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98 • Equ i l i brio de una partícu la
Sistemas tridimensionales de fuerzas Para el equilibrio de una partícula se requiere
LF = O (3-4)
Si las fuerzas son resueltas en sus respectivas componentes i, j, k, figura 3-9, tenemos entonces
Por consiguiente, para garantizar el equilibrio, es preciso que las siguientes tres ecuaciones de componentes sean satisfechas:
LFx = O LFy = O L Fz = O (3-5)
Estas ecuaciones representan las sumas algebraicas de las componentes x, y, Z de fuerza que actúan sobre la partícula. Usándolas podemos resolver un máximo de tres incógnitas representadas generalmente como ángulos o magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
z
Fig. 3-9
SEMANA 3
INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA
w
FB F Fe
D
SECCIÓN 3.4 Sistemas trid imensiona les de fuerzas 99
El anillo en A está sometido a la fuerza del gancho así como a las fuerzas de cada una de las tres cadenas. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gancho será W, y las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden ser aplicadas al diagrama de cuerpo libre del anillo para determinar las fuerzas en las cadenas, F B, Fe y F D'
PRO CEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los problemas de equilibrio tridimensional de fuerzas para una partícula pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento.
Diagrama de cuerpo libre
• Establezca los ejes x, y, z con cualquier orientación apropiada. • Rotule todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conoci
das y desconocidas sobre el diagrama. • El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida puede
ser supuesto.
Ecuaciones de equilibrio
• Use las ecuaciones escalares de equilibrio, '2:.Fx = 0, '2:.Fy = 0, '2:.Fz = 0, en los casos en que sea fácil resolver cada fuerza en sus componentes x, y, z .
• Si la geometría tridimensional parece difícil, entonces exprese primero cada fuerza como un vector cartesiano, sustituya esos vectores en '2:.F = 0, y luego haga las componentes i, j , k igual a cero.
o¡ Si la solución da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA
1 00 • Equi l ibrio de una partícula
z
e
30°
/sj3 / A = SOO lb/pie ---��. Y-�·��A�HH�-B -----y
D ..
x 90 lb
(a)
z
Una carga de 90 lb está suspendida del gancho mostrado en la figura 3 - lOa. La carga está soportada por dos cables y un resorte con rigidez k = 500 lb/pie. Determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x -y y el cable AC en el plano X -Z .
Solución
El alargamiento del resorte puede ser determinado una vez que la fuerza presente en él sea calculada.
Diagrama de cuerpo libre. La conexión en A es la seleccionada para el análisis del equilibrio ya que las fuerzas presentes en los cables son concurrentes en este punto. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3 - l0b.
Ecuaciones de equilibrio. Por inspección, cada fuerza puede ser resuelta fácilmente en sus componentes x, y, Z, y, por tanto, es posible aplicar directamente las tres ecuaciones escalares de equilibrio. Considerando las componentes dirigidas a lo largo de los ejes positivos
y como "positivas", tenemos
x 90 lb
(b)
Fig. 3-10
2:-Fx = O;
2:- Fy = O;
2:- Fz = O;
F D sen 30° - �F e = O
- FD cos 30° + FB = O
�Fe - 90 lb = O
( 1 )
(2)
(3)
Despejando Fe de la ecuación 3, luego FD de la ecuación 1 , y finalmente FB de la ecuación 2, obtenemos
Fe = 150 lb
FD = 240 lb
FB = 208 lb
El alargamiento del resorte es entonces
FB = kSAB
208 lb = 500 1b/pie(sAB)
SAB = 0.416 pies
Re!>p.
Resp.
Resp.
Rew
SEMANA 3
INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA
SECCiÓN 3.4 Sistemas tridimensiona les de fuerzas • 101
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F en la figura 3 - 11a que son requeridos para obtener el equilibrio de la partícula O.
Solución
Diagrama de cuerpo libre Sobre la partícula O actúan cuatro fuerzas, figura 3 - 1 1 b.
Ecuaciones de equilibrio. Cada una de las fuerzas puede ser expresada en forma vectorial cartesiana, y las ecuaciones de equilibrio pueden ser aplicadas para determinar las componentes x, y, z de F. Observando que las coordenadas de B son B( -2 m, -3 m, 6 m), tenemos
Fl = {400j} N F2 = {- 800k} N
F3 = F3( rB) = 700 N [ -2i - 3j + 6k ] rB V( -2f + ( -3)2 + (6)2 = {-20Oi - 300j + 600k} N
F = Fxi + Fyj . + Fzk
Por equilibrio,
'i,F = O; Fl + F2 + F3 + F = O 400j - 800k - 200i - 300j + 600k + Fxi + Fyj + Fzk = O
Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero, tenemos
'i,Fx = O; 22Fy = O; 22Fz = O;
Entonces,
-200 + Fx = O 400 - 300 + Fy = O
-800 + 600 + Fz = O
F = {20Oi - 100j + 200k} N
Fx = 200 N Fy = -100 N Fz = 200 N
F = V (200)2 + ( - 100)2 + (200)2 = 300 N F 200 . 100 . 200
UF = F
= 300 1 - 300J + 300
k
a = cos-1(200) = 48 2° 300
.
f3 = cos-1( - 100 ) = 1 09° 300
l' = COS-l (���) = 48.2°
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
La magnitud y la dirección correctas de F se muestran en la figura 3 - 1 1c.
B z
í \ F} = 700 N
\
2 m --- y
F2 = 800 N
x
(a)
z
F3 = 700 N
--- y
F2 = 800 N
x
(b)
z
F . 300 N I 48.20�
I----'------y
x
(e)
Fig. 3--11
INGENIERIA DE MINAS - ESTATICA
1 02 • Equ i l ibrio de una partícula
D x----
z
(a)
z
(h)
hg. 3-12
y
Determine la fuerza desarrollada en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb que se muestra en la figura 3- 12a.
Solución
Diagrama de cuerpo libre. Como se aprecia en la figura 3 - 12b, el diagrama de cuerpo libre del punto A es considerado para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los cables.
Ecuaciones de equilibrio. Primero expresaremos cada fuerza en forma vectorial cartesiana. Como las coordenadas de los puntos B y e son B( -3 pies, -4 pies, 8 pies) y C( -3 pies, 4 pies, 8 pies), tenemos
[ -3i - 4j + 8k ] F B = F B ---;;=============:==� Y( -3f + ( -4)2 + (8)2
= -0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk [ -3i + 4j + 8k ] Fe = Fe --;====:===::;=====: Y( -3)2 + (4f + (8)2
= -0.318Fei + 0.424Fd + 0.484Fek FD = FDi W = { -40k} lb
Por equilibrio se requiere que
LF = O; FB + Fe + FD + W = O -0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk - 0.318Fci + 0.424Fd
+0.848Fek + FDi - 40k = O Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta
LFx = O; LFy = O; LFz = O;
-0.318FB - 0.318Fe + FD = O -0.424FB + 0.424Fe = O
0.848FB + 0.848Fe - 40 = O
( 1 ) (2) (3)
La ecuación 2 establece que FB = Fe. Entonces, despejando FB y Fe de la ecuación 3 y sustituyendo el resultado en la ecuación 1 para obtener F D, tenemos
FB = Fe = 23.6 lb FD = 15.0 lb
Re5p. ReW
SEMANA 3
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SECCiÓN 3.4 Sistemas trid imensiona les de fuerzas • 103
El cajón de 100 kg mostrado en la figura 3- 13a está soportado por tres cuerdas, una de las cuales se conecta a un resorte. Determine la D tensión en las cuerdas AC y AD, así como el alargamiento del resorte.
Solución
Diagrama de cuerpo libre. La fuerza presente en cada una de las cuerdas puede ser determinada investigando el equilibrio del punto A. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3- 13b. El peso del cajón es W = 100(9.81) = 981 N.
Ecuaciones de equilibrio Cada vector trazado en el diagrama de cuerpo libre se expresa primero en forma vectorial cartesiana. Usando la ecuación 2-1 1 para Fe Y el punto D( - 1 m, 2 m, 2 m) para FD, tenemos
FB = Fsi Fe = Fe cos 1200i + Fe cos 135°j + Fe cos 600k
= -0.5Fci - 0.707 Fd + 0.5Fek [ -li + 2j + 2k ] F D = F D ---¡==;::===::;;===;::
V( -lf + (2f + (2 ) 2
= -0.333FDi + 0.667Fvj + 0.667FDk W = { -981k} N
Por equilibrio se requiere que :¿F = O; FB + Fe + FD + W = O
Fsi - 0.5Fei - 0.707Fd + 0.5Fek - 0.333FDi + 0.667FDj + 0.667FDk - 981k = O
Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta
:¿Fx = O; :¿ Fy = O; :¿ Fz = O;
Fs - 0.5Fe - 0.333FD = O -0.707Fe + 0.667FD = O
0.5Fe + 0.667FD - 981 = O
(1) (2) (3)
Despejando F D en la ecuación 2 en términos de Fe, y sustituyendo este resultado en la ecuación 3, se obtiene Fe. F D se determina con la ecuación 2. Finalmente, al sustituir los resultados en la ecuación 1 resulta Fs. Por consiguiente,
Fe = 813 N FD = 862 N FB = 693.7 N
El alargamiento del resorte es entonces
F = ks; 693.7 = 1500s s = 0.462 m
Resp. Resp.
Resp.
(a)
z
Jr---- y
(b)
Hg. 3--13
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