Matemáticas V

Unidad IEcuaciones diferenciales de primer orden

1.7 Ecuaciones Lineales

*Problemario*

Imagen. Ejercicio 1

1

1 Calculo diferencial e integral, Antony Granville, Editorial LIMUSA, pagina numero 468

Ejercicio 1

Resolver la ecuación

(12) dydx

−2 yx+1

=( x+1 )52

Solución. Evidentemente esta ecuación es de la forma ( B ), siendo

P=−2x+1

y Q=( x+1 )52.

Hagamos y=uz ; entonces

dydx

=udzdx

+zdudx

.

Sustituyendo este valor en la ecuación dada (12), obtenemos

udzdx

+zdudx

−2uz1+x

=( x+1 )52 , o sea,

(13) udzdx

+( dudx

−2u

1+x ) z=( x+1 )52

A fin de terminar u, igualemos a cero el coeficiente de z. Esto da

dudx

− 2u1+ x

=0,

dudx

= 2dx1+ x

Integrando, obtenemos

ln u=2 ln (1+x )=ln (1+x )2 .

(14) ∴u=(1+x )2 .*

Ahora la ecuación (13), puesto que el termino en z desaparece, se convierte en

udzdx

= (x+1 )52

Remplazando u por su valor según (14),

dzdx

=( x+1 )12 ,

O sea,

dz= (x+1 )12 dx .

Integrando, obtenemos

(15) z=2 (x+1 )

32

3+c

Sustituyendo los valores de (15) y (14) en y=uz , obtenemos la solución general

y=2 ( x+1 )

72

3+C ( x+1 )2 .

Imagen. Ejercicio 2

2

Ejercicio 2

2 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 109

Resolver:

y '= 1

x+ y2

Tomando la función de forma recíproca:

dydx

=x+ y2

dydx

−x= y2

Ya es una ecuación diferencial lineal en x.

Usando el Factor integrante: F=e∫g ( y )dy=e

−∫ dy=e− y y multiplicándolo por la ecuación:

e− y dx−e− y ( x+ y3 ) dy=0

M=e− y N=−e− y (x+ y3)

M y=−e− y N y=−e− y, ya es exacta

f x=e− y

f =x e− y+ f ( y)

Imagen. Ejercicio 3

3

Ejercicio 3

Dada la ecuación diferencial:

dy+(3 x2 y−x2 ) dx=0 ,

ver si es lineal y resolverla por medio del factor integrante.

3 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 104

Se acomoda según la forma indicada:

y '+f ( x ) y=r (x ) ,

Quedando:

dydx

+3 x2=x2

Sí es lineal, con

f ( x )=3 x2 y r ( x )=x2

Su factor integrante tiene la forma:

F ( x )=e∫f ( x ) dx=e∫

3 x2 dx=ex3

Multiplicando la ecuación, tenemos:

ex3

dy+ex3

(3x2 y−x2 ) dx=0

M=ex3

(3 x2 y−x2 ) N=ex3

M y=3 x2 ex3

N x=3x2 ex3

, ya es exacta,

Entonces:

f x=ex3

3 x2 y−ex3

x2 f = yex3

−13

ex3

+ f ( y )

f y=ex3

+ f ' ( y )=ex3

f ' ( y )=0 y f ( y )=c

∴ y=13+c e−x3

Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución:

y=e−∫3x2 dx [∫ e∫ 3x2 dx(x2)dx+c]y=e−x3 [∫ ex3

x2 dx+c ]

y=e−x3[ 13

ex3

+c ]y=1

3+c e−x3

Imagen. Ejercicio 4

4

Ejercicio 4

Resolver por variación de parámetros: y '=2 y+x

Vemos que y '−2 y=x es lineal, donde f ( x )=−2,r ( x )=x

La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y '−2 y=0 que tiene como solución: y=ce2x

4 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 106

Tomando c=u ( x ) , v ( x )=e2x y sabiendo que la función u esta dada por:

u=∫ r (x )v (x)

dx+c

→u=∫ x

e2xdx+c=−x

2e−2x− 1

4e−2 x+c

Como la solución de la homogénea es y=uv , entonces:

y=(−x2

e−2x−14

e−2 x+c )e2 x y y=−x

2−1

4+c e2x

Aplicando directamente la formula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución.

y=e∫ 2dx [∫e∫−2dx xdx+c] y=e2 x [e−2x xdx+c ]

y=e2 x [−x2

e−2x−14

e−2 x+c]y=−x

2−1

4+c e2x

Imagen. Ejercicio 5

5

Ejercicio 5

Resolver por variación de parámetros:

( x2+16 ) y '−xy=x

y '− x

x2+16y= x

x2+16

5 Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 108

La ecuación homogénea correspondiente es:

y '− x

x2+16y=0

Con solución: y=c√ x2+16

Sea v ( x )=√x2+16 y c=u ( x )=∫ x /¿¿¿

→u=∫ x

( x2+16 )32

dx+c

u= −1

√ x2+16+c

→ y=uv=( −1

√x2+16+c)√ x2+16

y=c√ x2+16−1

Imagen. Ejercicio 6

6

Ejercicio 6

Resolver

x3 dydx

+(2−3 x3 ) y=x3

o bien Resolver

dydx

+(2−3x3 )

x3 y=1.

∫ (2−3x3 )x3 dx=−1

x2 −3 ln x

6 Frank Ayres Jr. Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 36

y un factor integrante es

1

x3 e1x2

Entonces,

y

x3 e1x2

=∫ dx

x3 e1x2

= 1

2e1x2

+C

o bien

2 y=x3+C x3 e1x2 .

Imagen. Ejercicio 7

7

Ejercicio 7

Resolver

dydx

−2 ycot 2 x=1−2 x cot 2x−2csc 2 x

Un factor integrante es

e−∫2 cot 2 x dx=e−ln sen2x=csc 2 x

Entonces

7 Frank Ayres Jr. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. Pág. 36

y csc 2x=∫ ( csc 2x−2 x cot 2x csc 2x−2csc 22 x) dx=xcsc 2 x+cot 2x+C7

y=x+cos 2x+C sen2 x

Imagen. Ejercicio 8

8

8 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 51

Ejercicio 8

Determine la solución general de

1x

dydx

−2 y

x2=xcos x , x>0.

Solución:

Para escribir esta ecuación lineal en forma canónica, multiplicamos por x para obtener

dydx

−2 yx

=x2cos x .

En este caso, P ( x )=−2/ x , de modo que

∫P ( x ) dx=∫−2x

dx=−2 ln|x|.

Así, un factor integrante es

μ ( x )=e−2 ln|x|=e ln ( x−2 )=x−2.

Al multiplicar la ecuación (b) por μ ( x ) tenemos

x−2 dydx

−2 x−3 y=cos x ,

ddx

( x2 y )=cos x.

Ahora integramos ambos lados y despejamos y para obtener

x−2 y=∫cos x dx=sin x+C .

y=x2 sin x+C x2

Se verifica fácilmente que la solución es valida para toda x>0. En la figura siguiente bosquejamos las soluciones para diversos valores de la constante C en (c).

Gráfica de y=x2 sin x+C x2

para cinco

valores de la constante C

(a)

(b)

(c)

Imagen. Ejercicio 9

9

9 R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, pág. 51

Ejercicio 9

Una roca contiene dos isotopos radiactivos, RA1 y RA2, que pertenecen a la misma serie radiactiva; es decir, RA1 decae en RA2, quien luego recae en átomos estables . Suponga que la tasa con la que RA1 decae en RA2 es 50e−10 t kg/s. como la razón de decaimiento de RA2, la razón de cambio de RA2 es

dydt

=razónde creación−razónde decaimiento ,

dydt

=50e−10t−ky ,

Donde k>0 es la constante de decaimiento. Si k=2/s e inicialmente y(0)= 40 kg, determine la masa y(t) de RA2 para t ≥ 0.

Solución: La ecuación (I) es lineal, de modo que comenzamos escribiéndola en forma canónica.

dydt

+2 y=50 e−10 t , y (0 )=40.

Donde hemos sustituido k=2 e incluido la condición inicial. Ahora vemos que P(t)=2, de

modo que ∫P ( t ) dt=∫ 2dt=2 t . Así, un factor de integración es μ=e2 t. Al multiplicar la

ecuación (II) por μ(t ) obtenemos

e2 t dydt

+2e2t y=50e−10t−2 t=50e−8 t ,

ddt

(e2 t y )=50e−8 t ,

al integrar ambos lados y despejar “y”, tenemos

e2 t y=−254

e−8 t+C ,

y=−254

e−10t +C e−2 t

Al sustituir t=0 y y(0)=40 se tiene: 40=−254

e0+C e0=−254

+C ,

(I)

(II)

De modo que C=40+25/4=185/4. Así, la masa y(t) de RA2 en el instante t está dada por

y (t )=( 1854 )e−2 t−( 25

4 )e−10 t , t ≥ 0.

Imagen. Ejercicio 10

10

Ejercicio 10

Resolver:dydx

+ y=e3x

Solución:

dydx

+ y=e3x (1)

La (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden dydx

+ p ( x ) y=g ( x ) , con p ( x )=1 ; de

tal modo que el factor Integrante es:

u ( x )=exp∫dx=ex (2)

Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2):

ex y '−ex y=e4 x(3)

Como el miembro izquierdo en (3)) es el desarrollo de la derivada del producto ex y, se tiene:

(e x y )'=e4x ↔e x y=14

e4 x+c (Integrando ambos lados de la ecuación) ;

∴ y=14

e3 x+ce− x (multiplicando cada lado de la ecuación por e− x¿ (4)

Como, p ( x )=1 ;domp=R y g ( x )=e3 x ;domg=R , los coeficientes son continuos en todo x ϵ R; y de (4), sse concluye que la Solución general y su intervalo de solución es:

y= 14

e3 x+ce− x , xϵ (−∞,∞ ) .

10 Ejercicios resueltos (D. G. Zill). Disponible en http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id91.htm

Imagen. Ejercicio 11

11

Ejercicio 11

1.dydx

=5 y

Solución:

dydx

=5 y↔dydx

−5 y=0 (1)

La (1) ecuación diferencial de primer orden. dydx

+ p ( x ) y=g ( x ) , con p ( x )=−5; de tal modo

que el factor integrante es:

μ ( x )=exp∫−5dx=e−5 x (2)

Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2):

e−5 x y '−5e−5x y=0(3)

Como el miembro izquierdo en (3) es el desarrollo de la derivada del producto e−5 x y, se tiene:

(e−5 x) '=0↔e−5 x y=c (Integrando ambos lados de la ecuación);

∴ y=c e5 x (multiplicando cada lado de la ecuacionpor e−5 x¿ (4)

los coeficientes de (1) son funciones consstantes, esto es, continuass en todo x ϵ R; y de (4), se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:

y=ce5x , xϵ (−∞ ,∞ ) .

11 Ejercicios resueltos (D. G. Zill). Disponible en http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id91.htm

Imagen. Ejercicio 12

12

Ejercicio 12

Encontrar la solución al problema de valores iniciales

y '−2 xy=x , y (0 )=1 (16)

Para esta ecuación la función µ está dada por

μ ( x )=exp (−∫❑

x

2t dt)=e−x2

Por lo tanto

e− x2

( y '−2 xy )=xe− x2

De manera que

( ye−x2 )'=xe−x2

De donde

ye− x2

=∫❑

x

te−t2

dt+c=−12

e− x2

+c

Y finalmente

y=−12

+cex2

12 Asdrubal Flores Lopez. Introduccion a las ecuaciones diferenciales, Editorial LIMUSA, pagina 27.

Imagen. Ejercicio 13, 14, 15

13

Ejercicio 13

Demostrar que la ecuación

d2 yd x2 −

dydx

−2 y=0

Tiene dos soluciones distintas de la forma y=eax

Si y=eax es una solución para algunos valores de a, la ecuación dada quedará satisfecha si se hace la sustitución

y=eax, dydx

=aeax ,d2 yd x2 =a2eaz

Se obtiene

d2 yd x2 −

dydx

−2 y=eaz (a2−a−2 )=0

Que satisface para a=−1,2

Luego y=e−x y y=e2 x son soluciones.

Ejercicio 14

Demostrar que

y=C1 e−x+C2 e2x

Es la primitiva de la ecuación del problema 1.

Sustituyendo y y sus derivadas en la ecuación diferencial se comprueba rápidamente que y=C1 e−x+C2 e2x es una solución. Para demostrar que es la primitiva, hágase notar primero que el número (2) de constantes arbitrarias y el orden (2) de la ecuación coinciden, y después que como

13 Ecuaciones diferenciales Primera edición, Frann Ayres, editorial McGRAW-HILL INTERAMERICANA

[ e−x e2 x

−e−x 2e2x ] =3ex ≠0 , y=e−x y y=e2 x

son linealmente independientes.

Ejercicio 15

Demostrar que la ecuación diferencial

x3 d3 yd x3 −6 x

dydx

+12 y=0

tiene tres soluciones linealmente independientes de la forma y=x3.

Después de hacer las sustituciones.

y=xr ,dydx

=rxr−1 ,d2 yd x2 =r (r−1 ) xr−2 ,

d3 yd x3 =r (r−1)(r−2)xr−3

En el miembro de la izquierda de la ecuación dada se tiene xr (r3−3 r2−4 r+12 )=0 que se satisface para r=2 ,3 ,−2. Las soluciones correspondientes y=x2 , y=x3 , y=x−2 son linealmente independientes ya que

[ x2 x3 x−2

2x 3x2 −2 x−3

2 6 x 6 x−4 ] ¿20≠ 0. La primitiva es y=C1 x2+C2 x3+C3 x−2

Bibliografía

Isabel Carmona Jover. Ecuaciones Diferenciales, 4ª, Ed. Editorial Pearson Addison Wesley. México, 1992

R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider.Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera, 3a. ed.Pearson Educación, México, 2001

Rolando Castillo Caballero. Rodrigo Gonzales Rojas.Ecuaciones diferenciales, curso de inducción. 1a. Ed. Editorial trillas, México, 1991

Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 6ª. Ed. International Thomson Editores. México, 1997

Frank Ayres, jr. Ph.D. Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales

MACGRAW-HILL

Asdrubal Flores Lopez. Introducción a las ecuaciones diferenciales, Editorial LIMUSA

Antony Granville. Calculo diferencial e integral,

Editorial LIMUSA