3 equilibrio particula

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

CAPITULO

Equilibrio de Partícula

Dr. Omar Pablo Flores Ramos

Huancayo, 2012

2

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 2

CONTENIDO

Introducción

1 Conceptos fundamentales

Equilibrio

Partícula

Inercia

Leyes de Newton

Fuerzas especiales

Fuerza elástica – Ley de Hooke

Fuerza de rozamiento o fricción

Diagrama de cuerpo libre

2 Equilibrio de partícula

Primera condición de equilibrio

Teorema de Lamí

Triángulo de equilibrio

3 Ejercicios

3

3

3

3

3

3

3

4

4

6

6

6

7

7

8

Mecanica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos

EQUILIBRIO DE PARTICULA

3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

3.1.1 Equilibrio

Se dice que un cuerpo está en equilibrio, cuando no tiene

aceleración, y el equilibrio puede ser:

equilibrio estático: reposo ( v = 0 )

equilibrio cinético: M.R.U. ( v = cte)

3.1.2 Partícula

Se considera partícula a una masa “pequeñísima” a la cuál se

desprecia su tamaño y su forma

3.1.3 Leyes de Newton

Las relaciones entre fuerzas y movimiento fueron presentadas por

Isaac Newton en 1687, mediante tres leyes fundamentales, de las

cuales la 1ra y la 3

ra son de interés en este capítulo

1ra

Ley (Principio de inercia)

“Un cuerpo permanece en equilibrio, mientras no actúe una

fuerza externa que modifique dicho estado”

2da

Ley (Principio de fuerza y aceleración)

“La aceleración que toma un cuerpo es proporcional a la

fuerza neta externa que se le aplica”

amF .

3ra

Ley (Principio de acción y reacción)

“A toda acción de una fuerza, se genera una reacción de igual

intensidad pero de sentido contrario”.

3.1.4 Fuerzas especiales

a) Peso

Es la fuerza con el que la tierra atrae a los cuerpos.

gmpeso . ( 3.1)


b) Normal

Denominado también “fuerza de contacto”, es una fuerza de

reacción perpendicular al plano que sostiene el cuerpo. (ver

Fig 3.1 )

Fig 3.1: Representación de la normal

c) Tensión

Es una fuerza interna de reacción, que se opone al

“estiramiento”.

d) Compresión

Es una fuerza interna de reacción que se opone al

“aplastamiento”

3.1.5 Fuerza elástica (Ley de Hooke)

Para un sistema elástico, se cumple que la fuerza es proporcional a

la deformación

Fig 3.2: Fuerza elástica

3.1.6 Fuerza de rozamiento o fricción ( f )

Es una fuerza de reacción, que se opone al deslizamiento de una

superficie sobre otra, tal como se muestra en Fig 3.3.

Fig 3.3: Fuerza de rozamiento

x xkF . ( 3.2 )

Siendo: k : constante de rigidez

x : deformación F

peso Nor

Nor

peso peso

Nor F

peso Nor

F

f


a. Fuerza de rozamiento estática (f s)

Se presenta cuando las superficies en contacto no se deslizan y

su valor máximo es cuando su movimiento es inminente.

Norf ss . ( 3.3 )

b. Fuerza de rozamiento cinética (f k)

Se presenta cuando se deslizan una sobre la otra, su valor es

constante.

Norf kk . ( 3.4 )

c. Coeficiente de rozamiento ( µ )

Los coeficientes de rozamiento, dependen de la naturaleza de

las superficies en contacto. El coeficiente de rozamiento

estático ( s) siempre es mayor que el coeficiente de

rozamiento cinético ( k ) .

0 ks ( 3.5 )

Cuando se trata de desplazar un cuerpo inicialmente en

reposo, la fuerza de rozamiento inicial es igual a cero, y va

aumentando hasta un valor máximo (Fig 3.4) y cuando

empieza a moverse, el valor de la fuerza de rozamiento

disminuye bruscamente, para luego mantenerse constante

mientras exista deslizamiento

Fig 3.4: Diagrama de la fuerza de rozamiento (estático y

cinético) y una fuerza externa

reposo movimiento

45°

fs- max

f k

f s = F f k

F

f


3.1.7 Diagrama de cuerpo libre

El diagrama de cuerpo libre, es un gráfico en el cual se muestran

todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, empezando

por su peso

Fig 3.5: Diagrama de cuerpo libre de una esfera apoyada en dos

planos

Observaciones:

1: En el diagrama de cuerpo libre solo aparecen las fuerzas

externas

2: Cuando las superficies en contacto son lisas, las fuerzas de

reacción son siempre perpendiculares a dichas superficies

3: En barras homogéneas y uniformes, se asume que su peso

actúa en el centro de dicha barra, verificándose que el peso de

la barra es proporcional a su longitud

4: Las cuerdas, varillas de conexión y poleas, se consideran de

masa despreciable, su único efecto es transmitir fuerzas de un

cuerpo a otro

3.2 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

Una partícula esta en equilibrio, si cumple la primera condición de

equilibrio

3.2.1 Primera condición de equilibrio

“Para que un sistema esté en equilibrio, la resultante de fuerzas

debe ser cero.”

Σ Fx = 0

0F Σ Fy = 0 ( 3.7 )

Σ Fz = 0

R2 m.g

R1


3.2.2 Teorema de Lami

“En una partícula en equilibrio, sometido a la acción de tres

fuerzas coplanares y concurrentes, es posible aplicar la ley de

senos”

Fig 3.6: Teorema de Lami

3.2.3 Triangulo de equilibrio

“En una partícula en equilibrio, sometido a la acción de tres

fuerzas coplanares y concurrentes, es posible formar un triángulo

y aplicar las propiedades de ellas”

Fig 3.7: Triángulo de equilibrio

α β

W

T1 T2

T2

T1

W

F1 F2

F3

α β

δ

sen

F

sen

F

sen

F 321 ( 3.8 )


a) Equilibrio de partícula en el plano 1. En el diagrama en equilibrio se muestra un cuerpo suspendido cuyo

peso es de (4 + 3√3) N. Despreciando el peso de los cables, calcular la

tensión T

Rpta: 5 N

2. Un pintor de 600 N de peso puede elevarse a velocidad constante

parado sobre una plataforma de 300N. Hállese la tensión que provoca

el pintor

Rpta: 225 N

3. Encuentre la reacción del piso sobre el bloque de 200 N, cada polea

pesa 10 N y la esfera suspendida 20 N

Rpta: 130 N

4. El peso total del globo en equilibrio que se muestra es de 50 N y la

fuerza del viento y empuje del aire F es 100 N, l. Calcular el ángulo θ

Rpta: arctan ½

θ

F

53°


5. Un cable elástico puede soportar una tensión máxima de 100 N Para la

posición de equilibrio, calcular el ángulo θ, si la fuerza F es 120 N

Rpta: 53°

6. En el sistema en equilibrio, los pesos de los bloques 1 y 2 son iguales.

Determinar el ángulo α

Rpta: 20 °

7. En el sistema en equilibrio mostrado, el peso del bloque es 30 N.

Calcular la tensión de la cuerda de 5 m de longitud.

Rpta: 25 N

8. Usando una faja de se ha logrado equilibrar un cilindro de 800N de

peso apoyándose sobre una pared vertical lisa encuentre la reacción de

dicha pared

Rpta: 1600 N

4 m


9. Si la esfera pesa 120 N, calcular la fuerza horizontal "F" necesaria, de

manera que las dos reacciones normales sean de igual módulo.

Rpta: 360 N

10. Dos cilindros de igual radio y peso "w" cada uno, se han amarrado

mediante una cuerda, tal como se muestra, determinar la tensión en

dicha cuerda si sobre ellos se ha colocado otro cilindro de doble peso

Rpta: w cot θ

11. Dos cilindros iguales están suspendidos de hilos inextensibles de

idéntica longitud. Entre ellos se pone otro cilindro de doble peso,

hallar tg β si los hilos forman un ángulo de 2 α

Rpta: 2 tan α

12. Una cadena homogénea y uniforme de peso "w" se halla sujeta por sus

extremos a dos argollas ubicadas a la misma altura en dos paredes

verticales, si los extremos de la cadena forman ángulos “θ” con las

paredes, encuéntrese la tracción en el punto más bajo de la cadena

Rpta: 0,5 w cot θ


13. Determinar las reacciones en las superficies curvas A y B, si el peso

de la esfera es 1000 N y α = 16° y θ = 53°

Rpta: 1029,6 N y 644,6 N

14. En el sistema en equilibrio cada bloque pesa 60N. Calcular la tensión,

en la cuerda horizontal “T”

Rpta: 150 N

15. Calcular el ángulo θ, en el sistema en equilibrio si los dos bloques son

del mismo peso, despreciar los pesos de las cuerdas

Rpta: 30°

16. En el sistema en equilibrio, determinar el ángulo “θ ” si las tres esferas

son de igual peso

Rpta: 30°

53°

θ 60°

60°

60° 60°

θ θ


17. En el sistema en equilibrio, determinar el ángulo “α ”

Rpta 16°

18. Determinar el ángulo θ para la posición de equilibrio, si la barra

homogénea de 300 N esta conectada a un bloque de 150 N mediante

un cable tal como muestra la figura

Rpta: 56°

19. Una varilla de 40 Nde peso, se halla suspendida en equilibrio, calcular

la tensión “T” de la cuerda, si α + θ = 60°

Rpta: 40 N

20. Calcular el ángulo θ, si la barra homogénea de 58 N de peso se

mantiene en equilibrio mediante una cuerda cuya tensión es 10 N

Rpta 47°

α

θ


b) Rozamiento

21. Con el resorte estirado, el bloque de 10 kg esta a punto de deslizar,

calcular la longitud natural del resorte

Rpta: 4,98 cm

22. Determinar la deformación del resorte, si el bloque A de 10 N de peso

esta a punto de deslizar, k = 10 N/cm

Rpta 5 cm

23. Hallar la fuerza “F” necesaria para iniciar el movimiento del cuerpo de

200 kg, si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las

superficies en contacto es 0,25

24. Si los pesos de los bloques A y B son 20 N y 40 N respectivamente,

determinar la fuerza F necesaria para iniciar el movimiento si el

coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0,3

Rpta: 30 N

25. Hallar la fuerza de rozamiento y el coeficiente de rozamiento entre el

coche que marcha a velocidad constante y el bloque de 100 N de peso

Rpta: 50 N y 3

3


26. Hallar el coeficiente de rozamiento cinético, si solo existe rozamiento

entre la cuña y el piso horizontal, además se sabe que el peso de la

cuña es el doble que el de la esfera, el cual esta bajando a velocidad

constante y libre de fricción

Rpta: cot3

1

27. El cilindro de 40 kg esta en equilibrio sobre el bloque B que pesa 200

kg, si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies

es 0,5. ¿Permanecerá el sistema en equilibrio como se muestra?

Rpta:

28. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es

0,2. Determinar la fuerza “F” necesaria para iniciar el movimiento de

los dos bloques:

a) Cuando el bloque de 200 kg sube Rpta: 1708 N

b) Cuando el bloque de 200 kg baja Rpta: - 457 N


29. Hallar la fuerza necesaria para iniciar el movimiento hacia la derecha,

Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es

0,2

Rpta:

30. El bloque C de 80 kg permanece en equilibrio sobre dos bloques

idénticos A y B de 60 kg cada uno. Si el coeficiente de rozamiento

estático entre todas las superficies es 0,2. ¿El sistema que se muestra,

permanecerá en equilibrio?

Rpta:

c) Equilibrio de partícula en el espacio

31. Determinar la tensión en cada cable que mantienen en equilibrio a una

lámpara de 800 N de peso

Rpta: TAB=800 N; TAC=400 N y TAD=1200 N


32. Determinar las tensiones en cada cable, si la fuerza de 30 N aplicada

en el punto D produce el equilibrio del sistema

Rpta: TAD= 8,45 N; TBD= 20 N y TCD= 13,38 N

33. Si el peso del cilindro en equilibrio es 555 N, calcular la tensión en

cada cable

Rpta: TAD=262,5 N; TBD=195 N y TCD=187,5 N

30 N


34. Determine la tensión en los cables que mantienen al poste en

equilibrio, si la fuerza vertical FOA es de 757 N

Rpta: TAB=500 N; TAC= 93 N y TAD= 364 N

35. Hallar las tensiones en cada cable, que mantienen en equilibrio a una

placa triangular de 18 N de peso

Rpta: TAD= 7,21 N; TBD=6,5 N y TCD=6,5 N


36. Calcular la tensión de cada cable que mantienen en equilibrio a un

cilindro de 15 kg , si h = 60 mm. (g = 9,8 m/s2)

Rpta: TAD=139,7 N; TBD= TCD=115,6 N

37. Si cada cable puede soportar una tensión máxima de 600 N, determine

el peso máximo del balde para mantener el sistema en equilibrio.

Rpta:771 N


38. Determine el peso máximo de la lámpara si los cables AB y AC

pueden soportar una tensión máxima de 500 N y el poste puede

soportar una compresión máxima de 300 N

Rpta: 138 N

39. Determinar el peso de la esfera suspendida de un anillo horizontal,

mediante tres resortes cuya rigidez es k = 50 N/pie y su longitud sin

estirar es de 1,5 pies. h = 2 pies

Rpta: 120 N


40. Determinar la tensión del cable AB y una fuerza horizontal P paralela

al eje z, que mantiene en equilibrio al bloque de 300 N de peso sobre

el plano inclinado

Rpta: 215 N y 103,8 N

BIBLIOGRAFIA

1 BEDFORD & FOWLER (1996)

Mecánica para ingeniería, Estática. USA

2 BEER & JHONSTON (2002)

Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogotá, Colombia

3 BELA I. SANDOR (1993)

Ingeniería Mecánica-Estática. Edit. Prentice Hall. México.

4 HIBBELER R. C. (2002)

Ingeniería Mecánica, Estática, editorial Prentice Hall, Séptima edición, México

5 MERIAM, J. L. (1998)

“Estática” editorial Jhon Willey. México

6 RILEY-STURGES (1996)

Ingeniería Mecánica - Estática. Edit. Reverte S.A. México

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