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Límite de funciones

Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo. Consideremos la función:

1( )1

xf xx

cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x=1, es decir: / 0, 1D x x x

Si realizamos su representación gráfica:

Para x=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:

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Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función? Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función? A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:

1lim ( )f x Lx

Definición informal de límite Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a b es igual a L y escribimos: lim ( )

x bf x L

Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites laterales. Límites laterales

lim ( )f xx b

, se llama límite lateral por la derecha.

lim ( )f xx b

, se llama límite lateral por la izquierda

Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:

lim ( )b

f x Lx , si y solamente si: lim ( )

bf x

x = lim ( )b

f xx

Ejemplo 1 Sea 1414

)(2 xsixx

xsixxf Hallar )(lim

1xf

x

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Solución:

314)4(lim)(lim11

xxfxx

(Acercamiento por la izquierda)

314)4(lim)(lim 2

11xxxf

xx (Acercamiento por la derecha)

Entonces: 3)(lim1

xfx

Ejemplo 2 Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:

1( )1

xf xx

Solución: Calculemos:

2lim ( )x

f x

Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos: 1(2)

1 2f

y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:

2 2

1lim ( ) lim ( )1 2x x

f x f x

con lo cual tenemos que:

2

1lim ( )1 2x

f x

Para el segundo punto, calculemos:

0lim ( )x

f x

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En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale:

0lim ( ) 1x

f x , por lo tanto el límite pedido no existe.

En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene porqué existir en dicho punto. Ejemplo 3 Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición.

Nota:

no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él. Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no coinciden.

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2 2 20 0 0

1 1 1lim lim limx x xx x x

0 0

1 1lim limx xx x

Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos: F(x) = 1/x2 F(x) =1/x:

Definición formal de límite

- lim ( ) 0 0 / 0 ( )x a

f x L x c f x L

Ejemplo 1

2lim 4 5 3x

x

0 0

0 2x (4 5) 3x

0 2x 4 8x

0 2x 4 2x

0 2x 24

x

4 2lim 4 5 3x

x

Ejemplo 2 2

3lim ( 5) 7x

x x

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20 3 ( 5) 7x x x

34127)5( 22 xxxxxx

lim ( )x b

f x L

Lxfcx )(0

84444424213 xxxx

3x Propiedades de límites Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:

BxgAxfcxcx

)(lim,)(lim Entonces:

limx c

b b limx c

x c

lim . ( )x c

b f x bA lim ( ) ( )x c

f x g x A B

lim ( ). ( ) .x c

f x g x A B ( )lim( )x c

f x Ag x B

0B

lim ( ) lim ( )x cx c

f x f x 0

lim 0x

xk

0lim ( )x

k no existex

lim 0, 0nx

k nx

lim ( )x

x no existek

Cálculo de límites 1. Límites de funciones polinómicas Sea 223)( 23 xxxxf La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que )()(lim cfxf

cx , es decir,

que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.

Ejemplo: Para la función anterior )1(821232)1()1(2)1(3)(lim 23

1fxf

x

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0 00 , , 0. , 0 , , 10

Resumen del Cálculo de límites Indeterminados

00

3

21

1lim1x

xx

2 23

21 1 1

1 1 11lim lim lim1 1 1 1x x x

x x x x xxx x x x

3

21

1 3lim1 2x

xx

1 1 1

1

1 11 1lim lim lim2 2 2 2 1 2. 1 1

1 1lim42. 1

x x x

x

x xx xx x x x x

x

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0

1 1limx

xx

00

11x

22))(( bababa

0 0 0

1 1 ( 1 1)( 1 1) ( 1) 1lim lim lim( 1 1) ( 1 1)x x x

x x x xx x x x x

0 0

1 1lim lim2( 1 1) 1 1x x

xx x x

Sea f(x) una función racional definida por:

om

mm

m

on

nn

n

bxbxbxbaxaxaxa

xf1

11

11

1

............

)(

a) Si n < m entonces: lim ( ) 0

xf x

b) Si n = m entonces: lim ( )x

anf xbm

c) Si n > m entonces: lim ( )x

f x

2

24 1lim

1x

x xx

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2x 2

2 2 2 2

2

22 2

4 1 1 14 4 0 0 4lim lim lim 411 1 0 11x x x

x xx x x x x

xxx x

2

2

4 1lim 41x

x xx

2 3lim

x

x xx

2

2 23 1 31 1 0 1lim lim lim 1

1 1 1x x x

x xx x x x x

xx

2 3lim 1

x

x xx

22

1lim4 2x

xx x

2 2 22 2 2

21 2 2lim lim lim4 2 4 4 0x x x

x xxx x x x

2

2

2

2

2 2lim4 0

2 2lim4 0

x

x

x

x

22

1lim4 2x

x No existex x

2lim

xx x x

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22 2 2 2

2

22lim lim lim

x x x

x x x x x x x x xx x x

x x xx x x 2 2

2 2lim lim

x x

x x x xx x x x x x

2 2

2 2

1 1 1lim lim lim21 1 1 01 1

x x x

xx x

x x x x x xxx x x

2 1lim2x

x x x

0

23

1lim 3 . 0.( )9x

xx

00

23

3 3

3 0lim09

3 1 1lim lim3 3 3 6

x

x x

xx

xx x x

0 0, 0 , 1

( )( ) ( ) ( )( )( )g xLn f x g x Ln f xg xf x e e

( )lim ( ) ( )

lim ( )g xx a

g x Ln f xx af x e

1

1

0

1lim 1 lim 1 xx

x xx

xe

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1 ( )lim ( ) kg x

x af x e lim ( ) 1 ( )k f x g x

x a

2

2

2

21 3

0

1lim1

xx

x

xx

1

2

2

2

21 3

0

1lim1

xx

x

xx

1 ke

2 2

2 20

1 1 3lim ( ) 1 ( ) lim 11x

x xk f x g x kx a x x

2 2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 1 1 3 2 1 3lim lim1 1x x

x x x x xkx x x x

2 2

2 20 0

2 1 3 2 6 2lim lim 21 1 1 1x x

x xkx x

2

2

2

21 3

20

1lim1

xx k

x

xx

e e

Límites trigonométricos Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:

0

( )lim 1x

sen xx

1. 0

1 cos( )lim 0x

xx

2. 0

lim 1( )x

xsen x

3. 0

( )limx

sen kx kkx

No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades trigonométricas

Ejemplo

0

tanlimt

t tsent

0 0

tan coslim limt t

senttt t tsent sent

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0 0 0 0

coscos coscoslim lim lim limcos cos cost t t t

t t sentt t sent t t sentt

sent t sent t sent t sent

0 0

1lim lim 1 1 2cost t

tsent t

0

tanlim 2t

t tsent 0

lim 1t

tsent

Limites infinitos

)(lim xf

ax

)(lim xfax

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Definición 3 La recta x = a se llama asíntota vertical de la función )(xfy si se cumple una de las siguientes proposiciones:

)(lim)(lim)(lim

)(lim)(lim)(lim

xfxfxf

xfxfxf

axaxax

axaxax

Limites al infinito

),(a Lxfx

)(lim

Asíntotas horizontales Definición La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy si se satisface una de las dos expresiones:

LxfoLxf

xx)(lim)(lim

De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

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Ejemplo 11

2

2

xxy si calculamos:

11lim 2

2

xx

x obtenemos como resultado 1, lo cual significa

que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:

Asíntotas oblicuas Sea )(xf una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la función. Ejemplo

Sea 423)(

2

xxxf

Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:

Asíntota oblicua: 121 xy

Veamos la gráfica:

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Nótese que 423lim

2

xx

x y además

2 3lim2 4x

xx

Teorema del emparedado Sean f, g, h funciones tales que: )()()( xhxgxf para todo cx en un intervalo que contiene a c, supongamos que Lxhxf

cxcx)(lim)(lim , entonces:

Lxgcx

)(lim

Ejemplo:

Demuestre que 0)1(lim 2

0 xsenx

x

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Obsérvese que no podemos aplicar que )1(lim.lim)1(lim0

2

0

2

0 xsenx

xsenx

xxx puesto que el segundo

límite no existe.

Como 1)1(1 2

xsenx entonces: 222 )1( x

xsenxx (véase la figura de arriba)

Además: 0)(limlim 2

0

2

0xx

xx por lo tanto 0)1(lim 2

0 xsenx

x

Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, la definición es la siguiente.

1. ))(()( xfDomcf 2. )(lim xf

cx

3. )()(lim cfxfcx

El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites, cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, A continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad. Clases de discontinuidad Si cualquiera de las tres condiciones de Continuidad falla decimos que la función es Discontinua.

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( ) si

( ) si

f x x ag x

L x a

f xx x

x( )

2 5 63

2

3 3 3

5 6 ( 3) ( 2)lim lim lim( 2) 3 2 13 3x x x

x x x x xx x

g xx x

xsi x

si x( )

2 5 63

3

1 3

Ejemplos Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior.

1) La función: 1( )1

xf xx

no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho

punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2(compruébelo).

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La función es discontinua evitable en x=1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio. 2)

2 0

( )( ) 0

x xf x

Log x x

2. (0) (0) 0a f

0 02

0 0

0

. lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim 0

lim ( )

x x

x x

x

b f x Log x

f x x

f x No existe

0. (0) lim ( )

xc f f x

La función no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La función es discontinua inevitable en x=0 por no existir el límite. 3)

2

2 2( )

2x

f xx x

. (2) 2a f

2. lim ( ) 4

xb f x

2

. (2) lim ( )x

c f f x

La función no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el límite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x=2

f xx si x

si xx si x

( )3 5 1

2 13 1

1lim ( )

xf x

1 1lim ( ) lim (3 5) 2

x xf x x

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1 1lim ( ) lim (3 ) 2

x xf x x

1lim ( ) 2

xf x

( 1) 2f lim f x fx 1

1 ( ) ( )

Las discontinuidades las podemos resumir de la siguiente forma:

lim ( ) ( )

lim ( )lim ( ) ( )( )

lim ( )( )

lim ( ) lim ( ) ( )

( )

x a

x a

x a

x a

x a x a

f x f a continua

f x existef x f a discontinua evitablef a está definido

f x no existe discontinua no evitablef x

f x existe f x f a di

f a no definidolim ( )x a

scontinua evitable

f x no existe discontinua no evitable