Unidad 2 Limites y Continuidad

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDAD 2 LIMITES Y CONTINUIDAD

UNIDAD 2 LIMITES Y CONTINUIDAD

2.1. DEFINICIÓN DE LIMITE

El limite de una funcion se dice que es aquel valor al que se acerca dicha funcion , pero sin llegar a ser propiamente el valor .

Por lo general los limiltes de las funciones de obtienen sustituyendo un valor en la variable independiete de la funcion.

Y= 3X2 + 2 , cuando x tiende a 0

Sustituir :

Y= 3(0)2 + 2

Y= 2

2.2 TEOREMAS DE LIMITES

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia

Teorema: Teorema es un sistema desarrollado con fin de afirmar o proponer algo.

Limite: Límite de una función es la variación de valores obtenidos como resultado cuando se aproxima a un valor establecido.

Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que:

lim x→au=A , lim v= ¿

x→aB ¿, lim

x→aw=C

Teorema 1

El límite de una suma de funciones va a ser igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.

Teorema 2

El límite de una diferencia de funciones va a ser igual a la diferencia de los límites de cada una de las funciones.

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Teorema 3

El límite de una constante multiplicada por una función, será igual a la constante multiplicada por el límite de la función.

Teorema 4

El límite de la multiplicación de funciones es igual a la multiplicación de los límites de cada una de las funciones.

Teorema 5

El límite de una división de funciones es igual a la división de los límites de cada una de las funciones.

Teorema 6

El límite de una función elevada a n potencia, será igual al límite de la función elevado a la n potencia.

Teorema 7

El límite de una constante, es igual, a la misma constante.

Teorema 8

El límite de x cuando x tiende hacia a de x es igual a a.

Teorema 9

El límite de x elevado a la n es igual a ‘a’ elevada a la n.

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Teorema 10

El límite de la raíz n de x es igual a la raíz n de a.

Teorema 11

El límite de la raíz n de una función, es igual a la raíz n del límite de la función.

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2.3. LÍMITES LATERALES

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Límite lateral por izquierda

si dado > 0, > 0 tal que

si a < x < a

Límite lateral por derecha

si dado > 0, > 0 tal que

si a < x < a +

Observación. Una función tiene límite si los límites laterales son iguales, es decir, cuando

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Ejercicio propuesto:

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Ejercicio 1:

1.-Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

y

y

Ejercicio 2:

Definición de límite por la derecha

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la derecha de en "a".

Ejercicio 3:

Definición de límite por la izquierda

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la izquierda de en "a".

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Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

2.4. LIMITES DE FUNCIONES

Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .

Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.

Teorema: El límite,

Existe si el límite por la izquierda,

y el límite por la derecha,

Son iguales.

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Ejericio 1:

=

Ejercicio 2:

=

Ejercicio 3 :

=

No t iene l ími te en x = -1

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2.5 FUNCIONES CONTINUAS

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad.

La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y no un salto brusco de su valor. Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma.

Continuidad de una funcion en un punto.

Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.

2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)

3. Los dos valores anteriores coinciden.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.

Continuidad lateral

Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o a la izquierda del punto x = a, se habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a. Continuidad a la izquierda: La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Continuidad a la izquierda: La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

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Continuidad a la derecha: La función f (x) es continua a la derecha en el punto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.


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Ejercico 1 :

Paso 1..-lim f (x ) = lim x + 2 =3 + 2 = 5x → 3 x→3 x − 2 3 − 2

Paso2. f (3) = 3 + 2 = 5− 23

paso3. lim f (x ) = f (3)

Ejercico 2:

lim x 2 −1 = lim

( x + 1) ⋅ ( x −1) = lim x +1 =1 +1 = 2

x 2− x x

⋅ ( x − 1) x 1x →1 x→1 x→1

f (1) =

12−1 ⇒ No existe, pues se anula el denominador.2−11

El lim f (x) yf (1) no son iguales porque f(1)

no existe y, en consecuencia, no

x→1

Se pueden comparar.

Ejercicio 3:

la existencia del lim f (x).x→−1

Como en el punto x = −1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

lim f (x) = lim (3x +5) = 2x →−1− x→−1−

lim f (x) = lim (3 + x) = 2x →−1+ x→−1+

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En consecuencia, existe lim f (x) = 2 pues los límites laterales son iguales.x→−1

f (−1) =−2lim f (x) ≠ f (−1)

x→−1

Luego la función es discontinua en el punto x = −1.

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Carrera : Contador Publico

Grupo : 202

Integrantes del equipo unidad 2 :

1.- Jesus Bahena Gonzalez

2.- Juana Lilia Linares Diaz

3- Diana Natividad Rojas Nava

4.- Brenda Yanet Guillen Chavez

5.- Citlalli Arredondo Altamirano

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