ELO 313 - Certamen #2

Procesamiento digital de sen"ales con aplicaciones

Primer Semestre 2017Profesor: Matias Zafiartu, Ph.D.

Fecha: 7 de Junio de 2016

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ESPERE INSTRUCCIONESANTES DE COMENZAR

Certamen #2

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Problema 1. (40 puntos)

a. La relacio’n entre la DTFT y la DFT establece que un muestreo uniforme en la frecuencia continuacon N puntos equidistantes genera una serial perio’dica de periodo N en el dorm'nio del tiempo. Deesta forma, si la DTFT de una sefial esta' dada por X (w) = 1 — 6—3.5“) y se muestrea con N = 5,encuentre una expresio’n compacta para la sen”a1 perio’dica en el tiempo resultante. (10 puntos)

b. Un sistema LTl cuya DTFT de la respuesta de impulso es H(w) toma como entrada a la sefialdada por = Zm°°=oo 6(n — mN Si calculamos Y(N)]k], la DFT de N puntos de la salida y]n] para0 <_ n _< N — 1, b‘cua’l seria la relacio’n entre esta expresio’n Y(N) [k] y H(w)? L‘Co’mo cambia estarelacio’n si doblamos el nu’mero de puntos de la DFT? (10 puntos)

c. Considere una sen"al x]n] de largo L = 4, es decir ac]n] = 0 para n < 0 y n > 3, y un filtro FIR conrespuesta de impulse h]n] de largo M —— 5 , es decir h[n] = 0 para n < 0 y n > 4. Al multiplicarlas DFT de 6 puntos de cada senal se obtiene el espectro Y(6)]k] = X (6) [k]H(6) [k], el cual tiene unaIDFT de 6 puntos dada por 31(6) [n] = [3, 3, 3,4,4, 3], para n = 0,1, ..,5. Por otro lado, a1 tomar lasDFT de 5 puntos de cada serial se obtiene el espectro Y(5)[k] = X(5) [k]H(5) [k], el cual tiene una IDFTde 5 puntos dada por 31(5) [n] = ]4, 4, 4,4,4], para n = O, 1, ..,4. Dadas las secuencias y(6)[n] 6 11(5) [n],encuentre la secuencia que representa la convolucio’n lineal, y[n] = m]n] * h]n]. (20 puntos)

Problema 2. (40 puntos)

a. Considere X(N) [k], 1a DFT de N puntos de la sefial 11:]n]. Si definimos la secuencia y]n] de largo 2Ncomoz

si n es par

0 si n es impar,

exprese Y(2N)]k], 1a DFT de 2N puntos de y]n], en funcio’n de X(N) (20 puntos)

b. Considere X (2N) [19], 1a DFT de 2N puntos de la serial m]n]. Si definimos la secuencia y]n] de largo Ncomo:

ylnl = 96W],exprese Y(N) [k], 1a DFT de N puntos de y]n], en funcio’n de X(2N) (20 puntos)

Problema 3. (20 puntos)

La resolucio’n espectral de una ventana w[n] que multiplica a una sen"al cc]n] se asocia a la capacidadde distinguir' dos tonos puros distintos en la sefial :v]n], lo que se logra en el primer nulo en la magnituddel espectro de la ventana. Con esta informacio’n en mente, considere que se desea realizar un ana’lisisespectral de una senal ana’loga, la cual tiene un ancho de banda de Nyquist (DC a frnax) de 3 kHz,utilizando una FFT radix-2 y con una resolucio'n espectral de al menos 50 Hz.

a. L'Cua’l debiese ser tanto la frecuencia de muestreo y el nu'mero de muestras minimos a considerar paracumplir con esto? L‘Cua’l es el tiempo minimo de grabacio’n a considerar? b‘Co’mo cambian estos valoressi se considera el caso con el doble de la frecuencia de muestreo minimo? (10 puntos)

b. LCo’mo cambia todo lo anterior, si previo a1 ana’lisis la senal se multiplica por una ventana triangular?(10 puntos)

UTFSM - ELO313 - 2017-1 Certamen #2

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