Unmsm fisi - problema de transporte - io1 cl13 transporte

1

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

Investigación Operativa I

Problemade

Transportep

Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal

En este problema se estudia el envío de productosdesde puntos de origen hacia puntos de destino.

Problema de Transporte

p g pEl problema esta sujeto a la oferta de los puntos deorigen, la demanda de los puntos de destino y loscostos de transporte.

2

2


Puntos deorigen

Puntos dedestino

1

2

1

2

d1

d2

o1

o2Unidades

deoferta

Unidadesde

demanda

c11

3

m n dnom


Problema balanceado.-Un problema esta balanceado cuando se cumple:

∑∑==

=n

1jj

m

1ii do

Un problema esta balanceado cuando se cumple:

en caso contrario se dice que esta desbalanceado,algunos autores mencionan desequilibrado.

4

Objetivo del Problema de Transporte.-El objetivo de este problema es determinar el mínimocosto para satisfacer la demanda con la ofertadisponible.

3


Planteando el problema como un P.P.L. (problemabalanceado).-

:xij

)

Variables de decisión.-Cantidad de productos que se envían del origen ial destino j

:cij Costo de enviar una unidad del producto delorigen i al destino j

5

g j


1 2 3 j n-1 n

Destinosj

1 c11 c12 c13 c1j c1 n-1 c1n o1

2 c21 c22 c23 c2j c2 n-1 c2n o2

3 c31 c32 c33 c3j c3 n-1 c3n o3

i ci1 ci2 ci3 cij ci n-1 cin oiOri

gene

s

6

j

m-1 cm-1 1 cm-1 2 cm-1 3 cm-1 j cm-1 n-1 cm-1 n om-1

m cm1 cm2 cm3 cmj cm n-1 cmn om

d1 d2 d3 dj dn-1 dn

O

4


1 2 3 j n-1 n

Destinosj

1 x11 x12 x13 x1j x1 n-1 x1n o1

2 x21 x22 x23 x2j x2 n-1 x2n o2

3 x31 x32 x33 x3j x3 n-1 x3n o3

i xi1 xi2 xi3 xij xi n-1 xin oiOri

gene

s

7

j

m-1 xm-1 1 xm-1 2 xm-1 3 xm-1 j xm-1 n-1 xm-1 n om-1

m xm1 xm2 xm3 xmj xm n-1 xmn om

d1 d2 d3 dj dn-1 dn

O


P f ( ilib i d l lid )

Restricciones.-

11n1211 oxxx =+++ L

M

22n2221 oxxx =+++ L

Por ofertas (equilibrio de las salidas)

(lo que sale del origen 1)

(lo que sale del origen 2)

8

mmnm2m1 oxxx =+++ L (lo que sale del origen m)

5


Por demandas (equilibrio de las llegadas)

(lo que llega al destino 1)dxxx +++

M

(lo que llega al destino 1)

(lo que llega al destino 2)

(lo que llega al destino n)

1m12111 dxxx =+++ L

2m22212 dxxx =+++ L

dxxx =+++ L

9

(lo que llega al destino n)nmn2n1n dxxx +++

Por no negatividad

0xij ≥ m,2,1,i K=n,2,1,j K=


Mi i i l d í

Función Objetivo.-

Minimizar el costo de envío

mnmnijij12121111 xcxcxcxcZMin +++++= LL

10

6


ZMiEl modelo queda:

mnmnijij12121111 xcxcxcxcZMin +++++= LL

11n1211 oxxx =+++ L

22n2221 oxxx =+++ L1m12111 dxxx =+++ L

2m22212 dxxx =+++ L

Por oferta Por demanda

Sujeto a:

11

M22n2221

mmnm2m1 oxxx =+++ LM

2m22212

nmn2n1n dxxx =+++ L

0xij ≥ m,2,1,i K=n,2,1,j K=

Como cada variable se encuentra dos (2) veces en elsistema de ecuaciones, entonces se tiene m+n-1 grados


gde libertad y el número de variables básicas debe serigual al número de grados de libertad del sistema.SOLUCION BÁSICA FACTIBLE NO DEGENERADA.-Es una solución factible con exactamente m+n–1variables no nulas en la base.SO UCION BÁSICA FACTIB E DEGENERADA

12

SOLUCION BÁSICA FACTIBLE DEGENERADA.-Es una solución factible con menos de m+n–1 variablesno nulas en la base.

7

Problema.-Tres refinerías con capacidades diarias de 6 5 y 8


Tres refinerías con capacidades diarias de 6, 5 y 8millones de galones, respectivamente, abastecen a tresáreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7millones de galones, respectivamente. La gasolina setransporta a las tres áreas de distribución a través deuna red de ductos.

13


El costo de transporte es de 10 centavos de dólar porcada 1000 galones por milla de ducto. La tabla

1 2 3

Area de distribución

g psiguiente proporciona el millaje entre las refinerías y lasáreas de distribución. La refinería 1 no está conectadaal área de distribución 3. Formule como un P.P.L.

14

1 120 180 -

2 300 100 80

3 200 250 120Ref

iner

ias

8

Solución.-El cuadro de costos por 1000 galones sería:


El cuadro de costos por 1000 galones sería:

1 2 3

1 12 18 -

2 30 10 8

Area de distribución

Ref

iner

ias

15

3 20 25 12R

:xij

Variables de decisión.-Cantidad de gasolina que se envía de la planta i alárea de distribución j

Solución.-Restricciones por oferta


Restricciones por oferta

5000xxx 232221 =++8000xxx 333231 =++

6000xx 1211 =+

Por demanda4000xxx 312111 =++

16

8000xxx 322212 =++7000xx 3323 =+

312111

Por no negatividad0xij ≥ 32,1,i =

32,1,j =

9


Función Objetivo.-

33323123

22211211

x12x25x20x8x10x30x18x12ZMin

++++++++=

17

SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.-La utilización del método SIMPLEX no resulta eficiente


La utilización del método SIMPLEX no resulta eficientepara resolver el Problema de Transporte, por lo cual seutilizan otros métodos como:a) Método de la Esquina Nor-Oeste (N-O)b) Método de la Matriz de Costo Mínimoc) Método de Vógel

18

) g

10

CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS.-Los métodos a estudiar tienen las siguientes


Los métodos a estudiar tienen las siguientescaracterísticas:a) Proporcionan soluciones factibles, pero no se

garantiza que la solución sea no degenerada.b) No se garantiza que la solución sea una solución

óptima. Pero proporciona una solución factiblei i i l

19

inicial.c) El problema planteado debe estar balanceado:

∑∑==

=n

1jj

m

1ii do

Para facilitar la nomenclatura, el cuadro o matriz detransporte se escribe de la siguiente forma:


p g

c11 c12 c1n

c21 c22 c2n

1

1 2 n. . .

o22

DESTINO

GE

N

Oferta

o1

20

cm1 cm2 cmn

. . .

omm

. . .

OR

IG

Demanda d1 d2 . . . dn

11

MÉTODO DE LA ESQUINA NOR-OESTE (N-O).-


1) C i l i i i i d ( i1) Comience en la esquina superior izquierda (origeni=1, destino j=1) y asigne a esta celda x11, donde:

x11 = min (o1, d1)Asignar toda la oferta posible oi para satisfacer lademanda dj.

2) Reduzca la oferta o y la demanda d en la cantidad

21

2) Reduzca la oferta oi y la demanda dj en la cantidadasignada xij.

oi = oi – xij

di = di - xij


3) Identifique el origen con oferta disponible oi odestino con demanda insatisfecha dj (para elloj (pavanzar hacia la derecha o hacia abajo).

4) Asigne a esta celda xij, donde:xij = min (oi, dj)

5) Regresar al paso 2.

22

12

Ejemplo.-


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

1

23

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 50 60 70 95


1) Oferta disponible o1 = 70Demanda insatisfecha d = 50Demanda insatisfecha d1 50x11 = min (70, 50) = 50o1 = 70 – x11 = 70 – 50 = 20d1 = 50 – x11 = 50 – 50 = 0

24

13


DESTINO

17 20 13 1250

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 20

2 90

25

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 0 60 70 95



26

14


DESTINO

17 20 13 1250 20

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 90

27

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 0 40 70 95



28

15


DESTINO

17 20 13 1250 20

15 21 26 2540R

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 50

29

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 0 0 70 95



30

16


DESTINO

17 20 13 1250 20

15 21 26 2540 50R

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 0

31

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 0 0 20 95



32

17


DESTINO

17 20 13 1250 20

15 21 26 2540 50R

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 0

33

15 14 15 1720

OR

3 95

Demanda 0 0 0 95



34

18


DESTINO

17 20 13 1250 20

15 21 26 2540 50R

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 0

35

15 14 15 1720 95

OR

3 0

Demanda 0 0 0 0


Solución:x = 50x11 50x12 = 20x22 = 40x23 = 50x33 = 20

36

x34 = 95Z = 17x50 + 20x20 + 21x40 + 26x50 + 15x20 + 17x95

Z = 5,305

19

MÉTODO DE LA MATRIZ DE COSTO MÍNIMO.-


1) Id ifi l i l l ld d1) Identifique en la matriz resultante la celda de costomínimo cij, si existen varios seleccionararbitrariamente uno de ellos. Asigne a esta celda xijdonde:

xij = min (oi, dj)2) Reduzca la oferta oi y la demanda dj en la cantidad

37

) edu ca a o e ta oi y a de a da dj e a ca t dadasignada xij.

oi = oi – xij

di = di - xij


Si oi = 0, eliminar la fila iSi dj = 0, eliminar la columna jj j

3) Regresar al paso 1

38

20

Ejemplo.-


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

1

39

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 50 60 70 95


1) Mínimo costo c14 = 12Oferta disponible o = 70Oferta disponible o1 70Demanda insatisfecha d4 = 95x14 = min (70, 95) = 70o1 = 70 – x14 = 70 – 70 = 0d4 = 95 – x14 = 95 – 70 = 25

40

Eliminar la fila 1

21


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 90

41

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 50 60 70 25



42

Eliminar la columna 2

22


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 90

43

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 50 0 70 25



44


23


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 40

45

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 0 0 70 25



46

Eliminar la fila 3

24


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 40

47

15 14 15 1760 55

OR

3 0

Demanda 0 0 15 25



48


25


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550 25R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 15

49

15 14 15 1760 55

OR

3 0

Demanda 0 0 15 0



50

Eliminar la fila 2 o columna 3

26


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 0

51

15 14 15 1760 55

OR

3 0

Demanda 0 0 0 0


Solución:x = 70x14 70x32 = 60x21 = 50x33 = 55x24 = 25

52

x23 = 15Z = 12x70 + 14x60 + 15x50 + 15x55 + 25x25 + 26x15

Z = 4,270

27

MÉTODO DE VÓGEL.-


1) P d fil i f di ibl l l1) Para cada fila i con oferta disponible, calcule sucosto penal restando el mínimo costo cij del que lesigue en valor cik:

Pi = cik – cij

(Costo penal por filas)2) Para cada columna j con demanda insatisfecha

53

2) Para cada columna j con demanda insatisfecha,calcule su costo penal restando el mínimo costo cljdel que le sigue en valor cmj:

Pj = cmj – clj

(Costo penal por columnas)


3) Identifique la fila o columna que tenga el mayorcosto penal (Pi o Pj).p ( i j)

4) Asigne xij, donde:xij = min (oi, dj)

a la celda disponible que tenga el costo más bajoen la fila o columna seleccionada en el paso 3.

5) Reduzca la oferta oi y la demanda dj en la cantidad

54

) i y jasignada xij.

oi = oi – xij

di = di - xij

28


6) Descartar las filas con oferta disponible cero ycolumnas con demandas insatisfechas cero.

7) Regresar al paso 1.

55

Ejemplo.-


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

1

56

15 14 15 17OR

3 115

Demanda 50 60 70 95

29


1) Cálculo del costo penal para cada fila:P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1P2 = c22 – c21 = 21 – 15 = 6 **P3 = c31 – c32 = 15 – 14 = 1Cálculo del costo penal para cada columna:P1 = c21 – c31 = 15 – 15 = 0

57

P2 = c12 – c32 = 20 – 14 = 6 **P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

1

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

1

6

58

15 14 15 17OR

0 6 2 5

3 115

Demanda 50 60 70 95

1

30


2) Se selecciona la columna 2, el mínimo costo deesta columna es c32 = 1432

Oferta disponible o3 = 115Demanda insatisfecha d2 = 60x32 = min (115, 60) = 60o3 = 115 – x32 = 115 – 60 = 55d = 60 x = 60 60 = 0

59

d2 = 60 – x32 = 60 – 60 = 0Se descarta la columna 2


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

1

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 70

2 90 6

60

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 50 0 70 95

1

0 6 2 5

31


3) Recalculando los costos penales para cada fila:P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1P2 = c24 – c21 = 25 – 15 = 10 **P3 = c31 – c33 = 15 – 15 = 0Recalculando los costos penales para cadacolumna:P = c c = 15 15 = 0

61

P1 = c21 – c31 = 15 – 15 = 0P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 25

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 70

2 90

1

10

62

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 50 0 70 95

0

0 2 5

32


4) Se selecciona la fila 2, el mínimo costo de esta filaes c21 = 1521


63

d1 = 50 – x21 = 50 – 50 = 0Se descarta la columna 1


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 70

2 40

1

10

64

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 0 0 70 95

0

0 2 5

33


5) Recalculando los costos penales para cada fila:P = c – c = 13 – 12 = 1P1 c13 c14 13 12 1P2 = c23 – c24 = 26 – 25 = 1P3 = c34 – c33 = 17 – 15 = 2Recalculando los costos penales para cadacolumna:P = c c = 15 13 = 2

65

P3 = c33 – c13 = 15 – 13 = 2P4 = c34 – c14 = 17 – 12 = 5 **


DESTINO

17 20 13 12

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 70

2 40

1

1

66

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 0 0 70 95

2

2 5

34




67

d4 = 95 – x14 = 95 – 70 = 25Se descarta la fila 1


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550

3 4 Oferta

1 0

RIG

EN

1 2

2 40

1

1

68

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda

2

2 5

250 0 70

35


7) Recalculando los costos penales para cada fila:P = c – c = 26 – 25 = 1P2 c23 c24 26 25 1P3 = c34 – c33 = 17 – 15 = 2Recalculando los costos penales para cadacolumna:P3 = c23 – c33 = 26 – 15 = 11 **P = c c = 25 17 = 8

69

P4 = c24 – c34 = 25 – 17 = 8


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 40 1

70

15 14 15 1760

OR

3 55

Demanda 0 0 70 25

2

811

36




71

d3 = 70 – x33 = 70 – 55 = 15Se descarta la fila 3


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 40 1

72

15 14 15 1760 55

OR

3 0 2

Demanda 0 0 15 25

11 8

37


9) Se selecciona la fila 2, y se asigna:x = 25x24 25x23 = 15Se descarta la fila 2

73


DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25R

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 0

2 0 1

74

15 14 15 1760 55

OR

3 0

Demanda 0 0 0 0

38


Solución:x = 70x14 70x21 = 50x23 = 15x24 = 25x32 = 60

75

x33 = 55Z = 12x70 + 15x50 + 26x15 + 25x25 + 14x60 + 15x55

Z = 4,270


MEJORAMIENTO DE LA SOLUCION BÁSICAFACTIBLE INICIAL.-Dado que los métodos estudiados no garantizan unasolución óptima, es necesario verificar que no existauna ruta no utilizada que lo sea. De ser este el caso , sedetermina esta nueva solución.Se estudiarán 2 métodos para el mejoramiento de unasolución básica factible inicial:

76

a) Método de la Distribución Modificadab) Método del Paso Secuencial

solución básica factible inicial:

39

MÉTODO DEL PASO SECUENCIAL.-


1) Localizar una celda no básica que no tenga costo1) Localizar una celda no básica, que no tenga costomarginal, y determinar un circuito con el mínimonúmero de celdas básicas siguiendo trayectoriashorizontales y verticales solamente.

P x5celda

no básica

77x1 x2

x3 x4


NO SON VÁLIDAS

Mínimo número

P

x1 x2 x3

x4 P

x1

x2

Solamente trayectorias

78

de celdas básicas horizontales y verticales

40


2) Asignar intercalando signos positivos “+” ynegativos “-” al circuito determinado en el paso 1,g pcomenzando con la asignación “+” a la celda nobásica.

P → +x1 → -x → +

+ -

79

x2 → +x3 → -x4 → +x5 → - - +

- +


3) Determinar el costo marginal del circuito localizado,que consiste en el costo de ingresar una unidad aq gla celda no básica utilizando los signos del paso 2:

Costo Marginal = cP - c1 + c2 - c3 + c4 - c5

cP c5

80

c1 c2

c3 c4

41


4) Si existen celdas no básicas sin costo marginalregresar al paso1.g p

5) Si todas las celdas no básicas tienen costomarginal no negativo la solución actual es óptima.FIN.

6) Localizar la celda que tenga el costo marginal másnegativo. Asignar a esta celda xP, donde xP es elmínimo valor de las celdas del circuito que tienen

81

mínimo valor de las celdas del circuito que tienensigno menos “-”:

xP = min ( x1, x3, x5)


reajuste el valor de las celdas básicas en xPconforme a los signos correspondientes:g p

x1 = x1 - xP

x2 = x2 + xP

x3 = x3 - xP

x4 = x4 + xP

x = x x

82

x5 = x5 – xP

Z = Z + (Costo Marginal) x xP

7) Descarte los costos marginales de las celdas nobásicas y regrese al paso 1.

42


DESTINO

Ejemplo.-

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

70

2 90

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1

x14 = 70x21 = 50x23 = 15x24 = 25

83

50 15 2515 14 15 17

60 553 115

Demanda 50 60 70 95

OR x32 = 60

x33 = 55

Z = 4270


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

17 20 13 12

7015 21 26 25

50 15 2515 14 15 17

60 553 115

Demanda 50 60 70 95

1 70

2 90

OR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

84

a1) Celda (1,1)Circuito: (1,1) - (2,1) - (2,4) - (1,4) - (1,1)Signos: + - + -Costo Marginal: 17 – 15 + 25 – 12 = 15

43


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

15 17 20 13 12

7015 21 26 25

50 15 2515 14 15 17

60 55

95Demanda 50 60 70

2 90

3 115OR

IGE

N1 2 3 4 Oferta

1 70

85

a2) Celda (1,2)Circuito: (1,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,4) - (1,4) - (1,2)Signos: + - + - + -Costo Marginal: 20 – 14 + 15 – 26 + 25 - 12 = 8


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

15 17 8 20 13 12

7015 21 26 25

50 15 2515 14 15 17

60 553 115

Demanda 50 60 70 95

1 70

2 90

OR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

86


44


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

15 17 8 20 0 13 12

7015 21 26 25

50 15 2515 14 15 17

60 55

9550 60 70

90

3 115

Demanda

OR

IGE

N1 2

2

3 4 Oferta

1 70

87

a4) Celda (2,2)Circuito: (2,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,2)Signos: + - + -Costo Marginal: 21 – 14 + 15 – 26 = -4


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

15 17 8 20 0 13 12

7015 -4 21 26 25

50 15 2515 14 15 17

60 55

95Demanda 50 60 70

2 90

3 115OR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 70

88

a5) Celda (3,1)Circuito: (3,1) - (3,3) - (2,3) - (2,1) - (3,1)Signos: + - + -Costo Marginal: 15 – 15 + 26 - 15 = 11

45


DESTINO

1 2 3 4 Oferta

15 17 8 20 0 13 12

7015 -4 21 26 25

50 15 2511 15 14 15 17

60 553 115

Demanda 50 60 70 95

70

2 90

OR

IGE

N1 2 3 4 Oferta

1

89



DESTINO

15 17 8 20 0 13 1270

15 -4 21 26 2550 15 2511 15 14 15 3 17

2 90

DESTINO

OR

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 70

90

11 15 14 15 3 1760 55

3 115

Demanda 50 60 70 95

O

Costo Marginal más negativo: Celda (2,2) = -4

46


b1) Costo Marginal más negativo: Celda (2,2) = -4Circuito: (2,2) - (3,2) - (3,3) - (2,3) - (2,2)( ) ( ) ( ) ( ) ( )Signos: + - + -x22 = min (x32, x23) = min (60, 15) = 15

x22 = 15x32 = 60 – 15 = 45

91

x33 = 55 + 15 = 70x23 = 15 – 15 = 0


La nueva solución resulta:

DESTINOx14 = 70x21 = 50x22 = 15x24 = 25

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

1

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

92

x32 = 45x33 = 70

Z = 4210

50 15 2515 14 15 17

45 70

OR

3 115

Demanda 50 60 70 95

47


Recalculado los Costos Marginales se tiene:DESTINO

15 17 12 20 4 13 1270

15 21 4 26 2550 15 257 15 14 15 1 17

1

DESTINOO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

93

7 15 14 15 -1 1745 70

O 3 115

Demanda 50 60 70 95

Costo Marginal más negativo: Celda (3,4) = -1


b2) Costo Marginal más negativo: Celda (3,4) = -1Circuito: (3,4) - (2,4) - (2,2) - (3,2) - (3,4)( ) ( ) ( ) ( ) ( )Signos: + - + -x34 = min (x24, x32) = min (24, 45) = 24

x34 = 25x24 = 25 – 25 = 0

94

x22 = 15 + 25 = 40x32 = 45 – 25 = 20

48


La nueva solución resulta:

DESTINOx14 = 70x21 = 50x22 = 40x32 = 20

17 20 13 1270

15 21 26 2550 40

1

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

70

2 90

95

x33 = 70x34 = 25

Z = 4185

50 4015 14 15 17

20 70 25

OR

3 115

Demanda 50 60 70 95


Recalculado los Costos Marginales se tiene:DESTINO

14 17 11 20 3 13 1270

15 21 4 26 1 2550 407 15 14 15 17

DESTINO

OR

IGEN

1 2 3 4 Oferta

1 70

2 90

96

Tablero óptimo.

7 15 14 15 1720 70 25

O 3 115

Demanda 50 60 70 95

49

MÉTODO DE LA DISTRIBUCIÓN MODIFICADA.-


1) Asignar a cada fila las variables:1) Asignar a cada fila las variables:ui , i = 1, 2, ..., m

Asignar a cada columna las variables:vj , j = 1, 2, ..., n

2) Con cada celda básica se tiene:

97

cij = ui + vj

se asigna:u1 = 0

determinar las restantes variable u y v.


3) Determinar el costo marginal de las celdas nobásicas de la siguiente forma:g

Costo Marginal (k, m) = ckm – ( uk + vm )4) Si todas las celdas no básicas tienen costo

marginal no negativo la solución actual es óptima.FIN.

5) Localizar la celda que tenga el costo marginal mási Di i i i il l é d

98

negativo. Diseñar un circuito similar al métodoanterior para esta celda. Asignar a esta celda xP,donde xP es el mínimo valor de las celdas delcircuito que tienen signo menos “-”:

xP = min ( x1, x3, x5)

50


reajuste el valor de las celdas básicas en xPconforme a los signos correspondientes:g p

x1 = x1 - xP

x2 = x2 + xP

x3 = x3 - xP

x4 = x4 + xP

x = x x

P

x1 x2

x3 x4

x5celda

no básica

99

x5 = x5 – xP

Z = Z + (Costo Marginal) x xP

6) Descarte los costos marginales de las celdas nobásicas y regrese al paso 1.

1 2


DESTINOEjemplo.-

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

70

2 90

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1

100

15 14 15 1760 55

3 115

Demanda 50 60 70 95

OR

51


Determinando los valores de los coeficientes ui y vj:DESTINO

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25R

IGEN

1 2

1

90

DESTINO

3 4 Oferta

70

v2 v3 v4

u1

u2

v1

2

101

50 15 2515 14 15 17

60 55

OR

3 115

Demanda 50 60 70 95

u3


DESTINOv1 v2 v3 v4

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

u2

u3

102

a1) u1 = 0 (valor predeterminado)

52


DESTINOv1 v2 v3 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

u2

u3

103

a2) Celda (1,4)c14 = u1 + v4 12 = 0 + v4 v4 = 12


DESTINOv1 v2 v3 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

u3

104

a3) Celda (2,4)c24 = u2 + v4 25 = u2 + 12 u2 = 13

53


DESTINO2 v2 v3 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

u3

105

a4) Celda (2,1)c21 = u2 + v1 15 = 13 + v1 v1 = 2


DESTINO2 v2 13 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

u3

106

a5) Celda (2,3)c23 = u2 + v3 26 = 13 + v3 v3 = 13

54


DESTINO2 v2 13 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

107

a6) Celda (3,3)c33 = u3 + v3 15 = u3 + 13 u3 = 2


DESTINO2 12 13 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

108

a7) Celda (3,2)c32 = u3 + v2 14 = 2 + v2 v2 = 12

55


DESTINO2 12 13 12

17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

109

Determinando los Costos Marginales de las celdasno básicas


DESTINO2 12 13 12

15 17 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

110

b1) Costo Marginal (1,1) = c11 – ( u1 + v1 )Costo Marginal (1,1) = 17 – ( 0 + 2 ) = 15

56


DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

111



DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 0 13 1270

15 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

112


57


DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 0 13 1270

15 -4 21 26 2550 15 25

15 14 15 1760 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

113

b4) Costo Marginal (2,2) = c22 – ( u2 + v2 )Costo Marginal (2,2) = 21 – ( 13 + 12 ) = -4


DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 0 13 1270

15 -4 21 26 2550 15 2511 15 14 15 17

60 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

114


58


DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 0 13 1270

15 -4 21 26 2550 15 2511 15 14 15 3 17

60 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

115



DESTINO2 12 13 12

15 17 8 20 0 13 1270

15 -4 21 26 2550 15 2511 15 14 15 3 17

60 55

OR

IGEN

1 2

1

90

3 115

3 4 Oferta

70

50 60 70

2

95Demanda

0

13

2

116

Calculados los Costos Marginales para todas lasceldas no básicas continuar como el métodoanterior.

59


CONSIDERACIONES SUPLEMENTARIAS EN ELPROBLEMA DE TRANSPORTE.-

1) El problema esta desbalanceado:

Aquí se observan algunos problemas que ocurren conel modelo original. En los casos siguientes se realizancambios sobre el modelo afín de utilizar el mismoprocedimiento resolutivo.

117

∑∑==

≠n

1jj

m

1ii do


1a) Ocurre:

∑∑nm

∑∑==

>1j

j1i

i do

11n1211 oxxx ≤+++ L

22n2221 oxxx ≤+++ L

⇒ Las restricciones por oferta cambian a:

118

M22n2221

mmnm2m1 oxxx ≤+++ L

El resto de la formulación permaneceigual.

60


⇒ En el cuadro o matriz de transporte seañade un nuevo destino dn+1, conocidon+1como “destino ficticio”, que tiene comodemanda el exceso de oferta y los costosde transporte serán ceros (0).

∑∑==

+ −=n

1jj

m

1ii1n dod

119

m,2,1,i0,c 1)(ni K==+

Los artículos enviados al “destino ficticio”permanecerán en el origen deprocedencia.

5 7 10

4 9 6

DESTINO

RIG

EN

2 300

3 Oferta

4001

1 2 900200300400o3

1ii =++=∑

=

800250400150d3

1jj =++=∑

=

8 3 2OR

150 400 250

3

Demanda

200

5 7 10 0

3 4

N

1 2

1

DESTINO

Oferta

400

120

4 9 6 0

8 3 2 0OR

IGE

N 1

Demanda 150 400 250 100

400

300

200

2

3

61


1b) Ocurre:

∑∑nm

∑∑==

<1j

j1i

i do

1m12111 dxxx ≤+++ L

2m22212 dxxx ≤+++ L

⇒ Las restricciones por demanda cambiana:

121

M2m22212

nmn2n1n dxxx ≤+++ L

El resto de la formulación permaneceigual.


⇒ En el cuadro o matriz de transporte seañade un nuevo origen om+1, conocidog m+1como “origen ficticio”, que tiene comooferta el exceso de demanda y los costosde transporte serán ceros (0).

∑∑==

+ −=m

1ii

n

1jj1m odo

122

n,2,1,j0,c j1)(m K==+

Los artículos enviados por el “origenficticio” se considera como una demandano satisfecha.

62

800200240360o3

1ii =++=∑

=

900350300250d3

1jj =++=∑

=

5 7 10

4 9 6

DESTINOR

IGEN

2 240

3 Oferta

3601

1 2

8 3 2OR

250 300 350

3

Demanda

200

5 7 10

4 9 6

3 Oferta

EN

1 2

1

2

DESTINO

360

240

123

8 3 2

0 0 0

OR

IGE

Demanda 250 300

200

100

2

3

4

240

350


2) Soluciones múltiples:Si en la solución óptima del problema de transporteSi en la solución óptima del problema de transportese tienen celdas no básicas con costo marginalcero (0), estas celdas constituyen tambiénsoluciones alternativas óptimas.

124

63

5 7 3 1060 300

4 3 9 6190 100

2 290

OR

IGE

N1 2

1

3 Oferta

DESTINO

360

2x2506x1004x1907x3005x60Z

++++=

260,4Z =

8 8 0 2 2250

2503

350

O

Demanda 250 300

5 7 3 10

DESTINO

1 2 3 Oferta

125

5 7 3 10250 110

0 4 3 9 6290

8 8 2 2190 60

OR

IGEN

1 360

2 290

3 250

Demanda 250 300 350

2x60x1902x29067x1105x250Z

++++=

260,4Z =


3) Caso de Maximización:Si la matriz de costos unitarios del problema deSi la matriz de costos unitarios del problema detransporte son beneficios, la función objetivo es demaximización.Cambiar de signo los costos unitarios, multiplicarpor –1 cada costo, y resolver utilizando el métodode minimización anterior.L fi l l i li 1

126

La respuesta final se multiplica por –1.

64

1 2 3 j n-1 n

1 c11 c12 c13 c1j c1 n-1 c1n o1

2 c21 c22 c23 c2j c2 n-1 c2n o2

3 c31 c32 c33 c3j c3 n-1 c3n o3

i

Destinos

igen

es

i ci1 ci2 ci3 cij ci n-1 cin oi

m-1 cm-1 1 cm-1 2 cm-1 3 cm-1 j cm-1 n-1 cm-1 n om-1

m cm1 cm2 cm3 cmj cm n-1 cmn om

d1 d2 d3 dj dn-1 dn

Or

1 2 3 j n-1 n

1 -c11 -c12 -c13 -c1j -c1 n-1 -c1n o1

2 -c21 -c22 -c23 -c2j -c2 n-1 -c2n o2

3 -c31 -c32 -c33 -c3j -c3 n-1 -c3n o3

Destinos

es

127

i -ci1 -ci2 -ci3 -cij -ci n-1 -cin oi

m-1 -cm-1 1 -cm-1 2 -cm-1 3 -cm-1 j -cm-1 n-1-cm-1 n om-1

m -cm1 -cm2 -cm3 -cmj -cm n-1 -cmn om

d1 d2 d3 dj dn-1 dn

Ori

gene


4) Rutas prohibidas:Si se requiere que en la solución del problema noSi se requiere que en la solución del problema nose encuentre la variable xij (xij = 0), se coloca comocosto cij un valor bastante grande:

Mcij =

128

65


5) Degeneración:Ocurre cuando en algún momento del proceso deOcurre cuando en algún momento del proceso desolución las variables básicas resultan ser menosde m + n – 1.Esto origina que se imposibilite el cálculo del CostoMarginal de algunas variables no básicas.1) Localizar aquellas celdas no básicas que

lt i ibl d t i C t M i l

129

resulte imposible determinar su Costo Marginal.2) Ingresar como variable básica aquella celda

determinada en 1. Si existen varias seleccionaruna arbitrariamente. Valor a ingresar cero (0).

5 7 9 7310 100

8 4 5 4190

DESTINO

RIG

EN

2 190

4 Oferta

4101

1 2 3

7 6 10 790 360

OR

310 290 360

3

Demanda

450

90

5 7 X 9 X 7

4 Oferta

DESTINO

410

1 2

1

3

130

310 1006 8 4 X 5 X 4

190X 7 X 6 10 7

90 360

410

OR

IGEN

1

Demanda 310 290

450

2

3

190

36090

66


Ingresando cero (0) en la celda ( 1, 3 ):

5 7 9 1 7310 100 0

6 8 4 -1 5 1 4190

DESTINOR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

131

1 7 -2 6 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360



5 7 -1 9 7310 100 0

6 8 4 -2 5 0 4190

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

132

2 7 -1 6 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

67



5 7 1 9 2 7310 100

6 8 4 5 2 4190 0

DESTINOR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

133

0 7 -3 6 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360



5 7 -1 9 0 7310 100

6 8 4 -2 5 4190 0

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

134

2 7 -1 6 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

68



5 7 1 9 2 7310 100

6 8 4 0 5 2 4190

DESTINOR

IGE

N

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

135

7 -3 6 10 70 90 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360



5 7 -2 9 -1 7310 100

6 8 4 -3 5 -1 4190

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

136

3 7 6 10 70 90 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

69


Resolviendo el problema a partir del ingreso de cero (0)a la celda ( 1, 3 ):

430,6Z =5 7 9 1 7

310 100 06 8 4 -1 5 1 4

190

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

( )

137

1 7 -2 6 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

CM( 3, 2 ) = -2


CM( 3, 2 ) = -2

250,6Z =5 7 9 -1 7

310 10 906 8 4 -1 5 -1 4

190

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

138

3 7 6 2 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

CM( 2, 3 ) = -1

70


CM( 2, 3 ) = -1

160,6Z =5 7 1 9 -1 7

310 1006 8 4 5 -1 4

100 90

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

139

3 7 6 3 10 790 360

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

CM( 2, 4 ) = -1


CM( 2, 4 ) = -1

060,6Z =5 7 0 9 -1 7

310 1007 8 1 4 5 4

90 100

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

140

3 7 6 2 10 7190 260

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

CM( 1, 4 ) = -1

71


CM( 1, 4 ) = -1

960,5Z =5 1 7 1 9 7

310 1006 8 1 4 5 4

90 100

DESTINO

RIG

EN

1 2 3 4 Oferta

1 410

2 190

141

2 7 6 2 10 7290 160

OR

3 450

Demanda 310 290 90 360

TABLERO OPTIMO

Unmsm fisi - problema de transporte - io1 cl13 transporte

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