LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES

•Ejemplo 1

•Ejemplo 2

CONTINUIDAD

•Ejemplo

x f(x)-5 -19-4 -16-3 -13-2 -10-1 -70 -41 -12 23 54 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

función

x

f(x)

DISCONTINUIDAD•Ejemplo

x f(x)-5 0.75-4 0.666-3 0.5-2 0-1 Discontinuo0 21 1.52 1.333 1.254 1.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

Función

x

f(x)

GRACIAS

DIFERENCIACIÓN

DERIVADA

El límite mide la pendiente de la recta tangente a la gráfica y la razón de cambio de f en x recibe el nombre de la Derivada, y la derivada de la función f con respecto de x es la forma f’

• Notaciones que representan a la derivada de f son: y’ o

Para hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica tenemos el siguiente ejemplo:

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

APLICACIÓN DE LAS REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

1. Derivada de una constante, es cero. Ejemplo:

2. Derivada de una potencia si n es cualquier número real, es igual al exponente multiplicado por la función elevado al exponente menos uno como se indica a continuación.

Ejemplo:

3. Derivada de una constante por una función diferenciable, es igual a la constante por la derivada de la función.

Ejemplo:

4. Derivada de una suma o resta de dos funciones diferenciables, es igual a la suma o resta de sus derivadas.

Ejemplo:

Para derivar la función propuesta tenemos que identificar cada uno de los términos, esto es; en el primer y segundo término tenemos la derivada de una constante por una potencia, en el tercer término la derivada de una función y en el cuarto término la derivada de una constante, presentamos la aplicación la regla de la suma que es igual a la suma o resta de sus derivadas.

Aplicamos la regla correspondiente a cada uno de los términos.

Por último la derivada de la función propuesta es:

5. Derivada del producto d dos funciones, es la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera.

Ejemplo:

En este ejercicio propuesto Tenemos el producto de dos funciones, la primera función representa una constante por una función, en la segunda función tenemos una suma cuyo primer término es una potencia y el segundo término es una Constante equivale a 3.1416=

Luego aplicamos la regla delproducto de dos funciones.

Procedemos a derivar los términoscorrespondientes

6. Derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y todo esto dividido para el cuadrado del denominador, como se muestra.

Ejemplo:

Aquí tenemos un ejemplo delcociente de dos funciones:

7. Segunda derivada, se aplica para determinar la concavidad, puntos de inflexión.

Ejemplo:

Primera derivada.

Segunda derivada, partimos del resultado de la primera derivada

GRACIAS

TRAZADO DE CURVAS

La gráfica de una función nos permite visualizar las propiedades de la función en forma rápida.

Ejemplo:

x F(x)=y

-5 -92-4 -48-3 -24-2 -14-1 -120 -121 -82 63 364 88

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-150

-100

-50

0

50

100

La gráfica representa la función propuesta, en la que podemos apreciar su comportamiento de acuerdo a los valores dados.

Si procedemos a derivar la función tenemos:

Continuando con el desarrollo, ahora podemos encontrar los puntos críticos en el intervalo (-5,4). Si hacemos y=0 tenemos:

Para obtener los valores de x aplicamos la ecuación general,

Reemplazando los respectivos valores de la ecuación en la fórmula tenemos.

Esto nos indica los puntos críticos de la función

Si procedemos a desarrollar la segunda derivada vamos a tener los siguientes resultados:

Hacemos y = 0

Este resultado de -0.66 nos indica el punto de inflexión, es decir el punto donde la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

GRACIAS