,===-

It:illrli"jl¡';

j:

ffii

I

AhfiÁ!"¡5t5

onsideranclo la rnatemática desde el comienzc¡ ctre1 mr-lnclo

hasta 1a época cle Nex.'ton, lo que é1 ha hecho cs, con mLl-

cho. mejor qr:e toclo lo anterior.

I-cibnirz (7646 1716)

SIGLO XVII: TA MOTIVACIÓN DEL CATCUTOINFINITESIMAT

Ya sabemos que el cálculo infinitesimal fue creado para resorver losprincipales problemas científicos del siglo x\,rr, como, por ejemplo, obte-ner longitudes de curvas, áteas y volúmenes de cuerpos geométricos,tangentes a rtna crrrva y máximos y mínimos de funciones.

Muchos de los grandes matemáticos del siglo x\,\ trabaiaron estos pro-blemas obteniendo importantes resultados. podemos citaq por ejemplo,a Cavalleri (1.598-1.647), Toricelli (1608-j.647), Fermat (1607-166r,wallis (761.6-170, y Barrow (1,630-i.67D.

Sin embargo, faltaba una feoría global donde se incluyeran estos pro-blemas, y otros muchos, aparentemente independientes. Los artífices deesta descomunal teoría fueron, al unísono, Isaac Newton y GottfriedWilhelm I'eilbflilf¿.

NEWTON Y TEIBNITZ

Newton publicó en 7687 un magna obra titulada Los principios mate-maticos de lafilosojía natural, que constituye uno de los hitos más gran-des de la historia de la ciencia.

Destacamos también su obra Método d,e fluxiones, que contenía sucálculo Infinitesimal, escrita dieciséis años antes de que publicara laanterior.

En 1,678, Leíbnitz publica sus descubrimientos sobre el cálculo en unarevista que é1 mismo había fundado, Acta Eruditotum. pero es eL Actade 1684 la que contiene lo que actualmente se considera el primer tra-tado de cálculo diferencial.

A raíz de estas publicaciones se entabló una agria disputa entre losseguidores de Nenton y los de Leibnitz respecto a quién había sido elprimer descubridor del cálculo.

Actualmente, esfá clato que la primicia de la publicación le correspon-de a Leibnitz;y, a Newton, la autoría del descubrimiento. El cálculo deNewton es mucho más profundo que el de Leibnitz; mientras que lasnotaciones utilizadas por Leibnitz son más claras que las de Newton.

Srcro xvilt: LEoNHARD EULER (Er PROríHCOIEn el siglo xvrrr, muchos matemáticos extendieron el cálculo infinitesi-mal y fundaron nuevas ramas del análisis. pero, sin duda, Ia figura clal,een ese siglo fue la de Leonhard Euler.

Nació en 1707 en Basilea (Suiza). Es el matemático más prolífico detodos ios tiempos y, seguramente, el más original. Dejó un legado ranextenso parala posteridad que, aun hoy, se está catalogando.

Entre la infinidad de problemas que resolvió se encuenüa uno mlrpopular, el de los Siete Puentes de Konigsberg:

Por la ciudad de Konigsberg pasa el río Pregel. Hay dos pequeños is-lotes que están iomunicados entre sí y con las márgenes del río porsiete puentes: a, b, c, d, e,f, g

El problema consiste en determinar si es posible trazar ufi recorridoque pase por cada uno de los siete puentes una y solo una vez.

Ya se intuía su imposibilidad. Euler demostró de una matlera conclu-yente que, bajo esas condiciones, no existía tal recorrido. El método queempleó fue muy original y sirvió, además, para sentar las bases de unanueva rama de las mafemáticas: la Topología Combinatoria.

También fue capaz de calcular la siguiente suma, llegando a una con-clusión sorprendente y, seguramente, inesperada:

1

7z

1

,/,2

1122 q2

1fiz-T-526

Fue el primer matemático en adoptar los símbolos e, fi, i = ./-1, encon-trando, además, una relación entre ellos:

eTl+l-=0

Sus aportaciones a las matemáticas fueron grandiosas. Escribió impor-tantísimos tratados sobre Análisis Infinitesimal y Cálculo Integral, en losque desarrolló un nuevo simbolismo, el que actualmente usamos. Murióa finales del verano de 1783. mientras calculaba \a órbita de Urano.

Srcro xrxSe buscó el rigor necesario para poder avanzar, intentando reconstruir elanálisis sobre la base de los conceptos aritméticos.

Podemos destacar a B,olzanro, Cauchy y Weierstrass.

Cauchy dio una primera demostración del Teorema Fundamental delCáIculo:

F(x): f* 1,>a, -> F,(x) =frxt""1)

Srcro xxSe han desarrollado los resultados obtenidos en el siglo xx, haciéndosemás autónomas las diferentes ramas y disciplinas.

Leonbard Euler

Tttguste Louis Caucby

LiMrTEs DE FUNctoNEs.CONTINUIDAD

I principol interés que olbergon tonto el concepto como el cólculode límites reside en su corócter de herromiento bósico poro elAnólisis.

El proceso de pqso ol límite fue utilizodo desde lo ontigüedod poro re-solver problemos que resultobon inoccesibles medionte los iencillosprocedimientos de lo oritmético, el ólgebro o lo geometrío elementol.En un principio, y duronte muchos siglos, su significodo y su uso fue-ron meromente intuitivos. De ese modo, yo en el siglo rrro.C., Arquíme-des obtuvo lo superficie de olgunos recintos curvos.

El cólculo infinitesimol de los siglos xvrr y xvlt siguió bosqdo en ideosintuitivos y poco precisos de los límites. Fue en el siglo xrx (Couchy,Weierstross) cuondo se perfiló lo noción de límite de monero riguroso.Poro ello fue necesorio definir con rigor, tombién, lo recto r"ol y tutpropiedodes. De este modo se consiguió poro el onólisis oltos cotos deprecisión, eficocio y sencillez.

PARA EMPEZAR, REFIEXIONA Y RESUETVE

Algunos límites elementqlesRecuerda el significado de los límites:

f UtlIiza tu sentido común para dar el valor de los si-guientes límites:

a) -lím x2, lím x3,,f -+ +@ ,t -) +ó

b) tim x2, lím x3,Jd-)-ro Jc--){

c) lím x2,x -->2

lím (x3 - 3x2),d -) +ó

lím 7y3 _ x2)x -->4

tím (x3 - 5x2 + 3)x -+2

.^,llm

-

ff-++o x" + I

xllnX

-

Jd --¡, -co x" + -J,

xlllll

-

x+o xz + 1

xr - tx"lXm

-

,ú--)+@ x¿ + I

^-2,,hl,1m

.r+-@ 3x + 5

2Itm X",x -+2

11dr lím'

* -+ ** x' *'J'** x2'

11e) lím :-, línt.x)a x' *--+--*x2t

11f)lím!, Iím-'x-+0x' i'--Ox2'

¿

g') txm ---;--,Jc--r+o xt + 7

2

h) lím -+-,r-+-co x" + 1,

Exponenciqles y logorítmicos

Recuerda cómo son las gráficas de algunas funcionesexponenciales y logarítmicas:

y = logr,rx

EN ESTA UNIDAD VERÁS

I El estudio de límites, que ya se inició el curso pa-sado, se completa en este.

Los distintos tipos de límites (cuando x I -@,,r -) +oo y x -+ c) se completan con los límiteslaterales (x -+ c por la izquierda, x -+ c por laderecha).

Todos ellos se ven bajo dos versiones: una prime-ru en la que se enfaliza su aspecto intuitivo, yuna segunda, rigurosa, con el fin de que vayasaproximándote a los aspectos más formales delas matemáticas.

UN|DADmMMffi

r A Ia vista de estas gráficas, asigna valor a los si-guientes límites:

a) lím 2', lím 2x,r:-)4 ,c-++€

b) tím 2-*, tím 2-x,c -) --co x -) +co

c) lím logrx, lím ^logrx, lím logrx .Jr+4 Jf-+u x-++co

d) lím logr,rx, lím ^logr,rx, lím logr,rxx-+4 Jr+u x-)+m

Con colculodoro

Tanteando con la calcuiadora, da el valor de los si-guientes límites:

sen xa) ttm

-Jd+O x

b) tím @-)'ln@*3)x-->3

/ r \)v

c) lím ft* Jl-"",-++-\ x I

Las técnicas pata el cálculo de límites que se

vieron el curso pasado se repasan en este, se sis-tematizan y se amplían:

- Se rcahza una exposición completa de resulta-dos de operar límites infinitos.

- Se aprende el concepto de indeterminacióny se ven los distintos tipos de indeterminaciónque pueden darse.

- Se repasan o aprenden técnicas concretas pa-ra resolver cier-tos tipos de indeterminaciones.

Se completa la unidad con una revisión del con-cepto de continuidad y se ven algunos teoremasimportantes relativos a funciones continuas en uninterwalo.

NorA: Las técnicas para el cálculo de límites de fun-ciones se enriquecerán notablemente en Ia unidad 10

con la regla de L'Hópital, por la cual se simplificaráconsiderablemente el cálculo de algunos de los lími-tes que se ven en esta unidad.

I

I

f,

I

tI

I

I

8. r tÍtrllr¡ DE UNA suc¡slót¡Recuerda del curso pasado que una sucesión puede tener límite finito(an+ l),Iímite infinito (an+ ¡qo o an+ -m) o no tener límite.

Por ejemplo:

bn=n2+1

cn: -Jn-2

, 2n-I" 2n+7

en= el)n+1 . n

(2,5, 1.0, 17,26,37,50,65, g2,

(I,-r,-3, -9, -27, -Br, -243,

It 3 5 7 9 11 13 i,5

\l';' 7't'n' B' 15' 17'

(1, -2, 3, -4, 5, -ó, 7, -9, g, ...)

bn -+ +a

cn -+ -@

d, -+ 1.

en no tienelímite

Definamos con precisión cada uno cle estos comportamientos:

r El límite de una sucesión es un número /límsr=¡

I+eI

l-e

1 23 45 67 89101,1tztZtq5 no

.lím sn = I e podemos conseguir que s?? esté tan cerca de / comoqueramos, dándole a n valores suficientemente gran_des.

<> Por pequeño que sea E, podemos encontrar un n0tal que

si n>no, entonces /-e <sn<l+e

I El límite de una suceslón es +oo

lím sn = +6

0Podemos conseguir que S,sea tan grande como quera-mos, dándole a n valores su-ficientemente grandes.

Por grande que sea k, podemos encontrar un no tal que

si n>no entonces sr) k

f La definición de lírn sn= -oo €s similar a la anterior.

Las operaciones, propiedades y cálculo de límites de sucesiones sonidénticas a las de los límites de funciones, cuando Jc _) +oo. Las vere_mos en las páginas posteriores.

uNlDADff,Gi

El número e

La sucesión ,, = h * !)' es especiaimente inreresante. Vamos a estu-,, \ nJdiarla con cierto detalle.

Sus primeros términos son:

,,=/t*!\' :,' \ rl,,:h.+)':1,5¿=2,25' \ 2)

,^ = fr . +)' :1.,i33...i = 2,37...' \ 3l/ t\4

s, : 11 * +l : 1,254: 2,44.,.' \ 4l

Da la impresión de que se ftata de una sucesión creciente (cada términoes mayor que el anterior).

Nos preguntamos si la sucesión crecerá indefinidamente (¿s,, -+ +oo?) osi tendrá límite.

Vamos adarlea n valores grandes:

,,0: (r . +)" = 1,110: 2,5e374...

I -t \loosroo =

lr .

_-_1o,) = 1.01100 :2,7048J....

t t- )tooo = 1,6g1tooo = 2,71692...srooo:

lt *

-r*o )

sr oooooo : 1,0000011000000 : 2,7'1.828047 ...

sr ooo ooo 000 =1,0000000011 000 000 000 = 2,71.8287827 . . .

Aunque sea creciente, lo hace tan lentamente que nos induce a perrsarque tiene límite.

Así es. Su límite es un número irracional (es deciq con infinitas cifras de-cimales no periódicas) que se designa con la leúa e:

e: tím(t. *)" = z,7rB2B7BzB4...

El número e es extraordinariamente importante.

A partir de ahora 1o encontrarás con frecuencia, tanto en este curso co-mo en los posteriores.

El número e también se obtiene mediante la siguiente suma infinita:

e:r+ 1 * 1 * I *-1-*-1-+...+ I *...11 21 3l 4l 5l nt.

En las páginas 228 y 229 estudiaremos límites de funciones (cuando,r -+ +oo) relacionados con el número e.

g.2 tíMtTE DE UNA FUNCIÓN cuANDo x -+ +co

Cuando * - **,

I tím .f@) = IJC -+ +co

r lím f@) = +a.,c --t +a

Vr lím f@) no existe

,t -) +@

@ ruNcro¡t¡s sr¡¡ ti¡urr¡ I ::';:'::'J 3;d3,Ji.;l::T"::1,?:;Los funciones sen x y cos x no tienen & más arrlba.límites cuondo x -) +ü)t pues oscilonconstontemente entre los volores I y -1 . I

la función puede comportarse de diversas maneras:

Al aumentar x, los valores de .f(x) se

aproximan a un cierto número /.

Al aumentar x, los valores de f(x)crecen cada vez más.

r lím f@): -aJC _) +oo

t\AI aumentar xj los valores de f(x)son cada vez "más negativos".

Cuqnlo mós pequeño seo

hemos de tomor h.

Vamos a analizar con detalle cada uno de estos compoftamientos.

Límire finiro. Definición

lím .f(x) = t + Podemos conseguir que /x) esté tan próximo ax'-> +@ : I como queramos sin má!r,qué-:,darl{,,á1,,,*,,iálores

' ' ,,tírn ,f{x) ;,1 <+ Dado I ,,un,núime¡o::,Pó,sltivo]'l '.s.il'r'(ár..bi!iáii¿,1r.Ienter-?to r, : r, l, peeueño), podemosr:énóo¡tiat,,u-!-,,:rh,,:i:(lán::rgfande' '' . . r coÍio' seahecé5ario)l.tá1:4ué:.::.::: .,'lllr'.:r,r::lr:l.r.i.:':.:',';':,':,l::r:,r'i

I r ,.,, rsi l¿'h':antoa¿¿5, l/(¡);-'¡¡:"¿'¿:r:, ,'e, mós gronde

UNIDADTMI

Operociones con límites finitosSi líru f@) : a y lím g@) = b, entonces se cumplen las siguien-

,c-)+o f-)+@tes relaciones:

L. tím [.f(x) + g(x) = tím f@) + tím g@) = a + b,ú -) +ó ,C -) +rc ,ú -) +ó

2. lím f,"f(x) -S(x)l = lím f(x) - lím g@) = a - bJC-++ó ,ú-++ú t-)+6

3. lím I,Kx) S@)l: lím f(ñ . tím g(x) = a. bJd -+ +co ,c -+ +co Jt -+ +ó

f rr ''\ 1 lím f{x)4.síb+0. tím lr':! l-x-->+a -ax-++€¡g{x)l lím g(x) b

.i¡il!

ltiTodos estos propiedodes son muy sencillos yrozonobles. Enúnciolos en los siguientestérminos:

1. El límite de la suma de dos funciones es

iguol o lo sumo de sus límites.

Reflexiono sobre lqs resiricciones que seimponen en olgunos de los propiedodes, demodo que los veqs rozonobles.

.,i:.:rlr't,::ll:!rilil', FUNCION POTENCIA

Lqs funciones potencio, f(x)s({ o g(x) f('),

solo estón definidos poro volores positivosde lo bose.

$ rrrncrcros PRoPUEsTos

5. Si /rx) > 0, tím [/txls'")l : I t,*X -+ +ó lx --+ +o

6.Si n esimpar ]- tímosi n espary f(ñ>0) *--'i*

g(x) : ob

7. Si cr > 0 y f(x) > 0, tím ltos,f@)l = tog,l tím f@)] = togoax-++@ [x++o I

Por ejemplo, si lím f(x) = 3 y lím g@) = -5, se cumple que:jr -)+@ Í-)+o

. /!*_(kt +g{xtl : 3 - 5 : -2

. *ly**l,f@) -g(x)l : 3 + 5 = 8

.,ly**lf(x)' s@)l : 3 . C, = *15

. *ty*_L/(x)s(")l

= 3-s : + = +

. lím tS(x),r{d1 no existe porque g(x) < 0 para valores grandesr-++@ de x.

. lím t6* : '"k = -G

. 'i)-

u* no existe porque g(x) < o paravalores grandes de x.

\f tr* f@ = \6\lr++o

l,Si u(x)-+2 y uG)-+-3 cuandocula el límite cuando x -) +co de:

a) u(x) + uG) b) u@)/u(x)

2. Si u(x) + -1 y u(x) -+ 0 cuando y 1 *m, ca-I-

cula el límite cuando d -+ +oo de:

a) u(x) - u@) b) u(x) - u(x) c) u(x)/u(x)

d) togru(x) e) u(x)'u(x) D3'lu<x)

y ) +@, CaI-

c) 5uG)

D 3{^x)d) !r(n) e) u(x) ' u(x)

Cuanto más grande sea k, más grandedebemos tomar h.

Cuanto más grande sea É, más grandedebemos tomar h.

límites infinitos. Definiciones

lím f@) = *oo € Podemos conseguir que /(x) sea fan grandex -+ +ó como queramos sin más que tomar x tan

grande como sea necesario.

Dicho con más precisión:

lím lfA = +oo <+ Dado un número k hrbitraiamente grandet,.r --) +o podemos encontrar otro número h (tan gran-

de como sea necesario) tal que:

si ,ú > h entonces f(x) > k

Análogamente:

tím ftxl = -co € Dado un número k (arl>itrariamente grande),x-+-ó podemos encontrar otro número h {tan gran-

de como sea necesario) tal que:

si x>h entonces .f(x)<-k

La expresión lím f(x) = tm significa que el límite es, o bien *o,bien -oo.

Algunos

Recordemos,Ú -) +co:

POTENCIAS

LoGARÍTMICAS

Por ejemplo:

si k>0,

Si a>1,

límites infinirostres familias de funciones que se hacen infinitas cuando

DCONENCTALES Si 4>1,

tím P' xk : +a,c -+ +@

lím P' ax = +cP

,l:-)+€

lím P'logox=+a''c -) +a

tím G5x2 + 6x - 2) : -a,Ú-)+o

tím (2,5)** 1= +coJc-++o

lím (4 logrox) = +oo,d-++€

lím (x3 -7x2 + J) : +ooj\; _+ +cO

tím {jP - (v = ¡6f-++a

lím G5 logrx): -aJú-++o

EJERCICIOS PROPUESTOS

3. Halla los siguientes límites

a) tím (x2 + 3x-x3) b) ltun e5'229,ú -) +@

4. Calcula estos límites:

a) lím'^F.Zf --) +€

b) lím (2logro x)

,$p roltn uom

Estos resultodos son sencillos, importontes ymuy útiles poro el cólculo de límites.

Revísolos con mucho otención yfomiliorízqte con ellos.

,:¡t*, lrurlNlrOS DEt MISMO ORDEN

Ninguno de ellos es de orden superior olotro. Es decir:

1fi -'r 3,- \^litn -= = lint _=_ = *cox -+ +ú >x x -+ +co )Jf

tim fl:|. =,*ox + +o g(x|

UNIDADX"TMil

Comporoción de infinitos

si *l!c**f(x):

to y .ty.*r@ = t@,

se dice que /(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

'- Itxt '9(x)ttm ---;--. : a@ o. lo que es lo mismo, lím :-j- : 0x -+ +.o g (x) x --¡ +m ./ (x)

Es fácil comprobar las siguientes afirmaciones:

. Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de

orden superiorI

lím ""; : +ooy --¡ +a 7X)

. Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1, la demayor base es un infinito de orden superiori

2xlím - =*oo

,d-)+ó 1000' 1,5r

. Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito deorden superior a cualquier potencia:

., r.zxlim

-=+@

r - i- 1000 ' x2o

o Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las

potencias de x son infinitos de ord.en superior a cualquier funciónlogarítmica.

. Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base

son infinitos del mismo orden:

7x5 + 3x4 + 1000 y x5 -'J.0x4 - 2000 son infinitos del mismo orden.

I00 ' 2x y 0,01 2r son infinitos del mismo orden.

¡ Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es

el del sumando de mayor orden:

3x1 - 5xi + 7 es un infinito del mismo orden que xa.

#0 + 7 . 1,1r es un infinito del mismo orden que 1,1r.

EJERCICIOS PROPUESTOS

5. Indica cuáles de las siguientes expresiones son in-finitos (+oo) cuando ,ú -) +co

a) 3xt - {l * 1 b) 0,5rr c) -1,5x

f) !;r) -4

ó. a) Ordena de menor a mayot los órdenes de los si-

guientes infinitos:

logrx \E x2 3x5 r,5^ 4x

b) Teniendo en cuenta el resultado anterio¡ calcula:

,- logrx r-5 {;lím --- tím !!= límrc -+ +ó {.* v --s +ú x- x -+ +o l '5x

d) logrx

s) 4',

d r/@3 + t)

h) 4-,

!¡$$e Horn HsrÓnlcr

Lee lo que decío, en el siglo vtt,

el motemótico indio Brohmoguptoo propósito de uno expresión

d"l tioo l9I,' (01

"... Cuondo mós disminuye el divisor, tontomoyor seró el cociente.

Si el divisor se hace extremadqmentepequeño, el cocienle se hoceexlremodomenle gro nde.

Pero mientros puedo decirse que es de tol otol otrq mognitud, todovío no se ho llegodoo lo mognitud extremo, pues siempre puededorse un número moyor que é1. El cociente,por lo tonto (cuondo el divisor se reduce olmínimo posible, es decir, o cero), se hoceindefiniblemenle gronde y puede llomorse,con rozón, infinito."

Es esto lo formo de rozonor que tesugerimos ("si el divisor se hoceextremodomenfe pequeño, el cociente se

hoce extremodomente gronde"). Ayúdote delo colculodoro cuondo lo necesites, perollego o convicciones cloros.

Operociones con expresiones infinitqsDel mismo modo que se manejan de forma obvia las operaciones conlímites finitos, hay muchas operaciones en las que intervienen funcionesinfinitas cuyo resultado es también obvio. Por ejemplo:

Si lím f@): +oo y lím g(x) = +oo, entonces:,c -) +co ,c -> +@

lím lf@) + g(x)l = +oox_)+ú

Se expresa así: (+oo) + (+oo) = (+m)

Ponemos, a continuación, algunos resultados de operar con funcionesinfinitas. No trates de memorizados. Mira bien cada uno de ellos, hazalgunas pruebas, ponte algunos ejemplos y acaba viéndolos tan tazona-bles que los recuerdes cuando te los encuentres.

PRODUCTOS

(+oo)+(/)=(+"o)

(+co)+(+co):(+oo)

(-*)+(/):(-"o)

(-*)+(-"o):(-oo)

- (-oo) = (+m)

COCIENTES

si />

si /<

(+oo) .

0, { !.*l[ (-*)

0. { c**¡| (-co)

(+co;(**) = (+m)

(+co¡(+) = ¡g¡

0, (+oo1(/) = (+m)

0, (+oo)(/) : 19;

0, (/)(0) = (1)

., I e)'**': (+m)

I (¡t(-*, : (O)

t<1 Jil)'.-'=to)| (/),--l : (+m)

Si

Si

Si

(+oo) : (+m)

. (/) = (+"o)' (/) : (-*)

'(/) = (-m)' (/): (+m)

POTTNCIAS

l>l<t-

si />

si0<

7. Si, cuando ,c -+b(x) -+ -a, u(x)das, límite cuandoguientes:

a) f(x) - h(x)

c)f(x) + b(x)

e) f(x) ' b(x)

EJERCICIOS PROPUESTOS

*@, f(x) -+ *@, g(x) -+ 4,-+ 0, asigna, siempre que pue-

,ú -) +oo a las expresiones si-

D f@)r(^)

d) f(x)*f) u(s)u@)

I f@)/b(x)D g@)b(x)

k) f(x)/u(x)m) g(x)/u(x)

ñ) f6¡n<*>

P) h@)b(x)

61 ¡-¡r7*¡1tt{x)

j) u(x)/b(x)

l) b(x)/u(x)

n) x + f(x)o) x + b(x)

q) x-*

.f(x): **) Jíy,^l-f(x) -s(r)l : (+oo) - (+oo)

| ^- -s(x) : +"o ! tím ts@) -f(x)): (+oo) - (+oo)

I rú-++Ó

h(x) : +a I tím [g(x) - h(x)1= (+m) - (+oo)) x-++a

,(1:11¡!-!)',

'1.,:,.

.¡+'a1,.-,.(+ó)',<!ór,(ol S f*oo>ro (rlco

UNIDADf:rFil

lndelerminqcionesCon el símbolo (ioo) + (+co; = (+.o) estamos diciendo que, con segu-tidad, Ia suma de dos funciones que tienden a *@, cualesquiera quesean, es otra función que también tiende a infinito. ¿eué resultado pode-mos aventurat paru (+oo) - (+oo)?

veamos, con los siguientes ejemplos, que puede ocurrir cualquier cosa:

"f(x) : x3 tím

t-++o

g(x):x2+5 tírn,c -+ +oo

b(x) : x2 tírnJd -+ +co

Las expresiones anteriores son del tipo (+m) - (+*). Sus límites son:

*r!**tf@) -g(x)J = *,y*_lx3 -

(x2 + J)l : +m

lím LS@) -f(x)l = tírn [(x2 + 51- x3l = -*,ú -+ +@ ,c -+ +€

lím tg(x) - b(x)l = lím l@2 + 5¡ - x2l = 5Jd -+ +co ,c -t +co

Como hemos visto, (+oo) - (+oo) ha significado, según los casos, (+co),(-oo) o (5). Es decir, con solo saber que dos funciones tienden a infi-nito, no podemos saber.a qué tiende su diferencia.

Si lím f@) = +co y lím g(x) = +oo, ¿cuánto vale lím V@) _ S@)l?,ú -+ +ó Jú -+ +€ ,C _) +6

Para contestar a la pregunta, no queda más remedio que anarizar más afondo cada caso concreto.

En las próximas páginas aprenderemos algunos métodos para resolverlos casos más frecuentes de indeteminación. Los más importantes son:

EJERCICIOS PROPUESTOS

8. Las funciones f, g, b y Lt. son las del ejerciciopropuesto 7 (página anterior). Di cuáles de las si-guientes funciones son indeterminaciones. En cadacaso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si nolo es, di cuál es el límite:

a) "f(x) + b(x)

c) f76¡-n<x1

e) f(fiu(x)c) lg@)/41flx)

b) f(x)/b(x)d) f@¡n{*>

I y@)b(x)

h) g@)f(x)

8.3 cÁtcuto DE LiMlTEs cuANDo x -+ +oo

@ nrcu¡no¡

Cuondo x -+ +oo, el protogonismo de unq

función polinómico lo desempeño su

término de moyor grodo'

Cociente de polinomios

El cálculo de límites de fracciones algebraicas (cocientes de dos polino-

mios) se resuelve con toda sencillez si prestamos atención a los térmi-

nos de mayor grado del numerador y del denominador'

6yP+6'yP-L+... a,se comporta como f xP - a

(el signo del límite depende de los sig-

nosde a y b).

J\^) - -;---;. *-1 ,bs4 + S:YQ-1

.Si P:4, Um ftñ = |Jd -) +Ó

.SiP<4, lím f@)=o,c -+ +6

Por ejemplo:

1x3+2x-1. lím " : =*o,r-++ó Ijx¿-7x+3

Razonadamente:

+ ...

=+@.siP>4, lím f@)Jf _+ +co

3x3.2x 1

-a---x2 x2 x2

Y4-4. +tco x-

-3x3 - 5x2 -',t _ -3 _. *t!,1_-6F-* - 6-. lím iox'- 3 : g

,ú -+ +co -5x¿ + 2

pues el grado del numerador es mayor

que el del denominador'

I = lím.,l -.) +co

^213x+ ----=xx¿lím

,ú-)+@rc_L*4xx"

1

l+co)(10)

Cociente de olrqs expres¡ones infinitqs

La rcgla anterior también es válida cuando en el numerador, en el deno'

minaáor o en ambos, hay expresiones radicales. Para aplicarla tendre'

mos que tener en cuenta que:

.o{o*" * - se compofia.o-o '{7 'xn/P cuando x-+ +o'

.o^tr;*" * - no tiene límite cuando x -) +o si a esnegativoy Ies par, pues no está definido para valores grandes de r

Por ejemplo:

10x4 + 5x. LXm ----:---------=-r -+ +m 6(1 - x')

" 3x+1ltnx ----,r -) +co ^rl4x2 - 6x

t:-=- ^\tx" - zxl'm-----..-----=-

r-++ó ¿x+>

10xa= lím ----:---; = -oox -+ +* -6x)

= límx-++@

= límf --) +ó

3x =32x2

'B#t'2x

= }Y**$ *'''' = **

=l-.2x2-5x-2x@+3)

x+3.- -'J.1.x:

*'!"**¡'*3 =-lt

Cuando hay radicales

Si en el minuendo, .f(a), en el sustraendo, g(i), o en ambos, hayuna raíz cuadrada, la operación no es inmediata. Entonces se proce-de multiplicando y dividiendo por f(x) + g(r), con 1o que desapa-rece la diferencia de raíces, que obstaculizaba el cálculo del límite:

*,!*-(#-2"): *,y*-

,- Q2-x)-x2 ., -x -1tLttt- rrrrl

-

r|rrr-r--)+ó {x¿-x+ x x-++ó rJx2-x+ x x-)+ó "'17_ I/x+ I

_ -1. __ 1

1+1 2

f(x) - g@) =

Por ejemplo:

tím (W-

UNIDADf'Ñ

Diferencis de expres¡ones infinitqsEstudiaremos treb casos, cada uno algo más complicado que el anterior.

L Cuando se aprecia a simple vista que las expresiones cuya dife-rencia se nos propone son infinitos de orden distinto, podemos atri-buides, directamente, límite +oo o -co. Por e1'emplo:

I

-

z.*2 t* +'t\lim ltrx' -* - i- \ 2x - 1' I grndo 3/2 y el susrraendo

r @ - 5). r "s de grado 1'

Itm I '- - 1..5* I : -- Porque una exponencial con baser -) +ó \ xt - 1 I mayor que I es un infinilo de orden

superior a una potencia.

II. Cuando puede efectuarse la operación

Si el límite no se aprecia a simple vista, intentaremos efectuar la dife-rencia indicada y, después, calcularemos el límite. Por ejemplo:

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Sin operar, di el límite, cuando x ) t@, de las si-guientes expresiones:

a) (xz - ttlr* . 1)

o ^,[x2 * t- - ^,[l

e) 5"- 3ris - 2

2. Calcula el límite, cuando x --r t@, de las siguien-tes expresiones:

b) (x2 - z*)

d)3*-2"

D rt - log, x4

^r3x3+5 _4x3-x l-rt *3

x+2 x-2 2xz+1

_.3x+5 x2-Z ü^lir+xL)z-*

2

-^lF.te)2x-.rlP.* f) \,t+ 1 -.rE.2

Límite de unq potencio

El límite de una potáncia, en muchos casos, se puede calcular sin más

que conocer los límites de la base y del exponente. Por ejemplo:

tím (xz + 1¡x-3 = +.ú¡ pues es del tipo (+oo¡(+-).,l -) +co

lím (zx + t\. = *oo, pues es del tipo (2)(**).x-++o\ x l

-,y.-(#u)" = o, pues es del tipo (+)(.-'= ¿+tSin embargo, cuando lím f@) = 1. lím S@) = *@, el límite

,c -> +co JC --+ +@

lím f(ge@) es una indeterminación del tipo (1)G*), gu€ hay que,ú -+ +ó

estudiar en cada caso.

El número eLos siguientes resultados son muy impoftantes:

tím ft*t1*=". tírn lt-1\"--L:,-'*+*-\ xJ ,c-)+@\ xJ e

Basándonos en ellos, obtenemos estos otros límites:

. .ty.*(t

. *)* = e, pues haciendo 2x = ! queda /y-('. ;Y

ffi Ho ro otvrDEs

/ ' \ox+6/ím ll+ll =eox++*\ xl

hm (1+ k)^="¡x++-\ xl

,ty.*('. +)'. = *ty**l!. *Yl' = ""

I t\axtím lt - ll = e-o

"-*-\ x J

.,y.*(' . +)*

* o = *,y *(,

. *)* (t . *)' = sa ! = sa

.,y.*(,. *Y = .,K*(,. hY = *,g**l|. hY'rlu = "u

EJERCICIOS PROPUESTOS

3. Ualla los siguientes límites cuando ,ú -) +oo:

"r fr * !)* ¡> fs * +)*\ 5xl \ 5x)

o ('. *)', ('. *)'"

4. Calcula estos límites cuando ff -+ +@:

u (' . +)'" 2

b) ('- *)*"r (r

* +)" ar (r. f,)5

" ('- *)'. o (r . +)'.

ar (r . f)"

o (r - !)5'

UNIDADil

Expresiones del tipo (lf (+*1. Reglo próctico

1 \s(D €)*rl=_t

f(x) - tl

\ 1 .lf{x\-t).c(x\G)ll . r 1 llftx\-l)'g(xt=fr* t lfr">-t =tf1+ , \f,*,-¡l- r I ll- r I I\ fr">-tl L\ f{ñ-rl I

(l)queremos expresar la potencia en la forma [, * I ltt*', donde $(x) sea una

L orolexpresión que tienda a infinito. En este paso hemos sumado y restado 1 en la base de

la potencia.

(2)Pan obtener r * -J-, ponemos /(r) - 1 como : El denominador0(¡c) 1'

-=:- tiende a infinito, pues flx) - 1 tiende a 0. f@) - 1

"f(x) - t

(3)Parucompletar [, * I , lttt', ponemos 0(¡) = ---1- como exponente. Natural-' t- 0{r)l J@) - 1

mente, debemos compensarlo multiplicando el exponente por su inverso: /(¡c) - 1. E1

factor g(x) es el exponente que ya había y que debemos mantener.

(4)puestoque 0(r)--¡+co, laexpresión [t-r.,l_]t'

tiende a e.

Como es del tipo (1;(**), podemos aplicar la rcgla anterior:

-, tx2+x-l -\ltm l-- ll

l=e,-.*\ x2+2 I : ":r*(#) Gx-1)

-tín 3x2 - l0tc + 3

=eE++@ x2+2 =g3

Vamos a resolverlo siguiendo los pasos de la demostración anterior:

(4;#)3*-1 :('. ff3)3x-1 -(,. r-;*_r)Jx-' =

Demostración

.f@)e(ñ 9 {r * tf@) - il}e@)

. x2+2 x-3, 1 \r-l "r.z

(3x-r) -- @z+2yí-3)) -

*('

-('

t(1+ )*l* ----------JJf -+ +@

EJERCICIOS RESUETTOS

(xz+2)/(x-3)

títrlrrr DE UNA FUNcró N CUANDO x -) -oo

Def iniciones

*l!_*f{*) = I e Podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a Icomo queramos sin más que darle a x valores sufi-cientemente "grandes y negativos".

Dado e > 0, existe un h (suficientemente gran-de) tal que si x 1-h, entonces l"f@) - ll . ".

Las definiciones de lím. f(x) = +oo y de lím f@) = -oo son comoJC -+ -ó Jú -) -ó

las correspondientes a x -) +oo, pero poniendo x < -h donde allí seponía x > h.

Cólculo de límites

Para calcular límites cuando x ) -@, tendremos en cuenta que:

*'y-*f('): /E.*"rc*>

Por tanto, calcularemos el lím de la expresión que resulta de cambiar

x por -x. por ejemplo: rc --' +Ó

. lím (x2 - 5x + 3) : tírn [( x)2 - 5Cx) + 3]:x-+-6 ,c-)+o

= *l3o**@2

+ 5x + 3) = +oo

Observa que, para calcular el límite, sería suficiente con haber hechoel cambio en el término de mayor grado, que es el único que influyeen el resultado final. (Incluso se puede realizar mentalmente obser-vando si el exponente es par o impar y, por tanto, si Ia potencia va aser positiva o negativa).

. *r9_*(3x3

+ 2x-7): *ty**Í3Gx)3

+ ..,1 : ,ty*_G3x3

+...):-cc

¡ líml[jF-1tP*1=+,o,f-+-ó

. tím .E4#4ir * 5x : **,.x --) -@

. tím ^,Biriji, + B,ú -) -@

pues la mayor potencia, (x4), espar, y su coeficiente, (5), positivo.

pues la mayor potencia, (x3), esimpar, y su coeficiente, (-4), nega-tivo: -'-:+

no existe, pues el radicando se hace negatii-ocuando ,f -+ -co.

lím (1,/2x) = (1)/(+co) = 0f-)+@

a-x _a-lím 2x:,ú -) -co

límJc -) +@

1\n-l.xJ *'g**[('- +)']'lím tt *JC-+-ó \

tím (t - 1)-'=¡6-++ó\ xl

= @-1)-r = e

EJERCICIOS RESUETTOS

UNIDADil

' -3x3 -zx-1.a) lím A= lím " : =-.o' *--'-* *-J'** 10x2 + 7x + 3

Se podúa haber dado directamente observando que el numerador es

de grado mayor que el denominador (too) y que el numerador es

negativo y el denominador positivo.

3x3-5*+3b) lím B= lín'tx-+-ú r-++@

c) No existe porquecuando x -+ -@.

-6x3 -7x2 2

el radicando, 5x3 - 2x, toma valores negativos

d) tím D: tím k¡A- _ 4*, - ?\: (+co) _ (_oo) : (+oo)x-)-oo *--¡+*\ -x+21

e) Es una indeterminación del tipo (+m) + (-oo). Para resolverla, obser-vamos que el primer sumando es de grado 3/2 y el segundo suman-do, de grado 1. Por tanto, lím E = +o.

f) *ly_*'=

+@, pues, es una expresión del tipo:

(+oo) - (-oo) = (+oo) + (+oo)

c) tím G: tím Ot7-x -x)=-* (ueur" página227),c -) -co Jú -) +ó 2

n) *,g-*'= *,g**F - *)* = *'Iv**l( +)r.l''=nI

EJERCICIOS PROPUESTOS

l. Sin operar, di el límite cuando x -) -@ de las si-guientes expresiones:

a) xz -tlr-.1c)x2-2'

e) 2-x - 3-x

g) 2'- x2

i)'{x+2-x2

2. Calcula el límite cuandoexpresiones:

,3x3+5 4x3-xx+2 x-2

O"'[7*x- lPl:

d^'{F*Z* *x

,r/r- t\5x+r"-\ xJ

b)x2+2x

d) yz - 2-x

¡ lF -1 -5x

h) xz -,lF-

D 3-" - Z-x

,r -) -co de las siguientes

x3xr))---'2x2+1 2

d)zx+^lF.*

nfr* 3\"'\ xJ

h)(t++)3'-'

8.5 tiMITE DE UNA FUNCIÓN

Aquí, como en otros portes, los referenciosque se hocen o +co o o -oo son

puromente simbólicos con propósitosintuitivos.

+oo y -co no son números y/ por tonto, no

se pueden operor como los números.

EN UN PUNTO

Solo nos podemós acercat a +oo por la izquierda, es decir, tomando valo-res menores, mientras que a -oo solo podemos acercarnos por la dere-cha, Pero a un número c podemos acercarnos tanto por su izquierdacomo por su derecha. Es interesante distinguir lo que ocuffe por uno ypor otro lado.

Límites lqterqles infinitos

Se dice que flx) -) +co cuando x -+ c por la lzqwietda, y escri-bimos:

*líE"_f(x): +a

número K, podemos encontrar otro número,

c- 6 < x < c, enfonces f(x) > K

Análogamente:

lím ,f@): +a-r --) a'

Dado K, podemos encontrar 6 > 0 tal que si

c < x <c + 6, entonces /(x) > K

Dado K, podemos encontrar 5 > 0 tal que si

c- 6 <rc< c, entonces f(x) < -K

Dado K podemos encontrar 6 > 0 tal que si

c < x < c + 5, entonces .flx) < -K

cuando, dado5 > 0, tal que:

S1

lím f@) = -nx-+c-

lím _f(x): -ax-+c

Límites lqterqles finitos

POR IA. IZQI]IERDA

tím f@): t ex-+c-

EOR I-4, DERECIIA

tím _f@) = t.r --+ c

Si queremos que flx) sea muy próximo a /(es decir, que l¡{x) - / | < e), bastará con dar-le a x valores suficientemente próximos a c

inferiores a c.

Dado e>0, podemosencontrarun 6>0 talque si c-5 <rú< c, entonces lf(r) - tl . t

Dado e ) 0, encontramos un 6 > 0 tal que .'-

c < x <c+6, entonces lflx) - tl < e

c-6 c

-t--t

UNIDADil

Límite finito en un punto

En los límites laterales nos hemos acercado al punto c por un lado opor otro. Ahora vamos a hacedo indistintamente por uno u otro lado. Es

decir, x -) c significa que ,c se acerca a c tomando valores tanto

mayores como menores que c.

Una función tiene límite finito en c cuando admite los dos límites late-

rales y estos coinciden.

Obsérvese que esta definición englobalaterales. Por tanto:

las dos definiciones de límites

lím f@) =x-+c x

EJERCICIOS RESUELTOS

f(x) = t

Observaclones

- Tanto en Ia definición de tím"f@) como en *r:r_f(*), *rr!r,f(*),

no se menciona lo que pasa con la función en el punto c' Eso solo

importará cuando tratemos la continuidad.

- Si existe límite finito, /, cuando x -+ c, las dos ramas lafetales de

la gráfica de la función se aproximan al mismo punto, circunstancia

que merece la pena señalar.

Sin embargo, aunque los dos límites laterales fiieran +co' no por eso

dejan de ser ramas independientes, sin nada en común.

Por ello, cuando pongamos lím"f@) = +co quelremos decir, sim-

plemente, que los dos límites laterales son infinitos.

lím f@) = límx -, 1- x -+'1.

lírn f@) = límx--r1.* x-+'l'

Como los límites laterales coinciden,existe el lím f@) y es igual a 2.

x ->'J.

(x+i.)=z I

(-x2+4x-D=2)

8.ó CALCULO DE IíMITES CUANDO x-+c.Cqsos inmediotos

Recordemos que en las funciones elementales se verifica siempre que,

si f(x) está definida en ,r: c, entonces:

lím.

"f(x) : .f(c)

Esto nos permite asrgnar, de forma inmediata, el valor de multirud de

límites.

Por ejemplo:

tím sen x: r"n *: *x --> tc/j ) L

lím (x + 1)Í+':34:81'x+2

Con los resultados operativos vale aquí toda la casuística que vimos en

los límites cuando ,c -+ +co. (Véanse páginas 221 y 224).

Por eiemplo:

Ím l-l- ¡ 2trtx- 3P] : + *2r (0) : (+co) + 2(+@t =i'-'slt*-3t I ro)

(+co)+(+oo):+oo

EJERCICIOS PROPUESTOS

l. Si tím .f@) : 3 y lím g(x) = 2, di el valorx->l Jc-)1

del límite cuando x tiende a 1 de las siguientes

funciones:

b) f@) ' s@)

d) f(ñe(,')

f) 4f@) - 5s@)

(Recuerda que(+-) - (+oo), (0) .

determinaciones).

a) 2p@) + q(x)

_ r(x)C):ptx)

. s(x)€).-qlx)

g) s(x)'P(x)

i) P(fir{x)

3 - r(x)k).- '.- s(x)

m) r(Y)P@)

/ r(") \pc,ro,l' ¡ /

las expresiones (+oo)/(+o),(+oo), (L)(*-), (0)/(0) son in-

b) P@) - 3q@)

d) p!"]

' p(x)

- P(x)t): _qlx)

h) s(x)s(x)

i) r(ñ'(x)

[ ¡(¡) 'l s{x)r'l. , I

n) r(x)-q@)

a) f(x) + g(x)

, f(x)q d*)

e) G(x)

2. si tím f@) = I y lím 8(x) : m, entoncesx-+a

]r:,V@ +g(r)i = t+ m.

Enuncia las restantes propiedades de los límites de

las operaciones con funciones empleando la nota-

ción adecuada.

3. si lím p(x): +a, lím q(x) = +a, lím.r(x) = 3x -->2^ x )2 x +2

y tím s(x) = 0, di, en los casos que sea posible,x-+2

el valor del lím de las siguientes funciones:x -->2 "(+r-

UNIDADmil

Indeterminqciones del tipo (01/(01

cocrENTE pE por-u,¡óuros: u* l?)* _+ c e(n)

I Si Q{c) + 0. entonces Um I! : +2 (No es indeterminación).*'-', Q(x) Q(c)

r Si Q(c) : 0, pueden darse dos casos:

- P(c) : 0. Entonces Ia fuacción puede simplificarse dividiendonumerador y denominador por x - c, y se tiene que:

.- P(ñ Pr(x't (x - c) ,- Pr(x)tlttt-= ttttt-: ttttt --:-_-.

x+c Q(x't x+c Q,(x) @- c) x-->c Qr\x)

- P(c) + 0. Entonces el límite es +co. Pued.e ser distinto el límite a

la izquierd,a y a la d,erecba de c. Paru averiguado, se recomien-da obtener con la calculadora el reswltad'o del cociente par6' ua'lo-

res d.e x próximos a c por uno y otro lado.

Veamos algunos ejemplos:

c límx2-4 _5 _1

i"-'¡ x3 + 2s2+Js+10 70 t4

ffi rnorrrRMtNActoNEs

forb;¿n oquí se pueden dor lqs mismos

indeterminqciones que se estudiqron cuondox -+ +co (véose pógino 225). En esto

pógino y en lo siguiente veremos métodos

poro ofrontor los mós importontes.

x2-4- tttrt

-

x-+-2xJ+2xz+5¡+10

x2+3 14)o tt¡tti"-t x¿-5x+a (0)

'{-'z - 2"

, 1.,,- (x + 2) (x - 2)

-_____=-_x -+-2(x + 2) (# + 5)

x-2 -4:umx-+-z xz + 5 9

+ co (En este caso es -co a la derechadely +a alaizquierda).

o lím-----

Para poder enfocado como los anteriores, hemos de reducir a indicecomún las dos raíces:

5{x, - 2x t{e

- D"4x2+x-6 lt*-z;(rc+3) oL --

l,1@ _ Z¡t (x + 3))

\c-87

Por tanto:lím. f@) no existe

x -+2-

lím f@) = +ax->2*

i'-rz^'lxz+x-6

(x-2)@+3)3

EJERCICIOS PROPUESTOS

4. Calcula los límites siguientes: 5. Calcula los límites siguientes:

a) línxx --> -'1.

x3_Zx2+2x+5 x3-5x+7b) tim ---.-----------;-x-+4x)+2x"-3x

{x4'hc-3 X#-xA) ttm ----;- O)tl¡ii----

x->-3 .lX3+3x2 x-->l ",lx¿+X-2

lndeterminqciones del tipo (+.o) - (+.o)

La mejor forma de deshacer estas indeterminaciones es efectuar la ope-ración (resta) y estudiar la expresión resultante. Por ejemplo:

I x2-6 t l - I x2-6 x I

{331.@-, - "4J= }'!ul;A-, - iGSJ=x2-6-x= tlm

x-+3 x(x-3)5

3lím

x-+3

(x-)(x+2)x(x-3)

ut)AIA= ltmx-+3 X

lndeterminqciones del tipo (ll{+*)Tanto el proceso que seguimos en la página 229 comola rcgla a que sellega son aplicables al caso de límites cuando x -+ c.

tírn lfk) _ 1J .sk)lím .f@)srxt = e*''x-+c

Comprobamos que la base tiende a 1, y eI exponente a infinito. Es, portanto, una indeterminación del tipo (1)(+6), Podemos aplicar Ia regla:

/ t "^\-l- H* (x'-4x.to -'tI -f-ffmlx"-+x:tr¡|"-ó =(1)'*= ni'-s\ x-4 'l x-6 -¡-+6\ x-4 llím.

x+61

*4 = n7¡z

También podemos calcular el límite razonadamente:)//¡\x¿-4x-1,0 =t*[x¿-4x-tO _rl:r * x2-5x-6:r * 1

x-4 ' \ x-4 '1 '' x-4 -'-Ex2-5x-6

Tenemos la expresión f * ,l=, siendo d(x) -+ +oo. Hemos de halla¡-g(x)por tanto, el límite siguiente:

F jx'-5x-6 'J.

tím llr. t )#l x-4 x-6

Ji'o [\^ (x - 4¡1¡¡z - 5* 4¡1 J

Calculamos el límite del exponente:

,- x2-5x-6 t ,- k+DL*4\ | 7..trL

-

--

Lartt

-

i'-r, x-4 x-6 *"-"t x-4 -Ft 2

81límite pedido es. e7/2

T.Calcula: jr:r(ry)#

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS RESUEITOS

ó. calcura: ,'* (xz - 5x + z

r-o\ x2 + 2x#+2x+1\

-t

x3+x I

uNtDADm

La idea de función continua está estrechamente relacionada con la no-ción de límite. Empecemos recordando la continuidad en un punto paraestudiar, después, la continuidad en un intervalo y sus consecuencias.

Se dice que una función .,,¡f es continua en un punto de abscisa ccuando se cumple que

Observa que esta definición lleva implícitas tres condiciones:

a) La función está definida en c. Es decir, existe /(c).

b) Existe (y es finito) el límite {ry""f{x).

c) El límite anterior coincide con el valor de la función.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por nocumplir alguna de esas condiciones:

8.7 CONTINUIDAD EN UN PUNTO

IA CONTINUIDAD DE IAS FUNCIONES

dfo n¡nrs Y tos ERRoREs EN tA MEDTDA

Lql funciones que se refieren o fenómenosreoles relocionon, frecueniemenie, cousoscon efectos.

En unq función P = flTl, que relocione lotemperoturo en un outoclove con lo presióndentro del mismo, lo temperoturo es locouso y lo presión es el efecto.

Que f seo continuq significo que opequeños voriociones en lq cousocorresponden pequeños vqriqciones en el

efecto.

Puesto que todo medidq que tomemos en

uno mogniiud reol es oproximodo (nunco

exocto), lo continuidqd permiteoproximornos tqnto como deseemos ol volordel efecto (presión) sin mós que controlor,tonto como seo necesorio, el volor de locouso (temperoturo). Uno discontinuidod en

lo función troerío como consecuenciq loimprevisibilidod en los efectos, puesto quelo couso siempre estoró sometido o loimprecisión de lq medido.

c

/ no tiene límite en c

Cuando una función es discontinua en c pero existe el límite en dichopunto, se dice que la discontinuidad es evitable.

En los demás casos, la discontinuidad es inevitable. Puede deberse aun salto finito (los dos límites laterales son finitos, pero distintos), unsalto infinito (uno de los dos límites laterales, o ambos, son infinitos),o bien carecer de límites laterales. Por ejemplo:

--/

DISCONTINUIDAD E\IITABLE

C

lím f @) +f (c)

SAITO FINITO

tr=,?_ f (x) + ,lím _f

(x) = lz

a,

SAITO INFINITO

lím f(x)=+*x+a-

a.

No existe lím f (x)x+a-

8.8 CONTINUIDAD EN UN INTE RVALO

Una función se dice que es continua en un interualo (linito o infini-to) de lR si es continua en cada punto del i¡tervalo.

Las funciones elementales que utilizamos habitualmente son continuasen todos los puntos en los que están definidas. Por ejemplo, las funcio-nes polinómicas, las trigonométricas seno y coseno o las exponencialesson continuas en to4o lR; las funciones logox son continuas en(0, +co); la función rF es continua en [0, +.o); ?tcétera.

Podemos, no obstante, construir funciones discontinuas en uno o máspuntos. Por ejemplo:

lf,at x1av = <" t" lfr(x) x>a

Las funciones definidas a frozos presentan discontinuidades en los pun-tos de empalme, salvo que en ellos los límites laterales coincidan. Es

deci¡ salvo que fr(a) = _f2@).

La siguiente función es discontinua en todos sus puntos. Se IIama "fun-ción de Dirichlet" y, ciertamente, no tiene nada de elemental:

(

Y:D(x)=]9 ti r esirracional

| 1 si x es racional

Existe una serie de impofiantes teoremas relativos a funciones continuasen un intelalo. Vamos a verlos.

Teoremq de Bolzono

Si flx) es continua en un intervalo cerrado y en sus extremos tomavalores de distinto signo, entonces, con seguridad, cofia al eje X en ese

interwalo. Es decir:

Si flx) es continua a la, b1 y "signo de f(a) + signo de f(b)", en-tonces exisre c e @, bl tal que /r c):0.

Consideremos la función f@) : x3 - 3x + 40, continua por ser polino-mica.

Tanteando, encontramos que f(-4) : -12, f G3) = ZZ.

Es decir, ,f es continua en [-4, *3J y signo def(-4) + signo def(-3r.

Por tanto (teorema de Bolzano), existe un c € G4, -3) tal que /(c) : C'.

La raíz de la ecuación es c.

Tanteando con valores decimales, obtenemos: f(-3,8) = -3,4-)"f e3,7) = 0,447. Por tanto, podemos asegurar que el nú'mero -3,7 xaproxima en menos de una décima a vna raíz de la ecuación dada.

EJERCICIOS RESUETTOS

f(a)k

UNIDADrcMII

Conseeuene¡ss del teorems de Bolzsno

Teorema de los valores intermedios (Darboux)

Si / es continua en la. bl. entonces toma todos los valores inter-medios entre f{at y ftbl.Es deciq cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a)y .f(b), existe un número s, a 1 s < b, tal que /(s) = k.

El teorema de los vaiores intermedios es una consecuencia inmediata delteorema de Bolzano. Veamos otra:

Si -f y S son funciones continuas en la, bl y f(a) < g(a) y.[(bt> g(b). entonces existe un número s e(a, bl tai que /s):g{s).

Teoremo de Weierslross

Si / es continua en fa, bJ, entonces tiene un máximo y un mínimoabsolutos en ese interwalo. Es decir, existen sendos números, c y d,

del intervalo la, b) para ios cuales se cumple que:

cualquiera que sea x e[a. b) es f(dl <fr,xl <f(c)

f(1):tn1=0f(Zl:ln2-0,69

S(1) : e-T : I/e x 0,37 ^1)

< S(1)

g(2):e-2=0,14 f(2) > sQ)

Como ambas son continuas en todo su dominio de definición y, más

concretamente, en el intervalo [1, 21, podemos asegurar que se cortanen algún punto comprendido enfre L y 2.

EJERCICIOS RESUETTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

l. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada unode los cuales la ecuación:

2x4-74x2+14x-1=0tenga una raí2.

2. Comprueba que las funciones ex + e-x - 1 yex - e-x se cortan en algún punto.

3. Justifica cuáles de las siguientes funciones tienenmáximo y mínimo absoluto en ei intervaio corres-pondiente:

a') xz - 1 en [-1, 1] b) x2 en [-3,4)

c) \/(x-I') en 12,51 d) 1./(x - 1) en [0,2]

e) L/(1. + xzi) en [-5, 10]

l. Operociones con límit'es

Los llttites de I'os sucesionesdn, bn, cn, dn Y en son bs indi-cad.os en ln tabla siguiente:

Di cudl es el límite de:

a) lím (an+ bo)

b) lím (dn'en)

q r*Zd) tím (d)b"

¿ w* !t-'cn

f) lím (bn)'"

0lirn(an'bo'e)

a) lím (an + bn) : lím an+ lím bn = -2 + oo = +oo

b) lím. (dn' e,) = lín't d',' lím e, =

an lím a, -2c)lím-. = --:

- =0' bn lim b, +m

1

z ' (-o) = -m

d) lím (d r'lb, = (lím d n'tt;"' : (t).* = O

d ffm L = + : +oo (puede ser +@ o -oo)cn u

f) tím (br)e' = (+oe)-r = A#* : O

g) lím (an' bn' er) = -z ' (+q)' (-m) = -*

2. Definición de límite

6o b,, cn dn Qn

-2 +@ o 1/2 4

Expl:ica el signifi.cado de estasd.os expresiones:

a) tím xz-l =+*.r-)+@ X

b) tí* 2*-l -2tr-++o X

^.2 1

Podemos conseguir que el valor de *-: t sea lan grande comox

queramos sin más que tomar x tan grande como sea necesario'

Con más precisión: dado un número K, faflgrande como queramos, podemos encontrar un

atú-"to h, fan grande como sea necesario, tal

que si x ) h, entonces:

*t-1 uKx

a) lím,c -) +@

b) lírn,c -) +co

x2-l =+a

2x-1.x

)4 1

Podemos conseguir que !- sea tan próximo a 2 como querÍr-x

mos dando a x valores suficientemente grandes'

Con más precisión: dado e > 0, podemos encon-

lrar vn número h tal que si x > h, entonces:

lr;L _zl. "

Cornparúndo la.s órdenes de in-

finito, asigna límite q. est&s etc-

presiones:

o) tím 2:' *-t** l0x:¿-5

b) Iím e{.x -+ +co l0xt - 5

d ,r* Iog(x! + l)-r--)+o l0xz-5

il lím ,'*,-- *---i* log(xs + l)

e) tím (2" - ü5- 1)tr-)+ó

"f) Hm (loxz - \'t5-).tr -+ +@

d ltm llog(xs-¡-1.ox2ltr -+ +cO

)xa) tím , "; - = ** porque 1a función exponencial es un infinitor -+ +€ 'rux" - ) de orden superior a cualquier potencia'

r_;-b) lím 1x)-- 1 : ** porque el exponente del numerador es mayor

x + +.o I1x¿ - 5 q"" .t ¿"t denominador.

tos(x3 + 1)c) tirrt -y- = 0 porque cualquier potencia es un infinito de or-r --) +o ljxz - 5 á"ttiuperior a cualquier función logaútmica'

)xd) tím : to; ,:. = *@ porque toda función exponencial es un in-

x -+ +@ logl* + r) finito de orden superior a cualquier fun-ción logarítmica.

e) tím t^ - ^17;i ) = +oo porque una exponencial es un infinitor -) +ó de orden superior a una potencia'

f) tím (10x2 -./iu) : -* porque el minuendo es de grado 2 yr -> +ó el sustraendo es de grado 5/2.

g) tím ltog(x3) - 10x21 = -a pofque las potencias son infinitos dex -+ +a orden superior a los logaritmos'

4. lndeterminoción

Cuq.ndo tr -) +oo, f(x) tiende a+a; g(x) a. -a; b(x) e O Yj(x) a 1. Identifi.calas ind'eter'minaciones y asigna el límite alresto:

a) am [f(x) / s@)].r -) +@

b) um [j(x)/b(x)].t -> +ó

c) am [s@)'tt(x)].tr -) +co

d) nm [-f(x) -s@)]tr-++ó

e) wm fii(x) /f(x)l* -+ +co

.f) am [f (x) / tt(x)]#-++m

s,) tím [i(x)Js@)f,-)+@

t't) lím [f(x)]s(x)ff _) +co

c) lím tg(r) b(x)]= -co'0 Indeterminación.,ú -+ +co

d) lím lf@) - s(x)l : (+*) - (-oo) = +co

X _+ +cn

bG) oe) lím ^ ,: --:-=0¡ -s +a Jlx) +co

f(x) +oof) tím ', '''i = i = t- (caso análogo al b))'x-++qh(x) 0

g) tím ti@)le@ = 1- Indeterminación.x-++6

h) lím lf@)lc(x) = *.oa = l- = o+co

Es una indeterminación. No podemos saber cuál

es el límlte de ese cociente sin conocer las fun-ciones "f y S,

: +oo Aunque no podemos saber si el límite será

+oo o -oo sin conocer b, esto no es una

indeterminación porque solo puede darse

uno de esos dos resultados.

5. Límite de uno potencio

Calcula los si.gui.entes límites:

a) tím(oa;')'"-'

b) tím (lag x)1-3xtr _) +cO

q.r*-(*#)+

a u*(ry)'"-' =(á).- =.*

b) ,l!c**(loS

x)1- 3x = +ooa = 0

t , X-1c) lím l?*-t=l' :1** (Indeterminación)-x-++@\3x+21

.,y._(* . r-)+ :

" .:.- (#-') "+ = e-1/2

6. O/O con rodicoles

Calcula:

l"*t-Znt------x-+3 {r+6-3

16.1-2 0lím

-

: i. Esta indeterminación se resuelve simplificandox-+a',lx+6-3 0

la función. Para ello, multiplicamos numerador y denominador por

{rc+i +2ypor',[x+6+1.(ül 1-DoG+1+2) -ffi d**e-Ddx+t+z)

(x-Ddx+6+, : "{**e *Z(x-)(G*t*z> "{l.l*z

,- "{x+6+lIl.t7l. ---7--x--+3',lx+1+2

x-3

_6 _342

7. Función conlinuo

Estudia la continuid,o.d de esta,

función según las aalares de a:

rt*.t=Jz**o, x<lr\*-' lx2 -ax + 2, x > I

La función es continua en x + 1 cualquiera que sea a, porque estáformada por dos funciones polinómicas. Estudiémosla en el punto deabscisa 1:

lím f@)=2' | + a:2+ a tím f@)=12-a' 1.+2:3-ax -+ 1- x -->'l+

Para que f tenga límíte en x = -1., ha de ser:

lím f@)= líru. f(x) -+ 2+6,=3-a -+x-)1- JC-+,t'

Por tanto:

. Si a: f , e*iste lím [@) = 2, u esre límite coincide con /(1) = 2-'2 x-+1" 2'' 2

La función es continua.1. Si a + +, no existe lím f@). La función es discontinua, y tendrá a2 x-+t

x: 1 un salto finito.

16I= -2

8. Discontinuidodes

Estudia la continuidad. d.e laJunci.ón sigui.ente:

x3-2x2+x-2¿

-----l----------x'-x -z

9. Continuidod en un puntro

Hallamos las raíces del denominador. Son x = -7 y x : 2. En estos

puntos no está definida la función. Estudiemos el límite de Ia función enesos puntos:

x3-2x2+x-2lím

x-+-L

límx -+2

x2-x-2

x3 -2x2 + x-2

x -+ -1-, y -, -@x -) -I', .Y -+ +ú

(xz + 7) (x-z) - 5

: +a -'/ Si--- --r- si

_0_0

límx -+2x2-x-2 (x+L)(x-2)

La función es discontinua en x : -7 y efl x :2 porque no está defini-da en esos puntos.

En x = -L tiene una discontinuidad infinita y, por tanto, una asíntotavenical.

En r : 2 tiene una discontinuidad evitable porque existe límite finitoen ese punto.

/ escontinuaen ,r+-1 y x+3 cualesquieraquesean a y b, porestar definida por funciones continuas. Estudiemos los límites en x = -7yen x=3.. Cálculo del lím f@):

x -+-l

tím f@)= tírn (x2+ax)=I-ax --+ -1- x -+ -'1.

*(t f{') = *"!-r' : '

x=3,

a: _9

porque

Colcul,a a, y b para que sea.

continua la. siguiente funciónlx2+ax, x<-1

-f@)=10, -1 <x<3lz**4 x23

Para que sea continua enx: -'J., debe ser 7 - a: b.

. Cálculo del lím f@):x-+i )

lím ftxl = tím b: b I

x -+ 3- x -+ 3 [ Para que sea continua en

lím f(x): tím (2x + 4): 10 |. debe ser b = 1'o'x-+3- x-+3

)

Llevando el valor b = 1,0 a la igualdad anterior: 'l' - a = 10 -+

Si a=-9 y b:10, -f escontinuaen x=-1 yen x=3

tím f@) = "K-I) : 10 y tím f@) = fG) = 10.x -->-1 x -+3

10. Teoremo de Bolzono

a) Prueba qote lnfuncióru^

Y = tc4 -2F -5cot'ta al eie OX en el inter'aalo (-2, -1).

b) Busca' otro interT)alo en elque exi.sta una' sohlción d'e

la ecuqci.ón x4 -2x3 -5 = oy aproximq su aal'or bastqLas d'éci'mas.

a) La función f(x) = x4 - 2x3 - 5 es continua en lR por ser polinómi-

ca, por fanlo, setá continua en el intervalo l-2, -1'l'

Además, f(-2)=1(+ 16-? t9 .|,rigrro

de f(-z)#signode fl-1)fcD= 1+ 2-5<0)

Así, hemos probado que .f verifica las hipótesis del teorema de Bol-

zano y podemos asegurar que existe un punto c e(-2, -1) tal que

f(c) = c4 -2c3 - 5 = o.

En ese punto c, la función corta al eie OX'

b)Tanteando' .f(0) = -5; fft> = -6; fQ) = -5; fG) = zz

Como / es continua enl2,3ly signof(2) + signo/(3), el teorema

de Bolzano nos asegura que existe un valor c e(2, 3) tal que

f(c) = 0.

para aproximar su valor, tanteamos con valores del intervalo (2, 3):

.f(2,3): -1,,35; fQ,q = 0,5296

Por tanto, 2,4 es unvalor que se aproxima en menos de una décima a

una solución de la ecuación dada.

I I. Teoremo de Bolzono

Prueba que las gráficas d'e I'as

funciones:

f(x)=senx y s@=+se corta.n en algún Punto, Y Io'c alíz ala aPro x imad'amente.

Tanteando, encontramos que:

.lf \t! - 9'8n I + f(D < s(1) -+ f(1) - s(1) < 0s(1):1 I

f \?) - 9'?oe I -+ f(2) > sQ) '+ f(2)- s(2) > 08Q) = u,> )

Como / y g son continuas en el intervalo[I,2], también lo es la fun-

ción f -g. Además, /-g cumPle:

signo de V<t> -S(1)l + signo de lfQ) - SQ)l

según el teorema de Bolzano, existirá un punto c en el intewalo (1., 2).

tal que: fG) - g(c) = o -+ f(c) = s(c)

Luego -f y S se cortan en algún punto comprendido entte 7 y 2'

12. Volor intermedio

Dada lafunci.tóru^

f(x)=x3+x-5prueba que existe un aalarc e (1, 3) tal qte f (c) = 20.

-f, por ser una función polinómica, es continua en todo lR '

Además, fQ) = -3 Y fG) = 25: -3 < 20 < 25

Según el teorema de los valores intermedios, como 20 está comprendi-

do"entre fQ) y /(3), existirá un número c e(1',3) tal que f(c) = zo'

PARA PRACTICAR

Sabiendo que lím an = +*, lím b, = -a ylím cn= 3, di en cuáles de los siguientes casos

hay indeterminación,

En los casos en que no Ia haya, di cuál es ellímite:

a) an+ bn b) bn+ cn

o!-u- ü?c, on

e) (cn)b" f) (3 - cn)' an

o\ bn ".'/3\b'e 3-cn '\%)

Calcula los límites cuando x -> -@ de las

siguientes funciones:

2x+5ú f@) b) g(d =

c) b(x) : 34* *:4 d) i(x) =2x+3

Calcula los siguientes límites:

10x-5x2+r

x3 + 2x-3J/+tx"

,h"4 6"A) ll,l7l -----=----------

¿n+ I

t+GC) IllYl

-

'2n-5

Calcula estos límites:

a) lím (e" - v3¡tc -+ +@

b) tím x2+!¡r-++o e*

c) tím (tir + x -,ú -) +@

ln(xz + l)Ulxm-x-++6 X

b) lím

d) lím 1&i

>n"- /

"-1

f-- --\x+/)

Calcula los siguientes límites y representa gráfi-camente los resultados obtenidos:

a) lím (0,5" + 1) b) tím 2x + 1'

x -+--ú x -+-@

c) tím ft -l )- d) tím L * ')'-'*x-+-co\ x I ,r-+-oo\ x/

Halla:

a) tím 6tir * 2x - ^,[ir 4)tc -+ -@

b) }rm*dir+t +x)

Sabiendo que:

lím p(x) : +o lím q(x) = -cr,x -+2 x -+2

lím r(x):3 lím s(x):Ox -+2 x -+2

di, en los casos que sea posible, el valor de lossiguientes límites:

s (r)a) lím,' x -+z P(x)

b) lín'r [s(x)' q(x)]x -)2

c) lím [s(x)]P(")x -+2

d) lírn lp@) - zq(x))x+2

Calcula:

a) ,'* (x'zll -t\"' i'-"0\ x3 x l

b) ,,* l-2-- I I

x-+tl.lx-'t)t x(x-1)l

Calcula el límite decuando ,c -+ +oo:

5x2 -2x + IilÍlñ

-

" (2x - I)¿

3 + 2^'lxc) hlxl =-tl2". r

las siguientes funciones

x+lopxb) g(x) : --;-----:-

tog x

2)xd) i@): :--

2x + '1,

12

t35

14

Calcula los siguientes límites:

^\ t1... (f _ sx 3"\U I'tm"'*'-r'**\ x+1 2l

b) lím r*-tET*ntx-)+ú

c) tím h.r. -i4-)'' *-'i."\-'- x+ll

d) .tín*(*#)"-1

Calcula:

I ¡ __ 4 la) Iím l--------=--x--+zIx¿-5x+6 x-2J

o)IT,PE),) ]To(ry-)d, *ty**rr*+t- "[4iri¡

Averigua si estas funciones son continuas en x:2:

t5s

t7

l*-z si x<2illlx)=<".|.6-, si x>2

l*2-t si x<Zr)) ¡(.rc) = <- r l2x+1 si x>2

ln* si x<1\tnx si x>1

[tt* si x<1l2x-t si x>1

r8s

,{$F

5

Estudia la continuidad de estas funciones:

a) f(x) :

b) f@) :

PARA RESOIVER

a) Calcula el límite de la función f(x) cuandox-+0, x-+2, x-)3, x-)*ú, x)-@:

-2[(-rt: .n- t' x2-5x+6

b) Representa gráficamente los resultados.

*2 _9a) Calcula el límite de la función Y = :," x"_3x

en los puntos en los que no está definida.

b) Halla su límite cuando d -+ +co y cuando,ú -> -oo y representa la función con la infor-mación que obtengas.

c) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de

esta función?

Determina el valor de a para que se verifique

tím (W*ax*1, -*):2.x-++6

Halla los puntos de discontinuidad de la función

u = 2 - 1'2 y di si en alguno de ellost x-3 xz-gla discontinuidad es evitable.

Calcula el valor que debe tener k para que las

siguientes funciones sean continuas:

(x+t si x<2a)jlx) = 1 ,lk-* si x>2

Calcula el valor de k para que cada una de las

siguientes funciones sea continua:

(.b)flx)=)*,*k si x(0- r l*'-i si x>0

l*a-ta)f(x)=l=

lG-tDf@):t;-

S1

S1

S1

si

del parámeúo a:

l*z*ax si x<2a) flx) = <

lo-*' st x>2

b) t(x): {"^ si x I 0

lx+ 2a si x>0

x+7

x=7

x+1

x: .],

Estudia la continuidad de cada una de las

siguientes funciones para los distintos valores

2ls

22

23

245

Estudia la

f(x) =

Un comerciante vende un determinado produc-to. Por cada unidad de producto cobra Ia canti-dad de 5 €. No obstante, si se le encargan másde 10 unidades, disminuye el precio por unidad,y por cada x unidades cobra:

fS* si 0<x<10L(x) =l.,lax2 + 500 si x> 10

a) HaIIa a. de forma que el precio varíe deforma continua alvariar el número de unida-des que se compran.

b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidadcuando se compran "muchísimas" unidades?

c ElPrecio de una unidad es C(x)/x.

continuidad de esta función:

llx+zl si x<-l1*' si -1<x<1

I

l2x+1 si x>1

lJ.

265

si x<0.si x>0'

,,?r'

28Dada taf unción Í@ = {:"

L r -rc

a) Estudia su continuidad.

b)Halla lím. f@) y lím f(x).,d -) +a x -->a

En el laboratorio de Biología de la universidad,han determinado que el tamaño 7 de los ejem-plares de una cierta bacteria (medido en micras)varía con el tiempo /, siguiendo la ley:

^tí ." si t<Shoras

T(t) = -s*^[lt-ts si />Shorast-8

El parámetro a es uÍa vañable biológica cuyainterpretación trae de cabeza a los científicos,pero piensan que puede haber un valor para elcual el crecimiento se mantenga continuo ent=8.

a) Decide la cuestión.

b) Investiga cuál llegará a ser el famaio de unabacteria si se la cultiva indefinidamente.

305

3r5

Calcula el límite de las siguientes funcionescuando ,ú -+ +o y cuando x ) -@, definién-dolas previamente por intervalos:

a)f(x)=lx-tl-l"lb)f{x)=lz*-11 +x

x+1c).llx) = ,lxl

Se define la función / del modo siguiente:

f(x) :

Encuentra los valores de a y b para que lafunción sea continua y su gráfica pase por el ori-gen de coordenadas.

i ;- i-]

calcula: lím | 11 +x-lt-*'i"-"0l, 3x I

t*lDada f(x): +, justifica que lím f(x): t" X+7

":c_++m

y *lím *f(x) = -7.

Estudia la continuidad en x: 0 de la función:

lxly=¿x*;

¿Qué tipo de discontinuidad tiene?

CUESTIONES TEÓRICAS

Sea la función f(x) : x2 + 7.

¿Podemos asegurar que dicha función tomatodos los valores del intervalo 11., 5l? En casoafirmativo, enuncia el teorema que lo justifica.

Da una interpretación geométrica del teoremade Bolzano y utilízalo para demostrar que lasgráficas de f(x) : x3 + xz y g(x) = 3 + cos xse cortan en algún punto.

Im*-1 si x>1lZx2+ax+b si x<1

32s

33

34s

35s

3ós

375

38s

395

Sea la función f(x) = 4x-2El segundo miembro de la igualdad carece desentido cuando x = 2. ¿Cómo elegir el valor de

f(2) para que la función / sea continua en ese

punto?

De una función g se sabe que es continua en elintervalo cerrado [0, 1J y que para 0 < x( 1 es:

*+xg(rú, = x

¿Cuánto vale g(0)?

Dada la función:

(

| "-4 si o< *<Lr@):l 4 2

ln-*' si 1<x<1l2

observamos que .f está definida en [0, 1J y queverifica f(O>:-1 <0 y fQ)={1 >0, perono existe ningún c e (0, L) tal que f(c) : 0.

¿Contradice el teorema de Bolzano? Razona lafespuesta.

Se sabe que flx) es continua en la, b) y que

f(a) : 3 y f(b) = 5. ¿Es posible asegurar quepara algún c del intervalo la, ál cumple que

f(c) : 7? Razona la respuesta y pon ejemplos.

Halla razonadamente dos funciones que no sean

continuas en un punto xo de su dominio y tales

que la función suma sea continua en dichopunto.

¿Tiene alguna ruíz real la siguiente ecuación?:

senx+2x+7=0Si la respuesta es afirmafiva, determina un inter-valo de amplitud menor que 2 en el que se

encuentre la raí2.

Demuestra que la ecuación x5 + x+ 1 : 0 tie-ne, al menos, una solución real.

Una ecuación polinómica de grado 3 es seguroque tiene alguna ruíz real. Demuestra que es así,

y di si ocuffe 1o mismo con las de grado 4.

¿os

4ts

42s

43s

445

45s

465

47

Si el término independiente de un polinomio enx es igual a -5 y el valor que toma el polino-mio pan x = 3 es 7, razona que hay algúnpunto en el intervalo (0, 3) en el que el polino-mio toma el valor -2.

La función y = tg x toma valores de distinto

signo en tos exrremos del intervalo l+,+l r,

sin embargo, no se anula en é1, ¿Contradice esto

el teorema de Bolzano?

Considera la función -f(x): fi. Determina sulxl

dominio. Dibuja su gráfica y Íazona si se puedeasignar un valor a f(0) para que la función sea

continua en todo lR.

Si existe el límite de una función /(x) cuandox -+ a, y si f(x) es positivo cuando x 1 a,

¿podemos asegurar que tal límite es positivo? ¿Y

que no es negativo? Justifica razonadamente las

respuestas.

a) comprueba gue *l!**Un(x

+ 1) - ln(x)l - 0.

b) Calcula lím xlln(x + 1) - ln(x)1.,c -+ +ó

De dos funciones f(x) y g(x) se sabe que soncontinuas en el interva\o la, b), gue .f(a) > g(a)y que f(b) < s(b).

¿Puede demostrarse que existe algún punto cde dicho interwalo en el que se corten las gráfi-cas de las dos funciones?

Si f(x) es continua en [1, 9], f(I) = -5 -r

fO) > o, ¿podemos asegurar que

s(x) =.f(x) + 3

tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?

Escribe una definición pan cada una de estas

expresiones y haz una representaci1n de f:a)

*l!t^f(x) : 3 b)

*lím *f(x) = -a

c) lím fQ) : +oo d) lím fG) : -ax-->2- x->2*

48

49

50

'jliiltilii'

52

53

Si una función no está definida en

de ocurrir que lím f@) = 5?x_+3

¿Puede ser continua la función en

De una función continuai -f,

f(x)<0 si x<2 y f(x) >0 si

mos saber el valor de {ryrf{x)l

x = 3, ¿pue-

x=3?

sabemos quex > 2. ¿Pode-

54

Expresa simbólicamente cada una de estas frases

y haz una representación gráfica de cada caso:

a) Podemos conseguir que f(x) sea mayor que

cualquier número K, por grande que sea,

dando a x valores tan grandes como sea

necesario.

b) Si pretendemos que los valores de g(x)estén tan próximos a 1 como queramos, ten-

dremos que dar a x valores suficientementegrandes.

PARA PROFUNDIZAR

Estudia el comportamiento de cada una de estas

funciones cuando x fiende ¿ *co:

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a)f(x) = x3 - sen x

ó bG)

b)s(x) = '?',x'+ L

7x+ senxd) Jlx) =

-

x_ E[x]

x

Calcula: líyy¡ (v)t/(t - x)

r-+1

En una circunferencia de ndio 1, tomamos un,,^

ángulo AOP de x radiantes. Obsewa que:

fg:senx,.re:ryxy arco PA: x

Como:

pe. fu <fu, -+-+ senx<x<tgx.

A partir de esa desigualdad, prueba que:

,, sen xltm

¡c-+0 X

Sabiendo que lím sen x = 1, calcula:x-+0 X

tgxu lxln

-x-+O x

b) lím¡c-+0

PARA PENSAR UN POCO MÁS

a) Supongamos que / es continua en [0, 1l yque 0 < f(x) < 1 para rodo x de [0, 1].

Prueba que existe un número c de (0, 1) talque f(c) = c.

IJaz una gráfica para qtre el resultado sea evi-dente.

a APlica el teorema de Bolzano a la funcións(.x)=f(.x)-x.

b) Imagina :una barca de plastilina de 1 dm de

longitud. Se sitúa sobre un segmento de lon-gitud 1 dm. A continuación, deformamos la

barrita estirándola en algunos lugares y enco-giéndola en otros.

Por último, volvemos a situar La bana defor-mada dentro del segmento, aunque podemosplegarla una o más veces.

Pues bien, podemos asegurar que algunpunto de la barra está exactamente en elmismo lugar en el que estaba. G)

- Llamando x aun punto cualquiera de labana inicial, constmye la gráfica de la fun-ción:

x -+ f(x) : posición de x desPués de latransformación

- Relaciona f(x) conla deI apartado a).

- Demuest ra la a]irmación (.).

1-cosx#

1dm

r¡4

-