2014-I

Análisis de Sensibilidad

Introducción

¿Cómo cambian la solución y la función objetivo cuando los parámetros varían?

Rpta:

Resolver de nuevo el problema Análisis de sensibilidad.

Introducción

Luego de encontrar la solución a un PL; suelen aparecer problemas concernientes con el cambio de la información contenida en el tablero Simplex, tales como : Problemas que envuelven cambios discretos en los

parámetros : A,b,c. Problemas que envuelven cambios continuos en los

parámetros, incluyendo problemas en los que uno o más parámetros son perturbados en alguna dirección.

Problemas que envuelven cambios estructurales: reformular el problema adicionando o eliminando variables y restricciones.

Introducción

El análisis que viene a continuación se basa en la forma estándar de un PL para la maximización: Max z = cx sa :

Ax = b x 0

 Donde: A es una matriz de m x n

B-1 es la matriz inversa de la basexB = B-1b es el vector solución.

Cambios en el vector c

El cambio del vector costo c , es fácilmente realizado. Una vez encontrada la solución óptima, se tiene :

¿Qué pasa cuando el costo cj cambia a c’j en una variable no básica?

básicas no variables, 0

básicas variables, 0

j

jj

ccz

jB aBc 1

Cambios en el vector c

Cuando cj corresponde a una básica, se modifica el vector cB ; luego

  z’j -c’j = c’BB-1aj - c’j

= c’Bj - c’j ; j = B-1aj

La variable xj que se encuentra en la base tiene la forma de un vector columna :

j = ej  y

  z’j -c’j = 0 , variables básicas 

Cambios en el vector c

Pero el problema se encuentra en las variables no básicas, puesto que son afectadas por la expresión:  z’j -cj = c’BB-1aj - cj

 lo que indica que deben evaluarse los cambios para j J (J es el conjunto de las variables no básicas).Desde la expresión  

c’Bj - cj

 en el caso de ser todas las (z’j -cj) 0, la solución sigue siendo óptima; en otro caso, habrá que recurrir al pivote.

Desarrollo en el vector c

Sea  cj = c’j - cj

 

y   zj -c’j = cBB-1aj - c’j cB no cambia

= cBB-1aj - (cj + cj ) = (cBB-1aj - cj )-cj

zj -c’j = (zj -cj) - cj

 En el caso de continuar (zj -c’j ) 0 , el tablero sigue siendo óptimo; en otro caso , utilizar xj como variable de entrada y efectuar la acción del pivot.

Ejemplo

Una factoría tiene tres productos. Tres recursos: soporte técnico, labor y administración son requeridos para producir esos productos. La siguiente tabla ofrece los requerimientos de cada recurso para cada producto. Existen 100 horas disponibles para soporte técnico, 600 horas de labor y 300 horas de administración. ¿ Cómo maximizará la utilidad total?

Producto Ganancia Soporte Labor Adminis.1 10 1 10 22 6 1 4 23 4 1 5 6

Desarrollo

El PL, se presenta a continuación:

Maximizar = 10x1 + 6x2 + 4x3

sa. x1+ x2 + x3 < 100

10x1+ 4x2 + 5x3 < 600 2x1+ 2x2 + 6x3 < 300 x1, x2, x3 > 0

Tablero Simplex

El tablero Simplex queda de la siguiente manera:

x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS

Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6

x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6

s 3 0 0 4 -2 0 1 100

Pregunta 1

¿Qué ocurre cuando c3 se hace igual a 6?El cambio para una variable no básica , como:

j = 3, cj = c’j – cj = 6-4=2, Luego: zj -c’j = (zj -cj) - cj = (16/6)- 2 = 2/3.

Se observa que el valor es positivo. En el caso que el incremento hubiera sido mayor 16/6, es decir un aumento mayor de 2.666; la solución cambia. Se observa que cualquier valor de decremento, no cambia el óptimo.

Pregunta 2

¿Qué ocurre cuando c1 se hace igual a 14? El cambio para una variable básica , como j = 1, trae como consecuencia el análisis de todas las variables no básicas. Luego de

z’j -cj = c’BB-1aj - cjj = c’B j - cj ; se tiene que:

Para la variable x3 = 6(5/6) +14(1/6)+0(4)-4 = 20/6; Para la variable s1 = 6(10/6)+ 14(-4/6)+0(-2)-0 = 4/6; Para la variable s2 = 6(-1/6) +14(1/6)+0(0)-0 = 8/6 Se observa que el valor es positivo.

... Pregunta 2

¿Qué ocurre cuando c1 se hace igual a 15?

En el caso que el incremento hubiera sido mayor 15, es decir un aumento mayor de 5; la solución cambia.Se observa que un valor de decremento de 4 unidades, hace cambiar el óptimo. Así para la variable no básica:

s1 = 6(10/6)+ 15(-4/6)+0(-2)-0 = 0En consecuencia para c1 mayor que 15, cambia el óptimo.

Cambios en el vector b

El análisis post óptimo para el cambio en el vector de la mano derecha , debe garantizar que se cumpla la condición de factibilidad : 

x’B = B-1b’ 0 Al cambiar b por b’ , se define b = b’-b , luego 

x’B = B-1(b + b) = B-1b + B-1b

x’B = xB + B-1b

Ejemplo

Del tablero Simplex :

x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS

Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6

x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6

s 3 0 0 4 -2 0 1 100

Pregunta 1

¿Qué ocurre cuando b3 cambia de valor?

0

0

102

06/16/4

06/16/10

100

6/200

6/400

' , 0

0

11

bbBxΔb

Se observa que cualquier cantidad de incremento en b3 (que inicialmente es 300), no afecta a la solución. Por otro lado el decremento para conservar la factibilidad no puede sobrepasar el valor de 100.

Pregunta 2

¿Qué ocurre cuando b1 cambia de valor de 100 a 60?

Lo que origina :

0

0

40

102

06/16/4

06/16/10

100

6/200

6/400

' ,

0

0

40

BxΔb

,0)40(2100 ,0)40(6

4

6

200 ,0)40(

6

10

6

400

... Pregunta 2

Se observa que cualquier cambio hasta la cantidad de decremento de 40 (que inicialmente es 100 y se reduce a 60), no afecta a la solución; mas de ese valor hay cambio en el óptimo.

Por otro lado un incremento para conservar la factibilidad no puede sobrepasar el valor de 50.

La regla del 100%

Sea una variable j que pertenece al conjunto J de variables básicas; por análisis de sensibilidad, se puede conocer cuanto puede aumentar o disminuir su coeficiente de costo, para que se siga manteniendo la solución óptima. 

J j, z 1

jjBjj caBcc

z 1jjBjj caBcc

La regla del 100%

De donde se desprende que: 

, disminución  , incremento

 

0, )(

max

kjkj

jjk

czD

0, )(

min

kjkj

jjk

czI

Ejercicio A la pregunta: ¿Cuál es el rango de variación de c1?

 

 

56/4

6/20Min

46/1

6/4,

6/1

6/16Max

1

1

I

D

Rpta. Se encuentra en D1 ≤ c1 ≤ I1

-4 ≤ c1 ≤ 5

x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS

Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6

x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6

s 3 0 0 4 -2 0 1 100

Ejemplo aplicativo A la pregunta: ¿Cuál es el rango de variación de c1?

 

 

56/4

6/20Min

46/1

6/4,

6/1

6/16Max

1

1

I

D

Rpta. Se encuentra en D1 ≤ c1 ≤ I1

Gracias