Tema: Análisis de Funciones

1. FUNCIONES. LÍMITES.

Funciones: dominio y recorrido

• Una función real f es una ley que asigna a cada valor x de un conjunto un único elemento de otro o del mismo conjunto. Se nombra y = f(x).

• La x se llama variable independiente.• La y se llama variable dependiente.

• El dominio de una función D(f), es conjunto en el que se define la función. Cuando no se define explícitamente se entiende que el dominio es el mayor posible de entre los valores que puede tomar la variable independiente.

• El recorrido de una función R(f), es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente de la función.

• En el ejemplo la función h(x) tiene de dominio Dom(h) = (0, ∞)

• El recorrido es (0, ∞)

Función real de variable real:

ejemplo I

R

Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones:• Todo elemento de D ha de tener imagen.• Esta imagen ha de ser única.

La fórmula f(x)=x2 relaciona dos variables reales

R

• 4• 5,29• 25

RecorridoDominio

• 2• 2,3• 5

f(x) = x2

f(2) = 4

f(2,3) = 5,29

f(5) = 25

Función real de variable real: ejemplo II

– 1 1

Variable independiente Ley de asociación Variable dependiente

x f y = f(x) Dominio

D = [–1, 1] f(x) = 1 – x2 Recorrido

f([–1, 1]) = [0, 1]

Dominio

Recorrido

x

f(x) • (x, f(x))

Límite de una función en un punto: de la definición intuitiva a la definición formal

Sea f(x) = (x3 + 2x) / x . Su dominio es D(f) = R – {0}. Sus valores en las proximidades de x = 0

x -2 -1 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 1 2f(x) 6 3 2,01 2,0001 no existe 2,0001 2,01 3 6

Definición intuitiva: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de x próximos a 0 los correspondientes valores de f(x) se aproximan a 2.

Objeción: esos valores de f(x) también están cada vez más próximos a 1 y no decimos que el límite sea 1 hay que depurar esa definición.

Vemos que para valores próximos a x = 0, f(x) llega a estar a distancias de 2 tan pequeñas como se quiera (a 0,01, a 0,0001, etc). Eso no ocurre con el valor 1 pues los valores de f(x) se mantienen a distancias de él mayores de una unidad.

2ª Definición: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para valores de x próximos a 0 los correspondientes valores de f(x) están tan próximos como queramos a 2.

Objeción: imaginemos que exigimos que f(x) esté a 0,01 del 2 y que tal requisito se logra para un valor de x cercano al 0, pero sólo para ése, no para los demás. No diríamos entonces que el limite sea 2hay que depurar esa definición.

Definición precisa: Diremos que el límite de f(x) en x = 0 es 2, ya que para cualquier distancia ε, tan pequeña como queramos, hay una distancia δ tal que: para cualquier valor de x que esté a una distancia de 0 menor que δ, su imagen f(x) está a una distancia de 2 menor que ε.

Límite de una función en un punto: definición

formalSean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si para todo número real ε > 0 existe otro número real δ > 0, tal que

si 0 < |x – a | < δ ⇒ |f(x) – L | < ε

Para cada ε > 0 Hay un δ > 0 0 < |x – a | < δ |f(x) – L | < ε

La condición 0 < | x – a | < δ prohibe que x tome el valor a.

No es necesario que la función esté definida en a.

Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser único.

Límites laterales de una

función

Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como la siguiente. Se observa que:

• x→3+lim Ent(x) = 3

• x→3–lim Ent(x) = 2

Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x→3.

3

i

x→a+lim f(x) = L (

x→a–lim f(x ) = L ).

• Una función tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites lateralesy ambos son iguales.

El límite por la derecha de una función f(x) en x = a es L cuando al tomar valores de x que se aproximan hacia a, siendo a < x, a partir de algún valor de x, todos los valores de f(x) que se obtienen llegan a estar tan próximos como queramos de L (idem, límite por la izquierda).

Propiedades de los límites de funciones

( ) ( ) .)(lim )(lim real, númeroun es Si 2. kpxfkxkfkaxax

==→→

( ) ( ) .)(lim)(lim real, númeroun es Si 5. )(lim)( qxg

ax

xg

ax

q pxfxfp ax == →

→→

( ) .)(lim)(lim)()(lim 1. qpxgxfxgxfaxaxax

±=±=±→→→

( ) .)(lim)(lim)()(lim .3 qpxgxfxgxfaxaxax

⋅=⋅=⋅→→→

.)(lim

)(lim

)(

)(lim ,cero es no Si 4.

q

p

xg

xf

xg

xfq

ax

ax

ax==

→

→

→

Sean dos funciones tales que . qxgpxfaxax

==→→

)(limy )(lim)(y )( xgxf

Límites infinitos de una

función: definición

• x→0+lim

1| x | = ∞

• x→0–lim

1| x | = ∞

⇔ x→0lim

1| x | = ∞

• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es infinito , si el valor de la función f(x) se hace tan grande como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al

número a pero distintos de a. Se designa x →alim f(x) = ∞.

• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es menos infinito , si la función f(x) toma valores negativos tan grandes como se quiera en valor a b soluto, siempre que se tomen valores

x suficientemente próximos al número a pero distintos de a. Se designa x →alim f(x) = – ∞.

Ejemplo: observando la gráfica de la

función f(x) = 1

| x | se ve que:

Límites laterales infinitos en un

puntoEn la medida en que x se acerca a 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

x→0+lim

x + 1x = +∞

x 1 0,1 0,01 0,01 →0+

f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 →+∞

De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:x→0–lim

x + 1x = –∞

Límites finitos en el infinito

x 10 102 103 104 →+ ∞

f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 →1

Ejemplo: En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

x→+∞lim

x + 1x = 1

Se dice que el número L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia infin ito (menos infinito) , si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores x suficientemente grandes (en valor absoluto). Se den ota

x →∞lim f(x) = L (x → – ∞lim f(x) = L).

Límites infinitos en el infinito

x→ + ∞lim x2 = + ∞

En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = x2?

x 10 102 103 104 → + ∞

f(x) = x2 102 104 106 108 → + ∞

El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para valores muy grandes de x, los correspondientes valores que toma la función f(x) son cada vez más grandes (tanto como queramos).

Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

Comportamiento en el infinito: no existe límite

Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1. Ambos límites no existen.

Ejemplos

x→1lim

3 2x3 – 2x + 1

x3 –x + 1

(x2 – 2x + 1)

=

3 2 . 13–2 . 1 + 1

13 – 1 + 1

(12–2.1+1)

= 10 = 1

x→3lim

–2x2 + 3x3 – 2x + 5 =

–2 . 32 + 333 – 2 . 3 + 5 = –

1516

x→0lim

x2 – 100 + x3 + x – 1

x2 – 1 = –100 + 1 = – 99

Cálculo de límites

Límites simples Cuando las funciones verifican

x→alim f(x) = f(a) se pueden obtener directamente los límites,

por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el valor de a hacia el que tiende.

Límites de operaciones de funciones cuando alguno es infinito

Para el cálculo de operaciones entre funciones cuando L o M son infinitos, basta tener en cuenta la siguientes reglas:

Si L = M = ∞ se tiene: ∞ + ∞ = ∞ ∞ . ∞ = ∞ ∞∞ = ∞ ∞-∞ = 0

Si L es un número cualquiera: L ± ∞ = ± ∞ L . ∞ = ∞ si L > 0 L . ∞ = – ∞ si L < 0 L / ± ∞ = 0 ∞L= ∞ si L > 0 ∞L= 0 si L< 0

Es importante recordar que estas reglas no definen operaciones entrenúmeros, ya que el infinito no es un número; las expresiones anterioresdeben ser interpretadas en términos de límites de funciones.

Indeterminaciones: tipos

Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando los teoremas anteriores podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ningún teorema que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.

Este resultado no depende de las funciones f y g. El límite es determinado.

Este límite depende de las funciones f y g. El límite es indeterminado.

x→alim f(x) = 2

x→alim g(x) = 3

Entonces x→alim

f(x)g(x) =

23

x→alim f(x) = 0

x→alim g(x) = 0

No es posible obtener x→alim

f(x)g(x) . Para

poder salvar la indeterminación hemosde conocer f y g.

Tipos de indeterminaciones

L0 / L ≠ 0 0

0 ∞∞ 0 . ∞ ∞ – ∞ ∞0 00 1∞

Cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L ≠ 0

En estos casos el límite si existe es +∞ o –∞ dependiendo del signo de la función a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.

• x→2–lim

1x – 2 = – ∞

• x→2+lim

1x – 2 = + ∞

⇒ x→2lim

1x – 2 no existe

• x→2–lim

1(x – 2)2 = + ∞

• x→2+lim

1(x – 2)2 = + ∞

⇒ x→2lim

1(x – 2)2 = + ∞

Cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0

Cuando el x→alim

P(x)Q(x) es indeterminado

00 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-

mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por x – a.

• x→3lim

–18 + 21x – 8x2 + x3

x2 – 9 =x→3lim

(x – 3)2(x – 2)(x – 3)(x + 3) =

x→3lim

(x – 3)(x – 2)(x + 3) =

06 = 0

Indet 00

• x→3

2

lim –18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3

9 – 12 x + 4 x2 =x→3

2

lim (x – 2)(2x – 3)2

(2x – 3)2 =x→3

2

lim (x – 2) = –12

Indet 00

Cálculo de indeterminaciones: tipo 0 . ∞

= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0

1/x = y

0

Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para

obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo 00 o

∞∞

Recordando que x→∞lim xpe–x = 0

• x→∞lim (x3 + 5x2 + 7x)e–x =

Indet 0 . ∞

Recordando que xx

X

lnlim

∞→ = 0

• x→0+lim x . ln x =

x→0+lim

ln x1x

=y→∞lim

– ln yy =

5 x→∞lim x2e–x +

x→∞lim x3e–x + 7

x→∞lim xe–x =

Indet 0 . ∞

Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞/∞

En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.

ln x = y

Cuando el x→∞lim

P(x)Q(x) es indeterminado

∞∞ siendo P(x) y Q(x) polinomios,

podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más alta de x que aparezca en ambos.

x→∞lim

–2x3 + 3x – 5–x3 – 2x + 5 =

Indet ∞∞

x→∞lim

–2 + 3x2 –

5x3

–1 – 2x2 +

5x3

= –2–1 = 2

x→∞lim

ln (ln x)ln x =

y→∞lim

ln yy = 0

Indet ∞∞

Cálculo de indeterminaciones: tipo ∞ – ∞ En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, laexpresión antes de tomar el límite.

Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi-plicar y dividir por la expresión conjugada.

x→∞lim (x3 – x2) =

Indet ∞ – ∞x→∞lim x(x2 – 1) = ∞ ∞ . ∞ =

x→∞lim [ x2 + 1 – x2 – 1] =

Indet ∞ – ∞

x→∞lim

[ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1][ x2 + 1+ x2 – 1]

=

= x→∞lim

(x2 + 1) – (x2 – 1)[ x2 + 1 + x2 – 1]

=x→∞lim

2x2 + 1 + x2 – 1

= 2∞ = 0

Cálculo de indeterminaciones: tipos ∞0, 00

Indet ( )+∞ 0

e0 = 1

ln0lim 1

x

x

xe e

→+∞= = =

Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».

x→0+lim xx =

Indet 00

x→0+lim eln (x

x ) =

x→0+lim ex ln x =

( )1

lim xx

x→+∞

1

lnlimxx

xe

→+∞=

Cálculo de indeterminaciones: tipo 1∞

Indet 1∞

Indet 1∞

12x2 + x4 = y

e8

Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresiónde ea como límite, combinada con un cambio de variable.

x→∞lim

1 + 1x

2x

= x→∞lim

1+

1x

x 2

=

x→∞lim

1+

1x

x 2

= e2

x→0lim (1 + 2x2 + x4)

4x2

= x→0lim

1 +

11

2x2 + x4

4x2

=x→0lim

1 +

11

2x2 + x4

12x2 + x4 (2x2 + x4)

4x2

=

= y→∞lim

1 + 1y

y

x→0lim

4(2x2 + x4)x2

= y→∞lim

1 + 1y

y

x→0lim (8 + 4x2)

=