Unidad II Mat115 Ciclo i 2016 limites y continuidad

7/25/2019 Unidad II Mat115 Ciclo i 2016 limites y continuidad

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURAUNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA I Ciclo I / 2016

UNIDAD II : LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

21 LIMITE DE FUNCIONES L!"i#$ L%#$&%l$'

Existe una definicin formal para el Lmite de una funcin que no abordaremos en estecurso. Nos conformaremos con la definicin intuitiva.

211 D$(i)ici*) i)#+i#i,% -$ l!"i#$ -$ +)% (+)ci*)

Consideremos las funciones siguientes:

2

4)(

2

5)(

22

=

=x

xxgy

x

xxf

Ahora veremos en ambas funciones a qu! valor tiende cada una de ellas " a que valorde #$ cuando la variable x se aproxima a % por la i&quierda de % es decir para valoresmenores que %.

Para ello elaboraremos una tabla de valores para cada caso:

x 2

5)(

2

=x

xxf

2

4)(

2

=x

xxg

'.( ').( ).(

'.(( '*).(( ).((

'.((( '***).((( ).(((

'.(((( '***).(((( ).((((

'.((((( '****).((((( ).((((('.(((((( ).((((((

+bservemos que mientras los valores de x se van aproximando cada ve& mas a % por

la i&quierda denotado por 2x los valores de la funcin g se aproximan cada ve& m,s a-. En vista de ello decimos que el lmite cuando x tiende a % por la i&quierda es - expresadoen smbolos como

4)(lim2

=

xgx

or otra parte de la tabla podemos observar tambi!n que cuando x tiende a % para

valores menores que % ( )f x crece sin tope. uesto que no existe un n/mero al que fse

acerque m,s 0 m,s. En este caso decimos que el lmite de ( )f x cuando x tiende a % por lai&quierda de fno existe lo que expresamos

existeno)(lim2

xfx

1e igual manera veamos lo que sucede con los valores de las funciones cuando x se

aproxima a % por valores ma0ores que %. 2saremos la notacin + 2x para expresar que xtiende a % por la derecha. La siguiente tabla muestra algunos de esos valores:


2/22

2

Unidad II Lmites y continuidad de funciones

1e nuevo la tabla sugiere que ( )g x

se acerca m,s 0 m,s a - por lo que diremos que el lmite de ( )g x cuando x tiende a % por la

derecha es -3 en smbolos

4)(lim2

=+

xgx

Adem,s la tabla tambi!n sugiere que ( )f x decrece sin lmite cuando x tiende a % por la

derecha "por valores ma0ores que %$. Como no ha0 ning/n n/mero al que tienda ( )f x

decimos que

existeno)(lim2

xfx +

S$ ll%"%) l!"i#$' l%#$&%l$' %

g(x)xgxx + 22limy)(lim

El hecho de que los dos lmites laterales son iguales se resume diciendo que $l l!"i#$ -$( )g x c+%)-o x #i$)-$ % 2 $' .3 en smbolos

4)(lim2

=

xgx

or otra parte como no ha0 valor com/n para los lmites laterales de ( )f x "de hecho no

existen$ se dice que el lmite cuando x tiende a % no existe3 en smbolos

existeno)(lim2

xfx

O'$&,%cio)$':1 No#$"o' +$ +) l!"i#$ $i'#$ 'i3 4 '*lo 'i3 lo' -o' l!"i#$' l%#$&%l$' $i'#$) 4 'o)i5+%l$' E' -$ci&3

( ) ( ) entonces ( )x ax a x a

Lim f x L y Lim f x L Lim f x L +

= = =

2 L% )oci*) -$ l!"i#$ %)%li% $l co"7o%"i$)#o -$ l% (+)ci*) c$&c% -$ +) 7+)#o -$i)#$&8'3 7$&o )o $) $l 7&o7io 7+)#o

+bservemos ahora que factori&ando el numerador de gpodemos escribir2

2 2

2

2

4lim ( ) lim2

( 2)( 2) lim

2

lim( 2) puede cancelar ya que 2

x x

x

x

xg xx

x x

x

x se x

= +=

= +

+bservemos que este lmite se puede encontrar acerc,ndonos a % tanto por la i&quierda

como por la derecha 0 nos dara -. Es decir 4)(lim2

=

xgx

4r,ficamente

x

2

5)(

2

=x

xxf

2

4)(

2

=x

xxg

%.' 56.( -.'

%.*' 5(6.(( -.*'

%.**' 5((6.((( -.**'%.***' 5(((6.(((( -.***'

%.****' 5'****).((((( -.****'


3/22

3


En general si ( )y f x= decimos queLxf

ax=

)(lim

Es decir cuando los valores de x los aproximamos tanto como queramos al valor de a por lai&quierda 0 tambi!n por la derecha de a el valor de la funcin se aproxima a L.

4r,ficamente

E9$&cicio 1: 1e la gr,fica siguiente determinar%2

lim ( )x

f x b$ 2

lim ( )x

f x+ c$ 0

lim ( )x

f x

d$0

lim ( )x

f x+ e$ 2

lim ( )x

f x f$ 1

lim ( )x

f x g$ 1

lim ( )x

f x+ h$ 1

lim ( )x

f x i$ 3

lim ( )x

f x

22 T$o&$"%' -$ L!"i#$'

#a que hemos comprendido la definicin de Lmite es necesario desarrollaralgunos medios para calcular Lmite de funciones sencillas 0 para ello enunciaremosalgunos teoremas que nos a0udar,n a calcularlos.

T$o&$"% 221

ara cualquier constante c 0 cualquier n/mero real a , ccLimax

=

En otras palabras: 7El lmite de una funcin constante es la misma constante8

E9$"7lo 1: Si ( ) 5f x =


4/22

4


El lmite de ( )f x cuando x se aproxima a 9 - es 6 es decir 55)( 44==

xxLimxfLim

4r,ficamente lo podemos anali&ar de la siguiente manera:

Teorema 2.2.2

ara cualquier n/mero real a , axLimax

=

Grficamente

Teorema 2.2.3 Supongamos que 1 2( ) ( )x a x aLim f x L y Lim g x L

= = , y sea c una constante

cualquiera, entonces

[ ]

[ ]

[ ]

1

1 2

) lim . ( ) .lim ( )

.

) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

) lim ( ). ( ) lim ( ) . lim ( )

x a x a

x a x a x a

x a x a x a

i c f x c f x

c L

ii f x g x f x g x

L L

iii f x g x f x g x

=

= =

=

=

1 2

2

1

2

.

lim ( )( )) lim ! siempre que 0

( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf xiv

g x g x

=

=

=

Dico -$ (o&"% '$)cill%3 $l #$o&$"% %)#$&io& 'i5)i(ic%


5/22

5


i$ El lmite de una constante por una funcin es igual a la constante multiplicada por el

lmite de la funcin.

ii$ El lmite de una suma de dos funciones " o resta$ es igual la suma " o resta $ de los

lmites de cada una de las funciones

iii$ El lmite de un producto de funciones es el producto de los lmites de las funciones.

iv$ El lmite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los dos lmites siempre 0

cuando el lmite del denominador no sea cero.

El resultado que sigue es una aplicacin inmediata de la parte iii$ del teorema %.%.)

haciendo ( ) ( )f x g x= "un resultado como !ste que se deduce inmediatamente de un

teorema se llama co&ol%&io$.

Co&ol%&io 1: upngase que Lxfax

=

)(lim . Entonces [ ]2 2

lim ( )x a

f x L

=

1e la misma forma para cualquier entero positivo n se puede aplicar la parte iii$ delteorema %.%.) repetidamente para obtener

Co&ol%&io 2 Para cualquier entero n " 0 y cualquier n#mero real a ! lim n n

x ax a

=

E9$&cicio 2: Aplicar cuidadosamente los teoremas anteriores para calcular los lmitessiguientes:

2

30

5 2 3) lim

2 $x

x xb

x

++

[ ] nnax

Lxf =

)(lim

2

2) lim(3 2 5)

xa x x

+


6/22

$


T$o&$"% 22. ;l!"i#$ -$ +)% (+)ci*) 7oli)*"ic%

ara cualquier polinomio p 0 para cualquier n/mero real a 3 lim ( ) ( )x a

p x p a

=

Este teorema nos simplifica la manera de encontrar el lmite de un polinomio 0a quesignifica que evaluamos dicho polinomio en el valor al que tiende la variable x .

E9$"7lo 2: Encontrar el lmite de la funcin3

( ) 3 2 4f x x x= + cuando x tiende a 5'

Sol+ci*)

e nos pide encontrar2

lim ( )x

f x ! donde

f es una funcin polinmica. or lo tanto

podemos aplicar el teorema %.%.-3

1 2

3

lim ( ) lim(3 2 4)

3( 1) 2( 1) 4

3( 1) 2 4

3

x xf x x x

= +

= +

= + +

=

E9$&cicio


7/22$

)3(

3

)3)(3(

3

%

3

33

=

=+

+=

+

xLim

x

xxLim

x

xim

x

xx

observemos que el &actor ( 3)x + se

puede eliminar ya que x no toma elvalor de '3! puesto que nos estamos

aproximando a '3 ! tanto como

queramos pero sin tomarlo.


a)3

lim ( )x

f x

b$0

lim ( )x

f x

c$2

lim ( )x

f x

d$5

lim ( )x

f x

T$o&$"% 22=

ara cualquier entero n ; * 0 cualquier n/mero real a Cuando n es par a debe ser

ma0or que cero limn n

x ax a

=

En general si suponemos lim ( )x a

f x L

= ! entonces lim ( ) ( ) nn n

x a x af x l im f x L

= =

E9$&cicio 6: C%lc+l%& $l 'i5+i$)#$ l!"i#$24

1$ 5 2

xLim x x

+ +

Ejemplo 3: Calcular3

%2

3 +

x

xLimx

Solucin

Notemos que al aplicar directamente los teoremas sobre lmites vemos que nos resulta

En este caso no podemos decir que el lmite es alg/n valor o que no existe el lmite.


8/22

-


E9$&cicio >: Calcular%

3%x

xLimx

Ejercicio 8: Calcular3

21

1

1x

xLim

x

+

E9$&cicio ?: Calcular3

22

-

4x

xLim

x

E9$&cicio 10:%

3

%x

xLim

x

E9$&cicio 11: C%lc+l%&3 2

22

2 5 $

5 $x

x x xLim

x x

+

+ +


9/22

%


E9$&cicio 12: C%lc+l%&2

3

3

2 5 3x

xLim

x x

+

+

T$o&$"% 226: P%&% c+%l+i$& )@"$&o &$%l a 3 '$ #i$)$) lim ( ) ( )

) limcos( ) cos( )

)lime

) limln ln ! para 0

x a

x a

x a

x a

x a

i sen x sen a

ii x a

iii e

iv x a a

=

=

=

= >

E9$&cicio 1


10/22

otamos que a medida que los valores de x se

aproximan a cero por la derec/a! los valores de yvancreciendo cada ve mas. Podemos intuir que el l*mite

no existe. Pero al+o ms! los valores de ycrecen sin

l*mite y lo podemos expresar de la manera si+uiente:

= xx

1lim

0

10


E9$&cicio 16: Evaluar0

limcot( )x

x

olucin

2< LIMITES INFINITOSAnalicemos el lmite siguiente:

xx

1lim

0

ara ello haremos un estudio del comportamiento a ambos lados de cero es decirinvestigaremos el lo que sucede con los lmites laterales.

rimero anali&aremos el lmite lateralxx

1lim

0+

constru0endo una tabla de valores

acerc,ndonos tanto como queramos a cero por la derecha "para valores ma0ores que cero$.

x 1

( )f x x=

*.6 %

*.%6 -

*.' '*

*.**' '***

*.****' '*****

1e la misma manera nos acercaremos a cero por la i&quierda es decir para valores menoresque cero.

x 1( )f x

x=

5 *.%6 5-

5 *.*' 5'**

5 *.***' 5'****

5 *.*****' 5 '******

5 *.*******' 5 '********

= xx

1lim

0

4r,ficamente podemos verlo en la figura siguiente

0

1lim

x x+= +

otamos que a medida que los valores de x se

aproximan a cero por la iquierda! los valores de y

van decreciendo cada ve mas. Podemos intuir que el

l*mite no existe. Pero al+o ms! los valores de y

decrecen sin l*mite y lo podemos expresar de la manerasi+uiente:


11/22

11


0

1lim

x x=

D$(i)ici*) 2


12/22

12


+

=

+=

+

paresrsi

imparesrsi1lim)

1lim)

0

0

rx

rx

xii

xi

E9$&cicio 1>: allar el si+uiente l*mite 40

1lim

xx

T$o&$"% 2 * ( )f x tiende a cero a trav!s de valores negativos de ( )f x entonces

+= )(

)(lim

xf

xg

ax

El teorema es v,lido si se sustitu0e 44 ax por4444

+

axoax

E9$&cicio 1: ?allar el lmite siguiente22

13lim

1 +

+ x

x

x


13/22

13


Sol+ci*)

Aplicando el teorema anterior notamos que el limite del numerador cuando x tiende a ' por la

derecha es diferente de cero " es -$. @ambi!n se da que el lmite del denominador tiende a

cero cuando x tiende a '.

Lo que ha0 que verificar es si el denominador " 2 2x $ se acerca a cero a trav!s de valorespositivos o negativos.

+bservemos que nos estamos acercando a ' pero con valores ma0ores que ' entonces eso

implica que 2 2x se acerca a cero pero a trav!s de valores positivos. "probemos alg/n valor

cercano a ' pero ma0or que ' " por eBemplo '.*' entonces notemos que al sustituir '.*' en

2 2x el resultado da positivo$.

or lo tanto podemos escribir que

+=

=

++

+ 0

4

22

13lim

1 x

x

x (0+ : con esto representamos que se est,

acercando a 7cero8 a trav!s de n/meros positivos$

E9$&cicio 1?: 1eterminar2

2 lim

3 $t

t

t

E9$&cicio 20: 6eterminar3

1lim

3t

x

x

+


14/22

14


T$o&$"% 2= xgxfi ax [ ] 0csi)()(lim)


15/22

15


2. ASINTOTAS VERTICALES

Definicin 2.4.1

Cuando se da cualquiera de los siguientes lmites:

==

=+=

+=+=

+

+

)(lim))(lim)

)(lim))(lim)

)(lim))(lim)

xffxfe

xfdxfc

xfbxfa

axax

axax

axax

se dice que la recta x a= es asntota vertical de la gr,fica de la funcin f.

O'$&,%ci*): P%&% ,$&i(ic%& 'i l% &$c#% x a= $' %'!)#o#% ,$ic%l -$ l% (+)ci*)( )

( )( )

p xf x

q x= %'#% co"7&o%& +$ ( ) 0p a 4 ( ) 0q a =

E9$&cicio 21:erificar que 2x= es asntota vertical " A..$ de la funcin

5( )

2f x

x=

E9$&cicio 22: Encontrar las asntotas verticales de la funcin23

1)(

2 +

=xx

xxg

4r,ficamente lo podemos confirmar en la figura siguiente:

2= LIMITES AL INFINITO

2na funcin f podra aproximarse a un valor constante L al crecer o decrecer sin lmite lavariable independiente x. e expresa

x 7lim ( ) bien lim ( )

xf x L f x L

+

= =

ara denotar un lmite al infinito.La siguiente figura muestra - posibilidades de comportamiento de la gr,fica de f cuando x sehace grande en valor absoluto


16/22

1$


D$(i)ici*) 261: ;A'!)#o#%' o&io)#%l$'

i se tiene que LxfoLxfxx

==+

)(lim)(lim se dice que la recta 0 D L3 es una

%'!)#o#% o&io)#%l "A.?.$ de la gr,fica de f .

En la figura b$ anterior la gr,fica de la funcin f posee % asntotas hori&ontales.

E9$"7lo >:

olvamos a la funcinx

xf1

)( = 0 elaboremos una tabla de valores tomando valores cada

ve& m,s grandes "0 m,s peque=os$:

x xxf

1)( =

x xxf

1)( =

'* *.' 5 '* 5 *.'

'*** *.**' 5 '**** 5 *.***'

'***** *.****' 5 '****** 5 *.*****'

'******** *.*******' 5 '********* 5 *.********'

'************ *.***********'

Nota: utili&amos en x potencias de '* para ma0or facilidad sin embargo podemos utili&arcualquier real distinto de cero.1e la tabla anterior notamos que cuando x crece sin lmite los valores de la funcin seacercan a cero 0 cuando decrecen sin lmite los valores tambi!n se acercan a cero. Esto lo

podemos expresar como:0

1lim0

1lim ==

+ xy

x xx respectivamente.

En la siguiente figura mostramos la gr,fica de la funcinx

xf1

)( =

odemos observar que la gr,fica se aproxima a la recta hori&ontal 0 D * " el eBe x$ cuando xtiende a infinito 0 tambi!n cuando x tiende a menos infinito. En estas circunstancias se diceque la recta 0 D * es una asntota hori&ontal.


17/22

1


E9$&cicio 2


18/22

1-


E9$&cicio 2=: E)co)#&%& l%' %'!)#o#%' o&io)#%l$' 4 ,$ic%l$'3 'i l%' #i$)$2

3

3 5 2( )

4

x xf x

x

=

E9$&cicio 26: E)co)#&%& l%' %'!)#o#%' o&io)#%l$' 4 ,$ic%l$'3 'i l%' #i$)$

5312)(

2

+= xxxf

26 CONTINUIDAD DE FUNCIONESEl decir que una funcin es continua en un intervalo intuitivamente significa que la

gr,fica de dicha funcin no tiene cortes en dicho intervalo. En caso contrario se dice que lafuncin es discontinua en el intervalo.1e la misma manera decimos que una funcin es continua en un punto si su gr,fica

no presenta ning/n corte o salto en dicho punto

EBemplos de gr,ficas con discontinuidad en x a=


19/22

1%


D$(i)ici*) 261: U)% (+)ci*) f $' continua$) x a= 'i

)()()

)()

)()

afxfLimiii

existexfLimii

definidoestafi

ax

ax

=

i una de estas condiciones no se cumple entonces f es discontinua en x a=

Ejercicio 2:

1eterminar si las funciones son continuas en el valor indicado

3 1) ( ) 8 22

xa f x xx

+= =

2 %8 3

3

) ( ) es continua en x 3 9

$ 8 3

xx

x

b g x

x

= =

=

CONTINUIDAD POR LA DERECA 4 POR LA IQUIERDA

D$(i)ici*) 262:e dice que una funcin $' co)#i)+% $) +) i)#$&,%lo %i$osi 0 slo si es continua en

cada n/mero del intervalo abierto


20/22

20


D$(i)ici*) 26


21/22

21


Notemos que las gr,ficas a$ 0 d$ anteriores presentan una discontinuidad )o $,i#%l$en elvalor xDc. En el caso a$ sera mucho cambio el que habra que hacer para tratar de hacerlacontinua en xDc 0 si se hace ese cambio sera otra funcin totalmente distinta a la original.En los casos b$ 0 c$ presentan una discontinuidad $,i#%l$ $) c 3 0a que solamente habr,que redefinir la funcin para xDc.

E9$&cicio 2: ?allar todas las discontinuidades de la funcin siguiente. En las que seanevitables redefinir la funcin de modo tal que la nueva funcin sea continua.

2

2( )

4

xf x

x

=

T$o&$"% 266


22/22

22


To-o' lo' 7oli)o"io' 'o) co)#i)+o' $) #o-o '+ -o"i)io T%"i8) 'o) co)#i)+%' l%'(+)cio)$' #&i5o)o"8#&ic%'3 $7o)$)ci%l$' 4 lo5%&!#"ic%' $) '+' &$'7$c#i,o' -o"i)io'

T$o&$"% 26>

son continuas en ! entonces :

)( ) es continua en !)( ) es continua en

) es continua en si ( ) 0 y discontinua en si ( ) 0

Si f y g x a

i f g x aii f g x a

fiii x a g a x a g a

g

=

= =

= = =

E9$&cicio 2?: 1eterminar si las siguientes funciones son continuas en el valor especificado:

%4 3( ) 5 3 $ 3f x x x x= + + 3 $) 0x=

2

1( ) ! e n 2

2

xg x x

x

= =

b)

T$o&$"% 26 ;l!"i#$ -$ +)% (+)ci*) co"7+$'#%

i lim ( ) y es continua en ! entonces

lim ( ( )) ( lim ( ))

( )

x a

x a x a

g x L f

f g x f g x

f L

=

=

=

E9$&cicio

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