UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONDEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Prof. Jorge Ruiz Castillo

1 CALCULO DIFERENCIAL

1.1 ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONAL

Recordemos que Rn está provisto de dos operaciones

+ : Rn × Rn → Rn, (x, y)Ã x+ y y · : R×Rn → Rn, (α, x)Ã αx,

donde: (x1, x2, ......, xn) + (y1, y2, ......, yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ......, xn + yn),y α (x1, x2, ......, xn) = (αx1, αx2, ......, αxn)

(Rn,+, ·) es un espacio vectorial real.

Nociones topológicas en Rn

El producto interior en Rn está definido por:

· : Rn ×Rn → Rn, x · y =nXi=1

xiyi, donde x = (x1, x2, ......, xn)

y = (y1, y2, ......, yn)

Este producto interior en Rn satisface las siguientes propiedades

1. (∀x ∈ Rn)x · x ≥ 02. (∀x ∈ Rn)x · x = 0⇔ x = θ

3. (∀x, y, z ∈ Rn) (∀α, β ∈ Rn) (αx+ βy) · z = α (x · z) + β (y · z)4. (∀x, y ∈ Rn)x · y = y · x5. (∀x ∈ Rn)x · θ = 0

.La norma en Rn está definida por:°° °° : Rn → R, kxk = √x · x

Si x = (x1, x2, ......, xn), entonces kxk =px21 + x22 + ......+ x2n

1

Algunas propiedades de la ”norma” son las siguientes:

1. (∀x ∈ Rn) kxk ≥ 02. (∀x ∈ Rn) kxk = 0⇔ x = θ

3. (∀x ∈ Rn) (∀α ∈ Rn) kαxk = |α| kxk4. (∀x, y ∈ Rn) kx+ yk ≤ kxk+ kyk (desigualdad triangular)

5. (∀x, y ∈ Rn) |x · y| ≤ kxk kyk (desigualdad de Cauchy-Schwarz)

.La distancia en Rn está definida por:

d : Rn ×Rn → R, d (x, y) = kx− yk

Si x = (x1, x2, ......, xn) , y = (y1, y2, ......, yn), entonces

d (x, y) =q(x1 − y1)

2 + (x2 − y2)2 + ......+ (xn − yn)

2

Entre sus propiedades podemos mencionar:

1. (∀x, y ∈ Rn) d (x, y) ≥ 02. (∀x, y ∈ Rn) d (x, y) = d (y, x)

3. (∀x, y ∈ Rn) d (x, y) = 0⇔ x = y

4. (∀x, y ∈ Rn) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) (desigualdad triangular)

.Definición.- Sean x0 ∈ Rn y r > 0. Llamamos bola abierta con centro en x0 y-radio r al conjunto B (x0, r) = {x ∈ Rn : kx− x0k < r}En R2, B (x0, r) es una circunferencia con centro en x0 y radio r.En R3, B (x0, r) es una esfera con centro en x0 y radio r.Definición.- Sean G ⊆ Rn y x0 ∈ Rn. Diremos que:

a) x0 es un punto interior de G si existe r > 0 tal que B (x0, r) ⊆ G.Notación.- int (G) o Go es el conjunto de los puntos interiores de G (inte-rior de G).

b) x0 es un punto adherente de G si (∀r > 0)B (x0, r) ∩G 6= φ

Notación.- adh (G) o G es el conjunto de los puntos adherentes a G (adh-ernecia o clausura de G).

c) x0 es un punto de acumulación de G si (∀r > 0)B (x0, r) ∩G− {x0} 6= φ

d) x0 es un punto de frontera de G si es un punto adherente a G y al com-plemento de G.

2

Notación.- Fr (G) es el conjunto de los puntos de frontera de G (Fronterade G).Observación.-

1. 1) x0 ∈ Fr (G)⇐⇒ (∀r > 0) [B (x0, r) ∩G 6= φ ∧B (x0, r) ∩Gc 6= φ].

2) Fr (G) = G ∩Gc.

e) x0 es un punto aislado de G si existe r > 0 tal que B (x0, r) ∩G = {x0}.

.Definición.- Sea G ⊆ Rn. diremos que:

a) G es un conjunto abierto en Rn si G = Go

b) G es un conjunto cerrado en Rn si Gc es un conjunto abierto.

.Observación.-

1. G es abierto⇐⇒ (∀x ∈ G) (∃rx > 0)B (x, rx) ⊆ G.

2. G es cerrado⇐⇒ G = adh (G).

.Ejemplo.- Decidir si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados, indicar suadherencia, interior y frontera.

a) B ((0, 0) , 1) y B ((0, 0) , 1)

b) G =©(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, y = 1

ªc) J =

©(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 2

ªd) K =

©(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 3

ª.

Definición.- Sea G ⊆ Rn. diremos que:

1. G es acotado si existe M > 0 tal que (∀x ∈ G) kxk ≤M .

2. G es compacto si es cerrado y acotado

.Observación.- G es acotado si está incluído en alguna bola abierta.

3

1.2 LIMITES Y CONTINUIDAD

Definición.- Sean D ⊆ Rn un conjunto abierto, f : D ⊆ Rn → R y x0 un puntode acumulación de D. Diremos que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende ax0 si,

(∀ε > 0) (∃δ > 0) 0 < kx− x0k < δ =⇒ |f (x)− L| < ε

Observación.-

1. Cuando el límite anterior existe, es único. En este caso lo denotamos porL = lim

x→ x0x ∈ D

f (x) o L = limx→x0

f (x) si no hay lugar a confusión.

2. Si limx→ x0x ∈ D

f (x) = L, D0 ⊆ D y x0 es un punto de acumulación de D0,

entonces limx→ x0x ∈ D0

f (x) = L.

3. Sean D0,D1 ⊆ D tales que x0 es un punto de acumulación de D0 y D1,tenemos:

limx→ x0x ∈ D0

f (x) 6= limx→ x0x ∈ D1

f (x) =⇒ limx→ x0x ∈ D

f (x) no existe

4. limx→a

f (x) = L⇐⇒ limx→a

[f (x)− L] = 0.

5. Si limx→a

g (x) = 0 y |f (x)− L| ≤ g (x), entonces limx→a

f (x) = L.

.Ejemplos.-

1. Calcule lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) si existe, donde:

(a) f : R2 − {(0, 0)}→ R, f (x, y) =¡y + x2

¢ x2 − y2

x2 + y2

(b) f : R2 − {(0, 0)}→ R, f (x, y) =ex+y

2

x4 + y4

2. Sean f, g : D ⊆ Rn → R, D abierto y x0 ∈ D. Si limx→a

f (x) = 0 y g es

acotada, entonces limx→a

f (x) g (x) = 0.

Nota.- Se dice que una función es acotada si su recorrido es un conjuntoacotado.

4

3. Considere f (x, y) =

sin (x+ y)

x+ y, y 6= −x

x2 cosex

1 + x2, y = −x

.

Calcule si existe lim(x,y)→(0,0)

f (x, y)

4. Evalue usando el algebra de límites, lim(x,y)→(1,0)

¡x3 − 3x2y3 + y4 − 1¢

5. Evalue usando el algebra de límites, lim(x,y)→(1,0)

sin¡x2 + y2 − 1¢

x2 + y2 − 1.

Ejercicios.-

1. Calcule lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) si existe, donde:

(a) f : R2 − {(0, 0)}→ R, f (x, y) =x2 − y2

x2 + y2

Indicación.-lim

(x, y)→ (0, 0)y = x

f (x, y) = 0, lim(x, y)→ (0, 0)

y = 2x2

f (x, y) = 1

(b) f : R2 → R, f (x, y) =

xx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)

(c) f : R2 − {(0, 0)}→ R, f (x, y) =2y3

x2 + y2

(d) f : R2 − {(x, x) : x ∈ R}→ R, f (x, y) =sin¡x2 − y2

¢x− y

Indicación.- |sin t| ≤ |t|

2. Calcular si existe

(a) lim(x,y)→(1,−2)

f (x, y) si (y + 2)(x− 1)2 − (y + 2)2(x− 1)2 + (y + 2)2

(b) lim(x,y)→(1,0)

f (x, y) si f (x, y) =ex+y

3−1

(x− 1)2 + y4

.Teorema.- (Algebra de límites) Sean f, gD ⊆ Rn → R y x0 un punto de acumu-lación de D. Si lim

x→x0f (x) y lim

x→x0g (x) existen, se tiene:

1. limx→x0

[f (x) + g (x)] = limx→x0

f (x) + limx→x0

g (x)

2. limx→x0

αf (x) = α limx→x0

f (x), con α ∈ R

5

3. limx→x0

[f (x) g (x)] = limx→x0

f (x) limx→x0

g (x)

4. limx→x0

f(x)g(x) =

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x) , si limx→x0g (x) 6= 0

Demostración.- Análoga al caso de una variable. Queda como ejercicio.

.Definición.- Sean f : D ⊆ Rn → R, D abierto y x0 ∈ D. Diremos que f escontinua en x0 si lim

x→x0f (x) = f (x0).

Observación.-

1. f es continua en x0 ssi

(∀ε > 0) (∃δ > 0) 0 < kx− x0k < δ =⇒ |f (x)− f (x0)| < ε

2. Sean f : D ⊆ Rn → R y x0 ∈ D. f .no es continua en x0 ssi limx→x0

f (x) no

existe o limx→x0

f (x) 6= f (x0).

.Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto y x0 ∈ D. Diremos que f escontinua si lo es en cada punto de D.

Ejemplos.- Estudie la continuidad de:

1. f : R2 → R definida por

(a) f (x, y) =

¡y + x2

¢ x2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =

(x3 sin

y

x− y2 sin

x

y, xy 6= 0

0 , xy = 0

2. f : R2 − {(0, 0)}→ R, f (x, y) =¡y + x2

¢ x2 − y2

x2 + y2

.Teorema.- Sean f, g : D ⊆ Rn → R, D abierto de Rn y x0 ∈ D un punto deacumulación.

a) Si f y g son continuas en x0, entonces αf + βg es continuas en x0.

b) Si f y g son continuas en D, entonces αf + βg es continua en D.

6

Demostración.-

a) Inmediata del teorema ”álgebra de límites”.

b) Inmediata de a).

.Teorema.- Sean f : D ⊆ Rn → R, g : R → R. Si f y g son continuas sobre elabierto D, entonces g ◦ f : D ⊆ Rn → R es continua.

Demostración.- Sea x0 ∈ D. Sea ε > 0, entonces existe δ > 0 tal que (g escontinua en f (x0))

|y − f (x0)| < δ =⇒ |g (y)− g (f (x0))| < ε..... (∗)Dado que f es continua en x0 y δ > 0, existe δ

0 > 0 tal que

kx− x0k < δ0 =⇒ |f (x)− f (x0)| < δ..... (∗∗)De . (∗) y (∗∗);

kx− x0k < δ0 =⇒ |g (f (x))− g (f (x0))| = |(g ◦ f) (x)− (g ◦ f) (x0)|Se tiene:

(∀ε > 0) ¡∃δ0 > 0¢ kx− x0k < δ0 =⇒ |(g ◦ f) (x)− (g ◦ f) (x0)| < ε

Por lo tanto, limx→x0

(g ◦ f) (x) = (g ◦ f) (x0), lo que prueba que g ◦ f es continuaen x0. En consecuencia g ◦ f es continua sobre D.

Definición.- Sean f : D ⊆ Rn → Rm, f = (f1, f2, ......, fn) y x0 ∈ D. Sedice que f es continua en x0 si (∀i = 1, 2, ....,m) fi es continua en x0.

Ejemplo.- Estudiar la continuidad de la función definida por:

1. f (x, y) =y3 − x+ 1

x4 + x2 + 1

2. f (x, y) =

( x

sinx+ xy2 − 3 , x 6= nπ, para todo n ∈ Z−2 , x = nπ,para algún n ∈ Z

3. f (x, y) =

(xy)

4

(xy)4 + (x− y)2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

4. f (x, y) =

x3y

|x|3 + |y|3 , (x, y) 6= (0, 0)1 , (x, y) = (0, 0)

7

.Ejercicios.-

1. Encontrar el límite en cada punto de discontinuidad de las funciones delejemplo anterior, si este existe.

2. Estudiar la continuidad de las funciones definidas por:

(a) f (x, y) =

(x− 1)4 (y + 2)4

(x− 1)4 (y + 2)4 + (x− y − 3)2 , (x, y) 6= (1,−2)0 , (x, y) = (1,−2)

(b) f (x, y) =

(x− 8)3 y|x− 8|3 + |y| , (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)

(c) f (x, y) =

x3y4

|x|3 + y12, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

3. Calcular los siguientes límites si existen:

(a) lim(x, y)→ (0, 0)(x, y) ∈ S

xy

x2 + y2

(b) lim(x, y)→ (0, 0)(x, y) ∈ S

x2 − y2

x2 + y2

cuando S es uno de los siguientes subconjuntos de R2.

i. S = {(x, y) : y = ax}, a 6= 0ii. S =

©(x, y) : y2 = ax

ª, a 6= 0

iii. S = {(x, y) : x > 0, y > 0, y < x}iv. S = R2

4. En que puntos no son continuas las funciones definidas por

(a) f (x, y) =

x2 − y2

x2 + y2 − 1 , x2 + y2 6= 10 , x2 + y2 = 1

(b) f (x, y) =

sin¡x2 + y2

¢x2 + y2

, (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

(c) f (x, y) =

−2xy

(x2 + y2)12

, (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

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(d) f (x, y) =

x3 − y3

x− y, x 6= y

0 , x = y

.Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R y sea x0 un punto de acumulación de D.Diremos que

1. limx→x0

f (x) = +∞ si ∀M > 0,∃δ > 0 : 0 < kx− x0k < δ =⇒ f (x) > M .

2. limx→x0

f (x) = −∞ si ∀M < 0,∃δ > 0 : 0 < kx− x0k < δ =⇒ f (x) < M .

3. limkxk→+∞

f (x) = L si (∀ > 0) (∃M > 0) kxk > M =⇒ |f (x)− L| < ε.

.Observación.- Valen las reglas dadas para funciones de una variable. Bastaconocer el algebra en R.

Ejemplos.-

1. lim(x,y)→(1,0)

1

|x− 1|+ y2= +∞

2. lim(x,y)→(0,0)

tan³x2 + y2 − π

2

´= −∞

3. lim(x,y)→(1,1)

sin (x− y)

x− yetan

π2 x no existe.

1.3 DIFERENCIACION

1.3.1 DERIVADAS PARCIALES

Definición.- Sean f : D ⊆ Rn → R, D abierto y sea x0 ∈ D. ∀i = 1, 2, ...., n,llamamos derivada parcial de f c/r a xi, en el punto x0, al límite

limh→0

f (x0 + hei)− f (x0)

h, si existe

B = {e1, e2, ......, en} es la base canónica de Rn.

Notación.-∂f

∂xi(x0) o fxi (x0)

Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto y supongamos que f admitederivada parcial c/r a xi en cada punto de D. Llamamos derivada parcial de fc/r a xi a la función

∂f

∂xi: D ⊆ Rn → R, xà ∂f

∂xi(x) = lim

h→0f (x1, .., xi + h, ..., xn)− f (x1, ...., xn)

h

9

Observación.-

1. Si n = 1, la derivada parcial de f coincide con la derivada total u ordinariade f

2. De acuerdo con la definición de derivadas parciales, dado x ∈ Rn, obtener∂f

∂xi(x) consiste en derivar a f como si sólo dependiera de una sola variable

xi, considerando al resto de ellas como constantes. Por esto siguen valiendolas reglas de derivación del cálculo de funciones de una variable. En par-

ticular, si f : D ⊆ Rn → R y g : R→ R,∂f

∂xi(x) existe y

dg

du(f (x)) existe,

entonces∂ (g ◦ f)∂xi

(x) existe y además,∂ (g ◦ f)∂xi

(x) =dg

du(f (x))

∂f

∂xi(x).

.Ejemplos.-

1. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = x3y2 + xy2ez3

+ 2x − 5y + 1. Encontrar∂f

∂x,∂f

∂yy∂f

∂zen el punto (−1, 2, 0).

2. Sea f : R2 → R, f (x, y) =

x

µxx2 − y2

x2 + y2+ 1

¶, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0).

Encontrar∂f

∂x(x, y) ,

∂f

∂y(x, y) si existe.

3. Sea f : R2 → R, f (x, y) =

( y

x2 + y, y 6= −x2

0 , y = −x2.

Encontrar∂f

∂x(x, y) ,

∂f

∂y(x, y) si existe.

.Ejercicio.- Calcule las derivadas parciales si existen. Estudie además la con-tinuidad de las derivadas parciales.

1. f : R3 → R, f (x, y, z) = y2ex2+y+2z cos

¡y + z3

¢2. f : D ⊆ R2 → R, f (x, y) = ln (yx + 1), donde D = {(x, y) : y > 0}3. f : R2 → R, f (x, y) = sin v cosu

4. f : R3 → R, f (x, y, z) =³x3 + 3y3+z3

´5 ³1 + cos

¡x2 + yz3

¢3´55. f : D ⊆ R2 → R, f (x, y) = logy x, donde D = {(x, y) : x > 0, y > 0}

6. f : R4 → R, f (x, y, z, w) =

x2 − y2

z2 + w2, (z, w) 6= (0, 0)

0 , (z, w) = (0, 0)

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7. f : R2 → R, f (x, y) =

(x2y sin

1

x, x 6= 0

0 , x = 0

.Definición.- Sean f : D ⊆ Rn → R y x0 ∈ D. Supongamos que la derivada par-

cial∂f

∂xi: D ⊆ Rn → R existe. Dado j = 1, ....., n; llamamos derivada parcial de-

orden 2 de f c/r xi primero y c/r a xj después, evaluada en el punto x0 a la

derivada parcial de la función∂f

∂xic/r a xj en el punto x0, si existe.

En forma análoga se definen las derivadas de f de orden mayor o igual a 3.

Ejemplos.-

1. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = z2 − xy. Encontrar∂2f

∂x2,∂2f

∂x∂z,

∂3f

∂x∂y∂z,

∂3f

∂y2∂zetc.

2. Sea f : R2 → R, f (x, y) =

x2

y2, y 6= 0

x , y = 0. Encontrar

∂2f

∂x2(a, 0) y

∂3f

∂x3(a, 0) si existe con a ∈ R.

.Teorema(de Schwarz).- Consideremos f : D ⊆ Rn → R con D abierto de Rn.

Supongamos que∂f

∂xi,∂f

∂xj,

∂2f

∂xi∂xjexisten y son continuas, entonces

∂2f

∂xj∂xi

existe y∂2f

∂xj∂xi=

∂2f

∂xi∂xj.

Demostración.- Ver Cálculo de Funciones Vectoriales de Willianson, Crowelly Trotter, página 221.

Observación.- Sin la hipótesis de continuidad para fxy (o fyx) el teorema ante-rior no es necesariamente válido.

Ejemplo.- Sea f : R2 → R, f (x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0).

Se tiene:

· ∂f∂x(x, y) =

y¡x4 − y4 + 4x2y2

¢(x2 + y2)2

, (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

· ∂f∂y(x, y) =

−x ¡y4 − x4 + 4x2y2

¢(x2 + y2)

2 , (x, y) 6= (0, 0)0 , (x, y) = (0, 0)

11

· ¯̄x4 − y4 + 4x2y2¯̄ ≤ x4+y4+4x2y2 ≤ 2x4+2y4+4x2y2 = 2 ¡x2 + y2

¢2........ (∗)¯̄̄̄

∂f

∂x(x, y)− 0

¯̄̄̄= |y|

¯̄x4 − y4 + 4x2y2

¯̄x2 + y2

≤∗ 2 |y|→ 0, cuando (x, y)→ (0, 0).

Esto muestra la continuidad de∂f

∂xen (0, 0).

En forma análoga se muestra la continuidad de∂f

∂yen (0, 0).

·. ∂2f

∂y∂x(x, y) =

x6 − y6 + 9x4y2 − 9x2y4(x2 + y2)3

, (x, y) 6= (0, 0), y ∂2f

∂y∂x(0, 0) = −1.

· lim(x, y)→ (0, 0)

y = x

∂2f

∂y∂x(x, y) = 0

Por lo tanto∂2f

∂y∂xno es continua en (0, 0).

· En forma análoga se prueba que ∂2f

∂x∂yno es continua en (0, 0).

Ejercicios.-

1. Sea g : R2 → R, g (x, y) =

(x3 sin

y

x− y2 sin

x

y, xy 6= 0

0 , xy = 0. demuestre

que∂2g

∂y∂xy

∂2g

∂x∂yno son continuas.

2. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) =1

k(x, y, z)k . Muestre que: fxx+fyy+fzz = 0.

.Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto. Si f posee derivadas parcialeshasta el orden m,m ∈ N y estas son continuas sobre D, diremos que f es unafunción de clase Cm sobre D, se escribe f ∈ Cm (D). se dice que f ∈ C∞ (D) si(∀m ∈ N) f ∈ Cm (D).

Observación.-

1. Se dice que f es continuamente diferenciable sobre D si C1 (D).2. Se dice que f es m veces continuamente diferenciable sobre D si Cm (D).3. f ∈ C0 (D)⇐⇒ f es continua sobre D.

4. Para funciones de una variable f : G ⊆ R→ R, la existencia de la derivadade f en un punto implica la continuidad de f en ese punto. Este no es elcaso pàra funciones f : D ⊆ Rn → R ya que la existencia de las derivadas(parciales primeras) no implica la continuidad de f . Por ejemplo verifiqueque

f : R2 → R, f (x, y) =

( xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

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tiene derivadas parciales (primeras) en todo punto, sin embargo f no escontinua en el origen.

5. Se prueba que si f tiene derivadas parciales (primeras) continuas en unabierto D ⊆ Rn, entonces f es continua sobre D.

6. Sea f : D ⊆ R2 → R continua. sea S la superfie definida por

z = f (x, y) .

∂f

∂x(a, b) es la pendiente de la curva de ecuación z = f (x, b) en el punto

(a, b, c), es decir, la ”pendiente” de la superficie S en la dirección del eje x.

1.3.2 LA DIFERENCIAL

Sea f : D ⊆ Rn → R tal que∂f

∂xi(x0) existe para i = 1, 2, ....., n. Consideremos

la aplicación lineal L : Rn → R definida por L (x) =∂f

∂x1(x0)x1+

∂f

∂x2(x0)x2+

............+∂f

∂xn(x0)xn, donde X = (x1, ...., xn).

Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto y sea x0 ∈ D. Se dice que fes diferenciable en x0 si

limx→x0

f (x)− f (x0)− L (x− x0)

kx− x0k = 0

Si f es diferenciable en x0, entonces a la aplicación lineal L se la llama ladiferencial de f en x0 y se le denota por L = dx0f .

Ejemplo.- Sea f : R2 → R, f (x, y) = x2 + 2xy. Muestre que f es dife-renciable en (2, 1).

Observación.-

1. Consideremos f diferenciable en x0. se tiene:f (x)− f (x0) = L (x− x0) + ε (x) (kx− x0k), donde lim

x→x0ε (x) = 0.

13

Por lo tanto,f (x)− f (x0) ≈ L (x− x0), para x cercano a x0.f (x)− f (x0) ≈ A (x), para x cercano a x con A (x) = L (x)− L (x0).

2. La diferencial L = dx0f cuando existe es única.

.Teorema.- Si f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en x0, entonces f es continua enx0.

Demostración.- |L (x− x0)| ≤M kx− x0k (ya que f es lineal).|f (x)− f (x0)| =Obs.1. |L (x− x0) + ε (x) (kx− x0k)| ≤≤ (M + ε (x)) kx− x0k→x→x0 0.Por lo tanto lim

x→x0f (x) = f (x0).

Esto prueba que f es continua en x0.

Ejemplo.- f : R2 → R, f (x, y) =

( xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0), no es con-

tinua en (0, 0), luego no es ,diferenciable en (0, 0).

Observe que en este caso∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

Observación.- Sea f : D ⊆ Rn → R diferenciable en x0.

1. dx0f : Rn → R, dx0f (x) =∂f

∂x1(x0)x1+

∂f

∂x2(x0)x2+............+

∂f

∂xn(x0)xn.

2. Notación.- dxi (x) ≡ xi.

3. dx0f =∂f

∂x1(x0) dx1 +

∂f

∂x2(x0) dx2 + ............+

∂f

∂xn(x0) dxn.

Si no hay lugar a confusión escribimos

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + ............+

∂f

∂xndxn.

.Ejemplo.- Se puede ver que f : R2 → R, f (x, y) = x2 + 2xy es diferenciablesobre todo punto de R2. En este caso

df = (2x+ 2y) dx+ 2xdy

d(1,2)f = 6dx+ 2dy

1.3.3 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES

Y EJEMPLOS

Teorema.- (Algebra de las funciones diferenciables)Sean f, g : D ⊆ Rn → R diferenciables en x0 ∈ D, entonces f + g, fg son

14

diferenciables en x0, y si g (x0) 6= 0, también lo es fg. Además:

dx0 (f + g) = dx0f + dx0g

dx0 (fg) = f (x0) dx0g + g (x0) dx0f

dx0

µf

g

¶=

g (x0) dx0f − f (x0) dx0g

[g (x0)]2

Demostración.- Ejercicio

Observación.-

1. Si f : D ⊆ Rn → R es constante, entonces (∀x ∈ D) dxf ≡ 0.2. En las condiciones de hipótesis del teorema, y si α es constante, entonces

dx0 (αf) = αdx0 (f).Demostración.- 1. y 2. ejercicio.

.Teorema.- Supongamos que fx1 , fx2 , ......, fxn existen en una vecindad de x0 =(c1, c2, ........, cn) y son continuas en x0. Entonces f es diferenciable en x0.

Demostración.- Ver Trench, página 344.

Observación.-

1. Diremos que f es continuamente diferenciable sobre el abierto D ⊆ Rn sif ∈ C1 (D).

2. Si f ∈ C1 (D), entonces f es diferenciable sobre el abierto D.

.Ejemplos.-

1. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) =

sin (xyz)

x2 + y2 + |z| , (x, y, z) 6= (0, 0, 0)0 , (x, y, z) = (0, 0, 0)

.

(a) Muestre que f es diferenciable en (0, 0, 0).

(b) Muestre que f es diferenciable en (1, 2,−1).(c) Encuentre la (buena) aproximación de f en alguna vecindad del punto

(1, 0,−1).

2. Sea f : R2 → R, f (x, y) =

¡x− y2

¢sin

1

x− y, x 6= y

0 , x = y. Se tiene:

15

(a)∂f

∂x(x, y) = 2 (x− y) sin

1

x− y− cos 1

x− y;x 6= y.

(b)∂f

∂x(x, x) = lim

h→0f (x+ h, x)− f (x, x)

h= − lim

h→0h2 sin

1

h= 0.

(c) De la misma manera:

∂f

∂y(x, y) =

−2 (x− y) sin1

x− y+ cos

1

x− y, x 6= y

0 , x = y

(d) lim(x, y)→ (a, a)

y = a

∂f

∂x(x, y) =

= lim(x, y)→ (a, a)

y = a

·2 (x− y) sin

1

x− y− cos 1

x− y

¸=

= limx→a

·2 (x− a) sin

1

x− a− cos 1

x− y

¸: No existe

(e) Por lo tanto∂f

∂xes discontinua en (a, a) con a ∈ R.

(f) De la misma manera se muestra que∂f

∂yes discontinua en (a, a) con

a ∈ R.(g) En particular

∂f

∂xy∂f

∂yson discontinuas en (0, 0). Sin embargo f es

diferenciable en (0, 0) ya que:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y)− f (0, 0)− fx (0, 0)x− fy (0, 0) ypx2 + y2

=

= lim(x,y)→(0,0)

f (x, y)px2 + y2

,

¯̄̄̄¯ f (x, y)p

x2 + y2

¯̄̄̄¯ ≤

(x− y)2

¯̄̄̄sin

1

x− y

¯̄̄̄px2 + y2

≤ (x− y)2p

x2 + y2≤

≤ x2 + y2 − 2xypx2 + y2

≤ x2 + y2 + x2 + y2px2 + y2

≤

≤ 2px2 + y2 →(x,y)→(0,0) 0.

.Observación.- Esto muestra que las hipótesis del teorema anterior son suficientespero no necesarias (es decir,el recíproco no es válido).

16

1.3.4 FUNCIONES DIFERENCIABLES DE Rm en Rn

Definición.- Dada una función vectorial

f : D ⊆ Rm → Rn, f = (f1, f2, ......., fn)

y x0 un punto de acumulación de D , se define

limx→x0

f (x) =

µlimx→x0

f1 (x) , limx→x0

f2 (x) , ......., limx→x0

fn (x)

¶Se dice que f es continua en un punto x0 ∈ D si cada función componente escontinua en x0. Se dice que f es continua en D si cada función componente escontinua en D.

Ejemplos.- Sea f : R3 → R2, f (x, y, z) =µ

x2 + 1

y2z2 + 3, xy − z2

¶. Se tiene:

1. lim(x,y,z)→(1,0,−2)

f (x, y, z) =

µ2

3,−4

¶2. f1 : R3 → R, f1 (x, y, z) =

x2 + 1

y2z2 + 3y f2R3 → R, f2 (x, y, z) = xy − z2 son

las funciones componentes de f .

3. f es continua ya que sus funciones componentes lo son.

.Definición.- Sea f : D ⊆ Rm → Rn, D abierto y sea x0 ∈ D. Se dice que fes diferenciable en x0 si cada función componente lo es. En tal caso dx0f =¡dx0f1, dx0f2, ......, dx0fn

¢.

Observación.-

1. f es diferenciable en x0 si existe una aplicación lineal L : Rm → Rn talque

limx→x0

f (x)− f (x0)− L (x− x0)

kx− x0k = θ.

2. dx0f es única, cuando existe.

3. Si f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.

4. Una aplicación T : Rm → Rn se dice afín si existe L : Rm → Rn lineal yexiste −→v ∈ Rn fijo tal que(∀x ∈ Rm)T (x) = L (x) +−→v .

.Observación.- Si f : D ⊆ Rm → Rn es diferenciable en x0, entonces f tiene unaaproximación afín en una vecindad de x0.

Demostración.- f = (f1, f2, ......, fn) y cada función componente de f puedeaproximarse por una función afín en una vecindad de x0 (ya que cada fi esdiferenciable en x0).

17

1.3.5 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES

1. Si f : D ⊆ Rm → Rn, f (x) = k; con k ∈ Rn constante, entonces f esdiferenciable en todo punto x0 de D y además:

dx0f ≡ θ (aplicación lineal nula)

2. Si f : D ⊆ Rm → Rn, f (x) = L (x) + −→v (aplicación afín) entonces f esdiferenciable en todo punto x0 de Rm, y además:

dx0f = L.

3. Si f : Rm×Rm → Rn es bilineal, entonces f es diferenciable en todo punto(x0, y0) de Rm ×Rm, y además

d(x0,y0)f : Rm ×Rm → Rn, d(x0,y0)f (x, y) = f ((x0, y) + f (x, y0))

.Ejemplo.- f : R2×R2 → R, f (x, y, u, v) = (2x− y) (u− 3v) es bilineal sobre R2.f es diferenciable sobre todo punto de R2 ×R2, en particular f es diferenciableen (1, 0, 0, 1) y además:

d(1,0,0,1)f : R2 ×R2 → R, d(1,0,0,1)f (x, y, u, v) == f ((1, 0, u, .v) + f (x, y, 0, 1)) =

= 2u− 6v − 6x+ 3y

Observación.- Vale también el álgebra de funciones diferenciables dada parafunciones f : D ⊆ Rn → R.

Nota.-

1. f : D ⊆ Rm → Rn ∈ Cr (D)⇐⇒ (∀i = 1, 2, ......, n) fi ∈ Cr (D).2. Para f : ]a, b[→ Rn, se tiene:

f = (f1, f2, ......, fn)

f 0 (t) = (f 01 (t) , f02 (t) , ......, f

0n (t))

dt0fi : R→ R, dt0fi (t) = f 0i (t0) tdt0f : R→ Rn, dt0f (t) = f 0 (t0) t =

= (dt0f1 (t) , dt0f2 (t) , ..........., dt0fn (t))

18

1.3.6 MATRIZ JACOBIANA

Definición.- Si f : D ⊆ Rm → Rn es diferenciable en x0 ∈ D, se llamaMatriz Jacobiana de f en x0, a la matriz

J (f, x0) =

∂f1∂x1

(x0)∂f1∂x2

(x0) . . .∂f1∂xm

(x0)

∂f2∂x1

(x0)∂f2∂x2

(x0) . . .∂f2∂xm

(x0)

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.∂fn∂x1

(x0)∂fn∂x2

(x0) . . .∂fn∂xm

(x0)

donde f = (f1, f2, ......, fn).

Observación.-

1. J (f, x0) = [dx0f ], es decir, la matriz Jacobiana de f en x0 es la matriz dela aplicación lineal dx0f : Rm → Rn en las bases canónicas de Rm y Rn.

2. Se obtiene:dx0f (x) = J (f, x0) · xt

.Ejemplo.- Si T : R2 → R2, T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ), entonces

J (T, (r, θ)) =

∂T1∂r

(r, θ)∂T1∂θ

(r, θ)

∂T2∂r

(r, θ)∂T2∂θ

(r, θ)

=

µcos θ −r sin θsin θ r cos θ

¶

1.3.7 REGLA DE LA CADENA(diferencial de la compuesta)

Teorema (Regla de la cadena).- Sea g : Rk → Rn diferenciable en x0. Seaf : Rn → Rm diferenciable en g (x0). Entonces h = f ◦ g : Rk → Rm esdiferenciable en x0 y se tiene que:

dx0h = dg(x0)f ◦ dx0gObservación.- J (h, x0) = J (f, g (x0)) · J (g, x0).

Ejemplo.- Sea h : R2 → R, h (x, y) =

x2y2 sin1

xy, xy 6= 0

0 , xy = 0. Decida si h

es diferenciable en (0, 0).

19

Solución.- h = f ◦ g, con f (t) =

(t2 sin

1

t, t 6= 0

0 , t = 0y g (x, y) = xy.

Note que h es diferenciable en todo punto (a, 0) y (0, b) con a, b ∈ R.

Observación.- Si f : D ⊆ Rn → E ⊆ Rn es biyectiva y diferenciable en x0,entonces J

¡f−1, f (x0)

¢= J (f, x0)

−1.

Regla de la cadena para derivadas parciales

Notación.-∂ (h1, h2, ........, hp)

∂ (s1, s2, ........, sq)denota la matriz Jacobiana

µ∂hi∂sj

¶i = 1, 2, ......, pj = 1, 2, ......, q

, es decir

∂ (h1, h2, ........, hp)

∂ (s1, s2, ........, sq)=

∂h1∂s1

∂h1∂s2

. . .∂h1∂sq

. . . .

. . . .

. . . .∂hp∂s1

∂hp∂s2

. . .∂hp∂sq

Teorema.- Si u1 = f1 (x1, ....., xn) , ................, um = fm (x1, ....., xn) definen am funciones diferenciables; y si x1 = g1 (t1, ...., tk) , ..........., xn = gn (t1, ...., tk),entonces

∂ (u1, ......, um)

∂ (t1, ......., tk)=

∂ (u1, ......, um)

∂ (x1, ......., xn)· ∂ (x1, ......., xn)∂ (t1, ......., tk)

(∗)

.Observación.- Comparando coeficientes de las matrices Jacobianas en (∗) ten-emos:

∂ui∂tj

=∂ui∂x1

∂x1∂tj

+∂ui∂x2

∂x2∂tj

+ ............+∂ui∂xn

∂xn∂tj

Ejemplos.-

1. Encontrar∂u

∂ry∂u

∂θsi u = h (x, y); x e y en coordenadas polares.

2. (derivación implícita) Dada la relación z2x3y+x2−3 = z3y+y4, suponga

que z = f (x, y); x = uv2, y = v3. Encontrar∂z

∂u,∂z

∂vy

∂2z

∂v∂u.

Indicación.-∂z

∂u=

∂z

∂x

∂x

∂u+

∂z

∂y

∂y

∂u.

20

.

Ejercicio.- Demuestre que en coordenadas polares la ecuación∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

se convierte en∂2u

∂r2+1

r2∂2u

∂θ2+1

r

∂u

∂r= 0.

1.3.8 DERIVADAS DIRECCIONALES

Definición.- Sean f : D ⊆ Rn → R y x ∈ Rn. Llamamos derivada de f en x0según el vector x, a la derivada si existe de la función

g : A ⊆ R→ R, g (t) = f (x0 + tx) en t = 0.

.

Notación.- Dxf (x0) = limt→0

f (x0 + tx)− f (x0)

t

Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R diferenciable en el abierto D. Se define elgradiente de f como el ”campo vectorial”

gradf : D ⊆ Rn → Rn, gradf (x) =µ∂f

∂x1(x) ,

∂f

∂x2(x) , ........,

∂f

∂xn(x)

¶.Notación.- gradf (x) = ∇f (x).

Teorema.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto y sea x0 ∈ D. Si f es diferenciableen x0, entonces: (∀x ∈ Rn)Dxf (x0) existe y

Dxf (x0) = dx0f (x) = ∇f (x0) · x.Observación.- La demostración de la 1a igualdad es análoga al caso

∂f

∂xi(x0) = dx0f (ei) .

.Definición.- Sea v ∈ Rn, diremos que v es una dirección en Rn si kvk = 1.

Observación.-

1. Para n = 1, las únicas direcciones son v1 = 1 y v2 = −1.2. Para n = 2, toda dirección se puede definir por v = (cos θ, sin θ), 0 ≤ θ <2π. (θ detrermina la dirección).

3. Para n ≥ 2, las componentes de una dirección satisfacen las relacionesvi = cos θi; i = 1, 2, ...., n

θi es el ángulo formado por v y ei, donde {ei}ni=1 es la base canónica deRn.

21

.Definición.- Dados un punto x0 y v una dirección en Rn, la recta que pasa porx0 + v y x0 se llama recta que pasa por x0 con dirección v. Esta viene dadapor:

{x ∈ Rn : x = x0 + tv, t ∈ R}.Definición.- Sea f : D ⊆ Rn → R, D abierto.Sean x0 ∈ D y v una dirección.Llamamos Derivada de f en x0 en la dirección v a

∂f

∂v(x0) = lim

t→0f (x0 + tv)− f (x0)

t, si existe

.Observación.-

1. Más simplemente llamamos a∂f

∂v(x0) derivada direccional de f en x0.

2.∂f

∂xi(x0) es un caso particular de derivada direccional

∂f

∂xi(x0) =

∂f

∂ei(x0) .

3. La recta que pasa por x0 y dirección v, es la misma que pasa por x0 ydirección −v, sin embargo los sentidos son opuestos, luego resulta naturalque

∂f

∂ (−v) (x0) = −∂f

∂v(x0)

.

Ejemplo.- Para f : R2 → R, f (x, y) =

x2

y, y 6= 0

0 , y = 0. Pruebe que:

¡∀−→v = (a, b) : a2 + b2 = 1¢;∂f

∂v(0, 0) =

a2

b, b 6= 0

0 , b = 0.

Sin embargo f no es continua en (0, 0).

Ejercicio.- Sea f : R2 → R, f (x, y) =

2x2 − y

x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0). Pruebe

que:

D−→X(0, 0) =

2a2

b, b 6= 0

0 , b = 0; con

−→X = (a, b) .

22

Sin embargo f no es diferenciable en (0, 0).

Observación.- Sea −→v = (cos θ1, cos θ2, ......., cos θn) una dirección en Rn. en-tonces si f es diferenciable en x0,

∂f

∂v(x0) = ∇f (x0) ·−→v ,

es decir,

∂f

∂v(x0) =

∂f

∂x1(x0) cos θ1 +

∂f

∂x2(x0) cos θ2 + ...........+

∂f

∂xn(x0) cos θn.

En particular para n = 2;

∂f

∂v(x0, y0) =

∂f

∂x(x0, y0) cos θ +

∂f

∂y(x0, y0) sin θ, con

−→v = (cos θ, sin θ)

.Ejemplo.- Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2. Encontrar la derivadadireccional de f en el punto (x0, y0, z0) = (1, 1, 1), en la dirección de−→v1 = (1, 1, 1).

DERIVADA DIRECCIONAL MAXIMA

Teorema.- Sean D ⊆ Rn abierto, f : D ⊆ Rn → R diferenciable en x0. Laderivada direccional de f en x0 es máxima en la dirección del vector gradiente

bu = ∇f (x0)k∇f (x0)k

.Observación.- Según el teorema:

(∀v ∈ Rn : k−→v k = 1)¯̄̄̄∂f

∂v(x0)

¯̄̄̄≤ ∂f

∂u(x0) , donde bu = ∇f (x0)

k∇f (x0)k .

.Demostración de teorema.-

∂f

∂v(x0) = ∇f (x0) ·−→v¯̄̄̄

∂f

∂v(x0)

¯̄̄̄= |∇f (x0) ·−→v | ≤ k∇f (x0)k

Si bu = ∇f (x0)k∇f (x0)k , entonces

∂f

∂u(x0) = ∇f (x0) · ∇f (x0)k∇f (x0)k = k∇f (x0)k .

23

.Ejemplo.- En el anterior, ¿cuál es el valor máximo de la derivada direccional en(1, 1, 1) y cuál es su dirección?.

Ejercicio.- Hallar los puntos (x, y) y las direcciones para las que la derivadadireccional de la función definida por f (x, y) = 3x2 + y2 tiene el valor máximosi (x, y) está en la circunferencia x2 + y2 = 1.

Indicación.-∂f

∂u(x, y) es máxima si bu (x, y) = ∇f (x, y)

k∇f (x, y)k∇f (x, y) = (6x, 2y); k∇f (x, y)k = 2

p9x2 + y2;

bu = Ã 3xp9x2 + y2

,yp

9x2 + y2

!∂f

∂u(x, y) = k∇f (x, y)k = 2

p9x2 + y2: es el valor de la derivada direccional

máxima en la dirección de bu (x, y).Sea g (x, y) = 2

p9x2 + y2; con x = cos θ, y = sin θ queda

g (θ) = 2p1 + 8 cos2 θ.

Considere h (θ) = g (θ)2 y encuentre los extremos de h con 0 ≤ θ ≤ 2π.

1.4 Aplicaciones

Teorema de la función inversa

Teorema.- Sea f : S ⊆ Rn → Rn, S abierto, f = (f1, f2, ....., fn) de claseC1 y sea T = f (S).Supongamos que el Jacobiano |J (f, x0)| 6= 0, en algún punto x0 de S.Entonces existen una única función g y dos conjuntos abiertos X ⊆ S e Y ⊆ Ttales que

i) x0 ∈ X y f (x0) ∈ Y

ii) Y = f (X)

iii) f es inyectiva sobre X

iv) g está definida sobre Y , g (Y ) = X y

(∀x ∈ X) g (f (x)) = x

v) g ∈ C1 (Y )

24

Ejemplo.- Dada la función definida por f (x, y) =¡x√y, y√x¢;x ≥ 0, y ≥ 0.

a) ¿Admite f una inversa en una vecindad U de (4, 4)?.

b) Si f admite una inversa en una vecindad de (4, 4), determine la aproxi-mación afín de f−1 en el punto (8, 8).Solución.- Consideramos. f : S ⊆ R2 −→ R2, f (x, y) =

¡x√y, y√x¢con

S =©(x, y)R2 : x > 0, y > 0

ª. S es abierto, f ∈ C1 (S) y |J (f, (4, 4))| = 3 6= 0.Por lo tanto,

a) f admite una inversa local de clase C1 definida en una vecindad U de(4, 4).

b) f (4, 4) = (8, 8)La aproximación afín de f−1 en el punto (8, 8) tiene ecuación:

B (u, v) = f−1 (8, 8) + d(8,8)f−1 (u− 8, v − 8)

= (4, 4) + J¡f−1, (8, 8)

¢µ u− 8v − 8

¶= (4, 4) + J (f, (4, 4))−1

µu− 8v − 8

¶= (4, 4) +

µ2 11 2

¶−1µu− 8v − 8

¶B (u, v) =

µ2u− v + 4

3,2v − u+ 4

3

¶.

Ejercicio.- Sea f definida por

f (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, z) ; 0 < r, 0 < θ < 2π, z ∈ R.

a) Calcule (si existe) la diferencial de f en³1,π

3, 0´.

b) ¿Existe inversa local de f cerca de³1,π

2, 0´?.

c) Calcule la aproximación afín de f−1 en (1, 0, 0).

.Notación.- Sea x ∈ Rn, t ∈ Rk; (x, t) ∈ Rn+k.

Teorema de la función implícita

Teorema.- Sea F : S ⊆ Rn+m → Rm ∈ C1 (S), S abierto, tal que (x0, u0) ∈ S.Suponemos que:

25

i) F (x0, u0) = θ

ii) Fu (x0, u0) es no singular, es decir,

detFu (x0, u0) =

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄̄

∂f1∂u1

.. ..∂f1∂um

: :: :

∂fm∂u1

.. ..∂fm∂um

¯̄̄̄¯̄̄̄¯̄̄ 6= 0.

Entonces, existe una vecindad abierta M de (x0, u0) contenida en S, yuna vacindad abierta N de x0 en Rn sobre la cual está definida una únicatransformación G : N ⊆ Rn → Rm tal que:

I) (x,G (x)) ∈M,x ∈ N

II) G (x0) = u0

III) F (x,G (x)) = θ, x ∈ NMás aún, G es continuamente diferenciable sobre N y

JxG = − [Fu (x, u)]−1 Fx (x,G (x))

.Corolario.- Sea f : Rn+1 → R de clase C1 sobre el abierto S, tal que (x0, u0) ∈ S.Suponemos que:

i) f (x0, u0) = 0

ii) fu (x0, u0) 6= 0.Entonces, existe una vecindad M de (x0, u0) contenida en S, y una vacin-dad N de x0 en Rn sobre la cual está definida una única función g : N ⊆Rn → R tal que:

I) (x, g (x)) ∈M,x ∈ N

II) g (x0) = u0

III) f (x, g (x)) = 0, x ∈ NAdemás: g ∈ C1 (N) y

gxi (x) = −fxi (x, g (x))

fu (x, g (x)), 1 ≤ i ≤ n.

26

Ejemplo.-

1. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = (y + z) cosx. Pruebe que f define unafunción implícita diferenciable z = h (x, y) en una vecindad de (0, 0, 0).Halle d(0,0)h.Solución.-. f : S ⊆ R3 → R, f (x, y, z) = (y + z) cosx con S = R3. S es abierto, (0, 0, 0) ∈ S, f ∈ C1 (S). f (0, 0, 0) = 0 y

∂f

∂z(0, 0, 0) = 1 6= 0.

Por lo tanto, f define una función implícita diferenciable z = h (x, y) enuna vecindad de (0, 0, 0) y acemás:

∂h

∂x(x, y) = −

∂f

∂x(x, y, z)

∂f

∂z(x, y, z)

= (y + z) tanx

∂h

∂y(x, y) = −

∂f

∂y(x, y, z)

∂f

∂z(x, y, z)

= −1

De esta manera

J (h, (0, 0)) =

µ∂h

∂x(0, 0) ,

∂h

∂y(0, 0)

¶= (0,−1)

J (h, (0, 0))

µxy

¶= (0,−1)

µxy

¶= (−y) ≡ −y,

d(0,0)h : R2 → R, d(0,0)h (x, y) = −y.

2. Suponga que las variables x, y, u, v están relacionadas por el sistema deecuaciones:

x2 − y2 = −2uv − 15x+ 2xy = u2 − v2 + 10

Sea P0 (1, 2,−2, 3).

(a) Pruebe que este sistema define a u y v como funciones diferenciablesde (x, y) en una vecindad del punto (1, 2).

(b) Determine∂v

∂y(1, 2) ,

∂2u

∂x2(1, 2)

(c) Sean u = h (x, y) , v = g (x, y) las funciones implícitas cuya existen-cia se probó en i). Muestre que f = (h, g) admite función inversadiferenciable en una vecindad del punto (1, 2).

(d) Determine la transformación afín que aproxima f−1 en una vecindaddel punto (−2, 3).

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Indicación.- F : R4 → R2,

F (x, y, u, v) =¡x2 − y2 + 2uv + 15, x+ 2xy − u2 + v2 − 10¢

F ∈ C1 ¡R4¢ , F (1, 2,−2, 3) = (0, 0) y |FU (X0, U0)| = 52 6= 0.Por lo tanto:

(a) Existe f : N ⊆ R2 → R diferenciable tal que

f (x, y) = (h (x, y) , g (x, y)) = (u, v)

(b) J (f, (1, 2)) = − (JU0F )−1 (JX0F ) = − 1

52

µ6 −44 6

¶µ2 −45 2

¶=

. =

− 813 4

13

−1126

− 713

=

∂u

∂x(1, 2)

∂u

∂y(1, 2)

∂v

∂x(1, 2)

∂v

∂y(1, 2)

(c) f es de clase C1 (del T. de la F. Implícita), |J (f, (1, 2))| = 6

136= 0. Por el

T. de la F. Inversa, f es localmente invertible.

(d) J¡f−1, (−2, 3)¢ = J (f, (1, 2))

−1= − 1

12

µ14 8−11 16

¶La aproximación afín de f−1 en una vecindad de (−2, 3) está definida por:

B (u, v) = f−1 (−2, 3) + d(−2,3)f−1 (u+ 2, v − 3) = (x, y)

Nota.-∂v

∂y(1, 2) ,

∂2u

∂x2(1, 2) de la parte (b) se pueden obtener derivando

implícitamente en el sisitema dado. Se obtiene∂2u

∂x2(1, 2) = −64

13.

.Ejercicios.-

1. En el ejemplo 1. anterior determine además la ecuación del espacio (plano)tangente a la superficie S =

©(x, y) ∈ R2 : h (x, y) = 0ª en (0, 0).

2. Pruebe que la ecuación

xyz + sin (z − 6)− 2 ¡x+ y + x2y2¢= 0

define en una vecindad del punto P0 (1, 1, 6) a z como función implícita dex e y; es decir, z = ϕ (x, y).Determine ϕx (1, 1) , ϕy (1, 1) , ϕxy (1, 1) , ϕyy (1, 1) , ϕxx (1, 1).

.

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Propiedades del gradiente. Curvas y superficies de nivel

Si φ : D ⊆ Rn → R, D abierto, y φ diferenciable, entonces

gradφ : D ⊆ Rn → Rn, gradφ (x) = ∇φ (x) =µ∂φ

∂x1,∂φ

∂x2, ......,

∂φ

∂xn

¶Si φ y ψ : D ⊆ Rn → R son diferenciables, entonces:

a) ∇ (φ+ ψ) = ∇φ+∇ψ b) ∇ (φψ) = ψ∇φ+ φ∇ψ

c) ∇ (φ/ψ) = 1

ψ2(ψ∇φ− φ∇ψ), para x ∈ D tal que ψ (x) 6= 0.

Demostración.- Son consecuencia inmediata de la definición de ∇f y delas propiedades de las derivadas.

.Interpretación geométrica.- Consideremos n = 3, c=cte. y sea

Dc = {−→x ∈ D : φ (−→x ) = c}

Dc es una superficie en R3 si dimDc = 2. Si este es el caso entonces, Dc tieneun plano tangente en el punto −→a = (a1, a2, a3) de ella y la ecuación del planotangente es:

∇φ (−→a ) · (−→x −−→a ) = 0,es decir

∂φ

∂x(−→a ) (x− a1) +

∂φ

∂y(−→a ) (y − a2) +

∂φ

∂z(−→a ) (z − a3) = 0.

Esto es el vector ∇φ (−→a ) es normal al plano tangente, luego es normal a lasuperficie Dc definida por la ecuación φ (−→x ) = c en el punto −→a .

. ∇φ (−→a )Plano tangente

. × −→a φ (−→x ) = c

. superficie equipotencial

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Observación.-

1. Dicho plano tangente existe en todo punto −→a tal que φ (−→x ) 6= −→0 .2. Si φ (x, y, z) = f (x, y)− z, entonces

∇φ (x, y, z) =µ∂f

∂x(x, y) ,

∂f

∂y(x, y) ,−1

¶⊥Dc.

.Consideremos ahora n = 2, entonces Dc = {−→x ∈ D : φ (−→x ) = c} es una curvaen R2. Si ∇φ (−→a ) 6= −→0 , −→a = (a1, a2), entonces la recta tangente a la curva Gc

en el punto −→a tiene ecuación

∂φ

∂x(−→a ) (x− a1) +

∂φ

∂y(−→a ) (y − a2) = 0

y ∇φ (−→a ) es normal a dicha tangente, y luego lo es a la curva Gc en el punto−→a .. ∇φ (−→a )

. × −→a φ (−→x ) = c

curva equipotencial

Definición.- El campo escalar φ cuyo gradiente es ∇φ se llama función poten-cial del campo vectorial ∇φ.Las correspondientes superficies Dc, definidas por φ (

−→x ) = c, x ∈ D, se llamansuperficies equipotenciales o superficies de nivel si n > 2. Si n = 2 se habla decurvas equipotenciales o de nivel.

.Cálculo III - 5212273 de marzo de 2006JRC

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