ( ) ( )

1 1

2 12

2

122 2 2 2x=

×+

( ) ( )

1 9

2 122 2 2x=

× ( )

∴ x=8

R8

Alternativa C

PREGUNTA N.o 33Si 2a es el lado de un polígono regular de n lados, R y r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente. Determine R+r.

A) 22

an

cosπ

B) 22

an

cotπ

C) 22

an

tanπ

D) an

cotπ2

E) an

cscπ2

R

Tema: Identidades de arcos dobles

csc cot cotx xx

+ =2


Or

A a a BM

R

πn

πn

m AOB

n =

2π

En el AMO

AO R a

n= = csc

π

OM r a

n= = cot

π

→ + = +

R r a

n ncsc cot

π π

= a

ncot

π2

R

an

cotπ2

Alternativa D

PREGUNTA N.o 34Determine el periodo de la función:f(x)=|cos4x – sen4x|

A) π

16 B)

π8

C) π4

D) π2

E) 38π

Alternativa CC

es el lado de un polígono regular de n lados, los radios de las circunferencias circunscrita e

inscrita respectivamente. Determine R+r.

En el AMO

AO R an

= =R a= =R acscπ

OM r an

= =r a= =r acotπ

→ + = += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += +→ + → +R r→ +R r→ + a= +a= +

n ncs= +cs= +c c= +c c= += +c c= + ot

π πot

π πot

= a

ncot

π2

R

an

cotπ2

25


R

Tema: Funciones trigonométricas directas

Identidad pitagórica: sen2x+cos2x=1Identidades del arco doble: cos2x – sen2x=cos2x

Análisis y procedimiento f(x)=|cos4x – sen4x|

f(x)=|(cos2x+sen2x)(cos2x – sen2x)|

f(x)=|cos2x|

Graficamos la función

X

Y

0 π4

π2

3π4

π2

T= π2

T= f(x)=|cos2x|

π

Del gráfico, T =π2

(T: periodo de la función)

Rπ2

Alternativa D

PREGUNTA N.o 35Si tan(x(k+y))=a y tan(x(k – y))=b, entonces tan(2kx)+tan(2yx) es igual a

A) a b

a b

2 2

2 21

−+

B) a b

a b

2 2

2 21

−−

C) a b

a b

2 2

2 21

+−

D) 2 1

1

2

2 2a b

a b

+( )+

E) 2 1

1

2

2 2a b

a b

+( )−

R

Tema: Identidades trigonométricas de arcos com-puestos

Observación

tantan tan

tan tanα θ

α θα θ

+( ) =+

−1

tantan tan

tan tanα θ

α θα θ

−( ) =−

+1

Análisis y procedimientoNos piden tan(2kx)+tan(2yx).

Dato tan(x(k+y))=a tan(x(k – y))=b

tan(2kx)+tan(2yx)=tan(x(k+y)+x(k – y))+ +tan(x(k+y) – x(k – y))

tan( ) tan( )tan( ( )) tan( ( ))

tan( ( ))tan(2 2

1kx yx

x k y x k yx k y

+ =+ + −

− + xx k y( ))−+

+

+ − −+ + −

tan( ( )) tan( ( ))tan( ( ))tan( ( ))x k y x k yx k y x k y1

tan( ) tan( )2 21 1

kx yxa bab

a bab

+ =+−

+−+

tan( ) tan( )( )( ) ( )( )

( )( )2 2

1 11 1

kx yxa b ab a b ab

ab ab+ =

+ + + − −− +

tan( ) tan( )2 22 1

1

2

2 2kx yxa b

a b+ =

+( )−

R

2 1

1

2

2 2a b

a b

+( )−

Alternativa E

X

f(f(f x)=|cos2x|

π

: periodo de la función)

Nos piden tan(2kx)+tan(2

Dato tan(x(k+y))=a tan(x(k – k – k y))=b

tan(2kx)+tan(2yx)=tan( +tan(

tan( ) tan( )tan(

2 2) t2 2) t ( )2 2( )2 21

kx2 2kx2 2yx( )yx( )+ =( )+ =( )2 2+ =2 2) t2 2) t+ =) t2 2) tan2 2an+ =an2 2an( )2 2( )+ =( )2 2( )( )yx( )+ =( )yx( )− +

++ +

ta1

a ba b+a b

26


PREGUNTA N.o 36La ecuación cuadrática

z · z – (1 + 3i)z – (1 – 3i)z = 12

representa:

A) una circunferencia B) una hipérbola C) una recta D) dos puntos E) un punto

R

Tema: Números complejos

Si z=x+iy; i = −1

entonces z=x – iy.

Luego

z · z=|z|2=x2+y2

z+z=2x

z – z=2iy


Dato: z · z – (1+3i)z – (1– 3i)z=12

|z|2 – (z+z) – 3i(z – z)=12

x2+y2 – 2x – 3i(2iy)=12

x2+y2 – 2x+6y=12

Completamos cuadrados

(x –1)2+(y+3)2=22

Por lo tanto, la ecuación representa una circunferencia.

Runa circunferencia

Alternativa A

PREGUNTA N.o 37

Los números S k= −3 119

y C k= +3 119

son las

medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente. Determine la medida del ángulo en radianes.

A) π

200 B)

π180

C) π

190

D) π

250 E)

3200

π

R

Tema: Relación numérica del sistema de medición angular

S C R9 10

20= =π

S: Número de grados sexagesimales

C: Número de grados centesimales

R: Número de radianes

Análisis y procedimientoSabemos que

SC

= 910

k

k

3

3

1191

19

910

−

+=

10

1019

99

193 3k k− = +

k = 1

=12

R

Tema: Relación numérica del sistema de medición angular

S C R9 10

20= == =π

S: Número de grados sexagesimales

C: Número de grados centesimales

R: Número de radianes

27


Reemplazando en S se tiene que

S = 18

19

Sabemos que

S R180

=π

R = π

190

R

π190

Alternativa C

PREGUNTA N.o 38Una escalera se encuentra apoyada en una pared

haciendo un ángulo de 45º. Se resbala, la parte

inferior se desliza 8 – 5 2 m de su posición inicial

y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53º.

¿Cuántos metros mide la escalera?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

R

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Triángulos rectángulos notables

245º

45º

K K

K 4K

53º

37º

5K3K

Análisis y procedimientoSea AB la longitud de la escalera.

28 – 5 2B'

A'

B M4K – 8+5

3K

A

53º

37º 45º

4K

Si A’M = 3K, entonces B’M = 4K y A’B’ = 5K.Se observa que AB = A’B’.

4 8 5 2 2 5K K− +( ) =

4 2 8 2 10 5K K− + =

10 8 2 5 4 2− = −K K

2 5 4 2 5 4 2−( ) = −( )K

K = 2∴ AB = 5K = 5(2) = 10

R10

Alternativa B

PREGUNTA N.o 39Determine el menor valor de k, para que se cumpla la siguiente desigualdad, para cualquier x ∈ R si sen(x) · cos(x) ≠ 0.

1 12 2sen cosx x

k+ ≤

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

Alternativa CC

Una escalera se encuentra apoyada en una pared

haciendo un ángulo de 45º. Se resbala, la parte

m de su posición inicial

y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53º.

Si A’M = 3K, entonces B’Se observa que AB = A’B

2 5K KK K2 5K K2 5( )( )4 8( )4 8 5 2( )5 25 2( )5 25 2( )5 25 2( )5 2K K( )K K4 8K K4 8( )4 8K K4 8 5 2K K5 2( )5 2K K5 25 2K K5 2( )5 2K K5 2K K− +K K( )K K− +K K4 8K K4 8− +4 8K K4 8( )4 8K K4 8− +4 8K K4 8 2 5K K2 5=2 5K K2 5

4 24 2 8 28 28 28 2 10 5K K8 2K K8 28 2K K8 2 10K K10 5K K5K K− +K K8 2K K8 2− +8 2K K8 28 2K K8 2− +8 2K K8 2K K=K K

10 8 28 28 28 2 5 4 2− =8 2− =8 28 2− =8 2 K KK K5 4K K5 4 2K K25 4−5 4K K5 4−5 4

2 5( )( )2 5( )2 5 4 2( )4 24 2( )4 2−( )− = −( )5 4( )5 4= −( )= −5 4= −5 4( )5 4= −5 4K= −K= −

K = 2∴ AB = 5K = 5(2) = 10

R10

28


R

Tema: Identidades fundamentales

Recuerde que

a

aa+ ≥ >1

2 0;

a

aa+ ≤ − <1

2 0;


Sea Ex x

= +1 12 2sen cos

según dato: E ≤ k (I)

De E = csc2x + sec2x

E = cot2x + 1 + tan2x + 1

E x

x= + +tan

tan2

21

2

Pero

tantan

22

12x

x+ ≥ ; ∀x ∈ R/senx ≠ 0 ∧ cosx ≠ 0

Entonces

E ≥ 4 (II)

De (I) y (II)

4 ≤ E ≤ k

El menor valor de k = 4.

Observación

El menor valor de k es 4 y se obti ene para

x n n= + ∈( ) ;2 14π

Z

R4

Alternativa D

PREGUNTA N.o 40¿Cuál de los gráficos mostrados representa mejor a la función?

y xx

x= − −

∈ −

cos ;12 2 2

2 para

π π

A)

B)

C)

D)

E)

(I)

+ 1

∈ R/senx ≠ 0 ∧ cosx cosx cos ≠ 0

4 (II)

B)

C)

29


R

Tema: Funciones trigonométricas directas

Análisis y procedimientoSea la función

y xx= − −

cos 1

2

2 para x ∈ −

π π2 2

;

y xx

gh

xx

= + −( )

( )

cos

2

21

– π2

π2

– 1

1

π2

8π2

8– 1

g(x)

h(x)Y

X

Por suma de funciones

– π2

π2– 1

π2

8π2

8– 1

Y

X

y=cosx – (1 – )x2

2

R

Alternativa D

π2

–1

1

ππππππ22222222222222222

8888–1

h(x)

X

R

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