Apunte 1 - Funciones, Limites y Continuidad

Apuntes de Cálculo Límite y Continuidad

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

1.1 EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN Con tres ejemplos se introducirá la noción del límite de una función. Luego, se

definirá el concepto de límite. Este concepto es la base de la definición de la derivada y de la

integral definida.

Ejemplo 1 Sea f(x) =2x2 + 1. ¿Qué le sucede a f(x) a medida que x se acerca a 3? Solución Se elabora una tabla de los valores de f(x) para algunos valores de x cercanos

a 3:

x

3,100

3,010

3,001

2,999

2,990

2,900

f(x)

20,220

19,1202

19,012

18,988

18,880

17,820

Cuando x se acerca a 3, 2x2 + 1 es próximo a: 2⋅32+1=19 Se dice que "el límite de 2x 2 + 1, cuando x tiende a 3 es 19", y se escribe:

Notación de "límite" 2 2

3

(2 1) 2 3 1 19limx

x→

+ = ⋅ + =

La flecha → significa "tiende a"; así, se puede escribir: Cuando x → 3, 2x2 + 1 → 19.

El ejemplo 1 no tiene ningún obstáculo. El siguiente, presenta un pequeño desafío.

Ejemplo 2 Sea 3

2

1( )

1

xf x

x

−=−

. Nótese que esta función no está definida para x = 1, ya que

cuando x = 1, tanto el numerador como el denominador son 0.

Esto implica que: Dom f = IR -{1} .

Debemos plantearnos la siguiente pregunta:

⋅


2

¿Cómo se comporta f(x) cuando x está próximo a 1, pero no es exactamente 1?

Solución No se puede simplemente sustituir x = 1 en la f6rmula de la función como se hizo

en el ejemplo 1. Para determinar cómo se comporta f(x), primero se hace una pequeña tabla de

valores de f(x) que incluya hasta cuatro cifras decimales significativas, para x próximo a 1. Se

escogen algunos valores de x mayores que 1 y otros menores que 1. Por ejemplo,

f(1.01) =1.5075.

x

1,10

1,01

1

0,90

0,99

f(x)

1,5762

1,5075

?

1,4263

1,4925

Observando la tabla podríamos conjeturar que cuando x tiende a 1, la función f(x) tiende a 1,5.

Para clarificar esto usando calculadora, evaluar 3

2

1( )

1

xf x

x

−=−

en 1,001 y 0,999.

Ahora veremos que existe un procedimiento algebraico para calcular

el límite en forma más rápida y precisa.

Cuando x está próximo a 1, el numerador de la fracción 3

2

1

1

x

x

−−

tiende a 0; así existe

una influencia para que la fracción tienda a 0. Por otro lado, el denominador x2 -1 también

tiende a 0; al dividir un número por otro número pequeño, la fracción tiende a ser un valor muy

grande. ¿Cómo es posible entonces que de acuerdo a los cálculos el límite sea 1,5?.

Las identidades algebraicas

3 2

2

1 ( 1)( 1)

1 ( 1)( 1)

x x x x

x x x

− = + + −− = + −

permiten responder la pregunta. Rescribimos el cociente (x3 - 1)/(x2 - 1) de la siguiente manera;

cuando x es diferente de 1, se tiene

3 2 2

2

1 ( 1)( 1) 1 con 1

1 ( 1)( 1) 1

x x x x x xx

x x x x

− + + − + += = ≠− + − +


3

por tanto, el comportamiento de (x 3 - 1 )/(x2 - 1) para x cerca de 1, pero no igual a 1, es el

mismo comportamiento de (x2 + x + 1)/(x + 1) para x cerca de 1, pero no igual a 1. Entonces

3 2

21 1

1 1lim lim

1 1x x

x x x

x x→ →

− + +=− +

Ahora, 2 1

1

x x

x

+ ++

se comporta con tanta precisión para x cerca de 1, como lo hace 2x2 + 1 en el

ejemplo 1, para x cerca de 3. A medida que x tiende a 1, (x2 + x + 1) tiende a 12 + 1 + 1 = 3, y

(x + 1) tiende a 2.

Así, 2

1

( 1) 3lim

( 1) 2x

x x

x→

+ + =+

, de esto se deduce que 3

21

1 3lim

1 2x

x

x→

− =−

Observe que 3

2= 1.5, lo cual está muy cerca de los valores de f(1.01) y f(0.99), como se observa

en la tabla anterior.

Ejemplo 3 Sea ( )x

f xx

= , elaborar la gráfica de f y examinar cómo se comporta

f (x) a medida que 0x → , (se lee x tiende a cero). Solución Primero que todo, nótese que f(x) no está definida en x = 0, puesto que no tiene sentido dividir por cero. (Cero no pertenece al dominio de f(x) ). Luego, se hace una tabla de valores f(x) para unos pocos valores de x.

x

2

1

0,1

-0,1

-1

-2

x

xxf =)(

1

1

1

-1

-1

-1

Cuando x es positivo, f(x) =1, y cuando x es negativo, f(x)=-1.

En la siguiente figura se presenta el gráfico de la función f, los círculos en (0, 1) y en (0, -1) indican

que los puntos no están en la gráfica.

0

-1

1

x

y

Figura1: La gráfica de f(x) =x

x


4

Ahora se puede describir cómo se comporta f (x) cuando x se aproxima a 0 por la derecha, f(x) es siempre 1. Si x se aproxima por la izquierda, f(x) es siempre -1. Dado que f(x) no tiende a un número fijo cuando, entonces no existe el límite, cuando x tiende a cero:

0

lim x

x

x→∴ no existe

Aunque una función f tenga un límite en a no tiene nada que ver con f(a) en sí mismo.

En efecto, a puede o no estar en el dominio de f. Véanse los ejemplos 2 y 3. En el ejemplo

1, (a = 3) está en el dominio de f, pero tal hecho no influencia el raciocinio. Lo único que

importa es el comportamiento de f(x) para x “cerca” de a.

Estos tres ejemplos proporcionan bases suficientes para describir el concepto de límite

que se emplearemos a lo largo del curso.

Considérese una función f y un número a que puede estar o no en el dominio de f. Para

analizar el comportamiento de f(x) en x cerca de a, se debe conocer que el dominio de f contiene

números arbitrariamente cercanos a a. Nótese cómo esta suposición, basa en las siguiente

definición.

Definición: (Límite de f(x) en a). Sea f una función y a un número fijo. Suponga que dominio de f contiene intervalos

abiertos (c, a) y (a, b), como aparece en la figura 2. Si existe un número L, tal que, a medida

que x se acerca a a, bien sea por la derecha o por la izquierda, f (x) se aproxima a L, entonces

L, se llama el límite de f(x) cuando x tiende a a. Esto se escribe:

lim ( )x a

f x L→

= , o bien ( )f x L→ , cuando x a→

Figura 2: A medida que los valores de x, tiende al valor a, las imágenes de estos valores, bajo la función f , tienden al límite L.

a

L

c b x

y

0

f(x)


5

Definición ( ε épsilon, δ delta para el límite de f(x) en a). Consideremos un intervalo abierto que contiene a a. Sea f una función definida en

todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. La

afirmación

lim ( )x a

f x L→

= ⇔ ∀ ε> 0, ∃ δ > 0, tal que si

0 x a< − < δ, entonces ( )f x L− < ε

En el ejemplo1, se encontró que: 2

3

(2 1) 19limx

x→

+ = , lo cual ilustra la definición para a = 3 y

f(x)= 2x2 + 1. El hecho de que 3 está en el dominio de f es irrelevante.

El ejemplo 2 demostró que: 3

21

1 3lim

1 2x

x

x→

− =−

, lo cual ilustra esta definición para a =1 y f

(x) = (x3 - 1)/(x2 - 1). El hecho de que f(x) no esté definida para x = 1, no afecta el razonamiento.

El siguiente ejemplo ilustra un límite que será analizado posteriormente.

Ejemplo 4 Examinar 0

2 1lim

x

x x→

−

Solución Cuando x está próximo a 0, 2x es cercano a l. Por tanto, el numerador es

próximo a 0. El denominador es cercano a 0 cuando x es muy pequeño. En consecuencia,

no es fácilmente predecible cómo va a ser el cociente (2x - 1)/x, cuando x está cerca de 0. En

este caso, 2x -1 no es un polinomio, ninguna identidad algebraica permitirá obtener la

respuesta. Por esto se recurrirá a la calculadora. La siguiente tabla con tiene los valores de

algunos números calculados para x cerca de 0.

x 0,5 0,1 0,05 0,0l -0,01 -0,05 - 0,1 -0,5

2x -1 0,4142 0,0718 0,0353 -0,0069 0, 0070 -0,0034 -0,0670 -0,2929

(2x -1)/x 0,0828 0,7177 0,7053 0,6956 0,6908 0,6813 0,6697 0,5858


6

Los datos sugieren que cuando x se aproxima a 0 por la derecha, (2x - 1)/x decrece y se

aproxima a un número cercano a 0,69. También, cuando x se aproxima a 0 por la izquierda,

parece que (2x - 1)/x se incrementa y se acerca, quizá, al mismo valor.

Si es así, ¿cuál es el número? No puede ser una fracción corriente, puesto que la

única fracción corriente cercana es 32 , que es un valor más pequeño, la respuesta a está

interrogante se dará posteriormente. La figura 3,

muestra la gráfica de f(x)=(2x - 1)/x .

1.2 LÍMITES LATERALES Definición

Límite por la derecha de f(x) en a. Sea f una función y a algún número fijo. Supóngase

que el dominio de f contiene un intervalo abierto (a, b). Si, a medida que x se aproxima a a por la

derecha, f(x) tiende a un número específico L, entonces L se denomina el límite por la derecha de

f(x) cuando x se aproxima a a. Esto se escribe así:

la expresión lim ( )

x a

f x L→

=+

(Limite por la derecha)

se lee como “el límite de f de x cuando x tiende a a por la derecha es L”, o bien, “cuando x tiende

a a por la derecha, f(x) tiende a L”.

El límite por la izquierda se define de manera similar. Las únicas diferencias son que el

dominio de f debe contener un intervalo abierto de la forma, (c, a) y f(x) se examina cuando x

tiende a por la izquierda. Las notaciones para el límite por la izquierda son

Figura 3: Gráfico de f(x)=(2x - 1)/x, para x > 0

X ?

0

Y


7

lim ( )x a

f x L→

=−

, o bien cuando x→ a-, f(x) → L.

Como lo demuestra el ejemplo 3,

0

lim 1x

x

x→

=+

y 0

lim 1x

x

x→

= −−

Nótese que si tanto los límites por la derecha como por la izquierda de f existen en a y son

iguales, entonces existe lim ( )x a

f x→

.

Pero si los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, entonces no existe

lim ( )x a

f x→

. Por ejemplo, 0

limx

x

x→no existe . Esto se resume en el siguiente teorema.

Teorema (La existencia de Límite). Si f es una función y si c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x tiende hacia c

es L si y sólo si

lim ( )x c

f x L−→

= y lim ( )x c

f x L+→

=

El siguiente ejemplo repasa los conceptos de límites.

Ejemplo 5 La figura 4, es la representación gráfica de una función f cuyo dominio es el intervalo cerrado [-8, 6]. y (a) ¿Existe limx→1 f(x) ? (b) ¿Existe limx→2 f(x) ?

(c) ¿Existe limx→3 f(x)?

-8 -5 0 1 2 3 4 5 6 x (d) ¿Existe limx→6- f(x)?

Solución (a) Al inspeccionar a gráfica, se ve que limx→1- f(x)=1 y limx→1+ f(x)=2

. 3

2

1

.


8

Aún cuando los límites laterales existen, no son iguales. Así el limx→1 f(x) no existe, f

no tiene un límite cuando x tiende a 1.

(b) Al examinar la gráfica, se ve que limx→2+ f(x) ≈ 3,5 y limx→2- f(x) ≈ 3,5.

Así limx→2 f(x) existe y es aproximadamente 3,5. La gráfica de f muestra el punto (2, 2),

esto es que f(2)=2. Esta información, sin embargo, no desempeña ningún papel en la

determinación del límite.

(c) Un análisis muestra que limx→3- f(x)=1 y limx→3+ f(x)=1. Así limx→3 f(x) existe y es

1.

Observación Una función con tan mal comportamiento como la del ejemplo 5 no será de mayor

interés en el cálculo. Sin embargo, sirve para clarificar las definiciones de límites por la

derecha y por la izquierda, así como la noción de enfermedad ilustra nuestro entendimiento de

salud.

En contraste las funciones más tediosas son las funciones “constantes”. Una función

constante asigna el mismo valor (constante) a cada uno de los elementos del dominio, por

ejemplo si k es el valor constante, entonces f(x)=k para todo x. La gráfica de esta función

es una línea paralela al eje X, (como en la figura siguiente) se tiene

Así lim ( )

x af x k

→= (a ∈ IR )

Por ejemplo si f(x) = 4, entonces lim ( ) 4

x af x

→= (para todo a ∈ IR).

Figura 5. Gráfico de f(x)=k

x

k

y

0


9

Teorema (Funciones que coinciden salvo en un punto). Sea c un número real y f(x) = g(x) para todos los cx ≠ , en un intervalo abierto que

contiene a c. Si límite de g(x) cuando x→ c existe, entonces también existe el límite de f(x) y

además lím ( ) lim ( )x c x c

f x g x→ →

= .

Ejemplo 6 (Dos funciones que coinciden salvo en un punto).

Probar que las funciones: 3 1

( )1

xf x

x

+=+

y 2( ) 1g x x x= − +

tienen los mismos valores para todos los 1x −≠ . Solución Factorizando el numerador de f, obtenemos:

3 21 ( 1)( 1)

( )1 1

x x x xf x

x x

+ + − += =+ +

Así pues, para 1x ≠ − , podemos cancelar factores iguales, de modo que

2

2( 1)( 1)( ) 1 ( ), 1

1

x x xf x x x g x x

x

+ − += = − + = ≠ −+

Por tanto, en todos los puntos distintos de 1x ≠ − las funciones f y g son iguales, y

además 3

2

1 1

1lim lim( 1) 3

1x x

xx x

x→− →−

+ = − + =+

. El gráfico de g se ve en la siguiente figura.

X

Y

-1

Figura 6: 3

21( ) 1; 1

1

xf x x x x

x

+= = − + ≠ −+

0,5


10

Teorema (Álgebra de límites). Si b y c, son números reales, n entero positivo y f, g funciones que tienen límite cuando, x c→ , entonces son ciertas las siguientes propiedades:

1. Múltiplo escalar:

[ ]lim ( ) lim ( )x c x c

bf x b f x→ →

=

2. Suma o diferencia: [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x→ → →

± = ±

3. Producto: [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x→ → →

=

4. Cuociente: lim ( )( )

lim , si lim ( ) 0( ) lim ( )

x c

x c x c

x c

f xf xg x

g x g x

→

→ →→

= ≠

5. Potencia: [ ]lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

→ → =

Ejemplo

Usando propiedades de límites hallar: 21

1 2lim

3x

x

x→

−

Solución Usando el teorema anterior, obtenemos:

1

2 21

1

lim(1 2 )1 2lim

3 lim3

x

x

x

xx

x x

→

→→

−− =

Propiedad 4

1 1

2

1

lim1 lim2

lim3

x x

x

x

x

→ →

→

−= Propiedad 2

1 1

2

1

lim1 2lim

3lim

x x

x

x

x

→ →

→

−= Propiedad 1

( )1 1

2

1

lim1 2lim

3 lim

x x

x

x

x

→ →

→

−= Propiedad 5

2

1 2 1 1

3 1 3

− ⋅= = −⋅


11

Teorema. (Límite de un polinomio) Si p(x) es un polinomio y c es un número real, entonces lim ( ) ( )

x cp x p c

→= .

Demostración

Si 1 0( ) . . .n

np x a x a x a= + + + , sucesivas aplicaciones de las propiedades de la suma y

del múltiplo escalar llevan a que:

1 0lim ( ) lim . . . lim limn

nx c x c x c x c

p x a x a x a→ → → →

= + + +

Por las propiedades 1, 2, 3 del Teorema anterior, se tiene: 1 0lim ( ) . . . ( )n

nx c

p x a c a c a p c→

= + + + =

Teorema: (Límite de una función racional) Si r es una función racional dada por r(x)= p(x)/q(x) y c es un número real tal que

q(c) ≠ 0, entonces

( )

lim ( ) ( )( )

pcr x r c

qcx c= =

→

Ejemplo

Calcular 2

22

3 5 2lim

4x

x x

x→

− − +

Solución Como el denominador no es cero para x = 2, se puede aplicar el teorema anterior y se

obtiene: 2 2

2 22

3 5 2 3 2 5 2 2 0lim 0

4 2 4 8x

x x

x→

− − ⋅ − ⋅ −= = = + +

Teorema (Límite de una función que contiene un radical). Si c > 0 y n es cualquier entero positivo, o si c ≤ 0 y n es un entero positivo impar,

entonces lim n n

x cx c

→= .

Teorema (Límite de una función compuesta)


12

Si f y g son funciones tales que lim ( )x c

g x L→

= y lim ( ) ( )x L

f x f L→

= entonces ( )lim ( ) ( )x c

f g x f L→

= .

Ejemplo 1

Calcular 3 2

2lim 2x

x x→−

− + −

Solución

Como el índice de la raíz es impar no importa el signo de la cantidad subradical,

sea 2( ) 2g x x x= − + − , con 2

lim ( ) 8x

g x→−

= − y 3( )f x x= . Por lo tanto, se tiene que:

3 2 2 33

2 2 2lim ( ( )) lim 2 lim ( 2) ( 2) 2 8 2x x x

f g x x x→− →− →−

= − + − = − − + − − = − = − .

Ejemplo 2

Calcular 12

2lim 2x

x→

+

Solución

El índice de la raíz es par, y como 2( ) 2g x x= + >0 para todo x , podemos aplicar

las propiedades anteriores, así 12

2 1 9lim( 2) ( )

2 4xx g

→+ = = y ( )f x x= , luego

12

9 3lim

4 2xx

→= = .

Entonces se deduce que: 1 12 2

2 3lim ( ( )) lim 2

2x xf g x x

→ →= + =

Ejemplo 3

Calcular 0

3 3limx

x

x→

+ −

Solución

Al efectuar la sustitución directa se llega a la forma indeterminada 0 / 0

0

lim( 3 3) 0x

x→

+ − =

0

3 3limx

x

x→

+ −

0lim 0x

x→

=

En este caso, rescribimos la fracción racionalizando (es decir, eliminando el radical del numerador)


13

3 3 3 3 3 3 (3 ) 3

3 3 ( 3 3)

x x x x

x x x x x

+ − + − + + + −= = + + + +

1

, 0( 3 3) 3 3

xx

x x x= = ≠

+ + + +

Aplicando teoremas anteriores, se tiene que:

0

3 3limx

x

x→

+ − =0

1 1 3 3lim

63 3 2 3 3x x→= ⋅ =

+ +

Teorema de la compresión (Regla del sándwich)

Si ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ cuando x está cerca de a (excepto quizá en a), y lim ( ) lim ( )x a x a

f x h x L→ →

= = ,

entonces lim ( )x a

g x L→

=

Ejemplo Demuestre que 2

0

1lim 0x

x senx→

= .

Solución en primer lugar, note que no es posible aplicar 2 2

0 0 0

1 1lim lim limx x x

x sen x senx x→ → →

= ⋅ .

Porque 0

lim (1/ )x

sen x→

no existe. Sin embargo, como 1

1 1senx

− ≤ ≤ , tenemos como se

ilustra en la figura, 2 2 21 x x sen x

x− ≤ ≤ .

y = x2

y = - x2

y = x2sen

1

x

y

x

0


14

Ejercicios

a) Construye una tabla de valores para verificar el resultado anterior 2

0

1lim 0x

x senx→

= .

b) Usa la técnica de racionalización para calcular los límites siguientes:

(i) 5

2 10lim

2 1 3x

x

x→

−− −

(ii) 0

1 1limx

x

x→

+ − (iii)

Respuestas: 6, 1 y 6

2− .

1.3 Continuidad

El término continuo tiene el mismo sentido en matemática que en el lenguaje cotidiano.

Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en c,

que ni se rompe ni tiene saltos o huecos.

Definición de continuidad

Continuidad en un punto:

Una función f se dice continua en c si se verifican las condiciones:

(i) f(c) está definido (ii) lim ( ) existex c

f x→

(iii) lim ( ) ( )x c

f x f c→

=

Continuidad en un intervalo abierto:

Una función f se dice continua en un intervalo ]a, b[ , si es continua en todos los

puntos de ese intervalo.

Se dice que f es discontinua en c, si f está definida en un intervalo abierto que contiene a

c, y f no es continua en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: Evitables Y

no evitables (o esenciales). Se dice que una discontinuidad en x = c, es evitable si f, puede

hacerse continua redefiniéndola en x = c. En la siguiente figura la función f tiene una

discontinuidades evitable y otra no-evitable.

2

3x -1

1lim

1

x

x→

−+

Figura 7:Los dos tipos de discontinuidad. Discontinuidad evitable en C1, discontinuidad no evitable o esencial en C2.

x

y

a b C1 C2


15

Ejemplo 1

Las siguientes funciones son continuas en IR.

Las funciones polinómicas 2

2 1 0( ) . . . n

np x a x a x a x a= + + + +

Las funciones seno y coseno f(x)=sen(x), g(x)= cos(x)

Las funciones exponenciales H(x)= ax con a ∈ IR.

La función valor absoluto ( )f x x= .

Ejemplo 2

Determinar si la función2

, si 1( )

, si 1

x xf x

x x

<=

≥, es continua en x = 1.

Solución

Usando la definición de continuidad en un punto.

Como la función f está definida en x = 1, se cumple la primera condición de la definición de

continuidad. Se debe determinar si existe, 1

lim ( )x

f x→

, como la función está definida por

tramos, en este caso, se debe calcular los límites laterales en x = 1. 2

1 1lim ( ) lim 1x x

f x x+ +→ →

= = , y el

límite por la izquierda es: 1 1

lim ( ) lim 1x x

f x x− −→ →

= = .

Como los límites laterales existen y son iguales, se tiene que: 1

lim ( ) 1x

f x→

= .

Así se tiene que: 1

lim ( ) (1) 1x

f x f→

= = . Podemos concluir que f es continua en x = 1.

Se deja como ejercicio trazar el gráfico de f.

Ejemplo 3

Hallar las discontinuidades (si las hay) de la función dada. ¿Cuáles son evitables?

a) 2( ) 5 4f x x x= − + b) 2

3( )

9

xg x

x

−=−

c) 2

( )2

xh x

x

+=

+

Solución

La función 2( ) 5 4f x x x= − + , es continua en todo IR.


16

La función 2

3( )

9

xg x

x

−=−

, es discontinua en x = 3 y x = -3, porque g(3) y g(-3), no están

definidos, en x = 3 presenta una discontinuidad evitable, ya que el límite 3

1lim ( )

6xg x

→= , así

podemos volver a definir g, en x =3, para hacerla continua

2

3, si 3

9( )

1, si 3

6

xx

xg x

x

− ≠ −= =

, de esta forma g es continua.

En x = -3, la función presenta una discontinuidad esencial, ya que el límite es infinito

3lim ( )x

g x→−

= ∞ .

La función 2

( )2

xh x

x

+=

+, posee una discontinuidad esencial en x = -2, ya que el límite no existe,

porque los límites laterales son distintos, en efecto: 2

2lim 1

2x

x

x+→−

+=

+ y

2

2lim 1

2x

x

x−→−

+= −

+

Teorema: Propiedades de las funciones continuas

Si b es un número real y f, g son funciones continuas en x = c, también son continuas en

c, las funciones:

1. Múltiplo escalar bf 2. Suma o diferencia: f ± g

3. Producto: fg 4. Cociente: , g(c) 0f

g≠

Ejemplo

Las funciones f(x)=cos(x) y g(x)=sen(x), son continuas para todo número real c, por lo

tanto también son continuas: 2sen(x); sen(x) ± cos(x); 2sen(x)cos(x); 2cos ( )x .

En cambio la función tangente, sen( )

tan( )cos( )

xx

x= , es discontinua, para todos aquellos valores

de x, en que cos(x) = 0; estos valores son los múltiplos impares de2π ; [ (2 1)

2x k π= + ], k ∈ Z.


17

Teorema (El teorema del valor intermedio)

Si f es continua en [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos

un número c en [a, b] para el que f(c) = k.

El teorema del valor intermedio suele ser útil para localizar los ceros de una función continua

en un intervalo cerrado. Específicamente, si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) difieren en el

signo, entonces el teorema nos asegura la existencia del al menos un cero de f en el intervalo

cerrado [a, b].

Ejemplo

Usando el teorema del valor intermedio, probar que la función polinómica f(x) = x3 + x –1, tiene

una raíz en el intervalo [ 0, 1].

Solución

Como

f(0)= 03 + 0 –1= -1 f(0) < 0

y

f(1)= 13 + 1 –1= 1 f(0) > 0


Aplicando el teorema del valor intermedio para llegar a la conclusión de que hay (al menos un c)

en [ 0, 1] tal que f(c)=0, como se muestra en la figura.

Observación Se debe observar que el teorema del valor intermedio nos dice que existe (al

menos) un c en el intervalo ]a, b[. Sin embargo, no proporciona ningún método para hallar

ese c. Teorema de esta clase se denominan teoremas de existencia. Existen muchos

métodos numéricos para hallar ceros (raíces), por ejemplo el método de Newton – Rapshon y el

método de bisección.

Ejercicio

Comprobar que es aplicable el teorema del valor intermedio para la función f(x) =x3 –x2+ x –2, en el

intervalo [ 0, 3] y hallar el valor c, tal que f(c)=4.

1.4 Límites infinitos y asíntotas verticales

Empezaremos con un ejemplo, para luego dar la definición de límites infinitos y la asíntota

vertical. Sea la función

xxf

1)( =

La tabla siguiente nos dice que la función f(x) decrece sin tope cuando x tiende a cero por la

izquierda, y crece sin tope cuando x tiende a cero por la derecha. Simbólicamente escribimos

−∞=−→ xx

1lim

0 y ∞=

+→ xx

1lim

0

x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1

f(x) -10 -100 -1000 -10000 ? 10000 1000 100 10

Definición de límites infinitos

La afirmación lim ( )x c

f x→

= +∞ , significa que f(x) crece sin tope cuando x, tiende a c.

La afirmación lim ( )x c

f x→

= −∞ , significa que f(x) decrece sin tope cuando x, tiende a c.

f(x) decrece sin tope f(x) crece sin tope


19

Definición de asíntota vertical

Si f(x) tiende hacia + ∞ (ó - ∞), cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha,

diremos que la recta x = c, es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Observación: debe quedar claro que si una función f, tiene asíntota vertical en x = c, entonces f

es discontinua en c.

Teorema ( Asíntotas verticales)

Sean f y g, dos funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) ≠ 0,

g(c) = 0, y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que g(x) ≠ 0, para todo x ≠ c en el

intervalo, entonces la gráfica de la función dada por

( )

( )( )

f xh x

g x= , tiene una asíntota vertical en x = c.

Ejemplo Hallar las asíntotas verticales de las gráficas de las siguientes funciones:

a) 2

4( )

( 2)f x

x=

− b)

3

2

8( )

4

xf x

x

+=−

Solución

Cuando x = 2, el denominador es cero y el numerador no es cero, por lo tanto por el teorema

anterior, podemos concluir que x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Evaluando el límite se obtiene 22 2

4lim ( ) lim

( 2)x xf x

x→ →= = +∞

−

Factorizando numerador y denominador, tenemos

2 ,

2

42

)2)(2(

)42)(2(

4

8)(

22

2

3

−≠−

+−=−+

+−+=−+= x

x

xx

xx

xxx

x

xxf

.

Salvo en x =- 2, la gráfica de f coincide con la de 2 2 4

( ) , 2

x xg x

x

− +=−

así aplicando el

teorema anterior a g, se prueba que hay una asíntota vertical en x = 2, evaluando los límites

laterales

3 2

22 2

8 2 4lim lim

4 2x x

x x x

x x+ +→ →

+ − += = +∞− −

y 3 2

22 2

8 2 4lim lim

4 2x x

x x x

x x− −→ →

+ − += = −∞− −

,

se debe observar que x = -2, no es asíntota de f, ya que

3 2

22 2

8 2 4lim lim 3.

4 2x x

x x x

x x→− →−

+ − += = −− −


20

Teorema ( Propiedades de los límites infinitos)

Si c, L son números reales y f , g son funciones tales que: lim ( )x c

f x→

= ∞ y

lim ( )x c

g x L→

= , entonces las siguientes propiedades son válidas:

1. Suma o diferencia: [ ]lim ( ) ( )x c

f x g x→

± = ∞

2. Producto: [ ]lim ( ) ( ) , L 0x c

f x g x→

= ∞ > ; [ ]lim ( ) ( ) , L 0x c

f x g x→

= −∞ <

3. Cociente: ( )

lim 0( )x c

g x

f x→=

Ejemplos

a) 0

4lim 0

logx x+→= b)

0lim 2logx

x+→− = +∞ c)

0lim log 4x

x+→

+ = −∞

En los ejercicios 1 al 6, decida si existen los límites en caso afirmativo, evalúelos.

Indique si son +∞ ó - ∞.

1. 2

1

(1 2 )lim

1h

h

h→− +

−+

2. 2

20

(1 ) 1limh

h

h→ +

+ − 3.

2

1 1

2lim2x

x

x→ +

−

−

4. 38

8lim

2x x→ − − 5.

2/ 2

2lim

tanx xπ→− + 6.

33

3lim

27x

x

x−→−

++


21

1.6 Límites en el infinito

En ocasiones es deseable conocer el comportamiento de f(x) para valores muy grandes

de x. El problema se plantea naturalmente discutiendo el comportamiento de f(x) “cuando x

tiende a ∞”. El significado de lim ( )x

f x L→+∞

= , es que la función f(x) se aproxima a L tanto

como se quiera si se toma un valor de x del dominio de f, que sea suficientemente grande. En

forma análoga si f(x) tiende a L, cuando x decrece sin límite anotaremos lim ( )x

f x L→−∞

= .

A continuación se da una definición formal de límite en el infinito.

Definición (Límite a ++++ ∞∞∞∞)

Si f(x) una función definida para todos los valores suficientemente grande de x. Entonces,

lim ( )x

f x L→+∞

= si para todo ε > 0, existe un N > 0, tal que si x > N, entonces f(x) - L< ε.

Definición (Límite a - ∞∞∞∞)

Si f(x) una función definida para todos los valores suficientemente pequeños de x. Entonces,

lim ( )x

f x L→−∞

= si para todo ε > 0, existe un N > 0, tal que si x < -N, entonces f(x) - L< ε.

Ejemplos

Es evidente que1

lim 0x x→∞

= , de lo cual podemos deducir que:

lim 0, n 0 y IRnx

kk

x→∞= > ∈

Para hallar 2

2

3 2lim

4 3x

x x

x→∞

−+

la técnica consiste en dividir el numerador y el denominador de la función

racional, por x elevada a la mayor potencia que aparezca, en este caso será x2, y así se obtiene:

2

2

3 2lim

4 3x

x x

x→∞

−+

=

2

2 2

2

2 2

3 2

lim4 3x

x x

x x

x

x x

→∞

−

+=

2

23

3 0 3lim

3 4 0 44

x

x

x

→∞

− −= =−+


22

Hallar 3 2

2

2 7lim

2 4 3x

x x

x x→−∞

−+ +

Solución Se divide el numerador y el denominador por x3,

3 2

2

2 7lim

2 4 3x

x x

x x→−∞

−+ +

=

3 2

3 3

2

2 33 3 3

2 7 72

lim lim2 4 32 4 3x x

x x

x x x

x x

x x xx x x

→−∞ →−∞

− −= = −∞

+ ++ +

Ejemplo Calcular 3

4 2

5 4 1lim

8 4 3x

x x

x x x→+∞

− ++ +

Solución Dividiendo por x4, obtenemos:

3

3 4 4 4 3 4

4 24 2

2 34 4 4

5 4 1 5 4 1

5 4 1 0lim lim lim 0

4 38 4 38 4 3 88

x x x

x x

x x x x x x x x

x x xx x x

x xx x x

→+∞ →+∞ →+∞

− + − +− + = = = =+ + + ++ +

Ejemplo Calcular 2lim ( 2 )x

x x x→+∞

+ −

Solución Como 2( ) 2f x x x x= + − no es una función racional no podemos dividir por la mayor

potencia (¡muy a menudo se comete el error de dividir por x2!). En este caso debemos

racionalizar el numerador, para que aparezca una expresión fraccionaria con límites conocidos.

2lim ( 2 )x

x x x→+∞

+ − =2 2 2

2

2 2

( 2 ) 2lim ( 2 ) lim

( 2 ) 2x x

x x x x x xx x x

x x x x x x→+∞ →+∞

+ + + −+ − ⋅ = =+ + + +

= 2

2

2 2 2lim lim lim

2 22(1 ) 1 1

x x x

x x x

x x xx x x

x x

→+∞ →+∞ →+∞= = =

+ + + + + +

0

0

12

2

101

2

12

1

2 ==++

=++

=+∞→

x

limx


23

Ejemplo Calcular 2lim ( 2 )x

x x x→−∞

+ −

Solución

Racionalizando el numerador:

2lim ( 2 )x

x x x→−∞

+ − =2

2

2 2

( 2 ) 2lim ( 2 ) lim

( 2 ) 2x x

x x x xx x x

x x x x x x→−∞ →−∞

+ ++ − ⋅ = =+ + + +

=

22

2

2 2 2lim lim lim

2 22(1 ) 1 1

, ya que 0 ( )

x x x

x x x

x x xx x x

x x

Como x x -x x x

→−∞ →−∞ →−∞= = =

+ + + + − + −

= = < → −∞

Observación

Si f(x) es una función racional (cuociente de polinomios),

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

. . . ( )

. . .

n n

n n

m m

m m

a x a x a x a x af x

b x b x b x b x b

−−

−−

+ + + + +=+ + + + +

, , , 1,..., ; 1,...,i ja b IR i n j m∈ = =

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces los límites en ∞ y -∞ ,

son ambos iguales a cero.

Ejemplos

2 2

3 2 4 2 5 3

7 9 4 6 4lim 0 lim 0 lim 0

2 4 3 4 3 3x x x

x x x x x

x x x x x x x→−∞ →−∞ →+∞

− + + − += = =− + + + + −

Si el numerador y el denominador son ambos del mismo grado, entonces los límites en ∞ y - ∞,

son en ambos casos el cuociente de los coeficientes de los términos de más alto grado.

Ejemplos

3 2 2 3 2

3 2 2 3 2

3 7 9 3 4 6 7lim lim 1 lim 3

2 6 3 2 2 8x x x

x x x x x x

x x x x x x x→+∞ →−∞ →+∞

− + − − += − = = −− + + + + −

2 2 2 2lim

1 1 02 1 0 11 1

x

x

+→−∞= = = = = +∞

− +− + +− + +


24

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces cuando

∞→+∞→ - xó x , la función tiende a + ∞ ó - ∞, según los signos del numerador y del

denominador.

Ejemplos

3 2 3 3 2

2 2 2

7 9 4 6 7lim lim lim

2 3 1 2 6x x x

x x x x x x

x x x x x x→+∞ →−∞ →+∞

− + − − += +∞ = −∞ = −∞− + + + +

Definición: (asíntota horizontal y oblicua)

La recta y = b, es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) si y sólo si , lim ( )x

f x b→+∞

= ,

ó bien si lim ( )x

f x b→−∞

= .

La recta y = mx + n, es una asíntota oblicua de la gráfica de f(x) , si y sólo si,

( )lim , , 0x

f xm m IR m

x→+∞= ∈ ≠ , y { }lim ( ) , .

xn f x mx n IR

→+∞= − ∈

Ejemplo

Determinar las ecuaciones de las asíntotas, verticales, horizontales y oblicuas, de las siguientes

funciones.

a) 2

2

4( )

1

xf x

x

+=−

b) 2 2

( )3

xg x

x

+=+

Solución

a) Asíntotas verticales : Dom f = IR \ {±1}. Como1

lim ( )x

f x→ +

= +∞ y 1

lim ( )x

f x−→

= −∞ , la recta

x = 1 , es una asíntota vertical de f . Además la recta x =-1, es asíntota vertical de f, porque

1

lim ( )x

f x→−

= −∞+

y 1

lim ( )x

f x→−

= +∞−

Asíntotas Horizontales : lim ( ) 1x

f x→+∞

= y lim ( ) 1x

f x→−∞

= , la recta y = 1 es la única asíntota horizontal

de la gráfica de f.

Asíntotas Oblicuas: 2 2

2 3

( ) 4 1 4lim lim lim 0

1x x x

f x x xm

x x x x x→∞ →∞ →∞

+ += = ⋅ = =− −

. Para que exista asíntota


25

oblicua la pendiente m debe ser distinta de cero, por lo tanto la función f, no tiene asíntota oblicua.

b) Asíntotas verticales: Dom g = IR \ {-3}. Como3

lim ( )x

g x→−

= +∞+

y 3

lim ( )x

f x−→−

= −∞ , la

recta x = -3 es una asíntota vertical de f .

Asíntotas Horizontales: 2 22 2

lim y lim 3 3x x

x x

x x→+∞ →−∞

+ += +∞ = −∞+ +

, la función g no tiene

asíntotas horizontales.

Asíntotas Oblicuas: 2 2

2

( ) 2 1 4lim lim lim 1

3 3x x x

g x x xm

x x x x x→∞ →∞ →∞

+ += = ⋅ = =+ +

, m = 1, entonces existe

asíntota oblicua.

2 2 2 3lim ( ) lim 1 lim 3

3 3x x x

x xn g x mx x

x x→∞ →∞ →∞

+ −= − = − = = −+ +

. 3n∴ = −

La asíntota oblicua es 3y x= −

X -3

Y

Gráfico de 1

4)(

2

2

−+=

x

xxf Gráfico de

3

2)(

2

++=

x

xxg

0

x =-3

y =x -3

x =-1 x = 1

y = 1

Apunte 1 - Funciones, Limites y Continuidad

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Transcript of Apunte 1 - Funciones, Limites y Continuidad