Unmsm fisi - el problema dual - io1 cl09-dualidad
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1 El Problema Dual Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I 2 El Problema Dual PROBLEMA 1.- Se desea averiguar las cantidades de ciertos alimentos que deben comerse para satisfacer ciertos requerimientos nutritivos a un costo mínimo. Supongamos que las consideraciones se limitan a leche, carne, huevos y a las vitaminas A, C y D. Supongamos que el número de miligramos de vitaminas contenidas en cada unidad de alimentos se da en la tabla siguiente:
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1
El Problema Dual
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
2
El Problema Dual
PROBLEMA 1.-Se desea averiguar las cantidades de ciertos alimentosque deben comerse para satisfacer ciertosrequerimientos nutritivos a un costo mínimo.Supongamos que las consideraciones se limitan aleche, carne, huevos y a las vitaminas A, C y D.
Supongamos que el número de miligramos devitaminas contenidas en cada unidad de alimentos seda en la tabla siguiente:
2
3
El Problema Dual
A 1 1 10 1C 100 10 10 50D 10 100 10 10
Costo en soles 40 44 20
VITAMINAMínimo
requerido a diario (mg)
Galón de leche
Libra de carne
Docena de huevos
4
El Problema Dual
SOLUCION.-
xL : cantidad de leche en galonesxC : cantidad de carne en librasxH : cantidad de huevos por docena
Variables de decisión
3
5
El Problema Dual
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina A:
110xxx HCL ≥++
Restricciones
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina C:
5010x10x100x HCL ≥++
Restricciones de no negatividad:
Restricción por requerimiento mínimo de vitamina D:
1010x100x10x HCL ≥++
0x,x,x HCL ≥
6
El Problema Dual
HCL 20x44x40xZMin ++=
Función objetivo
4
7
El Problema Dual
El programa queda:
sujeto a
HCL 20x44x40xZMin ++=
110xxx HCL ≥++5010x10x100x HCL ≥++1010x100x10x HCL ≥++
0x,x,x HCL ≥
8
El Problema Dual
Primera Fase:Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol.
Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10Z 1 111 111 30 -1 -1 -1 0 0 0 61w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1 1,00w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50 0,50w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10 1,00Z 1 0 999/10 189/10 -1 11/100 -1 0 -111/100 0 11/2w1 1 0 9/10 99/10 -1 1/100 0 1 -1/100 0 1/2 0,56xL 0 1 1/10 1/10 0 -1/100 0 0 1/100 0 1/2 5,00w3 1 0 99 9 0 1/10 -1 0 -1/10 1 5 0,05Z 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 0 -111/110 -111/110 5/11w1 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 1 -1/110 -1/110 5/11 0,05xL 0 1 0 1/11 0 -1/99 1/990 0 1/99 -1/990 49/99 5,44xC 0 0 1 1/11 0 1/990 -1/99 0 1/990 1/99 5/99 0,56
Θ
5
9
El Problema Dual
Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol.Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0xH 0 0 0 1 -11/108 0 0 11/108 0 0 5/108xL 0 1 0 0 1/108 -6/589 0 -1/108 6/589 0 53/108xC 0 0 1 0 1/108 0 -6/589 -1/108 0 6/589 5/108
Θ
10
El Problema Dual
Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol.Z 1 -40 -44 -20 0 0 0xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108
Θ
Segunda Fase:
6
11
El Problema Dual
La solución es:108/53xL =
108/5xC =108/5xH =
27/610Z =
0x1 =0x2 =0x3 =
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El Problema Dual
PROBLEMA 2.-Se desea averiguar a que precio, como máximo, sedeben vender las vitaminas A, C y D, de manera queresulten más convenientes que consumir lasalternativas: leche, carne y huevos, y satisfacer ciertosrequerimientos nutritivos .
Supongamos que el número de miligramos devitaminas contenidas en cada unidad de alimentos seda en la tabla siguiente:
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El Problema Dual
A 1 1 10 1C 100 10 10 50D 10 100 10 10
Costo en soles 40 44 20
VITAMINAMínimo
requerido a diario (mg)
Galón de leche
Libra de carne
Docena de huevos
14
El Problema Dual
SOLUCION.-
yA : precio por miligramo de vitamina AyC : precio por miligramo de vitamina CyD : precio por miligramo de vitamina D
Variables de decisión
8
15
El Problema Dual
Restricción por reemplazo del galón de leche:
4010yy100y DCA ≤++
Restricciones
Restricción por reemplazo de la libra de carne:
44100y10yy DCA ≤++
Restricciones de no negatividad:
Restricción por reemplazo de la docena de huevos:
2010y10y10y DCA ≤++
0y,y,y DCA ≥
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El Problema Dual
DCA 10y50yyWMax ++=
Función objetivo
9
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El Problema Dual
El programa queda:
sujeto a
DCA 10y50yyWMax ++=
4010yy100y DCA ≤++44100y10yy DCA ≤++2010y10y10y DCA ≤++
0y,y,y DCA ≥
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El Problema Dual
Resolviendo el PPL:
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 -1 -50 -10 0 0 0 0y1 0 1 100 10 1 0 0 40 0,400y2 0 1 10 100 0 1 0 44 4,400y3 0 10 10 10 0 0 1 20 2,000
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20
yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40
y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16
Θ
10
19
El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20
yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5 4,000y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40 0,404y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16 1,778
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99
yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495
yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99
y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11
Θ
20
El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99
yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495 39,556
yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99 44,444
y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11 1,259
Θ
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27
yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135
yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135
yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27
Θ
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El Problema Dual
La solución es:27/34yA =
135/47yC =135/53yD =
27/610W =
0y1 =0y2 =0y3 =
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El Problema Dual
El programa del Primal:s. a.
HCL 20x44x40xZMin ++=
110xxx HCL ≥++5010x10x100x HCL ≥++1010x100x10x HCL ≥++
0x,x,x HCL ≥
El programa del Dual:DCA 10y50yyWMax ++=
4010yy100y DCA ≤++44100y10yy DCA ≤++2010y10y10y DCA ≤++
0y,y,y DCA ≥
s. a.
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El Problema Dual
W yA yC yD y1 y2 y3 Sol.W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27
yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135
yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135
yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27
Θ
Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol.Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108
Θ
Tablero óptimo del Primal (modelo de minimización):
Tablero óptimo del Dual (modelo de maximización):
24
El Problema Dual
Reglas de transformaciónde un problema Primal
a un problema Dual
13
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Dado el siguiente PPL primal:
sujeto a321 x2x4x3ZMax −+=
12x3x12x4 321 ≤+−
40x6xx5- 321 −≥−+
0x1 ≥
10x2x4x3 321 =−+
El Problema Dual
6xx3x2- 321 ≤++
0x2 ≤ 3x irrestricta
1y
2y
3y
4y
Variables duales
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En el problema primal se observa que:
El Problema Dual
1) Es un modelo de Maximización2) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T3) Tiene 4 restricciones4) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 3 4 -2 ]5) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T6) La matriz de coeficientes tecnológicos es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2-436-15-132-312-4
A =
14
27
Reglas de Transformación.-Estas reglas se utilizan para determinar el problemadual a partir de un problema primal dado.
El Problema Dual
28
Regla 1El número de variables del problema dual es igual alnúmero de restricciones del problema primal.
El número de restricciones del problema dual es igual alnúmero de variables del problema primal.
El Problema Dual
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Regla 1
El Problema Dual
Problema primal1) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T2) Tiene 4 restricciones
Problema dual1) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T2) Tiene 3 restricciones
30
Regla 2Si el problema primal es un modelo de maximización, elproblema dual es un modelo de minimización.
Si el problema primal es un modelo de minimización, elproblema dual es un modelo de maximización.
El Problema Dual
16
31
El Problema Dual
Regla 2Problema primal1) Es un modelo de Maximización
Problema dual1) Es un modelo de Minimización
32
Regla 3El vector de coeficientes de la función objetivo en elproblema dual es igual al vector de recursos delproblema primal.
El Problema Dual
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El Problema Dual
Regla 3Problema primal1) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T
Problema dual1) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 2 6 -40 10 ]
34
Regla 4El vector de recursos en el problema dual es igual alvector de coeficientes de la función objetivo delproblema primal.
El Problema Dual
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El Problema Dual
Regla 4Problema primal1) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 3 4 -2 ]
Problema dual1) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T
36
Regla 5Los coeficientes de la i-ésima restricción del problemadual son iguales a los coeficientes de la variable i en lasrestricciones del problema primal.
El Problema Dual
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37
El Problema Dual
4321 y3y5-y2-y4 +
4321 y4yy3y12- +++
4321 y2y6yy3 −−+
Regla 5Problema primal1) Coeficientes tecnológicos de x1: 4, -2, -5, 3.2) Coeficientes tecnológicos de x2: -12, 3, 1, 4.3) Coeficientes tecnológicos de x3: 3, 1, -6, -2.
Problema dual1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
3) Restricción 3:
38
Regla 6El sentido de la i-ésima restricción del problema dual es= si y sólo si la i-ésima variable del problema primal esirrestricta.
El Problema Dual
20
39
El Problema Dual
Regla 6Problema primal1)
Problema dual1) Restricción 3:
3x irrestricta
2y2y6yy3 4321 −=−−+
40
Regla 7Si el problema primal es un modelo de maximización,después de aplicar la regla 6, asigne a las restantesrestricciones del problema dual el mismo sentido de lasvariables correspondientes del problema primal.
Si el problema primal es un modelo de minimización,después de aplicar la regla 6, asigne a las restantesrestricciones del problema dual el sentido contrario delas variables correspondientes del problema primal.
El Problema Dual
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41
El Problema Dual
Regla 7Problema primal1)
2)
Problema dual1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
0x1 ≥0x2 ≤
3y3y5-y2-y4 4321 ≥+4y4yy3y12- 4321 ≤+++
42
Regla 8La i-ésima variable del problema dual es irrestricta si ysólo si la i-ésima restricción del problema primal tienesentido de =.
El Problema Dual
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El Problema Dual
Regla 8Problema primal1) Restricción 4:
Problema dual1)
10x2x4x3 321 =−+
4y irrestricta
44
Regla 9Si el problema primal es un modelo de maximización,después de aplicar la regla 8, asigne a las restantesvariables del problema dual el sentido contrario de lasrestricciones correspondientes del problema primal.
Si el problema primal es un modelo de minimización,después de aplicar la regla 8, asigne a las restantesvariables del problema dual el mismo sentido de lasrestricciones correspondientes del problema primal.
El Problema Dual
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El Problema Dual
Regla 9Problema primal1) Restricción 1:
2) Restricción 2:
3) Restricción 3:
Problema dual1)
2)
3)
12x3x12x4 321 ≤+−
40x6xx5- 321 −≥−+6xx3x2- 321 ≤++
0y1 ≥0y2 ≥0y3 ≤
46
El PPL dual, resulta:
sujeto a4321 y10y40y6y2WMin +−+=
El Problema Dual
2y2y6yy3 4321 −=−−+
3y3y5-y2-y4 4321 ≥+
4y4yy3y12- 4321 ≤+++
4y irrestricta0y1 ≥ 0y2 ≥ 0y3 ≤
24
47
En el problema dual se observa que:
El Problema Dual
1) Es un modelo de Minimización2) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T3) Tiene 3 restricciones4) El vector de coeficientes de la función objetivo es:
[ 2 6 -40 10 ]5) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T6) La matriz de coeficientes tecnológicos es:
AT =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
2613413123524
