Unmsm fisi - estudio de casos de problemas de programación lineal - io1 cl05

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Estudio de casos de problemas de

Programación Lineal

Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

Investigación Operativa I

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CASO 1: ASIGNACION DE RECURSOS AGRICOLAS

Una Cooperativa opera 3 granjas.Los datos acerca de las granjas son las siguientes:

TERRENO AGUAUTILIZABLE DISPONIBLE

(ha) (m3)1 700 20002 800 24003 600 1500

GRANJA

La Cooperativa considera sembrar 4 productos A, B, Cy D.

Estudio de Casos de PPL

2

3

No se puede mostrar la imagen en este momento.

CANTIDAD CONSUMO UTILIDADMAXIMA DE DE ESPERADATERRENO AGUA POR HECTAREA

(ha) (m3/ha) ($)A 500 5 2000B 700 4 1500C 400 3 1000D 600 4 1500

PRODUCTO

Además para mantener una carga uniforme de trabajo,se establece que en todas las granjas se debe utilizar elmismo porcentaje de terreno.

Determine el plan óptimo de sembrío para maximizar lautilidad esperada.


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SOLUCION:

Determinando los posibles sembrios en cada granja:

1 2 3

A A1 A2 A3B B1 B2 B3C C1 C2 C3D D1 D2 D3


3

5

1

2

3

A

B

C

D

PRODUCTOS

GRANJAS

A1A2

A3B1

B2B3C1

C2C3

D2D1

D3


6

Variables de decisión:

Ai i = 1, 2, 3

Bi i = 1, 2, 3

Ci i = 1, 2, 3

Ejemplo

C2: número de hectáreas a sembrar del producto C enla granja 2


4

7

Restricciones:

Por terreno utilizableA1 + B1 + C1 + D1 ≤ 700

A2 + B2 + C2 + D2 ≤ 800

A3 + B3 + C3 + D3 ≤ 600

5 A3 + 4 B3 + 3 C3 + 4 D3 ≤ 1500

Por agua disponible5 A1 + 4 B1 + 3 C1 + 4 D1 ≤ 2000

5 A2 + 4 B2 + 3 C2 + 4 D2 ≤ 2400


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Por cantidad máxima a sembrar de cada productoA1 + A2 + A3 ≤ 500

B1 + B2 + B3 ≤ 700

C1 + C2 + C3 ≤ 400

7 A3 + 7 B3 + 7 C3 + 7 D3 – 6 A1 – 6 B1 – 6 C1 – 6 D1 = 0

Por carga uniforme de trabajo

8 A1 + 8 B1 + 8 C1 + 8 D1 – 7 A2 – 7 B2 – 7 C2 – 7 D2 = 0

8 A3 + 8 B3 + 8 C3 + 8 D3 – 6 A2 – 6 B2 – 6 C2 – 6 D2 = 0

D1 + D2 + D3 ≤ 600

6003D3C3B3A

8002D2C2B2A

7001D1C1B1A +++

=+++

=+++


5

9

Por no negatividadA1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3 ≥ 0

Función objetivo:Maximizamos la utilidadMax Z = 2000 (A1 + A2 + A3) + 1500 (B1 + B2 + B3) + 1000 (C1 + C2 + C3) +

1500 (D1 + D2 + D3)


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Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro yen la popa. Los límites de capacidad son:

CapacidadPeso Volumen(Ton) (Pies3)

Proa 2,000 100,000Centro 3,000 135,000Popa 1,500 30,000

Bodega

CASO 2: CARGA DEL BARCO


6

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Se ofrecen los siguientes cargamentos y los dueños delos barcos pueden aceptar el total o una porcióncualquiera de cada artículo.

Cantidad GanaciaPeso Vol/Ton por Ton(Ton) (Pies3) ($)

A 6,000 60 6B 4,000 50 8C 2,000 25 5

Artículo


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Para preservar el equilibrio de barco, el peso en cadabodega debe ser proporcional a la capacidad entoneladas.

¿Cómo debe distribuirse la carga para hacer máxima laganancia?


7

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La siguiente gráfica permite visualizar el problema eidentificar las variables de decisión.

POPA

CENTRO

PROA

A

B

C

A1

A2A3

B1B2

B3

C1 C2

C3

SOLUCION:


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Ai i = 1, 2, 3

Bi i = 1, 2, 3

Ci i = 1, 2, 3

Ejemplo

C1: cantidad de toneladas del producto C que setransporta en la bodega 1 (proa)

i = 1 (Proa), 2 (Centro) y 3 (Popa)


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Por límite de cantidad de artículosRestricciones

Por límite de capacidad de peso del barco

A1 + A2 + A3 ≤ 6000

B1 + B2 + B3 ≤ 4000

C1 + C2 + C3 ≤ 2000

A1 + B1 + C1 ≤ 2000

A2 + B2 + C2 ≤ 3000

A3 + B3 + C3 ≤ 1500


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Por límite de capacidad de volumen del barco

Por equilibrio del barco

60 A1 + 50 B1 + 25 C1 ≤ 100000

60 A2 + 50 B2 + 25 C2 ≤ 135000

60 A3 + 50 B3 + 25 C3 ≤ 30000

500,13C3B3A

000,32C2B2A

000,21C1B1A ++

=++

=++

3 A1 + 3 B1 + 3 C1 – 2 A2 – 2 B2 – 2 C2 = 0

2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – 1.5 A1 – 1.5 B1 – 1.5 C1 = 0

2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – A2 – B2 – C2 = 0


9

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Por no negatividadA1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 ≥ 0

Función objetivo:Maximizamos la gananciaMax Z = 6 A1 + 6 A2 + 6 A3 + 8 B1 + 8 B2 + 8 B3 + 5 C1 + 5 C2 + 5 C3


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CASO 3: PROBLEMA DE LOS CORTES DE PAPEL

Una compañía papelera produce rollos de 3dimensiones:

Rollo Dimensión(cm.)

A 100B 150C 200


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La compañía tiene los siguientes pedidos de papel:

Dimensión Cantidad pedida(cm.) (und.)

50 18070 20080 15090 80


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Además se sabe que para la próxima semana sólo setendrán disponibles:

Rollo Disponible(und.)

A gran cantidadB 115C 90

Plantee un modelo para determinar una planificaciónóptima de cortes y resuelva utilizando LINDO/PC.


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SOLUCION:

Determinando las modalidades de cortes

Rollo A = 100 cm.Corte A1 A2 A3 A450 cm 2 - - -70 cm - 1 - -80 cm - - 1 -90 cm - - - 1

Desperdicio 0 30 20 10


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Rollo B = 150 cm.Corte B1 B2 B3 B4 B5 B650 cm 3 1 1 1 - -70 cm - 1 - - 2 180 cm - - 1 - - 190 cm - - - 1 - -

Desperdicio 0 30 20 10 10 0

Rollo C = 200 cm.Corte C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C1050 cm 4 2 2 2 1 1 - - - -70 cm - 1 - - 2 1 1 - - -80 cm - - 1 - - 1 - 2 1 -90 cm - - - 1 - - 1 - 1 2

Desperdicio 0 30 20 10 10 0 40 40 30 20


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Ai i = 1, 2, 3, 4

Bi i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Ejemplo

C5: número de veces que se utiliza el proceso decorte C5


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Restricciones:

Por cantidad pedida2 A1 + 3 B1 + B2 + B3 + B4 + 4 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 2 C4 + C5 + C6 = 180

A2 + B2 + 2 B5 + B6 + C2 + 2 C5 + C6 + C7 = 200

A3 + B3 + B6 + C3 + C6 + 2 C8 + C9 = 150

A4 + B4 + C4 + C7 + C9 + 2 C10 = 80

Por disponibilidadB1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 ≤ 115

C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 + C8 + C9 + C10 ≤ 80


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Por enteros no negativosA1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5, B6, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9,C10 enteros ≥ 0

Función objetivo:Minimizamos el desperdicioMin Z = 30 A2 + 20 A3 + 10 A4 + 30 B2 + 20 B3 + 10 B4 + 10 B5 + 30 C2 + 20

C3 + 10 C4 + 10 C5 + 40 C7 + 40 C8 + 30 C9 + 20 C10


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CASO 4: SELECCIÓN DE PROYECTOS

Una compañía tiene que escoger un conjunto deproyectos de la siguiente lista para un horizonte deplaneación de 3 años.

Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total,pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquierade los 3 años.

Unidad monetaria: $ 1000.


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AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3

1 30 80 10 80

2 40 70 50 96

3 50 60 70 88

4 60 60 10 92

5 70 40 10 76

6 20 30 90 87

7 20 50 20 78

8 25 80 60 81

9 40 20 15 94

PRESUPUESTO 300 320 220

PROYECTOREINVERSIONES VALOR

PRESENTE NETO


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Unidad monetaria: $ 1000.

Además se dan las siguientes condiciones:

a) La compañía debe escoger de todas maneras unode los proyectos 1 o 9, (o ambos).

b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces elproyecto 8 también debe ser seleccionado.

c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados ala vez.


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SOLUCION:Variables de decisión:


⎩⎨⎧= 01Pi si el Proyecto i es seleccionado

en caso contrario

i = 1, 2, 3, ...., 9

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Restricciones:

Por presupuesto30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300

80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320

10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220

Por selección del proyecto 1 o 9P1 + P9 ≥ 1


Por posible selección de los proyectos 6 y 8P6 - P8 ≤ 0

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Por binariosP1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1}

Función objetivo:Maximizamos el Valor presente NetoMax Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94

P9


Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vezP1 + P3 ≤ 1

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CASO 5: PLANIFICACION FINANCIERA

Un inversionista dispone de un capital de $ 100,000 ytrata de determinar en que actividades le será másconveniente invertir durante un horizonte deplanificación de 6 años.


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Plantee un modelo de Programación Lineal paradeterminar un plan óptimo de inversiones.

A 1, 2, 3, 4, 5 1.4 al cabo de 2 años

B 1, 2, 3, 4 1.6 al cabo de 3 años

C 6 1.3 al cabo de 1 año

D 2, 3 1.8 al cabo de 4 años

E 4 1.8 al final del año 6

RETORNO POR CADA DÓLAR INVERTIDO

ACTIVIDADDISPONIBLE A INICIO DEL

AÑO


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SOLUCION:Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad A:


año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6

A1 A2 A3 A4 A5

18

35

Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad B:



B1 B2 B3 B4

Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad C:


C6

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Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad D:


Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad E:


D2 D3


E4

19

37


Ai i = 1, 2, 3, 4, 5Bi i = 1, 2, 3, 4Ci i = 6

Ejemplo

B2: cantidad a invertir en la actividad B a inicio delaño 2.


Di i = 2, 3Ei i = 4

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1 100,000 A1 + B1 S1

2 S1 A2 + B2 + D2 S2

3 S2 + 1.4 A1 A3 + B3 + D3 S3

4 S3 + 1.4 A2 + 1.6 B1 A4 + B4 + E4 S4

5 S4 + 1.4 A3 + 1.6 B2 A5 S5

6 S5 + 1.4 A4 + 1.6 B3 + 1.8 D2 C6 S6

CANTIDAD DISPONIBLE A INICIO DEL AÑO i

CANTIDAD A INVERTIR EN EL

AÑO i

CANTIDAD DISPONIBLE AL FINAL DEL AÑO i

AÑO i

20

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Restricciones:

Por planes seleccionadosA1 + B1 + S1 = 100000

A2 + B2 + D2 + S2 – S1 = 0

A3 + B3 + D3 + S3 – S2 – 1.4 A1 = 0

A4 + B4 + E4 + S4 – S3 – 1.4 A2 – 1.6 B1 = 0


Por no negatividadA1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C6, D2, D3, E4 ≥ 0

A5 + S5 – S4 – 1.4 A3 – 1.6 B2 = 0

C6 + S6 – S5 – 1.4 A4 – 1.6 B3 – 1.8 D2 = 0

40

Función objetivo:Maximizamos el retornoMax Z = S6 + 1.4 A5 + 1.6 B4 + 1.3 C6 + 1.8 D3 + 1.8 E4


21

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CASO 6: PROGRAMACION DE TURNOS DEVIGILANTES

Una compañía requiere la siguiente cantidad devigilantes durante las 24 horas de cada día.

2 - 6 86 - 10 610 - 14 714 - 18 1018 - 22 1222 - 2 9

HORAS CANTIDAD MINIMA


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Cada vigilante trabaja 8 horas/día en forma continua ycobra según los siguientes turnos:


Plantee un modelo de Programación Lineal paraminimizar el costo de vigilantes necesarios para cubrirlos requerimientos.

TURNO PERIODO Costo-hora ($)1 6 - 14 102 14 - 22 123 22 - 6 18

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SOLUCION:Grafiquemos el requerimiento de vigilantes:


2 6 10 14 18 22 2

76 10 12 98

Los posibles ingresos de vigilantes:2 6 10 14 18 22 2

76 10 12 98V2 V6 V10 V14 V18 V22

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2 6 10 14 18 22 2

V2

V6

V10

V14

V18

V22

23

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V2, V6, V10, V14, V18, V22

Ejemplo

V10: número de vigilantes que entran a trabajar a las10.


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Restricciones:

Por cubrimientoV2 + V6 ≥ 6

V6 + V10 ≥ 7

V10 + V14 ≥ 10

V14 + V18 ≥ 12


Por no negatividadV2, V6, V10, V14, V18, V22 enteros ≥ 0

V18 + V22 ≥ 9

V2 + V22 ≥ 8

24

47


2 6 10 14 18 22 2

TURNO 3

V2 V6 V10 V14 V18 V22

TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3

VIGILANTES TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 TOTALV2 40 72 112V6 80 80V10 40 48 88V14 96 96V18 48 72 120V22 144 144

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Función objetivo:Minimizamos el pago por vigilantesMin Z = 112 V2 + 80 V6 + 88 V10 + 96 V14 + 120 V18 + 144 V22


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