ESCUELA POLITCNICA NACIONAL

PAPER # 1

Materia: CLCULO EN UNA VARIABLESemestre:I SEMESTREProfesor: Ing. Msc. Patricio SegoviaFecha: ABRIL 2015Semana de clase: I-II semana

A. Fundamentacin.

En esta primera semana de clases, el estudiante reforzar el conocimiento de lmites que recibi en el colegio. El concepto de lmite es la base fundamental con la que se construye el clculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el lmite es el valor al que tiende una funcin cuando la variable independiente tiende a un nmero determinado o al infinito. Este concepto es fundamental para el estudio del clculo diferencial, y en el clculo integral, para el estudio de integrales impropias.

Introduccin

Tiene como objetivo el recordar al estudiante conocimientos sobre tcnicas fundamentales de clculo de lmites, que son necesarias para emprender en las diferentes aplicaciones de esta poderosa herramienta matemtica. Para aplicar estas reglas hay que tener en cuenta que las funciones no siempre tienen lmite cuando la variable independiente tiende a algn valor.

Definicin de lmiteAntes de establecer la definicin formal del lmite de una funcin en general vamosa observar qu sucede con una funcin particular cuando la variable independientetiende (se aproxima) a un valor determinado.Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en elentorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f (x):

XF(x)

1.92.61

1.992.9601

1.9992.996001

1.99992.99960001

2.00013.00040001

2.0013.004001

2.013.0401

2.13.41

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms cerca est x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es ms pequea asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez ms pequea.(Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha).O sea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima tambin a un valor constante.

|x 2||f (x) 3|

|1.9-2| = 0.1|2.61-3| = 0.39

|1.99-2| = 0.01|2.9601-3| = 0.0399

|1.999-2| = 0.001|2.996001-3| = 0.003999

|1.9999-2| = 0.0001|2.99960001-3| = 0.00039999

|2.0001-2| = 0.0001|3.00040001-3| = 0.00040001

|2.001-2| = 0.001|3.004001-3| = 0.004001

|2.01-2| = 0.01|3.0401-3| = 0.0401

|2.1-2| = 0.1|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el lmite de la funcin f (x) cuando x tiendea 2, es 3.Ahora, pasamos a dar la definicin formal de lmite:

Interpretacin grfica de la definicin de lmite:

Ejercicios

Lmites lateralesHasta el momento hemos visto lmites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los lmites en este tipo de funciones.Consideremos la siguiente representacin grfica de una funcin, en la que existe una discontinuidad cuando:

notemos que cuandotiende hacia "a" por la derecha de "a" la funcin tiende a 2, pero cuandotiende hacia "a" por la izquierda de "a", la funcin tiende hacia 1.Escribimospara indicar quetiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a".Similarmenteindica quetiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a".Utilizando ahora la notacin de lmites, escribimosy. Estos lmites reciben

el nombre de lmites laterales; el lmite por la derecha es 2 y el lmite por la izquierda es 1.

Definicin de lmites laterales o unilateralesDefinicin de lmite por la derecha

Se dice quesi y solo si para cadaexistetal que sientonceses el lmite por la derecha deen "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de, pueses mayor que cero ya que.

Definicin de lmite por la izquierda

Se dice quesi y solo si para cadaexistetal que sientonceses el lmite por la izquierda deen "a".

Note que la expresin es mayor que cero, puespor lo que.En adelante determinaremos los lmites laterales a partir de la representacin grfica de una funcin cuya ecuacin se da.Ejemplo:Determinar los lmites, en los puntos de discontinuidad, de la funcin fdefinida por:Primero hagamos la grfica de la funcin:

El punto de discontinuidad se presenta cuandoLuego:yObserve que el lmite por la derecha (3), es diferente al lmite por la izquierda (2).Ejercicio:Represente la funcindefinida pory determine los lmites laterales en el punto de discontinuidad.Es posible demostrar que para que existaes necesario y suficiente que los lmites laterales existan y sean iguales.Es decir,si y solo siyPor consiguiente, sies diferente dese dice queno existe.Ejemplo:Representemos grficamente la funcin definida por:

Comoy, entoncesComoy, entoncesno existe.Ejercicio:Considere la representacin grfica de la funcin definida por:Determine si existen cada uno de los lmites siguientes:a.b.c.d.e.

Teoremas fundamentales sobre lmitesEn los apartados anteriores hemos determinado el lmite de una funcin en un punto, utilizando para ello la representacin grfica de la funcin. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas bsicos para determinar el lmite de una funcin en un punto.Teorema 1 (sobre la unicidad del lmite)

Seauna funcin definida en un intervalotal que.Siyentonces.

O sea, el valor del lmite de una funcin en un punto es nico.

Teorema 3

Siyes un nmero real entonces se cumple que

Teorema 5

Siyson dos funciones para las queyentonces se cumple que:

Este teorema lo que nos dice es que el lmite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los lmites de cada una de las funciones.

Teorema 6

Siyson dos funciones para las queyentonces se cumple que

Es decir, el lmite del producto de dos funciones es igual al producto de los lmites de cada una da las funciones.Ejemplos:1. 2. 3. Corolario

Sientonces

Observe que(nfactores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:(nfactores)Ejemplos:1. 2. En particular, el lmite de la ensima potencia dees igual a la ensima potencia del lmite de. Es decirEjemplos:1. 2. Teorema 7

Siyson dos funciones para las cualesyentonces se tiene que:siempre que

Teorema 8

siempre que

Ejemplos de los teoremas 7 y 81. 2. 3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)4. (por teorema 7)(por teorema 5)(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)

5. Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.Teorema 9

Sisi:i.es cualquier nmero positivo.ii.es impar.

Teorema 10

Si, entoncessi se cumple alguna de las condiciones siguiente:i.es cualquier entero positivo ().ii.es un entero impar positivo.

Ejemplos:1. 2. 3. Teorema 11

Si,yson funciones tales quepara todode cierto entorno reducidoy ademsentonces se cumple que.

El teorema anterior nos dice que si paraprximo a, la funcinest comprendida entre dos funciones que tienden a un mismo lmite, entoncestambin tiende a.Grficamente podemos tener lo siguiente:

Por ejemplo, sies una funcin tal quey comoentonces se tiene que .Sea ahorauna funcin tal queSe tiene queLuegoEjercicio:Seauna funcin tal queCalcule

IndeterminacionesEn algunos lmites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre lmites, especialmente el del lmite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma indeterminada.En estos casos se hace necesario realizar primero algn proceso algebraico, para luego determinar el valor del lmite.Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorizacin, racionalizacin y valor absoluto.Por medio de ejemplos estudiaremos:a.Lmites que involucran factorizaciones

1.

Si evaluamos el numerador se obtiene:y en el denominador:Luego se tiene la expresinque no tiene sentido.Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorizacin como sigue:

Luego el lmite dado puede escribirse

como, y simplificando se obtiene:que s puede determinarse pues

es diferente de cero.Luego:2.

Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:Puede escribirse el lmite anterior ya factorizados los polinomios como:simplificando la expresin anterior.Aplicando el teorema 73.Ejercicio

Determinar:b.Lmites que involucran racionalizaciones

1.

Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:en este ltimo lmite no hay ningn problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene como resultado2. Recuerde que

Como vuelve a presentarse la forma, procedemos a racionalizar como sigue:

3.Ejercicio

Determinarc.Lmites con valor absoluto

Recuerde que

1.

Comovuelve a obtenerse la forma. Como aparecede acuerdo a la definicin de valor absoluto se tiene que:As, para valores demayores que 2 la expresinse puede sustituir por, y para valores demayores que 2 se sustituye por, por lo que se hace necesario calcular los lmites cuando, es decir, se deben calcular los lmites laterales.Luego:Como los lmites laterales son diferentes entonces elno existe.2.

Vuelve a presentarse la forma. Analizando el valor absoluto se obtiene que:Como se desea averiguar el lmite cuandoes mayor que 1, entonces se analiza nicamente el siguiente lmite:En este caso el lmite s existe.3. Ejercicio

Determinar el

d.Lmites que involucran un cambio de variable

1.

Al evaluar numerador y denominador ense obtiene. Aunque en este caso podra efectuarse una racionalizacin, el procedimiento sera muy largo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente.Se desea sustituir la expresinpor otra que tenga tanto raz cbica como raz cuadrada. Luego, sea(observe que).Adems cuandose tiene quey por tanto, es decir,; en el lmite original se sustituyeSustituyendo se tiene que:Aunque vuelve a presentarse la forma, la expresin ahora es fcilmente factorizable.As:

2.

Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtieneEn este caso vamos a sustituirpor una expresin que posea raz quinta. Tomamos entonces.Cuandotiende a 1 se tiene quetambin tiende a 1 y por tantode dondeSustituyendo se obtiene que:

3.Ejercicio

Lmites que involucran funciones trigonomtricasEstudiaremos aqu los lmites de las funciones seno y coseno, y algunos lmites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.Vamos a probar que:

a.dondees un ngulo que se mide en radianes.

Recordemos que la medida en radianes de un ngulo se define por la igualdad siguiente:, dondeel la longitud del arco interceptado por el ngulo, sobre una circunferencia de radio, cuyo centro coincide con el vrtice del ngulo, como se muestra en la siguiente figura:

es la medida del arcoes el radio del crculoConsideramos ahora un crculo de radio uno y un ngulo agudocuya medida en radianes es

En este caso comose tiene quepor lo queEl tringuloes rectngulo y sus catetosmiden respectivamente(Note que).Por el teorema de Pitgoras se obtiene que:Como la longitud dees menor que la longitud del arco, es decir, es menor que, se tiene que:Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:y comoentonces:de dondeSies un nmero positivo, podemos tomarde tal forma quesiempre que.De otra manera:siempre quepor lo que, y similarmente,siempre quepor lo queDe esta forma hemos probado los dos lmites.b.Vamos a probar ahora queObserve que este lmite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorizacin, racionalizacin o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma.Consideremos nuevamente un crculo unitario y designemos porel ngulo central(siendo en radianes su medida), con, como se muestra en la figura siguiente:

Puede observarse que: el rea delel rea del sectorel rea del(1). Adems se tiene que:el rea del.el rea del sectorel rea delSustituyendo en (1):de dondeComoentonces, por lo que podemos dividir los trminos de la desigualdad anterior por, sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:por lo queEsta ltima desigualdad tambin es vlida cuandopuesy ademsComoyy, aplicando el teorema 11 se concluye que:Ejemplos:1. 2. Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita tambin la expresin, de ah que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:3. puescuando4. 5. 6. Ejercicio7. EjercicioEn los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento comn en algunos lmites trigonomtricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresin.8. Multiplicamos por el conjugado deque escomo sigue:

9. 10. Comoentoncescuando.AdemsDesarrollemos:Luego:

B. Actividades Segn cronograma:

En esta primera sesin los estudiantes pondrn en juego su conocimiento sobre derivadas al resolver un taller sobre tcnicas de derivacin, con el fin de recordar lo ya estudiado en anlisis I y absolver dudas o cubrir falencias que sean detectadas.

En la segunda Sesin se proceder a aplicar tcnicas de derivacin para la obtencin de las ecuaciones de la recta tangencial y normal a una curva en un punto determinado.

En la tercera sesin se proceder a conocer los teoremas Rolle, teorema del valor medio y el de Cauchy, como Teora necesaria para entender las reglas de LHopital

Bibliografa:

1. Galindo E., Matemticas superiores teora y ejercicios, Parte 2, Quito 2007, Prociencia Editores 2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node20.html

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