Unmsm fisi - casos especiales de problemas de programación lineal - io1 cl07

1

Casos Especiales de Problemas de

Programación Lineal

Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

Investigación Operativa I

Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I2

Casos Especiales

Según laregión factible que

se forma

2


REGION FACTIBLE ACOTADA:Una región factible es acotada si queda representadapor una región cerrada.

Ejemplo

Graficar el siguiente conjunto de restricciones:

Casos Especiales

16xx2 21 ≤+

04x5x2 21 ≤+

0x,x 21 ≥


Casos Especiales

REGIONFACTIBLEACOTADA

X2

X1

85

6

8

3


REGION FACTIBLE NO ACOTADA:Una región factible es no acotada si quedarepresentada por una región abierta.

Ejemplo


Casos Especiales

50x7x2- 21 ≤+

12x3x4- 21 ≤+

0x,x 21 ≥


Casos Especiales

REGIONFACTIBLE

NO ACOTADAX2

X1

(10,10)

3

4

8

4


Ejemplo


Casos Especiales

7xx2 21 ≥+

27x7x3 21 ≥+

0x,x 21 ≥


Casos Especiales

X2

X1

REGIONFACTIBLE

NO ACOTADA

3

7

92

5


NO SE FORMA REGION FACTIBLE:El conjunto de restricciones no forma una regiónfactible. Decimos que la región factible es un conjuntovacío.

Ejemplo


Casos Especiales

40x8x5 21 ≤+

72x9x8 21 ≥+

0x,x 21 ≥


Casos Especiales

NO SE FORMAREGION

FACTIBLEX2

X18

5

8

9

6


RESTRICCION REDUNDANTE:Una restricción es redundante cuando no participa en ladelimitación de la región factible. El sistema puede serresuelto sin esta restricción.

Ejemplo


Casos Especiales

40x8x5 21 ≤+

72x9x8 21 ≤+

0x,x 21 ≥


Casos Especiales

X2

X1

RESTRICCIÓNREDUNDANTE

8

5

8

9

7


Casos Especiales

Según lasolución del

P.P.L.


SOLUCION UNICA:El P.P.L. presenta una única solución óptima.

Ejemplo

Determinar la solución óptima de:

Casos Especiales

0x,x 21 ≥

21 x5x5ZMax +=sujeto a

16xx2 21 ≤+04x5x2 21 ≤+

8


Casos Especiales

X2

X1

SOLUCIÓNÚNICA

85

6

8


Casos Especiales

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0 0x3 0 2 5 1 0 40 20x4 0 2 1 0 1 16 8

1 0 -5/2 0 5/2 40x3 0 0 4 1 -1 24 6x1 5 1 1/2 0 1/2 8 16

1 0 0 5/8 15/8 55x2 5 0 1 1/4 -1/4 6x1 5 1 0 -1/8 5/8 5

Θ

9


Casos Especiales

5x1 =Solución:

6x2 =0x3 =0x4 =

55Z =


Ejemplo


Casos Especiales

7xx2 21 ≥+27x7x3 21 ≥+

0x,x 21 ≥

21 x5x5ZMin +=sujeto a

10


Casos Especiales

X2

X1

3

7

92


Casos Especiales

Primera Fase:

Z x1 x2 x3 x4 w1 w2 Sol.Z 1 0 0 0 0 -1 -1

w1 1 3 7 -1 0 1 0 27w2 1 2 1 0 -1 0 1 7

1 5 8 -1 -1 0 0 34w1 1 3 7 -1 0 1 0 27 3,86w2 1 2 1 0 -1 0 1 7 7,00

1 11/7 0 1/7 -1 -8/7 0 22/7x2 0 3/7 1 -1/7 0 1/7 0 27/7 9,00w2 1 11/7 0 1/7 -1 -1/7 1 22/7 2,00

1 0 0 0 0 -1 -1 0x2 0 0 1 -2/11 3/11 2/11 -3/11 3x1 0 1 0 1/11 -7/11 -1/11 7/11 2

Θ

11


Casos Especiales

Segunda Fase:

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0x2 5 0 1 -2/11 3/11 3x1 5 1 0 1/11 -7/11 2

1 0 0 -5/11 -20/11 25x2 5 0 1 -2/11 3/11 3x1 5 1 0 1/11 -7/11 2

Θ


Casos Especiales

2x1 =Solución:

3x2 =0x3 =0x4 =

25Z =

12


MÚLTIPLES SOLUCIONES:El P.P.L. presenta más de una solución óptima.

Ejemplo


Casos Especiales

0x,x 21 ≥


16xx2 21 ≤+04x5x2 21 ≤+


Casos Especiales

X2

X1

MÚLTIPLESSOLUCIONES

85

6

8

13


Casos Especiales

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 2 5 1 0 40 8,00x4 0 2 1 0 1 16 16,00

1 0 0 2 0 80x2 10 2/5 1 1/5 0 8x4 0 8/5 0 -1/5 1 8

1 0 0 2 0 80x2 10 0 1 1/4 -1/4 6x1 4 1 0 -1/8 5/8 5

Θ


Casos Especiales

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0065

λ)(1

8080

λ

xxxx

4

3

2

1

Solución:

1λ0 ≤≤donde

14


Casos Especiales

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

407

2.5

0065

)5.0(1

8080

5.0

Ejemplo:0.5λ =

80)4(0)0(0)7(10)5.2(4Z =+++=


Casos Especiales

SOLUCIÓN NO ACOTADA:La solución del P.P.L. crece indefinidamente debido aque la búsqueda se realiza sobre una región noacotada. Este modelo no tiene solución.

Ejemplo



50x7x2- 21 ≤+12x3x4- 21 ≤+

0x,x 21 ≥

15


Casos Especiales

X2

X1

SOLUCIÓNNO ACOTADA

(10,10)

3

4

8


Casos Especiales

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0 0x3 0 -4 3 1 0 12 4,00x4 0 -2 7 0 1 50 7,14

1 -35/3 0 5/3 0 20x2 5 -4/3 1 1/3 0 4x4 0 22/3 0 -7/3 1 22

1 0 0 -45/22 35/22 55x2 5 0 1 -1/11 2/11 8x1 5 1 0 -7/22 3/22 3

Θ

16


Casos Especiales

La variable que debe ingresar a la base es x3, severifica la condición de optimalidad, pero no es posibleseleccionar una variable de salida, no se cumple lacondición de factibilidad. El modelo planteado nopresenta solución.


Casos Especiales

SOLUCIÓN SIN REGION FACTIBLE:El conjunto de restricciones no forma una regiónfactible. Este modelo no tiene solución.

Ejemplo



40x8x5 21 ≤+72x9x8 21 ≥+

0x,x 21 ≥

17


Casos Especiales

X2

X18

5

8

9


Casos Especiales

Z x1 x2 x3 x4 w1 Sol.Z 1 0 0 0 0 -1 0w1 1 8 9 -1 0 1 72x4 0 5 8 0 1 0 40Z 1 8 9 -1 0 0 72w1 1 8 9 -1 0 1 72 8,00x4 0 5 8 0 1 0 40 5,00Z 1 19/8 0 -1 -9/8 0 27w1 1 19/8 0 -1 -9/8 1 27 11,37x2 0 5/8 1 0 1/8 0 5 8,00Z 1 0 -19/5 -1 -8/5 0 8w1 1 0 -19/5 -1 -8/5 1 8x1 0 1 8/5 0 1/5 0 8

Θ

Primera Fase:

18


Casos Especiales

Se alcanza un tablero óptimo, pero la variable artificialno ha salido de la base. El modelo planteado nopresenta región factible.


SOLUCIÓN DEGENERADA:Una vez localizada la variable que ingresa, (condiciónde optimalidad, para casos de empate, se eligearbitrariamente cualquiera de ellas).

Para la variable de salida, (condición de factibilidad), siocurre un empate en los cocientes entre 2 o másvariables básicas, puede ocasionar un problema deciclaje, o el retorno a una solución anterior.

También origina que algunas variable básicas tomen elvalor cero.

Casos Especiales

19


Ejemplo


21 10xx4ZMax +=

40x8x5 21 ≤+30x6x5 21 ≤+

0x,x 21 ≥

sujeto a

Casos Especiales


Casos Especiales

2

1

X2

X1

20


Casos Especiales

La solución óptima resulta:

0x1 =5x2 =0x3 =0x4 =

50Z =

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 5 6 1 0 30 5

x4 0 5 8 0 1 40 5Z 1 4.333 0 1.667 0 50x2 10 0.833 1 0.167 0 5

x4 0 -1.667 0 -1.333 1 0

Θ


Casos Especiales

La solución óptima resulta:

0x1 =5x2 =0x3 = 0x4 =

50Z =

Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 5 6 1 0 30 5x4 0 5 8 0 1 40 5Z 1 2.25 0 0 1.25 50x3 0 1.25 0 1 -0.75 0x2 10 0.625 1 0 0.125 5

Θ

21


Ejemplo de E.M.L. Beale


4321 x6x5.0x02x75.0ZMax −+−=

0x3x0.5x12x0.5 4321 ≤+−−0x9xx8x0.25 4321 ≤+−−

0x,x,x,x 4321 ≥

sujeto a

Casos Especiales

1x3 ≤


Casos Especiales

Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sol. ΘZ 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0 0x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 0 -4 -3.5 33 3 0 0 0x1 0.75 1 -32 -4 36 4 0 0 0x6 0 0 4 1.5 -15 -2 1 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 0 0 -2 18 1 1 0 0x1 0.75 1 0 8 -84 -12 8 0 0 0x2 -20 0 1 0.375 -3.75 -0.5 0.25 0 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

22


Casos Especiales

Z 1 0.25 0 0 -3 -2 3 0 0x3 0.5 0.125 0 1 -10.5 -1.5 1 0 0x2 -20 -0.047 1 0 0.188 0.063 -0.125 0 0 0x7 0 -0.125 0 0 10.5 1.5 -1 1 1 0.095Z 1 -0.5 16 0 0 -1 1 0 0x3 0.5 -2.5 56 1 0 2 -6 0 0 0x4 -6 -0.250 5.333 0 1 0.333 -0.667 0 0 0x7 0 2.5 -56 0 0 -2 6 1 1Z 1 -1.75 44 0.5 0 0 -2 0 0x5 0 -1.25 28 0.5 0 1 -3 0 0x4 -6 0.167 -4 -0.167 1 0 0.333 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1


Casos Especiales

Después de 6 iteraciones se alcanza el tablero inicial.Decimos que ha ocurrido un ciclaje. Para resolver elciclaje se utilizan las reglas lexicográficas.

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