VII CONGRESO BOLIVARIANO DE INGENIERIA MECANICA

Cusco, 23 al 25 de Octubre del 2012

PROPUESTA DE UN NUEVO MODELO ANÁLITICO DE TORNILLO 2D PARA LA SIMULACIÓN DE UNIONES ATORNILLADAS. APLICACIÓN A COMPONENTES

T-EQUIVALENTE (“T-STUB”)

Jiménez de Cisneros y Fonfría J. J.*, Gallego Sevilla R. °, Carazo Álvarez J. D.°°, Luís Simões da Silva°°°

*Universidad de Jaén, Campus Las Lagunillas s/n 23071 Jaén (España), jfonfria@ujaen.es ° Universidad de Granada, Edificio Politécnico, Avda. Fuentenueva s/n 18071 Granada (España), gallego@ugr.es

°° Universidad de Jaén, Campus Las Lagunillas s/n 23071 Jaén (España), jdcarazo@ujaen.es °°°ISISE, Universidade de Coimbra (Portugal), luisss@dec.uc.pt

RESUMEN

Los modelos T-equivalente (“T-stub”) son componentes básicas formadas por dos casquillos en forma de T y atornillados a través de las alas, que pueden distinguirse en una gran cantidad de uniones metálicas con capacidad resistencia a flexión, y cuyas propiedades de resistencia, rigidez y ductilidad son determinantes para el comportamiento global de la conexión. Los tornillos suponen uno de los elementos que más influencia tienen en el comportamiento del sistema completo. En la literatura existe una gran cantidad de propuestas modelos analíticos que pretenden caracterizar con una mayor o menor precisión, y con unas ecuaciones o procedimientos de mayor o menor complejidad, el comportamiento de las componentes T-stub en general, y de los tornillos en particular. Este artículo pretende dos objetivos principales: definir un modelo de T equivalente alternativo en el que es considerada la rigidez a flexión del tornillo, y definir un nuevo elemento tornillo que permita el modelado de sistemas simétricos en dos dimensiones. PALABRAS CLAVE: Unión atornillada, T-equivalente (“T-stub”), rigidez

ÁREA TEMÁTICA PRINCIPAL: 17 MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

INTRODUCCIÓN

El método de las componentes para el análisis de uniones metálicas es una metodología general definida en la normativa actual vigente en Europa [1]. El procedimiento desarrollado consiste en desglosar una conexión a analizar en una serie de componentes básicas de las que son conocidas sus propiedades (resistencia, rigidez y ductilidad). Una vez definida dicha conexión y las características geométricas y mecánicas de cada uno de los elementos que la componen, pueden ser evaluadas las propiedades para cada componente básica. Posteriormente las propiedades correspondientes a la conexión son determinadas a través del ensamblaje de un sistema mecánico de resortes equivalente, donde cada resorte individual caracteriza el comportamiento de cada una de las componentes. En uniones atornilladas con capacidad de flexión una de las componentes principales a evaluar es la componente T-equivalente (“T-stub”), constituida por dos periles en T de acero atornillados a través de las alas, y sometidos a un esfuerzo de tracción en el alma, como se aprecia esquemáticamente en la Figura 1:

Figura 1: Modelo T-equivalente

En la bibliografía existente se proponen diferentes modelos en los que se han realizado diversas simplificaciones, con objeto de caracterizar el comportamiento de estas componentes. Entre estas simplificaciones pueden citarse la modelización del elemento como una viga, considerar longitudes equivalentes para definir una viga de sección rectangular, establecer una posición de las fuerzas de palanca para simular el contacto entre alas, etc. En el presente trabajo se desarrolla un modelo analítico simplificado que describe la rigidez de la componente T-stub (comportamiento en régimen elástico-lineal), así como un modelo de tornillo que tiene en consideración la rigidez a flexión y es válido en el cálculo analítico de uniones atornilladas con condiciones de simetría respecto al plano perpendicular al eje del tornillo. Adicionalmente se ha desarrollado un modelo de elementos finitos que se ha contrastado con los resultados experimentales existentes en la literatura [2].

ESTADO DEL ARTE. MODELOS EXPERIMENTALES Y NUMÉRICOS

En la actualidad numerosos autores han desarrollado modelos que intentan expresar las características de este tipo de componentes (rigidez inicial, resistencia y ductilidad), que pueden representarse a través de una curva Fuerza-Desplazamiento característica para cada conexión. Debido a la complejidad del sistema y con objeto de obtener expresiones analíticas sencillas desarrolladas para implementar en códigos de diseño, se realizan una serie de simplificaciones para simular todas estas condiciones.

1) Variación de la sección: se produce un incremento de la sección en la zona del radio de acuerdo (o soldadura, para perfiles armados), por lo que se establece una longitud equivalente diferente de la real, y que intenta incorporar este efecto.

2) Propiedades de la sección: los modelos analíticos son modelos de barras que representan el comportamiento de placas.

3) Fuerzas de palanca entre superficies en contacto: la distribución de los esfuerzos de palanca originados por el contacto entre dos chapas es difícil de simular. Éstas se asemejan como fuerzas puntuales aplicadas en una distancia determinada. Esta distancia es considerada igual a 1,25 veces la distancia m.

4) Modelado del tornillo: los tornillos son considerados como resortes con rigidez lineal y torsional (que viene a traducirse en una barra con comportamiento axial y a flexión).

Así pues el modelo real puede representarse como un sistema analítico de barras simplificado y cuyo comportamiento es equivalente (ver Figura 2)

Figura 2: Modelo analítico equivalente propuesto

PROPUESTA PARA MODELO ANALÍTICO DE BARRAS EQUIVALENTE

Como se ha comentado anteriormente, son necesarios modelos simplificados con objeto de obtener el comportamiento con fórmulas simplificadas. El modelo establecido en Eurocódigo [1] sólo considera la rigidez axial. Sin embargo modelos de elementos finitos y ensayos experimentales demuestran el comportamiento a flexión del tornillo (ver Figura 3).

Figura 3: Flexión de tornillos en ensayo experimental (izquierda) y en modelo de elementos finitos (derecha)

En el presente trabajo se propone un modelo simplificado (ver Figura 2) en el que el comportamiento del tornillo es simulado mediante resortes lineales con rigidez axial y a flexión, y cuyas propiedades geométricas y mecánicas (área e inercia) son las que se citan en las fórmulas (1) y (2):

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝜋𝜋𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒2

4

(1)

(2)

En el caso de las alas de los perfiles, también son adoptadas propiedades equivalentes. La distancia interior m es considerada igual a la establecida por el Eurocódigo [1], que es la distancia desde el eje del tornillo hasta el inicio del radio de acuerdo ala-alma más un 20% de dicho radio. Como sección efectiva se considera una sección de espesor igual al espesor del ala del perfil y de ancho igual a dos veces la distancia m (fórmula propuesta por C. Faella [4]);

𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒 =𝜋𝜋𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒4

64=

14𝜋𝜋

𝜋𝜋𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒2

4𝜋𝜋𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒2

4=

14𝜋𝜋

𝐴𝐴𝑒𝑒𝑒𝑒2

mediante un modelo de elementos finitos simplificado en el que el ala es simulado con elementos lámina y el tornillo mediante un elemento barra, se puede constatar de forma cualitativa que el ancho efectivo es el propuesto por el autor (ver Figura 4), ya que puede observarse que el flujo de tensiones se encuentra en direcciones orientadas aproximadamente a 45º respecto al eje del tornillo.

Figura 4: Modelo de elementos finitos simplificado para validación de propuesta de C. Faella [5]

Una vez establecidos los parámetros geométricos y mecánicos del modelo simplificado, puede procederse a la construcción de la matriz de rigidez del sistema:

�

𝐹𝐹000

� = 𝐸𝐸

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 −

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 0

−12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 +

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛3 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢 −

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 −

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2

4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚

+4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛

+ 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃2𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛

06𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2

2𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛

4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

�

𝑢𝑢1𝑢𝑢𝑢𝑢2𝑢𝑢𝜑𝜑2𝑦𝑦𝜑𝜑3𝑦𝑦

�

(3)

Siendo Kb,uz y Kb,θ las rigideces axial y a flexión del tornillo, respectivamente. Mediante inversión de la matriz de rigidez del sistema, y despejando el desplazamiento vertical del nodo 1, se puede obtener la rigidez elástica del sistema como el cociente entre la fuerza aplicada F y dicho desplazamiento, quedando la expresión de la siguiente forma (4):

𝐾𝐾𝑇𝑇−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑏𝑏 ,𝑝𝑝𝑝𝑝 =12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑝𝑝 �3𝐼𝐼𝑝𝑝2 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚𝑛𝑛3 + 𝐼𝐼𝑝𝑝 �3𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛2(3𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)��

𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚4𝑛𝑛3 + 12𝐼𝐼𝑝𝑝2(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)3 + 𝐼𝐼𝑝𝑝 �𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑚𝑚3𝑛𝑛2(3𝑚𝑚 + 4𝑛𝑛) + 3𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃(𝑚𝑚4 + 4𝑚𝑚𝑛𝑛3)�

(4)

Para determinadas relaciones de las características geométricas del perfil del ala (principalmente el espesor tf) puede ocurrir que en el modelo analítico las fuerzas de palanca tengan un valor negativo. Esta situación no tiene sentido físico puesto que no existe realmente elemento que tienda a juntar las chapas en los extremos. Por tanto es preciso construir un sistema alternativo en el que se tenga en cuenta dicha consideración (que se anule el nodo 3). Para este sistema sin fuerzas de palanca el valor de la rigidez queda como sigue (Fórmula (5)):

𝐾𝐾𝑇𝑇−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑏𝑏 ,𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 =12𝐸𝐸𝐼𝐼𝑝𝑝𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢 �𝐼𝐼𝑝𝑝 + 𝑚𝑚𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃�

12𝐼𝐼𝑝𝑝2 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚4 + 4𝐼𝐼𝑝𝑝�3𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑚𝑚3�

(5)

Así pues para el análisis de la rigidez previamente se desarrolla un procedimiento, en el que previamente se evalúa la resultante de las fuerzas de palanca entre chapas, que es determinada a través del sistema como la Fórmula (6):

𝑄𝑄 =3𝐹𝐹𝐼𝐼𝑝𝑝 �−2𝐼𝐼𝑝𝑝 + 𝑚𝑚�−2𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃 + 𝑚𝑚𝑛𝑛𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢 ��

2 �3𝐼𝐼𝑝𝑝2 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚𝑛𝑛3 + 𝐼𝐼𝑝𝑝 �3𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃𝑚𝑚 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑛𝑛2(3𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)��

(6)

En caso de ser positiva se emplea la Fórmula (4) para el análisis de la rigidez y en caso de ser negativa la Fórmula (5), como se observa en la Figura 5:

Figura 5: Procedimiento para cálculo de rigidez

JUSTIFICACIÓN DEL NUEVO MODELO PROPUESTO

El procedimiento detallado previamente es comparado con otros dos modelos definidos en la literatura: el definido en el Eurocódigo 3 [1], en el que sólo es considerada la rigidez axial de los tornillos; y un segundo modelo que es el establecido por A. Loureiro et al. [5], en el que es considerada la rigidez a flexión del tornillo pero donde las condiciones de simetría del tornillo son establecidas como un empotramiento en el que son coaccionados los dos desplazamientos (vertical y horizontal) y el giro. Así pues pueden representarse los resultados de los tres modelos en un diagrama de barras, para 18 ensayos experimentales publicados en [4]:

Figura 6: Resultados experimentales [4] y según modelos de Eurocódigo [1], de A. Loureiro [5] y el propuesto en el presente trabajo

K= KT-stub,pf

Resolver sistema con fuerzas de palanca

Si Q>0

K= KT-stub,npf

Si Q<0

PROPUESTA DE MODELO DE TORNILLO

De los estudios desarrollados para el análisis de los modelos de T-equivalente (“T-stub”) pueden deducirse las características de rigidez axial y a torsión. Así pues se puede establecer los sistemas matriciales para el elemento de T-equivalente considerando al tornillo como un resorte lineal de rigidez axial y a flexión (Figura 3) y como una barra vertical de longitud Lb, por lo que se puede igualar la segunda fila de la matriz, obteniendo la siguiente expresión (Fórmula (7)):

−12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 𝑢𝑢1𝑢𝑢 + �

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 +

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛3 +

𝐴𝐴𝑏𝑏𝐿𝐿𝑏𝑏�𝑢𝑢2𝑢𝑢 + �−

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 �𝜑𝜑2𝑦𝑦 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 𝜑𝜑3𝑦𝑦 = −

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 𝑢𝑢1𝑢𝑢 + �

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚3 +

12𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛3 + 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢𝑢𝑢 � 𝑢𝑢2𝑢𝑢 + �−

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 �𝜑𝜑2𝑦𝑦 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 𝜑𝜑3𝑦𝑦

(7)

De esta ecuación (7), despejando el valor de Ku,bz se obtiene el valor de la rigidez axial (Fórmula (8)):

𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝑢𝑢 =𝐴𝐴𝑏𝑏𝐿𝐿𝑏𝑏

(8)

Procediendo de igual forma en la fila 3 de los sistemas, puede obtenerse la siguiente igualdad (Fórmula (9)):

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 𝑢𝑢1𝑢𝑢 + �−

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 � 𝑢𝑢2𝑢𝑢 + �

4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚

+4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛

+4𝐼𝐼𝑏𝑏𝐿𝐿𝑏𝑏�𝜑𝜑2𝑦𝑦 +

2𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝜑𝜑3𝑦𝑦 +

6𝐼𝐼𝑏𝑏𝐿𝐿𝑏𝑏2

𝑢𝑢4𝑥𝑥 =6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 𝑢𝑢1𝑢𝑢 + �−

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚2 +

6𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛2 � 𝑢𝑢2𝑢𝑢 + �

4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑚𝑚

+4𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛

+ 𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃� 𝜑𝜑2𝑦𝑦 +2𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝜑𝜑3𝑦𝑦

(9)

Y despejando la rigidez a flexión del tornillo, se puede evaluar como sigue (Fórmula (10)):

𝐾𝐾𝑏𝑏 ,𝜃𝜃 =𝐼𝐼𝑏𝑏𝐿𝐿𝑏𝑏

(10)

La importancia de definir un modelo de tornillo simplificado reviste en su uso en análisis más complejos (como por ejemplo en uniones T-equivalente con 4 columnas de tornillos [7] o en uniones con cualquier configuración).

CONCLUSIONES

En el presente artículo se ha propuesto un modelo de tornillo equivalente para el modelado de uniones atornilladas en 2 dimensiones y bajo condiciones de simetría. Debido a la asimetría de los tornillos es preciso definir una elemento equivalente con objeto de considerar todos los efectos que se anulan en las simplificaciones de simetría y/o reducción de elementos que se realizan. En este trabajo se ha expuesto un modelo basado en un diámetro equivalente. Esta propuesta tiene la ventaja con respecto a otras anteriores en que facilita el trabajo de modelado en el caso de estructuras que no tengan consideraciones de simetría o en el modelado del tornillo como elemento barra en modelos con sólidos, por ejemplo. Finalmente se ha realizado una comparativa con los diferentes modelos propuestos y se establecen las siguientes conclusiones:

1) El modelo propuesto por el Eurocódigo 3 es claramente un modelo no válido. La consecuencias principales son que no considera la rigidez a flexión del tornillo y que estima un ancho efectivo igual al 90% del ancho total del elemento.

2) El modelo propuesto por A. Loureiro tiene una mayor aproximación (media de 1,03 frente a 0,77 en el propuesto). Sin embargo cabe destacar que es debido a que el ancho efectivo es evaluado como un ajuste de funciones a la función valor, obteniendo expresiones que carecen de sentido físico. Por tanto el empleo de características muy diferentes a las empleadas (por ejemplo diámetros de tornillos) pueden inducir a que el modelo propuesto no sea válido.

3) El modelo propuesto por A. Loureiro tiene una desviación típica similar al modelo propuesto (0,12 frente a 0,16). En el modelo propuesto por A. Loureiro en una gran cantidad de casos sobrestima el valor de la rigidez (hasta un 22%) mientras que el propuesto en todos los casos la rigidez es subestimada excepto en los ensayos 1, 3 y 4, por lo que se obtienen expresiones mejores desde el punto de vista de la seguridad estructural.

Como trabajos futuros que complementen al presente artículo, pueden destacarse los que se citan a continuación: 1) Desarrollar un programa experimental que contemple diferentes geometrías de tornillos y de calidades de

acero, con objeto de contrastar las asunciones establecidas en los modelos analíticos. Este programa experimental contemplará el funcionamiento de los tornillos bajo cargas que produzcan esfuerzo axil y de flexión.

2) Extender el concepto de tornillo de diámetro equivalente a tornillo con parte roscada y parte no roscada. 3) Desarrollar una parametrización con modelos de elementos finitos sólidos, previa calibración con los

resultados experimentales obtenidos. 4) Estudiar el efecto del pretensado del tornillo en el modelo propuesto

REFERENCIAS

1. CEN, Eurocode 3: Design of steel structures, Part 1.8: Design of joints. EN-1993-1-8. Brusels: European Committee for Standardization, 2005.

2. O. S. Bursi & J. P. Jaspart, Benchmarks for Finite Element Modelling of Bolted Steel Connections, Journal of Constructional Steel Research, vol. 43, pp. 17-42, 1997.

3. Charis J. Gantes y Minas. E. Lemonis, Influence of equivalent bolt length in finite element modeling of T-stub steel connections, Computers and Structures, vol. 81, pp. 595-604, 2003.

4. C. Faella, V. Piluso, y G. Rizzano, Structural Steel Semirigid Connections, CRC Press, 2000. 5. A. Loureiro, R. Gutiérrez, J. M. Reinosa y A. Moreno, Axial stiffness prediction of non-preloaded T-stubs: An

analytical frame approach, Journal of Constructional Steel Research, vol. 66, pp. 1516-1522, 2010. 6. J. J. Jiménez de Cisneros, Un nuevo modelo de rigidez para componentes T-equivalente (“T-stub components”)

en uniones metálicas atornilladas. Ms. C. Thesis, Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de Granada, Granada, 2010.

7. J. J. Jiménez de Cisneros, L. Simões da Silva y J. D. Carazo, Stiffness of T-stub components with 4 lines of bolts, 6th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL 2011, vol. A, pp. 561-566, Budapest – Hungría,

UNIDADES Y NOMENCLATURA E módulo de Young (N/mm2) Aeq área equivalente del vástago del tornillo (mm2) deq área equivalente del vástago del tornillo (mm) Ieq inercia equivalente del vástago del tornillo (mm4) m distancia equivalente del centro del tornillo al empotramiento que simula las condiciones de simetría (mm) n distancia equivalente del centro del tornillo al punto de aplicación de las fuerzas de palanca (mm) b ancho del modelo T-equivalente (mm) beff ancho efectivo del modelo T-equivalente (mm) tf espesor del ala del modelo T-equivalente (mm) Lb longitud equivalente del tornillo (mm) KT-stub rigidez del modelo T-equivalente (kN/mm) Q resultante de las fuerzas de palanca (kN) Kb.uz rigidez axial del tornillo (kN/mm) Kb,θ rigidez torsional del tornillo (kN/rad)