ENSEÑANZA REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 47 (5) 493-499 OCTUBRE 2001

Modos de oscilación en cuerdas con densidad constante por mitades: análisis ydemostración experimental

Gustavo Rodríguez ZuritaFacultad de Ciencias Físico.Matemdtica.r, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Av. Sn. C/audio y Río Verde sin, Ciudad Universitaria, Sn. Alanuel, 72000 Puebla, Pur., MexicoRamón Alvarado Bustos, Rubén Alvarado Bustos y Luis E. Zavala Ramírez

Facultad de Física e /meligencia Artificial, Universidad de VeracruzZona U,ziversiraria, Lomas del Estadio, 91000 Ka/apa, Ver.,Mexico

Recibido el 12 de enero de 2001; aceptado el 25 de junio de 200 I

En este trabajo se estudian algunas soluciones propias de una cuerda, caracterizada por una densidad de masa constante en sus mitades(homogénea por mitades), sujeta por sus dos extremos y sometida a tensión constante. Este caso resulta análogo al del planteamiento de laecuación de SchrOdinger para potenciales constantes por tramos, de modo que la solución buscada admite el uso de métcx.los de acoplamientode soluciones. usuales en mecánica cuántica introductoria. Por otra parte, para una adecuada manipulación práctica de su correspondientedemostración experimental, se destaca que la densidad volumétrica de masa de las cuerdas consideradas puede ser determinada experimen.talmente a partir de las densidades de masa lineales efeclivas, las cuales son las encontradas con los procedimientos experimentales comunesque consideran cuerdas homogéneas unidimensionales. El análisis justifica el prOL'edimiento para realizar cuerdas por tramos de alambresde cobre de calibres conocidos y consiste en soldar segmentos de cuerdas de diferenle calibre. Se discuten los resultados enconlrados y suposible utilización con fines de enseñanza.

Descriptores: Vibraciones y ondas mecánicas; arreglos experimentales demostrativos; resonancia en sistemas mecánicos

Along this work. sorne solutions for halfwise constant linear mass density string oscillation modes (homogeneous in halves) fixed in bothends and under constanl tcnsion are shown. Solulions are found following well known methods of joining solutions as is done for theSchrbdinger cquation corresponding to piccewise constanl pOlentials in one dimension, which is usual in introductory Quantum ~fechanics.For convenience in experimental manipulations, it is also remarked lhalthe volumetric mass density of the strings can be detennined fromexperimental measurements of the effective linear mass densities resulting from commonly cmployed techniques in onc.dimensional strings.The analysis justifies (he procedure to construct piecewise homogeneous strings from cooper wires of adequate gaugcs by welding wirepieces. Experimental rcsults are presentcd and possibili(ies ofuse for pcdagogical purposes are discussed.

Key•••..ords: Vibration and mechanical waves; demonstration ex~riments and apparatus; rcsonance in mechanical systems

PAes: 46.40.-[; 01.50.My; 07.10.-h; 46.40.Ff; 43.75.+a

1. Introducción

El caso de la cuerda homogénea unidimensional sometidaa tensión constante con determinadas condiciones de fron.tera es un ejemplo tradicionalmente empleado para ilustrarlas propiedades de la ecuación de onda clásica en una di-mensión y sus métodos de solución. La obtención de modosde una cuerda es un correspondiente ejercicio de laborato-rio realizable en diversas versiones. Recientemente. se hanreportado algunos efectos novedosos en una de sus versio-nes [IJ. Como otro tema adicional de posible uso didáctico.se plantea la posibilidad de inspeccionar el caso de cuerdashomogéneas por tramos empleando un método análogo usa.do en mecánica cuántica para la determinación de solucionesa la ecuación de Schrodinger cuando el potencial es constantepor tramos [2,3]. Como resultado. se encuentran modos es-tacionarios de oscilación [4J caracterizados por longitudes deonda diferentes en cada segmento de cuerda. En particular.se considera una cuerda que consta de dos segmentos (mi-tades) con densidades diferentes. Para observar algunos deestos modos, se escogió en los experimentos la raíz cuadradadel cociente de las densidades lineales de cada segmento des.

critos como un número racional. Se muestra que la condiciónpuede satisfacerse aproximadamente con alambres de diver.sas áreas de sección transversal. Se reportan los resultadosobtenidos de realizar cuerdas homogéneas por tramos unien-do por soldadura tramos de alambre de cobre de diferentescalibres.

2. Cuerdas homogéneas en dos tramos sujetaspor sus extremos

2.1. Planteamiento general

Supóngase una cuerda compuesta de dos segmentos de den-sidades lineales de masa y correspondientes a las regionescomprendidas entre z = O Y z = L/2 Y entre z = L/2Y z = L (Fig. 1). En analogía con los métodos de solucionesa la ecuación de SchrOdinger [2]. la solución de un modo defrecuencia en ambas regiones puede escribirse como

./. - A eik" + B e-,k" - ./. (z)"1", - J I - 'P, 1

'¡9'¡ MODOS DE OSCILACIÓN EN CUERDAS CON DENSIDAD CONSTANTE POH ~v1ITADES:AN"\L1SIS y .

FIGURA 1. Cuerda homogénea por mitades.

donde w es la frecuencia angular del modo, kj = 27l" / \ esel nlÍmero de onda en la región j = 1,1 I, v

Jes la velocidad

de fase correspondienlc a la región j. y To es la tensión de lacuerda. Todas las cantidades involucradas son reales para elpresente caso. Con las dos condiciones de frontera (continui-dad de solución y de derivada en la interfaz) siguientes:

se llega a la siguiente expresión para coeficientes

cumpliéndose las relaciones de dispersión

w fT; w rr;k¡ = vJ = y ¡;;l kIJ = VII = Y p;;' (2)

(3 )

(A ) (A) 1 [(1 + O)e'('" -'1l¡,/2¡ =T Il =_B¡ BIl 2 (1 _0)e'(.,,+k/l¡,/2 (4)

(11)

donde O =" k Il / k ¡. Nótese que los elementos de la matriz Tcumplen con las relaciones T22 = TI1 YTi1 = T21• Algunasotras propiedades de simetría propias del formalismo matri-cial pueden verificarse con el uso de la misma matriz T, demanera similar al caso de una barrera de potencial rectangu-lar. Por ejemplo. la matriz de coeficientes Al correspondientea una cuerda con números de onda k} para los dos intervalosde la coordenada de posición z en [-00, a]. [a, 00]. y con k2para el intervalo de posición [-a, a]. puede mostrarse queposee determinante unitario y que sus componentes tambiéntienen la propiedad 1\112 = -1\/1•2 (simetría ante reflexiónespecial e inversión temporal [2]).

2.2. Cuerda homogénea en mitades sujeta por susextremos

La condición de extremos fijos se expresa con las condicionesde frontera siguientes:

,p,(O) = ,pH(L) = O. (5)

obteniendo primero para los coeficientes con índice 1,A¡ = -B¡ y. por tanto [Ec. (I)J

,p,(z) = 2A¡sen k¡z, (6)

mientras que para los coeficientes con índice I I,B¡¡ = _A¡¡ei2ktJL y,enconsecuencia,

Debido a la continuidad de soluciones. debe cumplirse laigualdad de las Ecs. (6) y (7) en z = L/2, lo cual condu-ce a la igualdad

A¡SenC~L) = -iAIl oos (kIlL)senC¡~L)

+AIlsen(kIlL)sen(k¡~L). (8)

IPor otra parte, de la continuidad de las derivadas en el mismopunto, se puede obtener

A¡k¡ cas (\L) = iAIlkIl oos (kIlL) cos (k¡~L)

-AIlkIlsen(kIlL) cos (k¡~L). (9)

Antes de considerar las soluciones, se analizarán las conse-cuencias relevan les de las relaciones de dispersión [Ec. (2)Jpara el caso de cuerdas homogéneas por tramos.

2.3. Condición de frecuencia

Debido a las relaciones de dispersión [Ec. (2)] cuando re-sulte posible la existencia de un modo con frecuencia an-gular w para k¡ i kIl. se deberá de cumplir además quev,/vH = kIl/k¡ = O. relación que. dado que la tensión esla misma en ambos segmentos, conduce a una condición paralas densidades lineales:

(10)

2.4. Determinación de soluciones de la cuerdahomogénea por mitades

Para determinar los valores posibles de los números de onda,se realiza el cociente de las Ecs. (8) y (9) miembro a miem-bro, obteniéndose la siguiente relación:

tan (o) tan (da)---=-----o da

donde a = k¡L/2. La búsqueda de las soluciones a = anpuede orientarse considerando las gráficas de la Fig. 2, enla que se muestran varios posibles valores de {). Se ha in-cluido al caso {) = 1, el cual determina las solucionesúnicas, 0:0 = n1T, de acuerdo al caso de la cuerda homogénea

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'" ," ,", i" ," T10[--- ---I~-- l---'-~- - ----1-1\ 1 1 \,.~l--- t-¡\-- ~ - ~ -! \--- ---rJI I i \ 1I I,1- 1--14- ~--¡-\- -11-1I \ 1 \ 1" i .... 1\ I,--¡-' \- ",~ ! " - 1,I

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\ --\1- - \ 11-Ut- - - -I 1 •, ___dL__ J ___ u___ J - - _1J. ,. ," ,. ,., T .,.

FIGURA 2. Gráficas de ::f: tan ({}o)/íJn como función de O' para diferentes valores de 11.Se toma como referencia al cociente con signopositivo (trazo grueso). Las soluciones a la Ec. (9) son las intersecciones de los demás cocientes de signo negativo (en tfazo segmentado),con la referencia. La longitud de los segmentos son menores para Jos valores menores de 17.Se ilustran cuatro valores: {)= 1,1/2,1/3,1/4.En el caso t'J ;;;; 1, las intersecciones se presentan cuando Un = 7l1r.

. ....~

-0.111O.]l~

\.419

, ..

n •J"!IO -t---' -~. -:-L ID

FIGURA 3. Gráfic~ls de:i: tan ({}n)/{}(f como función de Q para el caso 1J= 1/2. La referencia es el cociente positivo (trazo segmentado),mientras que las soluciones a la Ec. (9) son los valores de Q = Cl'n de las inlersecciones de las uemás curvas (trazo continuo) con la referencia.Ocho inlersccciones se indican con círculos negros. Las líneas de malla horizontales se hallan etiquctadas con los valorcs aproximados de lascoordenadas verticales respectivas. Algunas soluciones, encontradas por inspección, se en listan cn la Tabla I. El recuadro muestra la gráficade Un como función del orden del modo n. Resulta ser, al menos aproximadamente. una línea rCC[~l.

(asociando subíndices a a en relación al orden del modo).También es de notarse que, para los casos en que v i- 1, TABLA 1.además de las soluciones como el caso iJ = 1, existen otras ¡¡ a tan (0)/0más en general. En particular, en la Fig. 3 se ha graficado 1.911 - J.4i8el Caso 19 = 1/2. del cual se mostrarán algunos modos ex- 2 4.373 0.648perimentales más adelante. En la Tabla 1, asociándoles el 3 6.323 Oíndice 11, se muestran las primeras 12 soluciones positivas 4 8.194 -0.345encontradas (caso v = 1/2). Se muestran también los valo- 5 10.656 0.266res correspondientes de la tangente entre su argumento. Los 6 12.566 O

valores respectivos de los números de onda resultan ser 7 14.477 -0.195

k _ 20r¡ 1 8 16.939 0.167klJ = '2k¡, (12) 9 18.85 O1- L '

10 20.76 -0.136que se reducen a 2an y O'n para el caso especial en que 11 23.222 0.122L = 1 m, respectivamente. 12 25.133 O

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0,1 O' "

'1z=sJ,11 (rj)

.•'.'~;)':~----o 01 02 O.) 04 01 06 0,1 O., 0.9

"(a)

~I¡:I~+~o 01 0.2 o.) 00 O., 06 0.7 01 0.9

"

(e)

.=.:::;: :'E L\ d::_V 'C7~11 01 0.2 O,l 04 Ol 0.6 01 01 O~

"(e)

~,'i'J) :1[7 ~ ~I.~.'(:j) -, ""= ~----

~o 01 02 0.3 04 01 00

"(b)

,~'i'J) :[ \ 7""'g.~.'(:,)\l-, '-/~ -----------------o 0.1 0.2 O.J 04 o 1 O.. 0.1 0.1 09

"(d)

~",! '6 AT\~~",\J V~=s=LJ

o 01 0.2 0..\ 06 01 06 07 01 O"

"(f)

::.::~í\ A d-'LV\r"J ~-,o 01 02 O~ 06 ':1' 06 01 01 09 1

"(g)

"1 'r \"

.":2(~j)

'1 I'P Í\ Í\ C\ I::I~V go 01 0.2 O.J 00 O, 06 07 01 09

"(h)

FIGURA 4. Modos de oscilación calculados para los valores: a) n = l. b) n = 2. e) 11 = 3, d) 11 = 4, e) n = 5. f) n = 6. g) 11 = 7 Yh) n = 8.Las frecuencias correspondientes son, de acuerdo al recuadro de la Fig. 3, múltiplos de una frecuencia fundamental (aproximadamente). Lassoluciones del modo n en.las regiones 1 y JJ se denotan por 1P •.•dzj) y ljJn2(Zj). respeclivamente, siendo Zj un valor numérico de lacoordenada z.

Por otra parte, para hallar la relación entre los coeficien-les Al y AI/' se puede efecluar el cociente 1/1,(z)/1/1,,(z)empleando las Ecs. (6) y (7), obteniendo

seu(kIL).¡ = i'¡ e-ik"L 2 (13)• 1/ • I (kl/L) ,

sen --2

resultado que determina la siguiente expresión:

sen (a,,) ( )1/1,,(z) = -2 ( ) seu kl/z - 21'Ja" _ (14)sen 1901}

Nótese que el resultado es una función de valor real.

2.5, 1\lodos de la cuerda homogénea por mitades sujetapor sus extremos

Utilizando las Ecs. (7) y (14), pueden eneonIrarse las gráficasde los modos de una cuerda homogénea por mitades sujeta

por sus extremos para un valor determinado de 19.Para elcaso 1'J = 1/2 Y L = 1 m. la Fig_ 4 muesIra ocho de losmodos permitidos según los valores de los números de ondaobtenidos a partir de la Tabla 1, con k¡ = 20'n Y kll = 0o,Puesto que los valores de Qo dependen, dentro de nuestras es-timaciones, linealmente con el orden n (como lo muestra unagráfica de los valores de a" versus n lomados de la Tabla 1,recuadro en la Fig. 3), es de esperarse que las frecuencias wn

asociadas sean múltiplos (o muy aproximadamente) de unafrecuencia fundamental dada por

(15)

donde los índices de la frecuencia angular se asocian al or-den del modo. Las soluciones tipo 0p = p1r corresponden amodos con nodos en z = L/2.

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: ...,'................ '1'"",/"..-"

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x XX lñl•••- Aju'le Io•••.al

FIGURA 6. Valores de las pendientes 111. como función de 1/ VA: .

._-FIGURA 5. Frecuencias de modos como función del orden mo.da! para diversos calibres de alambre. La pendienle de cada ajus-te lineal se denota por mi" Los datos correspondientes a los cali.bres 21, 22 Y24 aparecen demasiado cercanos entre sí.

"••• 00711••••)" ••••

." 0.1'

( 17)

(18)

3. Determinación de la densidad volumétrica apartir de la densidad lineal

Utilizando el modelo unidimensional de cuerda homogénea,los datos experimentales de frecuencias en función de los 6r-denes de modos conducen a la determinación de la densidadde masa lineal PI que, equivalentemente, se le puede atribuira la cuerda experimental. Sin embargo, la densidad de unacuerda real es una densidad volumétrica Pv' En el caso dehomogeneidad volumétrica, esta última se puede relacionarcon la densidad lineal mediante la sección transversal usandola relación

p, = p.A,. (16)Para verificar la relación anterior, se planteó la estimaciónexperimental de Pv con auxilio de las gráficas de frecuen-cias (Hz) en función de los primeros órdenes de modos encuerdas homogéneas sujetas por sus extremos bajo tensiónconstante To realizadas con alambres de cobre de seccióntransversal constante.

3.1. Resultados experimentales de densidad volumétricade masa

La Fig. 5 muestra los resultados experimentales de frecuen-cias en función del orden de modo al excitar los modos decada alambre mediante un caimán controlado por una bocinaalimentada por un generador de funciones. Se muestran lasgráficas correspondientes a los alambres comerciales de ca-libres 30. 28. 26. 24, 22 Y 21. Cada pendiente se interpretacorno

fTo fTo_Yf;_YP: 1m, = 2L - 2L r¡¡'

Yo',donde se ha usado la Ec. (13). La Fig. 6 muestra los valoresde las pendientes en función de l/A, con As expresada en

milésimas de pulgada circulares (circular Mils [5]). cu-yos puntos se pueden ajustar a una recta con pen-diente, determinada por mínimos cuadrados, de va-lor 703.964 Hz(CMils)-1(2 y coordenada al origende -8.147 Hz. Con una masa de 1.15 kg Y un valorde 9.807 ms-2, se calculó una tensión Tú de 11.278 kgms-2Teniendo cada alambre una longitud de 1 m. y encon-trando el valor de Tns empleando el factor de conver-sión apropiado. usando la Ec. (17) se obtuvo un valor deP. = 8.818 X 103 kgm-3. Este valor resulta cercano al valormedio reportado en referencias usuales (8.96 x 103 kgm-3

a 20°C [61), por lo que se concluye la viabilidad de la es-timación de densidad volumétrica en términos de la linealequivalente.

Considerando lo anterior, una cuerda homogénea por tra-mos puede construirse a partir de alambres de igual densidadvolumétrica de masa, pero de diferentes secciones transver-sales. Entonces, la condición de densidades lineales [Ec. (8)]puede simplificarse en una relación entre las secciones trans-versales de dos segmentos de cuerdas, Asl YAsl1' si poseenigual densidad volumétrica de masa cada uno, resultando en¡A,ll = {J.

A,f

Para determinar un valor de {J, debe acudirse a la relación decalibres comerciales en función de las áreas de sección trans-versal.

4. Modos en cuerdas de cobre homogéneas pormitades

Se eligieron los calibres de alambre de cobre considerandouna relación 1:2, que fue posible de acuerdo a los valores co.mercialmente asequibles de denominaciones 26 y 20, respec-tivamente. Tras soldar dos segmentos de medio metro de dife-rente calibre con soldadura convencional, se tensó el alambre

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.f98 MODOS DE OSCILACiÓN EN CUERDAS CON DENSIDAD CONSTANTE POR MITADES, ANÁLISIS Y .

(a) (b)

~ W)FIGURA 7. ~1odos bajos de una cuerda homogénea por mitades para las frecuencias: a) 50 Hz, b) 73 Hz, e) 100 Hz y d) 125 Hz. El ladoizquierda del alambre corresponde al calibre # 20 Yel lado derecho corresponde al calibre # 26.

resultante con pesas y una polea por un extremo, mientras queel otro extremo se fijó convenientemente. Buscando la excita-ción de los modos mediante una bocina acoplada al alambrecon un caimán soldado apropiadamente, se alimentó ésta conseñales provenientes de un generador de funciones. Aunqueotras relaciones entre calibres resultan posibles, en la reali-zación práctica de algunas cuerdas segmentadas, la cuerdaresultante se desprendía en el punto de unión (soldadura) du-rante la vibración.

La Fig. 7 muestra los modos experimentalmente encon-trados más bajos según las condiciones descritas en la secciónanterior. Al compararlos con los calculados (Fig. 4). primerose puede observar un acuerdo cualitativo con las solucionescalculadas. si bien no se ha incluido al modo más bajo. LaFig. 7a puede identificarse como el modo n = 2 (Fig. 4b).La Fig. 7b sería el modo n = 3 (Fig, 4c), la Fig. 7c, el mo-do 11 = .f (Fig, 4d) Yla Fig. 7d correspondería al modo 11 = 5(Fig. 4e). Las frecuencias encontradas respectivas de cadamodo son, aproximadamente. múltiplos enteros de 25 Hz.

Un mejor acuerdo experimental cuantitativo se notó enla mitad con extremo fijo en el lado opuesto a la polea. Deacuerdo a la Fig. 4c, el modo 1l = 3 posee un nodo en lamitad de la cuerdo].Midiendo su longitud respecto al extremolijo mencionado, pudo estimarse la longitud total efectiva su-

poniéndola del doble. Se obtuvo luego la posición de los no-dos más cercanos al extremo fijo en cada modo, calculando elcociente de dicha posición con el del largo total estimado. Seobtuvieron los cocientes 0.37, 0.25, 0.18 Y0.13 para la Fig. 7,mientras que los calculados de la Fig. 4 resullaron 0,35, 0.25,0.18 Y0.14, respectivamente. La mitad restante. sin embargo,resulta más corta de la mitad de la estimada si se considera alpunto de contacto con la polea como el extremo fijo.

5. Comentarios finales

Siguiendo los métodos de la mecánica cuántica introducto-ria para resolver la ecuación de Schrooinger independientedel tiempo en potenciales constantes por tramos, se hallaronlos modos de oscilación de una cuerda homogénea por mi-tades, habiendo realizado la comparación experimental y en-contrando acuerdo cualitativo con la teoría. El caso analiza-do tiene su correspondencia mecano cuántica unidimensionalcon un potencial en forma de escalón con discontinuidad si-tuada en z = L/2 Yde allura VD; pero dentro de "paredes" depotencial infinito. localizadas en los puntos z = OY z = L,respectivamente. Las dos densidades volumétricas de masade la cuerda en cada mitad, equivalen entonces a los dos va-

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lores del potencial dentro de las "paredes" (por ejemplo, Oy Fo). La tensión constante en la cuerda, corresponde a la ma-sa 111 de una misma partícula atrapada dentro de las mismas"paredes". Así mismo, las soluciones halladas correspondenal caso de que la partícula posea una energía E finita y mayorque \'0' caso caracterizado por números de onda reales. Todolo anterior determina entonces ondas estacionarias en ambasmitades para la función de onda de la partícula.

El ejemplo de la cuerda homogénea por mitades permiteejercitar el método de empalme de soluciones en el ámbitode un curso curricular de ondas clásicas, posibilitando uncontacto con dicho método previamente a los cursos intro-ductorios de mecánica cuántica, usualmente posteriores. L<1

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demostración experimental expuesta puede realizarse con losrecursos tradicionales de un laboratorio de ondas. El métodopropuesto sugiere también la manera de realizar analogíascon otras situaciones de homogeneidad constante por tramosen mayor generalidad, tal como es el caso correspondiente alos pozos de potencial o a los potenciales periódicos.

Interpretando a la densidad determinada por experimen-tos convencion<1les de excitación de modos en cuerda comouna densidad lineal "efectiva", en este trabajo se ha propuestotambién un método para estimar densidades volumétricas demasa de cables de un mismo material. Esto permite la elec-ción de los parámetros del sistema apropiadamente para losefectos de la demostración experimental propuesta.

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