Unmsm fisi - conjuntos convexos y programación matemática - io1 cl02

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informáticag

Investigación de Operaciones I

Conjuntos Convexosóy Programación

MatemáticaMatemática

Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos

IntroducciónIntroducción.-El concepto de conjunto convexo es fundamental en el

t di d l P ió M t áti itestudio de la Programación Matemática porque permiteobtener resultados teóricos importantes.

D t d l P ió M t áti ti hDentro de la Programación Matemática tienen muchaimportancia los problemas convexos, donde lasvariables de decisión pertenecen a un conjunto convexovariables de decisión pertenecen a un conjunto convexoy la función objetivo es una función convexa, dado queel teorema fundamental de la programación convexagnos asegura que todo óptimo local es un óptimo global.

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Conjuntos Convexos

Idea de conjunto convexo

Conjuntos Convexos

Idea de conjunto convexo.-Un conjunto S de puntos es un conjunto convexo sit d l t d l t d ttodos los puntos del segmento de recta que une acualquier par de puntos del conjunto tambiénpertenecen al conjunto Spertenecen al conjunto S.

Para comprender mejor la definición de conjuntoconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosx1 y x2, los puntos λ x1 + (1-λ) x2 con 0 ≤ λ ≤ 1corresponden justamente con los puntos del segmentoj gque une x1 y x2.

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Conjuntos Convexos

Ejemplos de conjuntos convexos:

Conjuntos Convexos

Ejemplos de conjuntos convexos:

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Conjuntos Convexos

Ejemplos de conjuntos no convexos:

Conjuntos Convexos

Ejemplos de conjuntos no convexos:

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Conjuntos Convexos

Definición formal

Conjuntos Convexos

Definición formal.-

es convexo sínS ℜ⊂El conjunto es convexo síS ℜ⊂Sx,x 21 ∈∀

λλ

El conjunto

10, ≤λ≤ℜ∈λ∀los puntoslos puntos

( ) 21 x1xx λ−+λ=

pertenecen a S.

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Conjuntos Convexos

Obsérvese que:

Conjuntos Convexos

Obsérvese que:

• Cuando λ = 1, entonces x = x1, 1

• Cuando λ = 0, entonces x = x2

• Para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 el punto xcorrespondiente se sitúa entre x1 y x2.p 1 y 2

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Conjuntos Convexos

Vértices o Puntos extremos

Conjuntos Convexos

Vértices o Puntos extremosde un conjunto convexo.-U t d j tUn punto x de un conjuntoconvexo S es un vértice opunto extremo del conjunto sipunto extremo del conjunto, sino es posible encontrar dospuntos x1, x2 en S tales que:

( )x1xx 21 λ−+λ= ( )10

21

<λ<

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Programación MatemáticaProgramación Matemática

En el modelo matemático del sistema aparecenEn el modelo matemático del sistema aparecenvariables X = (x1, x2, ..., xn) que pueden controlarse yvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre losvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre loscuales no hay control y que se consideran comoconstantes dadas (variables exógenas). Laslimitaciones sobre X, al ponerse en términosmatemáticos, toman la forma de restricciones del tipo:

pi10)X(gi ≤≤≤ri1p0)X(gi ≤≤+≥mi1r0)X(gi ≤≤+=

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Programación Matemática

donde (X) son funciones de X de valor real En


donde gi(X) son funciones de X de valor real. Engeneral las restricciones pueden siempre ponersecomo:como:

mi10)X(gi ≤≤≤)(gi

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Las restricciones del tipo:


Las restricciones del tipo:

0X ≥

referidas usualmente como condiciones de nonegatividad, aparecen con frecuencia en modelosnegatividad, aparecen con frecuencia en modelosmatemáticos de sistemas, ya sea porque los valoresnegativos de las variables carecen de sentido y seexcluyen por lo tanto del análisis, o bien porque seamatemáticamente conveniente introducir algunasvariables de holgura con esta restricciónvariables de holgura con esta restricción.

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El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a


El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene através de una solución matemática. El valor X0 de lavariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valorvariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valoróptimo de X o solución óptima. Por lo común, el valoróptimo de f(X) es el máximo o mínimo de f(X) bajo elsistema de restricciones.

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La programación matemática se puede clasificar en:


La programación matemática se puede clasificar en:

Lineal No lineal Lineal No linealEstática Dinámica

Lineal No lineal Lineal No lineal

Modelo estático de Leontieff

Programación no lineal convexa

Modelos dinámicos de

Leontieff

Programación lineal

Programación no lineal no convexa

Sistemas dinámicos

Determinística

Redes

Programación Modelo general de programaciónlineal estocástica de programación

dinámica

Juegos de suma Teoría de

Probabilística

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cero inventarios


PROBLEMA


PROBLEMA.-Una jarra de vidrio de forma cilíndrica, tiene una tapametálica Si el metal cuesta tres veces mas que elmetálica. Si el metal cuesta tres veces mas que elvidrio, hallar las dimensiones de una jarra de capacidadfija V, para que su costo sea mínimo.fija V, para que su costo sea mínimo.

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Alto costo deMediano costo demetal medianoBajo costo de

metal, alto costode vidrio.

Alto costo demetal, bajo costode vidrio.

metal, medianocosto de vidrio.

V

VV

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MetalMetal

V = π r2 h

Vidrio

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Volumen de la tapa de metal:


Volumen de la tapa de metal:

erV 21 π=

Volumen de la jarra de vidrio:

ehr2V2 π=

V 2

Lateral

F d erV 23 π=Fondo

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Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u m en


Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u.m., enmetal custa 3 u.m.

L t d íLuego, tendríamos:

)erehr2()er(3Zmin 22 π+π+π=

sujeto aVhr2 =π Vhrπ

0h,r ≥

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PROBLEMA


PROBLEMA.-Halle las coordenadas de un punto de ℜ2, tal que lasuma de sus coordenadas sea máxima que sea mayorsuma de sus coordenadas sea máxima, que sea mayorque cinco y que el punto no se aleje más de cincounidades del origen de coordenadas.unidades del origen de coordenadas.

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y

(x, y)

22 yx +

x

20


Luego tendríamos:


Luego, tendríamos:

yxZmax +=

sujeto a5yx >+

y

5yx >+

5yx 22 ≤+

0y,x ≥

y

21


PROBLEMA


PROBLEMA.-Hallar el punto de la superficie de ecuación

4yxz 22 ++=

que este más cercano al origen de coordenadas.

22


z

(x, y, z)

y222 zyx ++

x

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Luego tendríamos:


Luego, tendríamos:222 zyxZmin ++=

sujeto a4yxz 22 ++=

y

4yxz ++

0z,y,x ≥

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CASO PRACTICO:


CASO PRACTICO:Objetivo: Optimizar el uso de hojalata en las conservasd dde pescado.

Información de las conservas de pescado (170 gr.):

Peso neto = 170 gr.Peso escurrido = 120 gr.Diá t (D) 80Diámetro (D) = 80 mm.Altura (H) = 35 mm.

Cálculo del volumen:

32

19929175HDπV25

3mm19.9291754

V ==


Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D H ):


Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D1, H1):

2Dπfondoy Tapa

21=

2yp

11 HDπLateral =

11

21 HDπ

2DπTotal +=2

El volumen para 170 gr. se mantiene:

3121 mm19.9291754

HDπV ==

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4


La relación entre D y H es:


La relación entre D1 y H1 es:

21000224H = 21

1 DH

R l d l ió t i

2

Reemplazando en la expresión anterior:

1

21

Dπ000224

2DπTotal +=

1

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Graficando la función obtenida:


Graficando la función obtenida:

Total

D1

D1*

D1

28

1


Derivando e igualando a cero la función:


Derivando e igualando a cero la función:

000224(T t l)d 0D

π000224DπDd

(Total)d21

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=−=

De donde se obtiene:

mm60.73D1 =

mm60.73H1 =

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