LIMITES Y CONTINUIDAD - UNIDAD III

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES

UNIDAD 3

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Estoy bien, estudio bien


LÍMITES Y CONTINUIDAD

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique los

componentes necesarios de los límites, permitiendo así la fundamentación básica

indispensable para el entendimiento de los límites en la matemática.

OBJETIVOS – PROBLEMAS

El estudiante entenderá la definición tanto formar como informal de limite la cual

utilizara para resolver problemas que requieran su aplicación.

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

¿Cuál es el concepto de Límite?

¿Cuáles son las aplicaciones del límite?

¿Qué es Límite?

¿Qué es Continuidad?


REFERENTES TEÓRICOS

Límite y continuidad

A veces en medio de una conversación ardua y amena llega a ésta la palabra límite, es

cuando nos preguntamos si en realidad conocemos el verdadero significado de esta

palabra, a pesar que se escuchan las frases como “estuviste al límite de perder el

vuelo”, “ tú has llegado al límite de mi paciencia”, “ El atleta llego al límite de su

resistencia” entre otras.

Para dar solución a estos interrogantes de dar el significado de esta palabra

comenzaremos definiendo algunos conceptos previos.

Sucesión

Una sucesión se define como una función , tal que

Ejemplo 1. La sucesión tiene como elementos los recíprocos de los números

enteros positivos

La sucesión para la cual

Tiene como elementos

Los elementos de las sucesiones (1) y (2) son los mismos, sin embargo, las sucesiones no

son iguales.


Interpretación geométrica de límite

Daremos una idea intuitiva de límite de funciones mediante algunas graficas. Para ello

comenzaremos con una función particular:

Observe que esta función no está definida cuando ; esto es no existe. Sin

embargo, la función esta definida para cualquier otro número real. Se pueden investigar

los valores para los cuales esta función cuando se aproxima a 1, pero sin llegar a ser 1.

Podríamos preguntarnos ¿Por qué se desea considerar estos valores de función? Miremos

estos ejemplos

Ejemplo 2: el punto esta sobre la curva que tiene como ecuación

Sea otro punto sobre esta curva, diferente de P. cada una de las figuras

1 y 2 muestran una porción de la grafica de la ecuación y la recta secante que pasa por Q y

P, donde Q esta cerca de P. en la figura 1, las coordenadas de x de Q es menor que 1, y en

la figura 2 es mayor que 1. Suponga que es la pendiente de la recta P. Entonces

La cual es la ecuación . Además, son distintos. Conforme x se

aproximan cada vez mas a 1, los valores de se acercan cada vez más a numero que

se definirá como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.


Ejemplo 3.Sea la función definida por

La grafica de se muestra en la figura siguiente. Excepto en , la función tiene los

mismos valores de la función definida por la ecuación . En consecuencia, como el

hecho de que no tiene nada que ver con lo que ocurre en , se

puede aplicar el siguiente argumento para la función , esto es dado existe un

tal que

De modo que . Note que por lo que para esta función, el límite

de la función y el valor de la función existe para , pero no son iguales.


Definición formal de límite de una función real

Sea xf una función definida en cada numero de un intervalo abierto que contiene a a

excepto posiblemente en mismo valor a . El límite de xf , conforme x se aproxima

hacia a es L .lo que se escribe como el límite de xf cuando x tiende a a es L .

Simbólicamente se escribe Lxfax

lim , es decir, para todo , existe un ,

tal que si entonces

Existe una simbología especial para representar los acercamientos de x hacia a por la

izquierda y por la derecha. Así,

Lxfax

lim , se lee límite cuando x tiende a a por la izquierda de xf es L .

Lxfax

lim , se lee límite cuando x tiende a a por la derecha de xf es L .

Para hallar los límites por la izquierda o por la derecha de una función, se pueden usar las

mismas técnicas utilizadas para obtener los límites comunes.


Nota

Si los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función existe. Si los límites

laterales son diferentes, entonces, el límite de una función no existe. Esto es

LxfLxfaxax

limlim y Lxfax

lim

A continuación mostraremos algunas propiedades de los límites de una función real.

Propiedades de los límites de una función real

Si c es una constante y los límites xfax

lim y xgax

lim existen, entonces se cumplen las

siguientes propiedades:

1. El límite de una función es único. Esto es 1lim Lxfax

y 212lim LLLxfax

2. El límite de una constante es igual a la constante. ccax

lim

3. Si ,bmxxf con m y b constante. bmabmxxfaxax

limlim

4. El límite de una suma es igual a la suma de los límites.

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

5. El límite de un producto es igual al producto de los límites.

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

6. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites.

,

lim

limlim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

siempre que 0lim

xg

ax


7. El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de la

función:

nxfxf

n

ax

n

ax,limlim

8. El límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de la

función.

nxfxf n

ax

n

ax,limlim , (si n es par, entonces, 0lim

xf

ax).

Límites infinitos

Si una función xf crece o decrece sin cota cuando x tiende a un valor a , entonces, se

dice que xfax

lim no existe.

Para notar que el límite de una función xf crece sin cota, cuando x tiende a un valor

a , se escribe

xfax

lim

De igual manera, si el límite de una función xf decrece sin cota, cuando x tiende a un

valor a , se escribe

xfax

lim

Límites en el infinito:

En los límites infinitos se presenta un caso especial, en la cual la función xf crece o

decrece sin cota.

Otro caso especial en el estudio de los límites se presenta cuando la variable x crece o

decrece sin cota. Teniendo en cuenta estas variaciones, se pueden plantear los siguientes

límites:

Lxfx

lim Lxfx

lim


Estos límites se llaman límites en el infinito.

Cuando se calculan límites en el infinito se presentan dos casos:

a) Caso 1. límites de la forma 0lim nx x

k y 0lim

nx x

k siempre y cuando nx esté

definido.

b) Caso 2. Límites en el infinito de una función racional.

Los límites de funciones racionales para los cuales se presenta la indeterminación

reciben el nombre de límites en el infinito. Para calcular el límite de estas funciones, se

divide el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado.

A partir de este proceso se presentan tres casos:

xQ

xP

xlim , si el grado de xP es mayor que el grado de xQ .

0lim xQ

xP

x, si el grado de xP es menor que el grado de xQ .

n

m

xQ

xP

x

lim , si el grado de xP es igual al grado de xQ , siendo m y n los

coeficientes de los términos de mayor grado de xP y xQ , respectivamente.

Continuidad

Se dice que una funcion es continua en a si y solo si se satidafcen las siguientes

condiciones:

i. existe

ii. existe

iii.


Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que esta

función es discontinua en a.

Una función xf es continua en un intervalo abierto ba, , si xf es continua en todos

los puntos del intervalo ba, .

Una función xf es continua en un intervalo cerrado ba, si:

1. xf es continua en el intervalo abierto ba,

2. bfxfyafxfbxax

limlim

Ejemplo 4. Sea f la función definida por

Verifiquemos su continuidad.

(i) , por la forma como está definida la función.

(ii)

(iii)

Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen, pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la

función f es discontinua en 1.

Ejemplo 5. Sea f la función definida por

Veamos que está definida y además cumple con la definición de continuidad.

(i)


Como esta función no satisface la condición (i), se dice que f es discontinua en 2. Con lo

cual la discontinuidad es esencial por que no existe.

Este caso se llama discontinuidad infinita.

Nota

La función

n es continua en el número si esta bien definida en algún intervalo abierto que

contenga a y si para cualquier existe tal que

Ejemplo 6. Determinar los números en los que la siguiente función es continua:

Solución: tomemos la función tal que y

Como h es una función polinomica, es continua en todo número real que tomemos. Pero

g es continua solo para cualquier valor real positivo, en consecuencia de esto f es continua

para cada valor x real, tal que , esto se da cuando , esto es .

Por tanto f es continua en el intervalo abierto (-3,3).

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

- Taller de Ejercicios

- Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Computador

Acceso a internet


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